Université de Bourgogne Licence de Mathématiques Département

Université de Bourgogne
Licence de Mathématiques
Département de Mathématiques
Compléments d’analyse
Chapitre 4: Séries de Fourier
0. Petits compléments d’intégration
On appelle subdivision d’un segment [α, β] toute suite strictement croissante finie x =
(α = x0 < x1 < · · · < xn = β).
Soit f une fonction bornée sur un segment [α, β]. On appelle somme de Darboux
inférieure (resp. supérieure) de f associée à la subdivision x le nombre:
s(f, x) =
n
X
i=1
(xi − xi−1 )
inf
f (t),
(resp. S(f, x) =
t∈[xi−1 ,xi ]
n
X
(xi − xi−1 )
sup
f (t)).
t∈[xi−1 ,xi ]
i=1
On dit que f est intégrable (au sens de Riemann) sur [α, β] si:
sup s(f, x), x une subdivision = inf S(f, x), x une subdivision .
Rβ
Cette borne commmune est notée α f (t) dt.
On rappelle que l’ensemble des fonctions intégrables, noté R([a, b]), est un espace vectoriel
et même une algèbre:
Si f et g sont intégrables, alors f + g, λf et f g le sont aussi. On a même la propriété
suivante: si f est intégrable et f ([α, β]) ⊂ [m, M ], si ϕ est continue de [m, M ] dans R, alors
ϕ ◦ f est intégrable. On en déduit que |f | est intégrable.
L’intégrale est une forme croissante: si f et g sont deux fonctions intégrables,
Z β
Z β
f (x) ≤ g(x) ∀x =⇒
f (t) dt ≤
g(t) dt.
α
α
Soit f une fonction complexe de la variable réelle (c’est à dire une fonction de R vers C),
on peut écrire pour tout x pour lequel f (x) est défini
f (x) = Re [f (x)] + iIm [f (x)] = a(x) + ib(x).
On dira que la fonction complexe est continue, bornée, dérivable, intégrable (au sens de
Riemann) si les deux fonctions réelles a et b le sont. On posera aussi, si f est dérivable
(resp. intégrable):
Z β
Z β
Z β
f 0 (x) = a0 (x) + ib0 (x), (resp.
f (x) dx =
a(x) dx + i
b(x) dx).
α
α
1
α
2
Si f est dérivable sur [α, β] et f 0 intégrable, on a:
Z
Z β
0
a (x) dx + i
f (β) − f (α) = a(β) − a(α) + i(b(β) − b(α)) =
β
Z
0
f 0 (x) dx.
α
α
α
β
b (x) dx =
Rβ
L’application f 7→ α f (x) dx est alors une forme C-linéaire sur l’espace vectoriel complexe des fonctions Riemann intégrables sur [α, β]. La formule de Chasles est encore vraie,
de plus si f est intégrable (donc bornée) sur [α, β], |f | l’est aussi et on a:
Z β
Z β
|f (x)| dx.
f (x) dx ≤
α
α
En effet, si θ est l’argument de
Z
Rβ
α
β
β
Z
f (x) dx = e iθ
α
on peut écrire
f (x) dx :
α
f (x) dx ,
e−iθ f (x)
Z
β
α
= a(x) + ib(x) et:
Z β
Z
f (x) dx =
a(x) dx + i
α
Z
α
β
α
β
b(x) dx =
α
puisque cette quantité est réelle. Donc:
Z β
Z β
Z
f (x) dx ≤
|a(x)| dx ≤
α
β
a(x) dx
α
Z
−iθ
e f (x) dx =
β
|f (x)| dx.
α
Parmi les fonctions intégrables, il y a les fonctions continues on note C([a, b]) l’espace
vectoriel de ces fonctions.
