Calcul de probabilités - Maths en classes préparatoires

Lycée Med Reda Slaoui
Centre Des Classes Préparatoires
Agadir
Année Scolaire : 04/05
BCPST 1
Série n◦ 15
Calcul de probabilités
Exercice 1.
Dans une classe de terminale,
20%
88%
des élèves ont déclaré aimer l'étude du latin,
ont déclaré aimer les mathématiques et
15%
ont déclaré aimer le latin et les
mathématiques. Nous dirons qu'un élève est pris au hasard dans cette classe si et
seulement si la probabilité d'être choisi est la même pour tous les élèves.
Quelle est la probabilité pour qu'un élève pris au hasard dans cette classe :
•
•
•
aime le latin mais pas les mathématiques ?
aime les mathématiques mais pas le latin ?
n'aime ni les mathématiques, ni le latin ?
Exercice 2.
1. Étant donné un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d'obtenir trois coeurs
dans une main de cinq cartes données au hasard ?
2. Quelle est la probabilité pour qu'un joueur, recevant huit cartes prises au
hasard dans un jeu de 32 cartes, obtienne au moins un valet ?
Exercice 3.
Le bureau d'un organisme comprend : trois secrétaires, cinq trésoriers, deux
présidents. On constitue une commission de trois membres pris au hasard dans ce
bureau.
1. Quelle est la probabilité que cette commission comprenne un président, un
trésorier et un secrétaire ?
2. Quelle est la probabilité que cette commission comprenne trois trésoriers ?
Exercice 4.
On jette une pièce de monnaie en l'air cinq fois de suite et l'on note chaque fois
quelle est la face apparente après sa chute.
Quelle est la probabilité d'obtenir ainsi exactement deux fois pile ?
Exercice 5.
1
On utilise un dé triqué pour lequel la probabilité d'obtenir un nombre pair comme
résultat du lancer du dé est les trois quarts de celle d'obtenir un nombre impair.
Chaque numéro pair ayant la même probabilité de sortie et chaque numéro impair
ayant même probabilité de sortie, quelle est :
1. la probabilité de l'événement
obtenir l'as ou le six ?
2. la probabilité de l'événement
sortir le quatre ?
On joue deux fois de suite, quelle est la probabilité d'obtenir des nombres dont la
somme vaut 5 ?
Exercice 6.
Un entreprise fabrique des appareils électroniques. La probabilité pour qu'un
9
10
appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est
1. On note
F
l'événement l'appareil fonctionne parfaitement et
contraire de
F̄
l'événement
F.
Calculer la probabilité de l'événement
F̄ .
2. On fait subir à chaque appareil un test avant sa livraison.
On constate que :
•
quand un appareil est en parfait état de fonctionnement il est toujours
accepté à l'issue du test ;
•
quand un appareil n'est pas en parfait état de fonctionnement il peut
1
être accepté, avec une probabilité de
.
11
On note
T
l'événement l'appareil est accepté à l'issue du test (a) Montrer que
p(T ∩ F ) =
9
10
(b) En déduire la probabilité de
et
p(T ∩ F̄ ) =
T.
Calculer
1
110
p(F/T ).
Exercice 7.
Un maître et son élève tirent à l'arc sur une cible. La probabilité pour que l'arc
aille à l'élève est
0.8 ;
dans ce cas, la probabilité que la èche aille au but est
Par contre, si la èche est tirée par le maître, la probabilité de succès est
0.5.
0.7.
Une èche part au but ; quelle est la probabilité qu'elle ait été tirée par le maître ?
Exercice 8.
On considère
n
boules dont
k
n
urnes numérotées de
blanches et
(n − k)
1
à
n (n ∈ N∗ ).
L'urne numéro
k
contient
noires. On choisit au hasard une urne puis une
boule de cette urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche ?
Exercice 9.
n urnes U1 , U2 , ..., Un (n ∈ N∗ ).
(n − k) noires.
On considère
k
blanches et
L'urne
Uk
contient
n
boules dont
1. On choisit au hasard une urne puis on tire successivement et avec remise deux
boules de cette urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules blanches ?
2
2. Même question qu'au 1) en considérant cette fois-ci que le tirage des deux
boules se fait sans remise.
Exercice 10.
