SAR 02 Biostat - Sujetpopulaire

SUJET SAR 2 BIOSTATISTIQUES
14/01/2012
Exercice 1 :
La probabilité qu’un individu soit atteint de la maladie A vaut 0.01 et de la maladie B
vaut 0.05.
Les 2 maladies A et B sont indépendantes.
1) Parmi les propositions suivantes, quelles sont les réponses exactes ?
Soit X la variable aléatoire « nombre de personnes atteint par la maladie A ou B »
Dans un échantillon de 20 individus :
A. L’espérance de X vaut 1,2.
B. La probabilité qu’aucune personne ne soit atteinte par une des deux maladies est
supérieure à 0,30.
C. La probabilité d’avoir au minimum une personne atteint est supérieur à 0,30.
On considère maintenant 4 échantillons de 20 personnes.
D. La probabilité de ne trouver aucun malade dans les 4 échantillons est supérieure à
0,05.
E. La probabilité d’avoir au moins un échantillon qui contient un malade ou plus est
supérieure à 0,99.
On étudie maintenant un échantillon composé de 500 individus.
On nomme :
A : la variable aléatoire « nombre de personnes atteints par la maladie A »
B : la variable aléatoire « nombre de personnes atteints par la maladie B »
2) Parmi les propositions suivantes, quelles sont les bonnes réponses ?
A.
B.
C.
D.
E.
A suit une loi Binomiale de paramètre B(500 ; 0.01).
A suit une loi de Poisson de paramètre λ=5.
P(A ≥ 2) ≥ 0,90.
P(B=25) = 0,8.
P(A=5 B=25) ≤ 0,20.
1
Exercice 2 :
1) X est une variable normale de variance 5 et de moyenne 3. Z est la loi
normale centrée réduite.
A.
B.
C.
D.
E.
σ² ( Z ) = 1
P ( X < 4 ) = P ( Z < 0,2 )
P ( X < 4 ) = 0,67
P(X=3)=0
P ( 2 < X < 5 ) = 0,49
2) Onze femmes se présentent le même jour à la maternité, aucune ne connait
le sexe de son enfant à naître. Sachant que la probabilité d'avoir une fille est
de 0,55 :
A.
B.
C.
D.
E.
Le nombre de filles suit une loi binomiale d'espérance 6,05 et de variance 2,72
La nombre de garçons suit une loi binomiale d'espérance 6,05 et de variance 2,72
La probabilté qu'aucune fille ne naisse aujourd'hui dans cette maternité est inférieur à
10-3.
La probabilité d'avoir 11 garçons est inférieur à 10 -4.
La probabilité d'avoir 6 filles est de 0,24
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Exercice 3 :
Deux amis en P2 s’amusent { étudier des cellules animales. Elles se répartissent en deux classes,
les cellules HcB1 et HwdA. Nos amis cherchent à les différencier selon une protéine produite,
spécifique des cellules HcB1, qui est donc considérée comme un signe S. Le premier P2 constitue
deux échantillons de 150 cellules, l’un de type HcB1 (B) et l’autre de type HwdA (A), et obtient
les résultats du premier tableau. Le second P2 constitue lui aussi deux échantillons de 150
cellules chacun, l’un où le signe S est présent (S) et l’autre où S est absent (NS) : ses résultats
sont dans le second tableau (de droite). On note
et
les valeurs de prédiction pour
montrer que la cellule est B.
B
73
77
S
NS
A
12
138
B
78
24
S
NS
A
72
126
Dans tout ce qui suit, les résultats des calculs seront arrondis à deux décimales.
1) Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?
A.
B.
C.
D.
E.
Chez le premier P2, la
est estimée à 0,49.
Chez le second P2, la spécificité est estimée à 0,92.
Chez le second P2, la
est estimée à 0,52.
La proportion de cellules HcB1 dans les cellules animales étudiées vaut 0,21.
La proportion de cellules HwdA dans les cellules animales étudiées vaut 0,85.
Dans le même contexte que le QCM précédent, les deux types de cellules se distinguent par un
taux de prolifération estimé par un score, variable discrète prenant des valeurs de 1 à 30, et
notée X. Les espérances mathématiques et écarts-types de X sont connus dans chacun de ces
deux types cellulaires HcB1 (B) et HwdA (A) :
On tire au hasard un échantillon de 18 cellules animales dans la population étudiée. On note la
probabilité d’obtenir exactement cellules (B). On note
la probabilité
que X (le score de prolifération) ait une espérance mathématique supérieure à 15 avec 8 cellules
(B) dans l’échantillon prélevé. On nomme Y la v.a. qui compte le nombre de cellules (B)
contenues par l’échantillon.
2) Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?
A.
B.
C.
D.
E. Aucune réponse exacte.
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Dans un amphithéâtre de médecine, la répartition des notes (sur 20) à un concours blanc du
tutorat en physique suit une loi de Laplace-Gauss,
. Sachant que la moitié des
étudiants remplit les 30 items au hasard, et que leurs notes suivent une loi normale
, on s’interroge sur les vertus du hasard. Chez l’autre moitié des gens, les notes se
répartissent selon la gaussienne
On effectue alors un sondage chez les 450
étudiants présents dans l’amphi, en posant X sa note au concours blanc.
3) Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) fausse(s) ?
