exercices : probabilites

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EXERCICES : PROBABILITES
Exercice 1
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est : E={ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}.
On s’intéresse aux événements : A ="on a une issue multiple de 3", B ="on a une issue multiple
de 5", et C ="on a une issue de numéro ≥ 7".
1) L’événement A∩B est :
□ a.« multiples de 15 »
□ b. 
□ c.{ 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 }
□ d. «multiples de 8»
2) L’événement B  C est :
□ a.{10 }
□ b. 
□ c.{ 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }
□ d. n’existe pas
3) L’événement C est :
□ a.« numéro > 7 »
□ b.« numéro ≤ 7 » □ c.« numéro < 7 » □ d.{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 }
Exercice 2
1) On considère un événement A tel que p(A) = 0,5. On peut en déduire que p( A ) = :
□ a. 0,5
□ b. 0
□ c. 1
□ d. 1 – p(A)
2) On considère deux événements A et B. On peut avoir p(A) + p(B) = :
□ a. 1
□ b. 1,6
□ c. 2,2
□ d. 0,2
Exercice 3
1) Pour un événement quelconque A, on a A∩ A = :
□ Vrai
□ Faux
2) Pour un événement quelconque A, on a A  A = :
□ Vrai
□ Faux
3) Si deux événements A et B sont tels que p(A) = 0,7 et p(B) = 0,6, on a B = A :
□ Vrai
□ Faux
4) Pour deux événements quelconques A et B, on a p(A∩B) = p(A) + p(B) :
□ Vrai
□ Faux
Exercice 4
On tire en même temps deux cartes dans un jeu de 32 cartes.
1) On considère l’événement « avoir deux cœurs ».
L’événement contraire est l’événement « ne pas avoir de cœur » :
□ Vrai
□ Faux
2) On considère les événements « avoir deux cœurs » et « avoir deux as ».
Ces deux événements sont incompatibles, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucune issue commune :
□ Vrai
□ Faux
3) On considère les événements « avoir deux cœurs » et « avoir deux figures ».
Ces deux événements sont incompatibles, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucune issue commune :
□ Vrai
□ Faux
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Exercice 5
Dans une foire, une loterie consiste à faire tourner deux roues tricolores.
La première a un secteur noir de 45°, un secteur rouge de 90° et un secteur blanc de 225°.
La deuxième a un secteur noir de 45°, un secteur rouge de 225° et un secteur blanc de 90°.
Les roues sont supposées bien équilibrées, et la probabilité de tomber sur une couleur est
proportionnelle à la mesure en degré du secteur correspondant.
Si les deux roues s’arrêtent sur le noir, on gagne un gros lot, si elles s’arrêtent sur une même
couleur, autre que le noir, on gagne un lot de consolation, sinon on ne gagne rien.
1) Décrire l’univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
2) Quelle est la probabilité de gagner un gros lot ?
3) Quelle est la probabilité de ne rien gagner ?
Exercice 6
Dans un jeu de plateau, les combats sont réglés en lançant deux dés : un dé à quatre faces, une
rouge, une jaune, une bleue et une noire, et un dé à six faces, une rouge, deux jaunes et trois
noires.
Le joueur qui lance les dés gagne le combat s’il obtient deux faces rouges, fait match nul s’il
obtient deux faces de même couleur autre que rouge, et perd le combat dans tous les autres cas.
On suppose les dés bien équilibrés.
1) Décrire l’univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité
que le joueur gagne le combat (événement noté G) ?
2) Quelle est la probabilité que le joueur fasse match nul (événement noté Nul) ?
3) Quelle est la probabilité d’avoir au moins une face jaune (événement noté J) ? Au moins une
face bleue (événement noté B) ?
4) Quelle est la probabilité des événements Nul ∩ J et Nul ∪ J ?
5) Quelle est la probabilité des événements G ∩ J et G ∪ J ?
6) Quelle est la probabilité des événements Nul ∩ B et Nul ∪ B ?