Un peu plus généralement, il y a les fonctions continues par morceaux. Une fonction
f est dite continue par morceaux s’il existe des nombres a = a0 < · · · < ap = b tels que
chaque restriction de f à l’intervalle ]aj−1 , aj [ soit prolongeable en une fonction continue
sur le segment [aj−1 , aj ] (ceci revient à dire qu’en chaque point aj (j < p), il y a une limite
à droite f (a+
j ) = limt>aj ,t→aj f (t) et en chaque point aj (j > 0), il y a une limite à gauche
−
f (aj ) = limt<aj ,t→aj f (t)). Alors f est intégrable sur [a, b]:
Z b
p Z aj
X
f (t) dt =
f (t) dt.
a
j=1
aj−1
Mais cette quantité ne dépend pas des valeurs de f aux points aj . Notons CM ([a, b]) l’espace
vectoriel des fonctions continues par morceaux sur [a, b]. On a
C([a, b]) ⊂ CM ([a, b]) ⊂ R([a, b]).
On a vu que l’application f 7→ kf k∞ = supx∈[a,b] |f (x)| est une norme sur ces espaces.
On a aussi vu que la formule
Z b
2
kf k2 =
|f (t)|2 dt
a
définit une norme sur C([a, b]). Ce n’est cependant pas une norme sur CM ([a, b]) ni sur
R([a, b]) puisque par exemple une fonction f nulle sauf en un nombre fini de points aj
vérifie f 6= 0 et kf k2 = 0.
3
Cependant, si f est une fonction réelle de R([a, b]), si ε > 0, il existe une subdivision x
telle que:
0 ≤ S(g, x) − s(g, x) ≤ ε.
Si on considère la fonction g, continue affine par morceaux et telle que g(xi ) = f (xi ) pour
tout i, on a sur [xi−1 , xi ], mi (f ) = inf{f (t), t ∈ [xi−1 , xi ]} ≤ g(t) ≤ Mi (f ) = inf{f (t), t ∈
[xi−1 , xi ]}. Donc:
|f (t) − g(t)| ≤ (Mi (f ) − mi (f ))
∀t ∈ [xi−1 , xi ].
On a aussi |g(x)| ≤ supt∈[a,b] |f (t)| = kf k∞ , donc
|f (t) − g(t)|2 ≤ 2kf k∞ (Mi (f ) − mi (f ))
ou
kf −
gk22
Z
=
b
|f (t) − g(t)|2 dt = 2kf k∞
a
p
X
(Mi (f ) − mi (f ))(xi − xi−1 ) ≤ 2kf k∞ ε.
i=1
Si f est une fonction intégrable complexe, en prenant sa partie réelle et sa partie imaginaire pure, on voit que (bien que k k2 ne soit pas une norme), pour tout ε > 0, il existe
une fonction complexe continue g telle que:
kf − gk2 ≤ ε.
1. Polynômes trigonométriques
Définition (Polynômes trigonométriques)
On appelle polynôme trigonométrique toute fonction complexe de la variable réelle P de
la forme:
N
X
P (x) =
cn einx .
n=−N
P est donc une fonction définie sur tout R, continue et périodique de période 2π. On
peut aussi la voir comme une fonction définie sur le cercle unité T du plan complexe. En
effet ce cercle est l’ensemble des z de C de module 1, on les écrit z = eix et on peut identifier
la fonction P à la fonction ϕ de T vers C définie par:
ϕ(z) =
N
X
n=−N
cn z n
(∀z ∈ T)
ou ϕ(eix ) =
N
X
cn einx .
n=−N
C’est de cette identification que vient le nom de ces fonctions.
Sous cette forme, il est clair que l’ensemble P(T) des polynômes trigonométriques est
une algèbre de fonctions continues, stable sous l’opération de conjugaison et qui sépare
les points du cercle T. Le théorème de Stone-Weierstrass nous dit donc que cette algèbre
est dense dans l’espace C(T) des fonctions continues sur T muni de la norme k k∞ de la
convergence uniforme: ceci veut dire que pour toute fonction continue et 2π-périodique f , il
existe une suite (Pk ) de polynômes trigonométriques telle que (Pk ) converge uniformément
sur tout R vers f .
