pert potentiel et probabilise - ENSGSI-Promo-2013

Gestion de Projet
TD 1 – Planification Opérationnelle – PERT Potentiel et Probabilisé - GANTT - CBTP
BZ JR
Connaissances à acquérir
-
Application du PERT Potentiel et du PERT Probabilisé (loi Béta et loi normale)
Tableau des antécédents (recherche des niveaux)
Construction du réseau, calcul des dates au plus tôt et au plus tard (début et fin)
Calcul des marges libres et totales
Recherche du chemin critique non probabilisé et probabilisé
Tracer du Gantt du réseau au plus tôt et au plus tard
Profil de charge du projet et du chemin critique
Lissage et nivellement du profil de charge (intensité, quantité et délai d’une ressource)
Tracer de la courbe du Coût Budgété du Travail Prévu (CBTP) au plus tôt et au plus tard.
1. ENONCE du PROBLEME
Un chef de projet doit planifier un projet de construction d’une ligne d’embouteillage comprenant 10
tâches définis selon le tableau ci-dessous. Les durées des tâches (en jours) sont réalisées avec l’hypothèse
probabiliste suivante : Testimé = {Toptimiste + 4.Tmoyen + Tpessimiste}/6 selon la loi Bêta et l’écart type de
 tp  to 
chaque tâche est :   
 . Le chemin critique suit une loi normale dont l’écart type est :
 6 
2

n

i 1
2
i
. On considère que les ressources comprennent des opérateurs polyvalents.
Tâches
Antériorités
T optimiste
T moyen
T pessimiste
Nb d’ouvriers
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
/
A
/
/
C
C
D, F
B, G
H
E, H
3
5
8
17
8
3
4
6
4
1
4
6
10
19
17
4,5
6
7,5
5,5
2
8
10
12
27
20
9
8
12
10
3
2
4
3
4
5
4
6
7
3
6
2. QUESTIONS
On demande de :










A) calculer le temps estimé et la variance de chaque tâche,
B) remplir la table des antériorités et de proposer les différents niveaux du réseau,
C) tracer le Réseau PERT-Potentiel du projet,
D) calculer les dates au plus tôt et au plus tard (début et fin) de chaque tâche,
E) calculer les marges libres et marges totales (on considère que le projet aura la même date de fin au plus
tôt ou au plus tard), puis que le projet aura une fin au plus tard à 50 jours. (en fin d’exercice)
F) déterminer le chemin critique et calculer sa durée probabilisée,
G) calculer la probabilité de terminer le projet à 45 jours,
H) tracer les diagrammes Gantt au plus tôt et au plus tard du projet,
I) tracer le profil de charge au plus tôt et plus tard du projet et du chemin critique,
J) proposer un scénario si la charge en « opérateurs » ne doit pas dépasser 13 personnes,
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
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K) tracer les courbes CBTP (Coût Budgété du Travail Prévu) au plus tôt et au plus tard en appliquant 100
€/homme/jour. Constat, introduction de l’échéancier de paiement.
Représentation d’une tâche
Repère :
Durée :
Variance :
Date de Début au plus
Tôt DTO
Date de Début au plus
Tard DTA
Marge Totale MT
Date de Fin au plus
Tôt FTO
Date de Fin au plus
Tard FTA
Marge Libre ML
Table de la Loi Normale
3. RAPPEL DE L’APPROCHE PROBALISEE
Dans cette approche, initiée par Clark (1962), la durée de la tâche n’est pas fixe mais peut varier de
manière aléatoire selon une distribution de probabilité de type  (loi Bêta). Pour chaque tâche, on définit :
 une durée optimiste (to),
 une durée réaliste ou probable (tr),
 et une durée pessimiste (tp).
Ce qui amène à poser trois questions suivantes : « quelle est la durée minimale ? », « quelle est la durée
maximale ? », et « quelle est la durée la plus probable ». La forme de la distribution des temps de
réalisation d’une tâche permet de déterminer la durée moyenne (tm) qui servira pour calculer les dates et
les marges du réseau.
tm 
to  4  tr  tp
6
Une fois estimée, la durée moyenne de chaque tâche, on calcule pour chacune d’elle la variance.
2
t -t 
Variance d' une tâche "i" ( i )   p o 
 6 
On admet que la somme des durées aléatoires des tâches tend à suivre une loi normale, définie par :
 la durée moyenne du projet (TProjet) correspondant à la somme des durées moyennes des tâches du chemin
2
critique
n
Tprojet   tm i
i 1
 l’écart type du projet (correspondant à la racine carrée de la somme des variances des tâches critiques, soit :
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 projet 
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n

i 1
2
i
Exemple
Soit un chemin critique comprenant trois tâches {A, B et C}, dont les différentes durées (optimiste,
pessimiste et probable) sont mentionnées dans le tableau ci-dessous.
Tâches
A
B
C
to
10
6
7
tt
14
7
9
tp
18
11
11
somme
tm
14
7,5
9
30,5
2
1,76
0,69
0,43
2,88
On obtient les résultats suivants :
 Durée moyenne du projet, Tprojet = 30,5 jours
 Ecart type du projet,  projet  2,88  1,69 jours
Si, par exemple, on désire connaître la probabilité de terminer le projet dans moins de 33j, on utilise la
table de la loi normale réduite, soit :
u = (tx- tm)/ Projet = (33 – 30,5)/1,69 = 1,48
En consultant une table de loi normale réduite, nous pouvons déterminer la probabilité correspondant à
cette valeur « u ». La probabilité de terminer le projet en moins de 33jours, est de 93,06%.
On peut également fixer un délai pour une probabilité donnée. Par exemple, quel délai fixé à mon client
en regard d’une probabilité de 99,86%. La table de la loi normale réduite nous indique la valeur « u »
correspond à cette probabilité, soit u = 3. Le délai à fixer sera de : 30,5 + (3 x 1,69)  36 jours.
4. CORRIGE
Tâches Antériorités T optimiste
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
/
A
/
/
C
C
D, F
B, G
H
E, H
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3
5
8
17
8
3
4
6
4
1
T moyen
4
6
10
19
17
4,5
6
7,5
5,5
2
T pessimiste Nb d’ouvriers 2=[(tp-to)/6]2
8
10
12
27
20
9
8
12
10
3
3/4
2
4
3
4
5
4
6
7
3
6
Somme

0,69
0,69
0,44
2,77
4
1
0,44
1
1
0,11
11,73
3,42
Tm
Ch. critique
4,5
6,5
10
20
16
5
6
8
6
2
40
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On obtient les résultats suivants :
 Durée moyenne du projet, Tprojet = 40 jours
 Ecart type du projet,  projet  11,73  3,49 jours
Si on désire connaître la probabilité de terminer le projet à 45jours, on utilise la table de la loi normale
réduite, soit :
u = (tx- tm)/ Projet = (45 – 40) / 3,42 = 1,43
En consultant une table de loi normale réduite, nous pouvons déterminer la probabilité correspondant à cette
valeur « u ». La probabilité de terminer le projet en moins de 45 jours, est de 92,36%.
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