DS 4 année 2015-2016

DS Physique n°4 PCSI 2015 – 2016
Conseils :
• Ce devoir comporte 3 problèmes.
• Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la ré-
daction de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale
simplifiée des résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la
cohérence (tout résultat non homogène sera sanctionné). Les résultats non encadrés ne se-
ront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
• L’usage des calculatrices est autorisé.
I. QUESTION DE COURS
1. Énoncer le théorème de l’énergie mécanique (formule et énoncé). Faire la démonstration.Q1
2. Déterminer l’énergie potentielle associée à une force de rappel d’un ressort de la forme
~
F=−kx~ex. Justifier.Q2
3. On considère le système de l’exercice sur le mouvement pendulaire (exercice III, page 3).
Calculer le travail du poids entre le point M0et le point Men fonction de θet des constantes
de l’énoncé. Justifier.Q3
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II. CIRCUIT RLC EN RÉGIME TRANSITOIRE
On étudie le circuit représenté ci-dessous comportant :
E
rg
1
Cu
2
i1
R
i2L
r
Générateur
• un interrupteur à bascule,
• un générateur de tension réel, modélisé par son équivalent Thévenin de force électromotrice
Eet de résistance interne rg,
• un condensateur parfait de capacité Cmonté en parallèle avec
• un résistor de résistance Ret
• une bobine réelle modélisée par une inductance Len série avec un résistor de résistance r.
On donne E= 10 V, rg= 50 Ω,R= 1 kΩ,C= 1 µF, L= 0,1H et r= 10 Ω.
1. L’interrupteur est en position 2 depuis longtemps. Justifier d’une phrase que Cest forcé-
ment déchargé et les courants nuls dans toutes les branches.Q4
2. À t=t1=−1s, on bascule l’interrupteur en position 1.
(a) Établir l’équation différentielle qui régit alors la tension uaux bornes du condensateur.Q5
(b) Représenter l’allure de uen fonction du temps.Q6
(c) Quelle est la valeur U0de uau bout d’une seconde, c’est-à-dire pour t= 0.Q7
3. À t= 0 s, on bascule l’interrupteur en position 2.
(a) Déterminer, en fonction des données et de U0, les valeurs de u,i1et i2àt= 0+, juste
après la bascule de l’interrupteur en 2 puis au bout d’un temps infini.Q8
On justifiera les réponses avant de les résumer dans un tableau.
(b) Établir la nouvelle équation différentielle qui régit la tension uaux bornes du condensa-
teur.Q9
(c) Mettre l’équation précédente sous la forme canonique ¨u+ω0
Q˙u+ω2
0u=“quelque chose”.
Q10
Préciser le nom, l’expression en fonction des données et la valeur des constantes Qet ω0.
À quel type de régime a-t-on affaire ? Justifiez.Q11
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III. MOUVEMENT PENDULAIRE AMORTI
Un petit objet assimilé à un point matériel M, de masse m, peut glisser sans frottement le long
d’un rail ayant la forme d’un demi-cercle de centre Oet de rayon R, placé dans un plan vertical.
O
x
~g
M0
−→
v0−→
er
−→
eθ
M(t)
θ
On repère la position du point Mà l’instant tpar l’angle θ(t) = (−−→ OM0,−−→ OM(t)).
À l’instant t= 0, l’objet est lancé du point M0avec une vitesse ~v0.
Dans tout le problème, on utilisera une base de projection polaire (~er, ~eθ, ~ez). On prendra pour
valeur de l’accélération de la pesanteur g= 10 m.s−2.
1. Faire l’inventaire des forces appliquées à M, et les représenter sur un schéma clair lorsqueQ12
le point est dans une position M(t)quelconque. On précisera les composantes de ces forces
sur la base polaire.
2. Exprimer l’accélération de Mdans la base polaire. Justifier.Q13
3. En déduire l’équation différentielle à laquelle satisfait la fonction θ(t).Q14
4. On suppose que la norme v0du vecteur vitesse initial est suffisamment faible pour que laQ15
condition θ(t)≪1rad soit satisfaite à chaque instant. Déterminer complètement l’expres-
sion de θ(t)dans cette hypothèse en fonction de v0,g,Ret t.
On suppose à partir de maintenant que le point M subit au cours de son mouvement une
force de frottement fluide ~ f=−λ~v , où λest une constante positive et ~v le vecteur vitesse du
point Mà l’instant t. La condition θ(t)≪1rad reste également satisfaite à chaque instant.
5. Établir la nouvelle équation différentielle satisfaite par la fonction θ(t).Q16
6. Les grandeurs m,get Rétant fixées, donner la condition portant sur λpour que le mouve-Q17
ment soit pseudo-périodique.
7. Cette condition étant réalisée, exprimer θ(t)sous la forme :Q18
θ(t) = Aexp(−t
τ) sin(Ωt)
On justifiera soigneusement l’établissement de cette relation et on exprimera A,τet Ωen
fonction de v0,m,g,Ret λ.
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8. L’allure de la courbe représentative des variations de la fonction θ(t)est donnée ci-dessous.
θ(rad)
t(s)
0,20
0,10
0,05
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
On appelle décrément logarithmique la grandeur sans dimension
δ=ln θ(t)
θ(t+T)!
où Test la pseudo-période et tle temps.
(a) Exprimer λen fonction de δ,met T.Q19
(b) Par lecture graphique, déterminer la valeur de T.Q20
(c) Par lecture graphique, déterminer la valeur de δ.Q21
(d) En déduire la valeur de λ(sans omettre de préciser son unité), sachant que m= 100 g.Q22
(e) Tracer l’allure de la trajectoire de phase correspondant à la courbe ci-dessus (on se res-
treindra à la même plage temporelle).Q23
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IV. HYSTÉRÉSIS DE FROTTEMENT
Un solide granulaire est un matériau composé de particules solides discrètes de taille typique
comprise entre 100 et 3 000 µm, et qui restent le plus souvent en contact les unes avec les autres.
Cette classe de matériaux comprend les ciments, les sables, les graviers, les granulats, les cé-
réales... On s’intéresse dans ce problème à un aspect statique de la physique de ces systèmes qui
restent encore assez mal compris.
Formulaire
B
A
~
T
~
N
L’action du solide Bsur le solide Aen contact se décompose en une composante normale ~ Net
une composante tangentielle ~ Tvérifiant :
k~ Tk6µsk~ Nken l’absence de glissement entre Aet B
k~ Tk=µdk~ Nklorsqu’il y a glissement de Asur B.
µset µdsont appelés coefficients de frottement respectivement statique et dynamique et vérifient
l’inégalité : µd< µs.
A. Hystérésis de frottement
Une des difficultés conceptuelles majeures pour la description d’un système comportant du
frottement solide est l’impossibilité de prévoir les positions d’équilibre et le bilan des forces à
moins de connaitre de façon détaillée l’histoire de la mise en équilibre. Le but de cette partie est
d’illustrer ce phénomène (dit d’hystérésis) sur un exemple simple.
Une brique parallélépipédique de poids Pest en contact avec une paroi solide inclinée d’un
angle θpar rapport au plan horizontal et est reliée à un ressort de raideur k(figure ci-dessous).
Soit µs, le coefficient de frottement statique ; on supposera pour simplifier que le coefficient de
frottement dynamique µdest nul et qu’un frottement visqueux très important permet l’arrêt du
mouvement. On note xla déformation du ressort (x= 0 correspond à la position pour laquelle
la longueur du ressort est égale à sa longueur à vide détendu). On cherche à déterminer cette
déformation xà l’équilibre en fonction de l’angle θ.
x
θ
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