Exercice 7
Dans un porte-monnaie se trouvent une pièce de 2 €, une pièce de 1 € et deux pièces de 50
centimes d’Euro que l’on peut différencier (par exemple de deux pays distincts).
On prend au hasard une pièce dans le porte-monnaie, puis, sans la remettre dedans, on prend,
encore au hasard, une deuxième pièce.
1) Décrire tous les tirages possibles, en tenant compte de l’ordre dans lequel on a pris les pièces,
et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
2) Calculer la probabilité d’avoir deux pièces de même valeur.
3) Calculer la probabilité d’avoir deux pièces de même couleur (les pièces de 1 € et 2 € sont de
même couleur).
4) Calculer la probabilité d’avoir deux pièces de couleurs différentes.
5) Calculer la probabilité d’avoir une somme de 1 €.
6) Calculer la probabilité d’avoir une somme de 2 €.
7) Calculer la probabilité d’avoir une somme supérieure ou égale à 1,50 €.
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CORRECTION EXERCICES : PROBABILITES
Exercice 1
1) Les bonnes réponses sont les réponses a. et b. Puisque une issue commune à A et B doit être à la fois multiple de 3 et
multiple de 5, donc multiple de 15.
Mais comme il n’y en a pas dans E, c’est aussi l’ensemble vide.
2) La bonne réponse est la réponse c.
Puisque ce sont les issues de B = {5 ; 10} et celles de C = {7 ; 8 ; 9 ; 10}.
3) La bonne réponse est la réponse c. Puisque le contraire de x x ≥ 7 est x < 7.
Exercice 2
1) Les bonnes réponses sont les réponses a. et d. puisque nous avons vu en cours que : p( A ) = 1 − p(A), et donc ici que
p( A ) = 1− 0,5 = 0,5.
2) Les bonnes réponses sont les réponses a. b. et d. puisqu’on ne sait rien sur A et B et que 0 ≤ p(A) ≤ 1 et
0 ≤ p(B) ≤ 1.
Exercice 3
1) Vrai. Définition de l’événement contraire d‘un autre.
2) Faux. On a A  A = Ω (univers) puisque toutes les issues qui ne sont pas dans A sont dans A .
3) Faux. Puisque p( A ) = 1−p(A) = 0, 3.
4) Faux. Il n’y a pas de formule pour calculer la probabilité d’une intersection.
Exercice 4
1) Faux. C’est « avoir 0 ou 1 cœur ».
2) Vrai. Puisqu’on ne peut pas avoir deux as de cœur.
3) Faux. Puisqu’on peut avoir deux figures de cœur.
On peut donc en déduire, lorsque l’on a tiré une boule blanche au premier tirage, que l’on a une probabilité de
3
1
3
de tirer une boule verte au deuxième tirage, et c’est tout (la probabilité de tirer une autre boule blanche est égale à 0).
On peut résumer cette situation et ces calculs, en faisant un schéma en arbre simplifié (mais à issues non
équiprobables), sur lequel on indique, sur chaque branche, les probabilités partielles que l’on vient de calculer.
Conclusion
Issues possibles
Probabilités
(V ; V)
(V ; B)
(B ; V)
(B ; B)
6 1
  0,5
12 2
3 1
  0.25
12 4
3 1
  0.25
12 4
0
Exercice 5
1) Les issues de cette expérience sont faciles à déterminer. En notant N la couleur noire, R la couleur rouge et B la
couleur blanche, on trouve : (N,N), (N,R), (N,B), (R,N), (R,R), (R,B), (B,N), (B,R),et (B,B).
Ces issues ne sont pas équiprobables.
Pour déterminer la loi de probabilité, construisons un arbre pondéré.
45 1
  0,125 ;
360 8
90 1
225 5
p( R) 
  0, 25 ; p( B) 
  0, 625 .
360 4
360 8
Pour la première roue on a : p ( N ) 
45 1
  0,125 ;
360 8
225 5
90 1
p( R) 
  0, 625 ; p( B) 
  0, 25 .
360 8
360 4
Pour la deuxième roue on a : p ( N ) 
La probabilité de chaque issue s’obtient en multipliant les
probabilités sur les branches qui mènent à cette issue.
