Fiche 105 - Fractions

Coll`ege Anna de Noailles - 19600 LARCHE Fiche n 105
FRACTIONS
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NOTATIONS.
D´efinitions. (Voir fiches 101 et 102)
Une fraction est un quotient de deux nombres entiers.
Soient aet bdeux nombres avec b6= 0. La fraction a
best le nombre qui, mutipli´e par b, donne a.
On a donc l’´egalit´e : b×a
b=a
Exemple :
4× · · · = 7
7
4
Propri´et´e :
Tout nombre entier peut s’´ecrire sous forme d’une fraction de d´enominateur 1. Exemple : 8 = 8
1.
FRACTION D’UNE GRANDEUR.
1- Fraction d’une longueur :
La longueur AB repr´esente 2
5de la longueur AC.
A B C AC × · · · =AB donc AB =2
5×AC
2
5
5
2
2- Fraction d’une surface :
La surface gris´ee repr´esente 3
4de la surface totale.
3- Fraction d’un nombre :
R`egle : Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier la fraction par le nombre.
Exemple : Prendre les quatre cinqui`eme de 15, c’est calculer 4
5×15.
Pour multiplier une fraction par un nombre il y a 3 m´ethodes possibles :
– 1`ere m´ethode : 4
5×15 = (4 ×15) ÷5 = 60 ÷5 = 12
– 2eme m´ethode : 4
5×15 = (4 ÷5) ×15 = 0.8×15 = 12
– 3eme m´ethode : 4
5×15 = 4 ×(15 ÷5) = 4 ×3 = 12
On remarque pour cet exemple que la 3eme m´ethode est la plus simple car 15 est divisible par 5.
PROPRI ´ ET ´ E.
R`egle : On obtient une fraction ´egale en multipliant(ou divisant) le num´erateur et le d´enominateur d’une fraction par
un mˆeme nombre non nul.
a,bet k´etant trois nombres (bet knon nuls) :
a
b=a×k b×k
a
b=a÷k b÷k
Exemple : 2
8=2×3 8×3=6 24 et 2 8=2÷2 8÷2=1 4
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SIMPLIFICATION DE FRACTIONS.
D´efinition : Lorsqu’on divise le num´erateur et le d´enominateur d’une fraction par un mˆeme nombre non nul, on dit que
l’on simplifie la fraction. Une fraction que l’on ne peut pas simplifier est dite irr´eductible.
Exemple : 9
12 =9÷3 12 ÷3=3 4
Cette simplification s’´ecrira de la fa¸con suivante : 9
12 =3×
3
4× 3=3
4
5
MULTIPLICATION DE FRACTIONS.
R`egle :
Le produit de deux fractions est la fraction qui a pour num´erateur le produit des num´erateurs et pour d´enominateur le
produit des d´enominateurs. On doit toujours exprimer le r´esultat sous forme irr´eductible.
a,b,cet d´etant des nombres (bet dnon nuls), on a : a
b×c d=a c b d
Exemple : 7
3×4 5=7×4 3×5=28 15
Remarque : Penser `a simplifier AVANT d’effectuer lorsque c’est possible :
7
3×3 8=7×4 3×5=7 8;35 2×4 21 =5×7×2×2 2×3×7=10 3
ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS.
R`egle 1 : Si les d´enominateurs sont ´egaux, il suffit alors d’additionner (respectivement soustraire) leurs num´erateurs tout
en conservant le d´enominateur commun.
a,bet c´etant trois nombres (c6= 0) :
a
c+b c=a+b c
a
c−b c=a−b c
Exemples : 7
3+4 3=7 + 4 3=11 3;7 3−4 3=7−4 3=3 3= 1
R`egle 2 : Si les fractions n’ont pas le mˆeme d´enominateur, on les remplace par deux fractions ´equivalentes ayant le mˆeme
d´enominateur (on dit alors que l’on ≪r´eduit les deux fractions au mˆeme d´enominateur ≫) en cherchant un multiple
commun le plus petit possible `a ces deux nombres puis on applique la r`egle 1 .
Exemples : trois cas se pr´esentent.
1 cas : Addition d’une fraction et d’un entier : 7
3+ 4 = 7 3+4 1=7 3+4×3 1×3=7 3+12 3=19 3
2 cas : Addition de deux fractions ayant des d´enominateurs multiples : 4
3+5 6=4×2 3×2+5 6=8 6+5 6=13 6
3 cas : Les deux d´enominateurs sont quelconques. Ce cas sera ´etudi´e en classe de 4i`eme.
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4ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS.
Rappel : Voir r`egle 2.
Exemple : −3
10 +2 15 =−3×3 10 ×3+2×2 15 ×2=−9 30 +4 30 =−5 30 =−1 6=−1 6
INVERSE D’UN NOMBRE.
D´efinition : Deux nombres sont inverses si leur produit est ´egal `a 1 .
x× · · · = 1
inverse de x
Exemples : L’inverse de 2 est 0,5 (ou 1
2) car 2 ×0,5 = 1, l’inverse de 3 est 1 3car 3 ×1 3= 1 et
l’inverse de −9 est −1
9car −9×(−1 9) = 1.
Propri´et´e : L’inverse de la fraction a
best la fraction b a(avec aet bnon nuls).
Exemples :
– L’inverse de 3
7est 7 3
– L’inverse de −5
6est −6 5
Attention :
1. Le nombre z´ero n’a pas d’inverse.
2. Ne pas confondre oppos´e et inverse.
Exemples :
– L’oppos´e de −7 est 7
– L’inverse de −7 est −1
7
DIVISION DE FRACTIONS.
R`egle : Pour diviser deux fractions, on multiplie la premi`ere par l’inverse de la seconde.
a,b,cet d´etant des nombres (b,cet dnon nuls) :
a
b÷c d=a b×d c
Exemple : 7
3÷4 5=7 3×5 4=7×5 3×4
5
6
2
3
=5
6×3 2=5×3 3×2×2=5 4
Cas particulier : Pour diviser par un nombre, on multiplie par son inverse.
Exemple : 2
3÷5 = 2 3×1 5=2 15
COMPARAISON DES FRACTIONS.
Voir fiche 110
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