probabilité soit -partie valeurs

ANNEXE
Meilleur estimateur de
x
Montrons que le meilleur estimateur de
x
lorsque la densité de probabilité est une gaussienne est
∑
=
∗
=
N
ii
x
N
x
1
1.
On a réalisé N mesures de X donnant les valeurs
i
x .
La probabilité d’obtenir la valeur
i
x (à dx près) effectivement obtenue lors de la i
ème
mesure est
proportionnelle à
2
2
2σ
−
−)( xx
i
e.
La probabilité P d’obtenir l’ensemble des valeurs
i
x (événements indépendants) est donc
proportionnelle à
σ
∑−
−=
=
=
σ
−
−
∏
2
1
2
1
2
2
2
2
N
ii
N
i
xx
xx
e
i
)(
exp
)(
On applique alors le principe du maximum de vraisemblance : la valeur cherchée
x
(inconnue)
est estimée en cherchant, parmi toutes les valeurs possibles de
x
, celle
∗
x
qui rend maximale la
probabilité P d’obtenir l’ensemble des valeurs
i
x .
En effet, la probabilité d’avoir cet ensemble de mesures est un produit de lois gaussiennes : il y a
beaucoup de combinaisons possibles, donc beaucoup de résultats expérimentaux possibles, mais
tous correspondent pratiquement à la probabilité maximale, et ce d’autant plus que N est grand.
Ceci entraîne ∑=−−=
∑−
==
N
ii
N
ii
xxxx
x
11
2
02
d
d)()( soit
∑
=
∗
==
N
ii
x
N
xx
1
1
Justification de
N
x
σ
σσ
σ
=
==
=σ
σσ
σ
∗
∗∗
∗
Réalisons une série de N mesures indépendantes de la grandeur X : elle fournit des résultats
i
x
avec
[
]
Ni ,1∈ . On en déduit la valeur moyenne de la série
N
x
x
N
ii
∑
=
∗
=
1
.
Les mesures
i
x sont distribuées selon une loi normale dont l’écart-type est σ.
La formule de propagation des incertitudes fournit :
N
NN N
N
i
x
σ
=
σ
=
σ
=σ
∑
=
∗
1
2
.
Plus on réalise de mesures, plus l’incertitude sur la valeur moyenne est faible.

Justification de
∑
∑∑
∑
=
==
=
∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗
−
−−
−
−
−−
−
=
==
=σ
σσ
σ
N
ii
xx
N
1
2
1
1)(
(ou : pourquoi
1
−
N
et pas N au
dénominateur ?)
On peut recommencer un très grand nombre de fois (en théorie une infinité) des séries de N
mesures
ki
x
,
: pour la k ème série, on obtient
N
x
x
N
iki
k
∑
=
∗
=
1,
.
Soit
∑
=
∗
−=
N
ikkik
xxA
1
2
)(
,
. On veut donc montrer que
2
1σ−== )(NAA
k
Or
22
1
2
1
2
11
2
22
∗∗
==
∗
=
∗
=
+−=+−=
∑∑∑∑
kk
N
iki
N
ik
N
ikki
N
ikik
NxNxxxxxxA
,,,
soit :
−= −=−= ∑∑∑∑∑∑
=====
∗
=
N
jkj
N
iki
N
iki
N
iki
N
ikik
N
ikik
xx
N
xx
N
xNxxA
111
2
2
11
2
2
1
2
11
,,,,,,
− −=
∑∑∑
≠
==
N
ji ji kjki
N
iki
N
ikik
xx
N
x
N
xA
,,,,,
11
1
2
1
2
D’où 
−
−
=
∑∑
≠
=
N
ji ji kjki
N
ikik
xx
N
x
N
N
A
,,,,
11
1
2
Or
2
2
22
2
2
22
xxxxxxx
ikiii
+σ==⇒−=−=σ
,
)(
D’autre part, les mesures étant indépendantes,
00
2
=+−−⇔=−− )())(( xxxxxxxxxxx
jijiji
soit 0
2222
=−=+−− xxxxxxxx
jiji
d’où
2
xxxxx
jikjki
==
,,
On a finalement bien
22
2
1
11 xNN
N
xN
N
N
A)()( −−+σ
−
=
, soit :
2
22
2
111 σ−=−−+σ−= )()())(( NxNxNA
Propagation des incertitudes
La mesure d’une grandeur X fournit un résultat
x
avec une incertitude
x
∆
.
Supposons que la grandeur X ne soit pas directement accessible par la mesure mais liée à des
mesures indépendantes de deux grandeurs elles-mêmes indépendantes
1
X et
2
X dont les
valeurs mesurées sont
1
x (avec un écart-type
1
σ , ou une incertitude élargie
1
x∆ ) et
2
x (avec un
écart-type
2
σ , ou une incertitude élargie
2
x∆ ) : ),(
21
XXfX = .
Si les incertitudes sont supposées petites, on peut effectuer un développement limité à l’ordre 1 de
la fonction f autour du point (
1
x,
2
x) :