4
D’autre part, on peut aussi écrire:
P (x) = c0 +
= c0 +
=
N
X
n=1
N
X
cn (cos(nx) + i sin(nx)) +
c−n (cos(−nx) + i sin(−nx))
n=1
((cn + c−n ) cos(nx) + i(cn − c−n ) sin(nx))
n=1
N
X
a0
+
2
N
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)) .
n=1
si on pose an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n ) pour tout n = 0, 1, 2, .... Les coefficients an
et bn seront d’ailleurs réels si et seulement si pour tout n, c−n = cn .
On a vu que C(T) est un espace préhilbertien, muni du produit scalaire:
Z π
1
f (t)g(t) dt.
hf, gi =
2π −π
On vérifie facilement que les fonctions ek (x) = eikx√(k ∈ Z) forment
un système
√
√ orthonormé
√
dans cet espace. De même, la suite de fonctions (1, 2 sin(x), 2 cos(x), . . . , 2 sin(nx), 2 cos(nx), . . . )
forme aussi un système orthonormé.
Les nombres ck sont donc les coefficients de Fourier de P :
Z 2π
1
ck = hek , P i =
P (t)e−ikt dt.
2π 0
De même, on a, pour tout n = 0, 1, 2, . . . ,
Z 2π
Z
1 2π
1
P (t) e−int + eint dt =
P (t) cos(nt) dt.
an = cn + c−n =
2π 0
π 0
De même, pour tout n = 1, 2, . . . ,
Z 2π
Z
1 2π
i
−int
int
P (t) e
−e
dt =
P (t) sin(nt) dt.
bn = i(cn − c−n ) =
2π 0
π 0
En particulier, on voit que la fonction P est réelle si et seulement si les an et les bn sont
tous réels, si et seulement si c−n est conjugué à cn pour tout n.
2. Séries de Fourier
Définition (Série de Fourier)
On appelle série de Fourier toute série de fonctions de la forme:
∞
X
k=−∞
∞
ck eikx
ou
a0 X
+
(an cos(nx) + bn sin(nx)) .
2
n=1
On dit que la première série converge si la suite de ses sommes partielles
sN (x) =
N
X
k=−N
ck eikx
5
converge.
Dans ce chapitre, on considère l’espace R(T) des fonctions f 2π-périodiques sur R et
intégrables sur une période. On sait que, pour tout a de R,
Z a+2π
Z π
f (t) dt =
f (t) dt.
−π
a
En posant:
Z 2π
1
f (t)g(t) dt,
2π 0
on définit presqu’un produit scalaire sur l’espace vectoriel R(T). En effet, la seule condition
qui manque est la stricte positivité puisqu’on peut avoir hf, f i = 0 sans que f soit nulle.
On a cependant toujours Pythagore sous la forme: si hf, gi = 0, alors hf + g, f + gi =
hf, f i + hg, gi et donc
hf, f i ≤ hf + g, f + gi.
Si f est une fonction 2π-périodique, intégrable sur une période, on appelle coefficient de
Fourier de f les nombres complexes:
Z 2π
1
f (t)e−ikt dt,
ck (f ) = hek , f i =
2π 0
hf, gi =
ou, si f est réelle les nombres réels:
Z
1 2π
an (f ) =
f (t) cos(nt) dt (n ∈ N),
π 0
1
bn (f ) =
π
Z
2π
f (t) sin(nt) dt (n ∈ N∗ ).
0
On vérifie directement que si f est paire, les coefficients bn (f ) sont tous nuls et que si f est
impaire, les an (f ) sont tous nuls.
P
Si f est dans R(T), les fonctions g = |k|≤N ck (f )ek et f − g vérifient hg, f − gi = 0,
donc:
Z π
X
1
|f (t)|2 dt.
hg, gi =
|ck (f )|2 ≤ h(f − g) + g, (f − g) + gi =
2π −π
|k|≤N
On en déduit l’inégalité de Bessel: pour toute fonction f de R(T),
Z 2π
X
1
2
|ck (f )| ≤
|f (t)|2 dt.