A. La probabilité, si l’étudiant interrogé est un adepte du hasard, que
, vaut
0,13.
B. La probabilité de tomber sur un étudiant qui a réfléchi et dont la note
est
d’environ 6%.
C. La probabilité, si l’étudiant a eu
, qu’il soit un adepte du hasard, vaut 0,85.
D. La probabilité qu’un étudiant ait entre 10 et 12 vaut 0,53.
E. Aucune réponse exacte.
Exercice 4 :
L’accueil d’un hôpital reçoit des appels de 8h00 { 20h00 sans interruption. Dans chaque
tranche horaire d’une heure (8h-9h, 9h-10h...) le nombre d’appel reçu suit une loi de
poisson de paramètre 3.
Les résultats obtenus devront être arrondis au plus proche à 0.01 près.
1) Parmi les propositions suivantes, quelle(s) est (sont) celle(s) qui est (sont)
exacte(s) ?
A. La probabilité qu’au cours de la tranche horaire de 11h à 12h, aucun appel ne sois
reçu est comprise entre 4 % et 6 %
B. La probabilité qu’au cours de la tranche horaire de 11h à 12h, aucun appel ne sois
reçu est comprise entre 40 % et 60 %
C. La probabilité qu’au cours de la tranche horaire de 11h à 12h, un seul appel sois reçu
est comprise entre 4 % et 6 %
D. La probabilité qu’au cours de la tranche horaire de 11h à 12h, un seul appel sois reçu
est comprise entre 40 % et 60 %
E. La probabilité qu’au cours de la tranche horaire de 11h à 12h, 4 appels ou plus sois
reçus est comprise entre 40 % et 60 %
Soit X le nombre de tranche(s) horaire(s) où, dans une journée donnée, aucun appel
n’est reçu { l’accueil.
2) Parmi les propositions suivantes, quelle(s) est (sont) celle(s) qui est (sont)
exacte(s) ?
A.
B.
C.
D.
E.
X suit une loi binomiale
X suit une loi de Poisson
E(X) < 1
E(X) < 0,5
p(X = 0) <1/2
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Exercice 5 :
On s’intéresse { l’absentéisme des p2 aux cours d’amphithéâtre. On appelle p la
probabilité pour qu’un p2 aille en cours. Cette probabilité est supposée faible. On
interroge un nombre n de p2 sur leur présence au dernier cours de Neurologie, assez
grand (au moins 100).
Parmi les propositions suivantes, quelle(s) est (sont) celle(s) qui est (sont)
exacte(s) ?
A. La probabilité qu’aucun p2 ne soit allé en cours parmi les n est 1-p
B. La probabilité qu’aucun p2 ne soit allé en cours parmi les n est pn
C. La probabilité qu’aucun p2 ne soit allé en cours parmi les n est (1 - p)n
D. En faisant l’approximation par la loi de Poisson, la probabilité qu’aucun p2 ne soit
allé en cours parmi les n est e-p
E. En faisant l’approximation par la loi de Poisson, la probabilité qu’aucun p2 ne soit
allé en cours parmi les n est e-np
Exercice 6 :
Les deux courbes suivantes sont définies sur l’intervalle [0 ; 4]
Courbe 2
Courbe 1
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
0
A.
B.
C.
D.
E.
1
2
3
0
4
2
4
La courbe 1 représente une densité de probabilité.
La courbe 2 peut être une fonction de répartition.
Si la courbe 1 est une densité de probabilité, alors elle indique que p(X≤3)=0,8.
Si la courbe 2 est une densité de probabilité, alors elle indique que p(X≤3)=0,8.
Si la courbe 2 est une fonction de répartition, alors elle indique que p(X≤3)=0,8.
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Exercice 7
Dans la maternité de Tenon (dont les murs n’ont pas été repeints depuis 1989, ©Citron),
on comptabilise les naissances de filles et de garçons. On observe qu’il y a en moyenne
105 naissances de garçons pour 100 naissances de filles. Il y a de plus 44 naissances par
semaine en moyenne dans cette maternité. On admet que la proportion de naissances
d’hermaphrodites est négligeable, et que les différentes naissances sont des évènements
indépendants entre eux.
1) Parmi les propositions suivantes, indiquez celles qui sont exactes :
A. La loi du nombre de naissances de garçons en une semaine est une loi binomiale.
B. La loi du nombre de naissances de garçons en une semaine est une loi de Poisson.
C. La probabilité d’obtenir exactement 15 naissances de filles en une semaine est
d’environ 0,9%.
D. La probabilité d’obtenir exactement 15 naissances de filles en une semaine est
d’environ 1,8%.
E. La probabilité d’obtenir autant de naissances de chaque sexe en une semaine est
d’environ 12%.
2) Parmi les propositions suivantes, indiquez celles qui sont exactes :
A. Le nombre moyen de naissances de garçons par semaine est de 22,5.
B. Le nombre moyen de naissances de garçons par semaine est de 21,5.
C. Le nombre de naissances de garçons par semaine peut être approximé par une loi de
Poisson de paramètre 22,5.
D. Le nombre de naissances de garçons par semaine peut être approximé par une loi
normale N(µ=22,5, σ2=11,0).
E. Le nombre de naissances de garçons par semaine peut être approximé par une loi
normale N(µ=21,5, σ2=11,0).
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