Ω est un univers sur lequel est dénie une
A et B sont des événements tels que :
p(A) = 0.8; p(B) = 0.3; p(A ∪ B) = 0.86
1. Calculer
2.
A
et
3. Soit
B
C
probabilité
p.
p(A/B).
sont-ils indépendants ?
un événement tel que :
Calculer
p(B ∩ C/A) = 0.2
p(C ∪ Ā ∪ B̄).
Exercice 11.
Dans un lot de pièces, il y a
5% de pièces défectueuses. On contrôle les pièces mais
96% des bonnes pièces sont acceptées et
le mécanisme de contrôle n'est pas parfait :
98%
des mauvaises sont refusées.
On choisit au hasard une pièce.
Calculer les probabilités que :
1. la pièce est refusée ;
2. La pièce soit bonne sachant qu'elle est refusée ;
3. La pièce soit mauvaise sachant qu'elle est acceptée.
Exercice 12.
Rachid possède un jeu électronique. Une partie est un duel entre Rachid et un
monstre choisi parmi deux au hasard par la machine.
A
On pose :
” Rachid
M2 ”
l'événement
Rachid combat le monstre
combat le monstre
M1 ”
et
B
l'événement
”
Les deux monstres sont de forces inégales.
1
et
la probabilité qu'il gagne la partie est
3
1
s'il combat M2 , la probabilité qu'il gagne la partie est .
4
On admet que si Rachid combat
M1 ,
1. Rachid joue une partie. Quelle est la probabilité qu'il gagne ?
2. Sachant qu'il l'a gagnée, quelle est la probabilité qu'il ait combattu
M1 ?
Exercice 13.
On donne
p(A) = 38 , p(B) = 85 , p(A ∪ B) =
1. Calculer
p(A/B)
2. Les événements
A
et
et
3
4
p(B/A).
B
sont-ils indépendants ?
Exercice 14.
Une urne
U1
contient 21 boules blanches et 9 boules noires. Une urne
U2
contient
9 boules blanches et 1 noire.
On choisit au hasard une urne, et on tire une boule. Quelle est la probabilité de :
1. tirer une boule blanche ?
3
2. tirer une boule de
U1
sachant que l'on a tiré une boule blanche ?
Exercice 15.
On utilise un test médical pour déceler l'existence d'une maladie chez l'individu.
Ce test n'est pas parfait et il donne une réaction positive dans
l'individu est malade, et
5%
95%
des cas lorsque
s'il ne l'est pas.
Ce test est utilisé dans une région où l'on sait que la proportion des gens atteints
3
.
5
Calculer la probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test a réagi
par la maladie est
positivement.
Exercice 16.
On jette une paire de dés bien équilibrés.
1. Calculer la probabilté pour que le plus grand des deux nombres apparaissant
sur les faces supérieures soit strictement plus grand que 4.
2. Calculer la probabilité pour que le plus grand des deux nombres apparaissant sur les faces supérieures soit strictement plus grand que 4 sachant que le
premier dé a donné 5.
Exercice 17.
Dans une urne, on met
(n + 5) boules
blanches,
(n + 3) boules
noires et 6 boules
rouges.
Un joueur tire une boule ; tous les tirages sont équiprobables. S'il tire une boule
blanche, il a gagné ; s'il tire une boule noire, il a perdu ; s'il tire une boule rouge, il
la remet dans l'urne et eectue un nouveau tirage ; s'il tire une boule blanche, il a
gané, sinon il a perdu.
1. Montrer que la probabilité
2. Montrer que
pn >
pn
pour que ce joueur gagne est
1 (n+5)(n+10)
.
2
(n+7)2
1
2
Exercice 18.
Soient
A
et
B
deux événements d'un univers
Ω (B 6= Ω).
1. Montrer que :
p(A/B̄ ) =
p(A) − p(A/B ).p(B)
1 − p(B)
2. Lors d'une récente saison de chasse, on a pu établir les statistiques suivantes :
• 30% des renards sont enragés ;
• parmi les renards abattus, 40%
(a) On désignant par
b(b 6= 1)
étaient enragés.
la probabilité pour qu'un renard soit abattu
lors de la saison de la chasse, calculer en fonction de
b
la probabilité
p
pour qu'un renard survivant soit enragé.
(b) Quelle est la plus petite valeur de
à
b
pour laquelle
0.1 ?
• • • • • • • • ••
4
p
est inférieur ou égale