Université de Bourgogne Licence de Mathématiques Département

Universit´e de Bourgogne Licence de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques Compl´ements d’analyse
Chapitre 4: S´eries de Fourier
0. Petits compl´ements d’int´egration
On appelle subdivision d’un segment [α, β] toute suite strictement croissante finie x=
(α=x0< x1<··· < xn=β).
Soit fune fonction born´ee sur un segment [α, β]. On appelle somme de Darboux
inf´erieure (resp. sup´erieure) de fassoci´ee `a la subdivision xle nombre:
s(f, x) =
n
X
i=1
(xi−xi−1) inf
t∈[xi−1,xi]f(t),(resp. S(f, x) =
n
X
i=1
(xi−xi−1) sup
t∈[xi−1,xi]
f(t)).
On dit que fest int´egrable (au sens de Riemann) sur [α, β] si:
sup s(f, x),xune subdivision= inf S(f, x),xune subdivision.
Cette borne commmune est not´ee Rβ
αf(t)dt.
On rappelle que l’ensemble des fonctions int´egrables, not´e R([a, b]), est un espace vectoriel
et mˆeme une alg`ebre:
Si fet gsont int´egrables, alors f+g,λf et f g le sont aussi. On a mˆeme la propri´et´e
suivante: si fest int´egrable et f([α, β]) ⊂[m, M ], si ϕest continue de [m, M ] dans R, alors
ϕ◦fest int´egrable. On en d´eduit que |f|est int´egrable.
L’int´egrale est une forme croissante: si fet gsont deux fonctions int´egrables,
f(x)≤g(x)∀x=⇒Zβ
α
f(t)dt ≤Zβ
α
g(t)dt.
Soit fune fonction complexe de la variable r´eelle (c’est `a dire une fonction de Rvers C),
on peut ´ecrire pour tout xpour lequel f(x) est d´efini
f(x) = Re [f(x)] + iIm [f(x)] = a(x) + ib(x).
On dira que la fonction complexe est continue, born´ee, d´erivable, int´egrable (au sens de
Riemann) si les deux fonctions r´eelles aet ble sont. On posera aussi, si fest d´erivable
(resp. int´egrable):
f0(x) = a0(x) + ib0(x),(resp. Zβ
α
f(x)dx =Zβ
α
a(x)dx +iZβ
α
b(x)dx).
1

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Si fest d´erivable sur [α, β] et f0int´egrable, on a:
f(β)−f(α) = a(β)−a(α) + i(b(β)−b(α)) = Zβ
α
a0(x)dx +iZβ
α
b0(x)dx =Zβ
α
f0(x)dx.
L’application f7→ Rβ
αf(x)dx est alors une forme C-lin´eaire sur l’espace vectoriel com-
plexe des fonctions Riemann int´egrables sur [α, β]. La formule de Chasles est encore vraie,
de plus si fest int´egrable (donc born´ee) sur [α, β], |f|l’est aussi et on a:
Zβ
α
f(x)dx≤Zβ
α|f(x)|dx.
En effet, si θest l’argument de Rβ
αf(x)dx :
Zβ
α
f(x)dx =eiθ Zβ
α
f(x)dx ,
on peut ´ecrire e−iθf(x) = a(x) + ib(x) et:
Zβ
α
f(x)dx =Zβ
α
a(x)dx +iZβ
α
b(x)dx =Zβ
α
a(x)dx
puisque cette quantit´e est r´eelle. Donc:
Zβ
α
f(x)dx≤Zβ
α|a(x)|dx ≤Zβ αe−iθf(x)dx =Zβ α|f(x)|dx.
Parmi les fonctions int´egrables, il y a les fonctions continues on note C([a, b]) l’espace
vectoriel de ces fonctions.
Un peu plus g´en´eralement, il y a les fonctions continues par morceaux. Une fonction
fest dite continue par morceaux s’il existe des nombres a=a0<··· < ap=btels que
chaque restriction de f`a l’intervalle ]aj−1, aj[ soit prolongeable en une fonction continue
sur le segment [aj−1, aj] (ceci revient `a dire qu’en chaque point aj(j < p), il y a une limite
`a droite f(a+
j) = limt>aj,t→ajf(t) et en chaque point aj(j > 0), il y a une limite `a gauche
f(a−
j) = limt<aj,t→ajf(t)). Alors fest int´egrable sur [a, b]:
Zb
a
f(t)dt =
p
X
j=1 Zaj
aj−1
f(t)dt.
Mais cette quantit´e ne d´epend pas des valeurs de faux points aj. Notons CM([a, b]) l’espace
vectoriel des fonctions continues par morceaux sur [a, b]. On a
C([a, b]) ⊂ CM([a, b]) ⊂ R([a, b]).
On a vu que l’application f7→ kfk∞= supx∈[a,b]|f(x)|est une norme sur ces espaces.
On a aussi vu que la formule
kfk2
2=Zb
a|f(t)|2dt
d´efinit une norme sur C([a, b]). Ce n’est cependant pas une norme sur CM([a, b]) ni sur
R([a, b]) puisque par exemple une fonction fnulle sauf en un nombre fini de points aj
v´erifie f6= 0 et kfk2= 0.

