Memento 1/6 - Ensembles, relations, graphes.

Memento 1/6 - Ensembles, relations, graphes.
E est un prédicat R à
E . On utilise généralement la notation
inxe x R y (parfois préxe R(x, y) ou postxe (x, y)R). On appelle graphe de la relation
binaire R l'ensemble {(x, y) ∈ E × E | x R y}.
Une relation binaire est dite réexive si tous les éléments de E sont en relation avec
eux-même, i.e. ∀x ∈ E, x R x ; elle est symétrique si ∀(x, y) ∈ E × E, x R y ⇒ y R x ;
3
elle est transitive si ∀(x, y, z) ∈ E , (x R y) ∧ (y R z) ⇒ x R z . La relation est
1. Assertions et prédicats
Une assertion est une armation qui a une valeur de
vérité (vrai ou faux ). Un prédicat est un énoncé qui contient un ou plusieurs éléments
variables et qui devient une assertion une fois la ou les variables instanciées.
Il pleut est une assertion, n est un entier pair ou encore x
¬
≤ y
sont des prédicats.
∨ (ou ),
∧ (et ), ⇒ (implication ), ⇔ (équivalence ) permettent de construire des formules logiques
Les connecteurs logiques unaire
(négation avec un seul opérande) et binaires
à partir d'autres assertions/prédicats.
appartenant à un ensemble
x et y ne sont jamais en relation dans
∀(x, y) ∈ E × E, (x R y) ∧ (y R x) ⇒ (x = y).
sommets distincts
traduit par
F et G sont dites tautologiquement équivalentes, ce que l'on
F ≡ G si elles ont toujours même valeur de vérité. Une table de vérité d'une formule
x et y
antiréexive si aucun sommet n'est en relation avec lui-même et antisymétrique si deux
Deux formules logiques
note
Une relation binaire sur un ensemble
3. Relations binaires
deux variables
les deux sens, ce que l'on
L'antisymétrie n'est pas la négation de la symétrie tout comme l'antiréexivité n'est
pas la négation de la réexivité. Il sut qu'un seul sommet
x
ne soit pas en relation
liste toutes les valeurs logiques possibles de la formule en fonction de la valeur logique
avec lui-même pour que la relation ne soit pas réexive, aucun ne doit être en relation
des élements qui composent la formule (cf. table des connecteurs ci-dessous).
avec lui-même pour qu'elle soit antiréexive. Idem pour le distingo entre non-symétrie
A ⇒ B est dénie par la formule ¬A ∨ B tautologiquement équivalente à sa contraposée ¬B ⇒ ¬A. L'équivalence A ⇔ B est dénie
par la double implication (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A). Les deux lois de De Morgan sont
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B) et ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B).
On rappelle que l'implication
et antisymétrie. On représente classiquement une relation binaire de manière sagitale à
l'aide de son graphe en reliant par une èche
b
x
à
y
tout couple
b
(x, y)
tel que
b
x R y.
b
c
A
F
F
V
V
B
F
V
F
V
¬A A ∨ B
V
F
V
V
F
V
F
V
A∧B
F
F
F
V
A⇒B
V
V
F
V
A⇔B
V
F
F
V
a
a
c
a
a
c
d
De gauche à droite : le premier graphe n'est ni réexif (c n'est pas en relation avec
lui-même), ni symétrique (a est en relation avec
→a→b→c
transitif (c
donc
c
b mais b n'est pas en relation avec a) ni
devrait être en relation avec lui-même). Le deuxième
graphe est antisymétrique et transitif. Le troisième n'est pas réexif ni symétrique mais
2. Théorie des ensembles
La théorie des ensembles établit les règles de construction
N.
est transitif. Le dernier est antisymétrique et transitif.
Elle s'ap-
On dispose également d'une représentation par matrice d'adjacence qui est une ma-
puie sur la logique propositionnelle et la logique des prédicats à l'aide des quanticateurs
trice carrée dont les lignes et les colonnes sont indexées par les éléments de l'ensemble
de nouveaux ensembles à partir de l'ensemble séminal des entiers naturels
existentiel
∈
et
∃ (il
existe ), et universel
∀ (quel
que soit ), des symboles particuliers
= (égal )
(appartient ) et des axiomes qui sont des énoncés admis vrais. C'est l'axiome de
N. L'axiome d'extension
A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) est utilisé en persélection, Soit E un ensemble et P (x) un prédicat,
l'inni (il existe un ensemble naturel) qui fournit l'ensemble
Si
A
et
B
alors l'ensemble
E
{x ∈ E | P (x)}
E
1
si
x R y
et
0
E.
Par exemple,
Le terme sur la ligne
x
et la colonne
y
au-dessus :
a b c d

a 0 1 0 1

b
0 1 0 1

c 0 1 0 1
d 0 0 0 0

P (x).
désigne un ensemble, l'axiome des parties assure l'existence de l'ensemble
des parties de
R.
sinon. L'exemple ci-dessous correspond au graphe de droite
existe qui permet de sélectionner les éléments d'un
qui satisfont le prédicat
P(E)
P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. On dénit (a, b) :=
{{a}, {a, b}} appelé couple a, b qui se distingue de la paire {a, b} par l'importance de
l'ordre des termes et on montre que (a, b) = (c, d) ⇔ (a = c) ∧ (b = d). L'ensemble
des couples (a, b) constitués par des élements a ∈ E et b ∈ F est noté E × F et appelé
produit cartésien de E et de F . On appelle graphe tout ensemble de couples.
Si
sur lequel est dénie la relation binaire
sont deux ensembles alors
manence, tout comme l'axiome de
ensemble
E
contient
La réexivité d'une relation binaire se traduit sur la matrice par une diagonale dont
tous les termes sont égaux à 1. La symétrie de la matrice par rapport à cette diagonale
assure la symétrie de la relation. La transitivité se matérialise par un triangle de
pour chaque triplet
lequel les
1
(x, y, z)
tel que
x→y
sont en gras dans la matrice.
et
y → z,
c'est le cas du triplet
(c, b, d)
1
pour