2π 0
k∈Z
Et le
Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit f une fonction 2π-périodique et intégrable sur une période: f ∈ R(T), alors
lim ck (f ) = lim an (f ) = lim bn (f ) = 0.
|k|→∞
n→∞
n→∞
On appelle série de Fourier de f la série:
X
a0 (f ) X
ck (f )eikx ,
resp.
+
(an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)) .
2
n
k
6
On note sN (f )(x) la somme partielle de cette série:
sN (f )(x) =
N
X
N
ck (f )eikx =
a0 (f ) X
(an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)).
+
2
n=1
k=−N
Grâce au lemme de Riemann-Lebesgue, on voit que le terme général de la série de Fourier
de f ∈ R(T) tend vers 0. Ceci ne veut malheureusement pas dire que cette sŕie converge
ni que, si elle converge, sa somme est f (x).
On a vu que k k2 n’était pas une norme sur R(T). On dit cependant qu’une suite (fn )
de fonctions de R(T) converge vers une fonction f de R(T) en moyenne quadratique si:
lim kfn − f k2 = 0.
n→∞
Lorsque les fonctions fn et f sont continues, puisque k k2 est une vraie norme sur C(T),
cette notion est celle de la convergence pour une norme.
Sur C(T), on a bien sûr:
Z 2π
1
kf k2∞ dt = kf k∞ .
kf k22 ≤
2π 0
Ce qui veut dire que l’identité de (C(T), k k∞ ) dans (C(T), k k2 ) est une application linéaire
continue. En particulier toute suite de fonctions continues 2π-périodiques qui converge
uniformément sur [0, 2π] converge aussi pour la norme k k2 .
Mais la réciproque n’est pas vraie ! Par exemple, la suite de fonctions 2π-périodiques et
telles que

1


nx si x ∈ 0,


n




1 2
fn (x) = (2 − nx) si x ∈
,

n n




2


 0 si x ∈
, 2π
n
converge vers 0 pour k k2 mais pas pour k k∞ .
Revenons à l’espace R(T) des fonctions intégrables 2π-périodiques.
Théorème (Convergence en moyenne quadratique)
Pour toute fonction f intégrable, 2π-périodique, la série de Fourier de f converge vers f
en moyenne quadratique:
lim kf − sN (f )k2 = 0.
N →∞
On a l’égalité de Parseval: pour toute fonction f intégrable, 2π-périodique, on a:
Z 2π
∞
∞
X
1
a0 (f )2 X an (f )2 + bn (f )2
kf k2 =
+
.
|f (t|2 dt =
|ck (f )|2 =
2π 0
4
2
k=−∞
n=1
Preuve
Soit ε > 0. On a vu que pour toute fonction f de R(T), il existe g continue, 2π périodique
telle que kf − gk2 < ε. En invoquant Stone-Weierstrass (ou Fejér, voir plus bas) on voit que
7
pour ce ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique P de degré N tel que kg − P k∞ < ε.
Donc:
kf − P k2 ≤ 2kf − P k∞ < ε.
Mais on sait que, f − sN (f ) est orthogonal à toutes les fonctions ek , |k| ≤ N , donc à
sN (f ) − P . Donc:
kf − sN (f )k2 ≤ kf − sN (f ) + sN (f ) − P k2 = kf − P k2 < 2ε.
Ceci veut dire que la suite (sN (f ))N tend vers f en moyenne quadratique.
On a vu qu’alors l’inégalité de Bessel devenait l’égalité de Parseval: pour tout N , on a
X
|ck |2 .
kf k2 = kf − sN (f )k22 +
|k|≤N
Donc à la limite:
2π
Z
1
kf k =
2π
2
2
|f (t| dt =
0
∞
X
|ck (f )|2 .
k=−∞
Enfin, si f est réelle, puisque c−n (f ) = cn (f ), on a:
a0 (f )2 = (2c0 (f ))2 = 4c0 (f )2
2
2
an (f )2 = cn (f ) + cn (f ) = cn (f )2 + cn (f ) + 2|cn (f )|2
2
2
bn (f )2 = i(cn (f ) − cn (f )) = −cn (f )2 − cn (f ) + 2|cn (f )|2 .