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Cependant, si fest une fonction r´eelle de R([a, b]), si ε > 0, il existe une subdivision x
telle que:
0≤S(g, x)−s(g, x)≤ε.
Si on consid`ere la fonction g, continue affine par morceaux et telle que g(xi) = f(xi) pour
tout i, on a sur [xi−1, xi], mi(f) = inf{f(t), t ∈[xi−1, xi]} ≤ g(t)≤Mi(f) = inf{f(t), t ∈
[xi−1, xi]}. Donc:
|f(t)−g(t)| ≤ (Mi(f)−mi(f)) ∀t∈[xi−1, xi].
On a aussi |g(x)| ≤ supt∈[a,b]|f(t)|=kfk∞, donc
|f(t)−g(t)|2≤2kfk∞(Mi(f)−mi(f))
ou
kf−gk2
2=Zb
a|f(t)−g(t)|2dt = 2kfk∞
p
X
i=1
(Mi(f)−mi(f))(xi−xi−1)≤2kfk∞ε.
Si fest une fonction int´egrable complexe, en prenant sa partie r´eelle et sa partie imag-
inaire pure, on voit que (bien que k k2ne soit pas une norme), pour tout ε > 0, il existe
une fonction complexe continue gtelle que:
kf−gk2≤ε.
1. Polynˆomes trigonom´etriques
D´efinition (Polynˆomes trigonom´etriques)
On appelle polynˆome trigonom´etrique toute fonction complexe de la variable r´eelle Pde
la forme:
P(x) =
N
X
n=−N
cneinx.
Pest donc une fonction d´efinie sur tout R, continue et p´eriodique de p´eriode 2π. On
peut aussi la voir comme une fonction d´efinie sur le cercle unit´e Tdu plan complexe. En
effet ce cercle est l’ensemble des zde Cde module 1, on les ´ecrit z=eix et on peut identifier
la fonction P`a la fonction ϕde Tvers Cd´efinie par:
ϕ(z) =
N
X
n=−N
cnzn(∀z∈T) ou ϕ(eix) =
N
X
n=−N
cneinx.
C’est de cette identification que vient le nom de ces fonctions.
Sous cette forme, il est clair que l’ensemble P(T) des polynˆomes trigonom´etriques est
une alg`ebre de fonctions continues, stable sous l’op´eration de conjugaison et qui s´epare
les points du cercle T. Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass nous dit donc que cette alg`ebre
est dense dans l’espace C(T) des fonctions continues sur Tmuni de la norme k k∞de la
convergence uniforme: ceci veut dire que pour toute fonction continue et 2π-p´eriodique f, il
existe une suite (Pk) de polynˆomes trigonom´etriques telle que (Pk) converge uniform´ement
sur tout Rvers f.