2) La probabilité de gagner un gros lot est la probabilité de l’issue (N,N).
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1 1 1
 
8 8 64
1
Donc la probabilité de gagner le gros lot est de
64
On a donc : p("gagner un gros lot") = p(N,N) = ×
3) Pour calculer la probabilité de ne rien gagner, on peut regarder quelles sont les issues composant cet événement,
calculer leurs probabilités respectives, et en faire la somme.
Mais il est plus facile de calculer la probabilité de l’événement contraire, l’événement «gagner quelque chose .
En effet on a : " gagner quelque chose "= {(N,N) ; (R,R) ; (B,B)}.
1 1 5 5 1 21
    
64 4 8 8 4 64
21 43
Et par conséquent : p("ne rien gagner") = 1 – p ("gagner quelque chose") = 1 
.

64 64
43
Donc la probabilité de ne rien gagner est de
64
Donc p("gagner quelque chose") = p(N,N) + p(R,R) + p(B,B) =
Exercice 6
1) Pour déterminer l’univers, on peut faire un schéma en arbre
représentant tous les choix de crayons possibles (on notera les
couleurs N, J et R).
Puisque chaque choix de crayon est fait au hasard, il y a
équiprobabilité.
On a 6 issues, donc chacune a pour probabilité
1
6
L’événement « avoir le drapeau de la Belgique » est constitué
d’une seule issue, l’issue (N, J, R).
Donc on a : p(" avoir le drapeau de la Belgique ") =
1
6
2) L’événement « avoir le rectangle jaune au milieu du drapeau » est constitué des issues (N, J, R) et
(R, J, N).
Donc on a : p(" avoir le rectangle jaune au milieu du drapeau ") = 2×
1 1
=
6 3
3) Pour l’événement « avoir le noir et le rouge l’un à côté de l’autre », on peut chercher quelles issues le composent, mais
on peut aussi remarquer que cet événement est l’événement contraire de l’évènement « avoir le rectangle jaune au milieu
du drapeau ».
Ce qui nous donne :
p(« avoir le noir et le rouge l’un à côté de l’autre ») = 1 – p(« avoir le jaune au milieu du drapeau »).
Donc : p(" avoir le noir et le rouge l'un à côté de l'autre ") = 1 −
1 2
= .
3 3
Exercice 7
1) Pour déterminer l’univers, on peut faire un tableau à double
entrée représentant tous les cas de couleurs possibles pour les
deux dés.
Malheureusement, les différentes issues possibles ne sont pas
équiprobables.
En effet, sur le Dé n°2, on a plus de chances de tomber sur une
face noire que sur une face rouge.
On a alors deux possibilités pour résoudre ce problème : soit refaire le tableau à double entrée en faisant en sorte que
les cases du tableau soient équiprobables, pour cela il faudrait mettre six lignes au tableau (autant que de face du Dé
n°2), soit faire un schéma en arbre pondéré, en calculant séparément les probabilités de chaque couleur, pour chaque
dé.
Prenons cette méthode, en introduisant un ordre artificiel (Dé n°1, Dé n°2), mais plus facile.
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Pour le Dé n°1, chaque face a la même probabilité de sortir, et comme il y a quatre faces, chacune a pour probabilité
1
.
4
Il en est de même pour chaque couleur, puisque chaque face a une couleur différente.
Pour le Dé n°2, chaque face a la même probabilité de sortir, et comme il y a six faces, chacune a pour probabilité
1
.
6
Mais il n’en est pas de même pour chaque couleur, puisque plusieurs faces ont une même couleur.
1
.
6
2 1
Le Jaune est sur deux faces, donc sa probabilité de sortir est
 .
6 3
3 1
Le Noir est sur trois faces, donc sa probabilité de sortir est
 .
6 2
Le Rouge n’est que sur une face, donc sa probabilité de sortir est
On peut maintenant faire l’arbre pondéré, en indiquant les différentes issues et en calculant leurs probabilités respectives
par le produit des probabilités des deux branches rencontrées.