On en déduit la relation:
kf k22 = c0 (f )2 + 2
∞
X
∞
|cn (f )|2 =
a0 (f )2 X an (f )2 + bn (f )2
+
.
4
2
n=1
n=1
Malheureusement, ce théorème ne dit PAS que la série de Fourier de la fonction f converge
vers f pour la norme k k∞ , même si f est continue. Il n’est même pas vrai que cette série
converge simplement.
3. Le noyau de Dirichlet
Introduisons maintenant le noyau de Dirichlet, c’est la fonction DN définie par:
DN (x) =
N
X
eikx .
k=−N
Si x n’est pas de la forme 2kπ, on a:
ix
DN (x) =
ei(N +1)x
e−iN x
−
ix
e −1
e2
=
1
1
ei(N + 2 )x − e−i(N + 2 )x
x
x
x
ei 2 ei 2 − e−i 2
sin (N + 12 )x
=
.
sin x2
Et, bien sûr, DN (2kπ) = 2N + 1. On a aussi:
Z 2π
Z 2π X
N
1
1
DN (x)dx =
eikx dx = 1.
2π 0
2π 0
k=−N
8
D’autre part, on a aussi:
sN (f )(x) =
N
X
ck (f )eikx
k=−N
=
N
X
k=−N
=
=
1
2π
Z
1
2π
Z
π
1
2π
Z
π
N
X
f (t)e−ikt dt eikx
−π
eik(x−t) f (t) dt
−π k=−N
π
f (t)DN (x − t) dt.
−π
En posant u = x − t, on en déduit:
Z x−π
Z π
1
1
sN (f )(x) =
f (x − u)DN (u)(−du) =
f (x − t)DN (t) dt.
2π x+π
2π −π
4. Application à la convergence des séries de Fourier: théorème de Lejeune-Dirichlet
Il y a deux moyens pour faire converger la série de Fourier d’une fonction f . Le premier,
présenté ici, est d’imposer à f d’être très régulière.
Théorème de Lejeune-Dirichlet (Convergence en un point d’une série de Fourier)
Soit x un nombre réel. Supposons qu’il existe α > 0 et M tels que:
∀t ∈] − α, α[,
|f (x + t) − f (x)| ≤ M |t|.
Alors:
lim sN (f )(x) = f (x).
N →∞
Preuve
Posons:
g(0) = 0
et ∀t, 0 < |t| ≤ π, g(t) =
f (x − t) − f (x)
.
sin( 2t )
On peut alors écrire:
sN (f )(x) − f (x) =
=
=
=
Z π
Z π
1
1
f (x − t)DN (t) dt −
f (x)DN (t) dt
2π −π
2π −π
Z π
1
(f (x − t) − f (t)) DN (t) dt
2π −π
Z π
1
1
g(t) sin (N + )t dt
2π −π
2
Z π
Z π
1
1
t
t
g(t) cos( ) sin(N t) dt +
g(t) sin( )cos(N t) dt.
2π −π
2
2π −π
2
9
Maintenant, il est facile de voir que | sin( 2t )| ≥ π2 2t pour tout t tel que |t| ≤ π. Donc on
a les estimations:
|f (x − t) − f (t)
πM |t|
|g(t)| ≤
≤
= πM.
|t|
|t|
π
La fonction g est donc bornée, soit ε > 0 on regarde les subdivisions x de [−π, π] telles qu’il
existe i0 tel que xi0 −1 = x − ε, xi0 = x + ε. Alors (Mi0 (g) − mi0 (g))(xi0 − xi0 −1 ) ≤ 4πM ε.
Comme g est intégrable sur [−π, x − ε] et [x + ε, π], on peut choisir la subdivision x telle
que:
p
X
(Mi (g) − mi (g))(xi − xi−1 ) ≤ 4πM ε + 2ε.
i=1
Donc g est intégrable sur [−π, π]. Les fonctions φ(t) = g(t) sin( 2t ) et ψ(t) = g(t) cos( 2t ) sont
aussi intégrables et donc:
Z π
Z π
t
t
1
1
g(t) cos( ) sin(N t) dt et aN (ψ) =
g(t) sin( ) cos(N t) dt
bN (φ) =
2π −π
2
2π −π
2
tendent vers 0 lorsque N tend vers l’infini. Donc sN (f )(x) tend vers f (x).