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D’autre part, on peut aussi ´ecrire:
P(x) = c0+
N
X
n=1
cn(cos(nx) + isin(nx)) +
N
X
n=1
c−n(cos(−nx) + isin(−nx))
=c0+
N
X
n=1
((cn+c−n) cos(nx) + i(cn−c−n) sin(nx))
=a0
2+
N
X
n=1
(ancos(nx) + bnsin(nx)) .
si on pose an=cn+c−net bn=i(cn−c−n) pour tout n= 0,1,2, .... Les coefficients an
et bnseront d’ailleurs r´eels si et seulement si pour tout n,c−n=cn.
On a vu que C(T) est un espace pr´ehilbertien, muni du produit scalaire:
hf, gi=1
2πZπ
−π
f(t)g(t)dt.
On v´erifie facilement que les fonctions ek(x) = eikx (k∈Z) forment un syst`eme orthonorm´e
dans cet espace. De mˆeme, la suite de fonctions (1,√2 sin(x),√2 cos(x), . . . , √2 sin(nx),√2 cos(nx), . . . )
forme aussi un syst`eme orthonorm´e.
Les nombres cksont donc les coefficients de Fourier de P:
ck=hek, P i=1
2πZ2π
0
P(t)e−ikt dt.
De mˆeme, on a, pour tout n= 0,1,2, . . . ,
an=cn+c−n=1
2πZ2π
0
P(t)e−int +eintdt =1
πZ2π
0
P(t) cos(nt)dt.
De mˆeme, pour tout n= 1,2, . . . ,
bn=i(cn−c−n) = i
2πZ2π
0
P(t)e−int −eintdt =1
πZ2π
0
P(t) sin(nt)dt.
En particulier, on voit que la fonction Pest r´eelle si et seulement si les anet les bnsont
tous r´eels, si et seulement si c−nest conjugu´e `a cnpour tout n.
2. S´eries de Fourier
D´efinition (S´erie de Fourier)
On appelle s´erie de Fourier toute s´erie de fonctions de la forme:
∞
X
k=−∞
ckeikx ou a0
2+
∞
X
n=1
(ancos(nx) + bnsin(nx)) .
On dit que la premi`ere s´erie converge si la suite de ses sommes partielles
sN(x) =
N
X
k=−N
ckeikx

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converge.
Dans ce chapitre, on consid`ere l’espace R(T) des fonctions f2π-p´eriodiques sur Ret
int´egrables sur une p´eriode. On sait que, pour tout ade R,
Za+2π
a
f(t)dt =Zπ
−π
f(t)dt.
En posant:
hf, gi=1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt,
on d´efinit presqu’un produit scalaire sur l’espace vectoriel R(T). En effet, la seule condition
qui manque est la stricte positivit´e puisqu’on peut avoir hf, f i= 0 sans que fsoit nulle.
On a cependant toujours Pythagore sous la forme: si hf, gi= 0, alors hf+g, f +gi=
hf, fi+hg, giet donc
hf, fi ≤ hf+g, f +gi.
Si fest une fonction 2π-p´eriodique, int´egrable sur une p´eriode, on appelle coefficient de
Fourier de fles nombres complexes:
ck(f) = hek, fi=1
2πZ2π
0
f(t)e−ikt dt,
ou, si fest r´eelle les nombres r´eels:
an(f) = 1
πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt (n∈N), bn(f) = 1
πZ2π
0
f(t) sin(nt)dt (n∈N∗).
On v´erifie directement que si fest paire, les coefficients bn(f) sont tous nuls et que si fest
impaire, les an(f) sont tous nuls.
Si fest dans R(T), les fonctions g=P|k|≤Nck(f)eket f−gv´erifient hg, f −gi= 0,
donc:
hg, gi=X
|k|≤N|ck(f)|2≤ h(f−g) + g, (f−g) + gi=1
2πZπ
−π|f(t)|2dt.
On en d´eduit l’in´egalit´e de Bessel: pour toute fonction fde R(T),
X
k∈Z|ck(f)|2≤1
2πZ2π
0|f(t)|2dt.
Et le
Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit fune fonction 2π-p´eriodique et int´egrable sur une p´eriode: f∈ R(T), alors
lim
|k|→∞ ck(f) = lim
n→∞ an(f) = lim n→∞ bn(f) = 0.
On appelle s´erie de Fourier de fla s´erie:
X
k
ck(f)eikx,resp. a0(f)
2+X
n
(an(f) cos(nx) + bn(f) sin(nx)).