Nom ……………. Prénom ………………. Durée 55 min. Le document comporte deux pages TP De la loi binomiale à la loi normale centrée réduite Objectifs : Observer l’évolution de la loi binomiale selon les valeurs de et , centrer et réduire pour stabiliser l’histogramme et maîtriser le comportement global de cette loi. Approximer avec une courbe de Gauss Une aide pour Geogebra concernant les mots surlignés se trouve sur une feuille séparée I-Prérequis (rappels du cours de première) 1. Effet d’une transformation affine sur une variable aléatoire Soit un entier naturel non nul, et une variable aléatoire ayant pour loi de probabilité : … … L’espérance de Soit et est : ………….. l’écart-type de deux nombres réels. On définit la variable aléatoire Alors l’espérance de , en fonction de , est : L’écart-type de , en fonction de l’écart-type de 2. Loi binomiale Si suit la loi binomiale de paramètre ……………. ; est : ………………….. par …………………… est : et , alors pour tout …………. et ………………………….., donc …. compris entre et , ………………. Dans toute la suite et II- De la loi binomiale à la loi normale centrée réduite : illustrations avec Geogebra 1. Observer la loi binomiale a. Créer deux curseurs et prenant des valeurs entières entre 0 et 100, p prenant des valeurs réelles entre 0 et 1, par pas de 0,01. Représenter la loi binomiale de paramètres recadrer l’affichage Faire varier les curseurs et . si besoin et b. Au lieu de tracer un diagramme en bâtons, Geogebra trace un histogramme chaque probabilité élémentaire est donnée par l’aire d’un rectangle: Sur quelles valeurs sont centrées les bases des rectangles construits par Geogebra ? …………………………………………………………………………, Quelle est la largeur de chaque rectangle ? ……, l’abscisse la plus petite de l’histogramme : …… , la plus grande …………. Quelle est l’aire totale de l’histogramme ? …… Décrire la forme générale de l’histogramme à l’aide d’une courbe connue : …………………………………………………………. Cette forme reste-t-elle si est proche de zéro ? Proche de 1 ? ( ) c. Jeu de cible : avec les curseurs, choisir =100 et =0,36. Représenter la fonction définie par où et désignent deux curseurs, variant de 0 à 1 par pas de 0.001 et variant de 0 à 10 par pas de 0.01. Déterminer des valeurs approchées de et telles que la courbe de représente au mieux l’histogramme. ……. …… Comparer une des deux valeurs avec l’écart-type de : Académie de Grenoble - Maths et TICE GD 1/2 2. Centrer la variable aléatoire a. On définit la variable aléatoire suivant la loi binomiale par et la variable par √ , donc √ Valeurs prises par la variable aléatoire : , écart entre deux valeurs successives : ……. Valeurs prises par la variable aléatoire {……………………………………………………… .}, écart entre deux valeurs successives : ……. Valeurs prises par la variable aléatoire {……………………………………………. ……….. }, écart entre deux valeurs successives : ……. b. « Centrer et réduire » : A l’aide des deux formules encadrées dans les prérequis, sachant … et …………… calculer : …………. …. et ………………. En modifiant ainsi l’espérance de , on dit que l’on a centré …………. = …. et ……………….. En modifiant ainsi l’écart-type de , on dit que l’on a réduit . En passant de X à Z, on a centré et réduit X, autrement dit on a effectué une transformation affine pour obtenir une espérance qui vaut : …….. et un écart type qui vaut ……, ces deux résultats étant indépendants de n et p. Les lois de ces variables sont représentées dans le fichier Binomiale&NormaleCentreeReduite.ggb c. Ouvrir ce fichier puis, si besoin, dans Affichage cliquer sur Graphique 2 pour afficher la deuxième fenêtre graphique de Geogebra. Recadrer l’affichage. Modifier et et observer d. On visualise ainsi trois histogrammes, représentés avec les couleurs violet, orange et bleu : .Associer à chacun la variable aléatoire qui lui convient : , ou : Violet : ……… Orange : ……… Bleu : ……… Par quelle transformation du plan passe-t-on de l’histogramme en bleu à celui en violet ? ………………………………………………… e. Ces histogrammes représentent des lois de probabilité : l’aire de chaque rectangle représente une probabilité. Donc pour chaque histogramme, la somme des aires vaut 1 Pour l’histogramme de Pour l’histogramme de Pour l’histogramme de la largeur des rectangles est 1, donc la hauteur est , variant de 0 à n. la largeur des rectangles est …. , donc la hauteur est d’après 2.a., la largeur des rectangles est ………. , donc la hauteur est 3. Une nouvelle fonction de densité Un des histogrammes a un aspect qui varie très peu quand on modifie et lequel ? …. Pour le confirmer, afficher la fonction définie par : (il suffit de cliquer sur son point). Faire varier et . Créer un curseur variant de -10 à 10 et faire calculer l’intégrale ∫ . Quand Facultatif : Etudier la construction des histogrammes Académie de Grenoble - Maths et TICE GD augmente se rapproche de … 2/2 Aide Geogebra La zone de saisie désigne la ligne à remplir en bas de l’écran Curseur : pour déplacer précisément un curseur : le sélectionner, puis utiliser les flèches gauche et droite du clavier pour augmenter ou diminuer la valeur du pas Loi binomiale (histogramme) : dans la zone de saisie : commencer à taper binomiale, et sélectionner la fonction adéquate Recadrer le graphique pour adapter rapidement les échelles: cliquer sur le bouton puis cliquer droit sur le fond et choisir Recadrer Integrale de f sur [a ;b] : dans la zone de saisie : Integrale( , a, b) Académie de Grenoble - Maths et TICE GD