),()(),()(),(),(
21
2
2221
1
112121
xx
X
f
xxxx
X
f
xxxxfxxfx ∂
∂
−+
∂
∂
−+==
où ),(
21
1
xx
X
f
∂
∂
et ),(
21
2
xx
X
f
∂
∂
sont les dérivées partielles de X par rapport à
1
X et
2
X , calculées au
point (
1
x,
2
x).
Prenons la valeur moyenne de cette expression :
),(),()(),()(),(
2121
2
2221
1
1121
xxfxx
X
f
xxxx
X
f
xxxxfx =
∂
∂
−+
∂
∂
−+= , puisque : 0
1111
=−=− xxxx )( et
0
2222
=−=− xxxx )( , les valeurs mesurées étant par définition les valeurs moyennes.
On a donc : ),(
21
xxfx =
Il reste à déterminer l’incertitude sur x (due aux incertitudes sur
1
x et
2
x ).
Par définition de l’écart type, on a
[
]
2
21
22
),()( xxfxxx −=−=σ d’où :
),(),())((
),()(),()(
21
2
21
1
2211
2
21
2
2
22
2
21
1
2
11
2
2 xx
X
f
xx
X
f
xxxx
xx
X
f
xxxx
X
f
xx
∂∂ ∂∂
−−+
∂∂
−+
∂∂
−=σ
Les variables
1
X et
2
X étant indépendantes, on a 0
2211
=−− ))(( xxxx (corrélation nulle).
Comme par définition
2
1
2
11
σ=− )( xx et
2
2
2
22
σ=− )( xx , on a :
2
21
2
2
2
2
21
1
2
1
∂∂
σ+
∂∂
σ=σ ),(),( xx
X
f
xx
X
f
L’incertitude élargie étant proportionnelle à l’écart-type, on obtient la relation fondamentale
permettant de calculer l’incertitude sur X :
2
21
2
2
2
2
21
1
2
1
∂∂
∆+
∂∂
∆=∆ ),()(),()( xx
X
f
xxx
X
f
xx

Écart-type d’un densité de probabilité rectangulaire.
La densité de probabilité est supposée uniforme, égale à a, entre
1
x et
2
x , et nulle hors de cet
intervalle.
On a donc
12
1
1d
2
1xx
axa
x
x
−
=⇒=
∫
On en déduit la valeur moyenne
22
d
21
2
1
2
2
2
1
xx
xx
a
xaxx
x
x
+
=−==
∫
)( et l’écart-type :
12
12
2
4
2
3
3
dd)
2
12
2
221
2
1
2
221
2
1
2
221
2
1
2
3
1
3
2
2
222
2
1
2
1
)(
)((
xx
xxxxxxxxxxxx
xxx
a
xxaxxxxa
x
x
x
x
−
=
+−
=
++
−
++
=
−−=−=−=σ
∫∫
D’où 12
12
xx
−
=σ
Bibliographie sommaire :
TAYLOR John, Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, Dunod, 2000, 318
p.
BELORIZKY Elie, Probabilités et statistiques dans les sciences expérimentales, Nathan Université,
collection 128, 1998, 130 p.
VENTZEL Hélène, Théorie des probabilités, Editions Mir, 1982, 572 p.
MOREAU René, Mesures, erreurs et incertitudes en Physique-Chimie, Université d’Angers [en ligne].
Disponible (et également sur d’autres sites)
http://ead.univ-angers.fr/~capespc/physique/generalites/mesureserreursincertitudes_moreau2.pdf
Groupe des Sciences physiques et chimiques de l’IGEN, Nombres, mesures et incertitudes en
sciences physiques et chimiques, EDUSCOL [en ligne]. Disponible
http://media.eduscol.education.fr/file/PC/66/3/Ressources_PC_nombres_mesures_incertitudes_144
663.pdf