Le joueur gagne le combat s’il obtient deux faces rouges.
On a donc : p(G) = p(R, R) =
1
.
24
2) L’événement « faire match nul » est constitué des issues (J, J) et (N, N).
On a donc : p(Nul) = p(J, J)+p(N, N) =
1 1
5
 =
12 8 24
3) L’événement « avoir au moins une face jaune » est constitué des issues (R, J), (J, R), (J, J), (J, N), (B, J) et (N, J).
On a donc : p(J) = p(R, J) + p(J, R) + p(J, J) + p(J, N) + p(B, J) + p(N, J) =
1
1
1 1 1 1
1

   
=
12 24 12 8 12 12 2
L’événement « avoir au moins une face bleue » est constitué des issues (B, R), (B, J), et (B, N).
On a donc : p(B) = p(B, R) + p(B, J) + p(B, N) =
1
1 1 1
  =
24 12 8 4
4) L’événement Nul ∩ J est constitué de la seule issue (J, J).
On a donc : p(Nul ∩ J) = p(J, J) =
1
.
12
Pour l’événement Nul ∪ J on peut chercher les issues qui le composent ou utiliser la formule :
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B).
Ce qui nous donne : p(Nul ∪ J) = p(Nul) + p(J) − p(Nul ∩ J) =
5 1 1
5
 
=
.
24 2 12 8
5) L’événement G ∩ J est vide, puisque pour gagner il faut deux faces rouges.
On a donc : p(G∩J) = 0.
Pour l’événement G∪J on peut chercher les issues qui le composent ou utiliser la formule :
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B).
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Ce qui nous donne : p(G ∪ J) = p(G) + p(J) − p(G ∩ J) =
1 1
13
.
 0 =
24 2
24
6) L’événement Nul ∩ B est vide puisque pour faire match nul il faut deux faces de même couleur, et qu’il n’y a pas de
face bleue sur le Dé n°2.
On a donc : p(Nul ∩ B) = 0.
Pour l’événement Nul ∪ B on peut chercher les issues qui le composent ou utiliser la formule :
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B).
Ce qui nous donne : p(Nul ∪ B) = p(Nul) + p(B) − p(Nul ∩ B) =
5 1
11
.
 0 =
24 4
24
Exercice 8
Comme pour l’exercice précédent on peut faire un tableau à double entrée, ou un schéma en arbre.
Faisons un schéma en arbre pour changer, en distinguant les deux pièces de 0,5 € en en mettant une en gras.
Chaque tirage se faisant au hasard, il y a équiprobabilité de chaque issue.
Comme il y en a 12, chaque issue a pour probabilité
1
.
12
2) L’événement « avoir deux pièces de même valeur » est formé des issues (0,5;0,5) et (0,5;0,5).
Donc : p(" avoir deux pièces de même valeur ") = 2 ×
1
1
=
.
12 6
3) L’événement « avoir deux pièces de même couleur » est formé des issues (2;1), (1;2), (0,5;0,5) et (0,5;0,5).
Donc : p(" avoir deux pièces de même couleur ") = 4 ×
1
1
=
.
12 3
4) L’événement « avoir deux pièces de couleurs différentes » est l’événement contraire de l’événement précédent.
Donc : p(" avoir deux pièces de couleurs différentes ") = 1−
1 2
= .
3 3
5) L’événement « avoir une somme de 1 € » est formé des issues (0,5;0,5) et (0,5;0,5).
Donc : p(" avoir une somme de 1 € ") = 2 ×
1
1
=
.
12 6
6) L’événement « avoir une somme de 2 € » est vide.
Donc : p(" avoir une somme de 2 € ") = 0.
7) L’événement « avoir une somme supérieure ou égale à 1,50 € » est formé des issues (2;1), (2;0,5), (2;0,5), (1;2),
(1;0,5), (1;0,5), (0,5;2), (0,5;1), (0,5;2) et (0,5;1).
Donc : p(" avoir une somme supérieure ou égale à 1,50 € ") = 10 ×
1
5
=
.
12 6