Si la fonction intégrable f s’annule sur ]α, β[⊂ [−π, π], alors la suite sN (f ) tend vers 0
sur ]α, β[. (La série de Fourier de f converge vers 0 sur tout l’intervalle ]α, β[).
Si on considére deux fonctions intégrables f et g qui coı̈ncident sur ]α, β[ et sont tres
differentes à l’extérieur de cet intervalle, les sommes de leurs séries de Fourier respectives
vont coı̈ncider sur ]α, β[ mais différer ailleurs. Les séries de Fourier ont donc un comportement très différent de celui des séies entières puisque nous verrons que deux séries entières
dont les sommes coı̈ncident sur un intervalle de longueur positive sont identiques.
Corollaire (Convergence normale pour les fonctions C 1 par morceaux)
Supposons que la fonction f soit continue et C 1 par morceaux, c’est à dire qu’il existe
des nombres a0 < a1 < · · · < ap = a0 + 2π tels que les restrictions de f aux segments
[aj−1 , aj ] soient toutes C 1 . Alors la série de Fourier de f converge normalement vers f : la
série
∞
X
kck (f )ek k∞
k=−∞
converge. Rappelons que ceci implique la convergence uniforme de la série de Fourier de f
lim kf − sN (f )k∞ = 0.
N →∞
Ainsi que sa convergence absolue:
∞
X
k=−∞
converge.
Preuve
|ck (f )eikx |
10
Puisque f est C 1 par morceaux, on peut intégrer par parties pour calculer ses coefficients
de Fourier: si k 6= 0,
Z ap
p Z
1
1 X aj
−ikt
ck (f ) =
f (t)e
dt =
f (t)e−ikt dt
2π a0
2π
j=1 aj−1
Z aj
p
e−ikaj
e−ikaj−1
1 X
e−ikt
f (aj )
−
=
− f (aj−1 )
f 0 (t)
dt
2π
−ik
−ik
−ik
aj−1
j=1
ck (f 0 )
.
=
ik
En utilisant Cauchy-Schwarz, on a alors:
X
|ck (f )| = |c0 (f )| +
|k|≤N
X
1<|k|≤N
≤ |c0 (f )| +
|ck (f 0 )|
|k|
v
u X
u
|ck (f 0 )|2 t
s X
1<|k|≤N
1<|k|≤N
1
k2
v
u ∞
u X 1
0 t
.
≤ |c0 (f )| + kf k2 2
k2
k=1
P
1
π2
(Une application classique de Parseval nous dit d’ailleurs que ∞
k=1 k2 = 6 ).
La série des ck (f ) est absolument convergente, la série de Fourier de f converge normalement (donc uniformément et absolument).
X
X
kck (f )ek k∞ =
sup ck (f )eikx converge.
k∈Z x∈R
k∈Z
Maintenant la série de Fourier de f converge uniformément vers une fonction continue
g, elle converge donc aussi pour la norme k k2 vers g, on a vu que pour cette norme, elle
tendait vers f . On a donc f = g, la somme de lasérie de Fourier de f est f .
5. Un procédé de resommation: le théorème de Fejér.
Un autre moyen de faire converger les séries de Fourier des fonctions continues est de
changer l’ordre de leurs termes.
Un exercice classique sur les suites numériques est l’étude des limites au sens de Césaro.
Soit (un ) une suite de nombres. On dit que (un ) tend au sens de Césaro vers ` si:
u0 + · · · + un−1
= `.
n→∞
n
lim
On montre que si une suite tend (au sens usuel) vers `, alors elle tend aussi au sens de
Césaro vers `. Cependant la réciproque est fausse, ainsi qu’on peut le voir avec la suite
un = (−1)n qui ne converge pas mais tend vers 0 au sens de Césaro. Autrement dit il est
‘plus facile’ pour une suite de converger au sens de Césaro qu’au sens usuel.
11
C’est la même idée qu’utilise Fejér. Soit f une fonction continue et 2π-périodique. On
pose:
1
σN (f )(x) =
(s0 (f )(x) + · · · + sN −1 (f )(x)) .
N
De même, on appelle noyau de Fejér la fonction:
FN (x) =
1
(D0 (x) + · · · + DN −1 (x)) .
N
Avec le calcul ci-dessus, on a donc:
1
σN (f )(x) =
2π
Z
π
f (t)FN (x − t) dt.
−π
Théorème de Fejér
1. On a, si x 6= 2kπ,
!2
sin N x2
.
sin x2
1
FN (x) =
N
(En particulier le noyau de Fejér est positif, contrairement au noyau de Dirichlet).
2. Pour toute fonction continue 2π-périodique, la suite (σN (f ))N tend uniformément vers
f.
3. L’espace des polynômes trigonométriques est dense dans C(T) muni de la norme de la
convergence uniforme.
Preuve
1. On calcule !
N FN (x) =
N
−1
X
Dn (x) =
sin
n=0
=
=
1
x
2
sin
N
−1
X
x
2
x
2
1
Im ei(n+ 2 )x
n=0
1
ei(n+ 2 )x
n=0
1
sin
Im
N
−1
X
1
i x2
Im e
x
eiN x − 1
eix − 1
x
ei 2 eiN 2 2i sin N x2
Im
=
x
sin x2
ei 2 2i sin x2
sin N x2
iN x2
=
Im e
sin2 x2
!2
sin N x2
=
.
sin x2
1
Et bien sûr N FN (0) =
PN −1
n=0
(2n + 1) = 2 N (N2−1) + N = N 2 .
!
12
2. Soit f continue et 2π-périodique, f est une fonction continue sur le tore T qui est
compact. Elle est donc uniformément continue:
ε
∀ε > 0, ∃α > 0 tel que ∀x, ∀t, |t| < α =⇒ |f (x − t) − f (x)| < .
2
Rπ
1
D’autre part, puisque l’on a 2π −π Dn (t) dt = 1 pour tout n, on a aussi:
Z π
N
−1 Z π
X
1
FN (t) dt = 12π
Dn (t) dt = 1.
2π −π
−π
n=0
Pour cet α, on a:
|t| > α =⇒ sin2
donc
α
t
> sin2
2
2
Z
1
.
FN (t) dt ≤
N sin2 α2
|t|>α
R
Il existe donc M tel que N > M implique |t|≥α FN (t) dt ≤ 4kfεk∞ . Donc pour tout x,
Z
1 π
(f
(x)
−
f
(x
))F
(t)
dt
|f (x) − σn (f )(x)| =
t
N
2π −π
Z
Z
1
1
≤
|f (x) − f (x − t)|FN (t) dt +
|f (x) − f (x − t)|FN (t) dt
2π |t|<α
2π |t|≥α
Z
Z
ε 1
≤
FN (t) dt + 2kf k∞
FN (t) dt
2 2π |t|<α
|t|≥α
Z π
ε 1
ε
≤
FN (t) dt + 2kf k∞
2 2π −π
4kf k∞
ε ε
≤ + = ε.
2 2
On a prouvé
∀ε > 0,
∃M
tel que
∀N, N > M =⇒ kf − σN (f )k∞ ≤ ε.
Ou
lim kf − σN (f )k∞ = 0,
N →∞
la suite (σN (f ))N convege uniformément vers F sur R.
3. Comme, pour tout n, sn (f ) est un polynôme trigonométrique de degré n, il est clair que
σN (f ) est un polynôme trigonométrique de degré N − 1. On a montré que toute fonc tion
de C(T) peut être approchée uniformément à moins de ε par un polynôme trigonométrique,
l’espace des polynômes trigonométriques est dense dans C(T) muni de la norme de la convergence uniforme.