TP De la loi binomiale à la loi normale centrée réduite

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Nom …………….
Prénom ……………….
Durée 55 min. Le document comporte deux pages
TP De la loi binomiale à la loi normale centrée réduite
Objectifs : Observer l’évolution de la loi binomiale
selon les valeurs de et , centrer et réduire pour stabiliser
l’histogramme et maîtriser le comportement global de cette loi. Approximer avec une courbe de Gauss

Une aide pour Geogebra concernant les mots surlignés se trouve sur une feuille séparée
I-Prérequis (rappels du cours de première)
1. Effet d’une transformation affine sur une variable aléatoire
Soit un entier naturel non nul, et une variable aléatoire ayant pour loi de probabilité :
…
…
L’espérance de
Soit
et
est :
…………..
l’écart-type de
deux nombres réels. On définit la variable aléatoire
Alors l’espérance de
, en fonction de
, est :
L’écart-type de , en fonction de l’écart-type de
2. Loi binomiale
Si suit la loi binomiale de paramètre
……………. ;
est :
…………………..
par
……………………
est :
et , alors pour tout
………….
et
…………………………..,
donc
….
compris entre et ,
……………….
Dans toute la suite
et
II- De la loi binomiale à la loi normale centrée réduite : illustrations avec Geogebra
1. Observer la loi binomiale
a. Créer deux curseurs et
prenant des valeurs entières entre
0 et 100, p prenant des valeurs réelles entre 0 et 1, par pas de
0,01.
Représenter la loi binomiale de paramètres
recadrer l’affichage
Faire varier les curseurs
et . si besoin
et
b. Au lieu de tracer un diagramme en bâtons, Geogebra trace un
histogramme chaque probabilité élémentaire est donnée par l’aire
d’un rectangle:
Sur quelles valeurs sont centrées les bases des rectangles
construits par Geogebra ?
…………………………………………………………………………,
Quelle est la largeur de chaque rectangle ? ……, l’abscisse la plus petite de l’histogramme : …… , la plus grande ………….
Quelle est l’aire totale de l’histogramme ? ……
Décrire la forme générale de l’histogramme à l’aide d’une courbe connue : ………………………………………………………….
Cette forme reste-t-elle si est proche de zéro ? Proche de 1 ?
(
)
c. Jeu de cible : avec les curseurs, choisir =100 et =0,36. Représenter la fonction définie par
où et
désignent deux curseurs, variant de 0 à 1 par pas de 0.001 et variant de 0 à 10 par pas de 0.01. Déterminer des valeurs
approchées de et telles que la courbe de représente au mieux l’histogramme.
…….
……
Comparer une des deux valeurs avec l’écart-type de :
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2. Centrer la variable aléatoire
a. On définit la variable aléatoire
suivant la loi binomiale
par
et la variable
par
√
, donc
√
Valeurs prises par la variable aléatoire
:
, écart entre deux valeurs successives : …….
Valeurs prises par la variable aléatoire
{……………………………………………………… .}, écart entre deux valeurs successives : …….
Valeurs prises par la variable aléatoire
{……………………………………………. ……….. }, écart entre deux valeurs successives : …….
b. « Centrer et réduire » : A l’aide des deux formules encadrées dans les prérequis, sachant
… et
……………
calculer :
…………. …. et
………………. En modifiant ainsi l’espérance de , on dit que l’on a centré
…………. = ….
et
………………..
En modifiant ainsi l’écart-type de , on dit que l’on a réduit .
En passant de X à Z, on a centré et réduit X, autrement dit on a effectué une transformation affine pour obtenir une
espérance qui vaut : …….. et un écart type qui vaut ……, ces deux résultats étant indépendants de n et p.
Les lois de ces variables sont représentées dans le fichier Binomiale&NormaleCentreeReduite.ggb
c. Ouvrir ce fichier puis, si besoin, dans Affichage cliquer sur Graphique 2 pour afficher la deuxième fenêtre graphique de
Geogebra. Recadrer l’affichage. Modifier et et observer
d. On visualise ainsi trois histogrammes, représentés avec les couleurs violet, orange et bleu :
.Associer à chacun la variable aléatoire qui lui convient : , ou :
Violet : ………
Orange : ………
Bleu : ………
Par quelle transformation du plan passe-t-on de l’histogramme en bleu à celui en violet ? …………………………………………………
e. Ces histogrammes représentent des lois de probabilité : l’aire de chaque rectangle représente une probabilité. Donc pour
chaque histogramme, la somme des aires vaut 1
Pour l’histogramme de
Pour l’histogramme de
Pour l’histogramme de
la largeur des rectangles est 1, donc la hauteur est
, variant de 0 à n.
la largeur des rectangles est …. , donc la hauteur est
d’après 2.a., la largeur des rectangles est ………. , donc la hauteur est
3. Une nouvelle fonction de densité
Un des histogrammes a un aspect qui varie très peu quand on modifie et lequel ? ….
Pour le confirmer, afficher la fonction définie par :
(il suffit de cliquer sur son point). Faire varier et .
Créer un curseur
variant de -10 à 10 et faire calculer l’intégrale
∫
. Quand
Facultatif : Etudier la construction des histogrammes
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augmente
se rapproche de …
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Aide Geogebra
La zone de saisie désigne la ligne à remplir en bas de l’écran
Curseur : pour déplacer précisément un curseur : le sélectionner, puis utiliser les flèches gauche et droite du clavier pour
augmenter ou diminuer la valeur du pas
Loi binomiale (histogramme) : dans la zone de saisie : commencer à taper binomiale, et sélectionner la fonction adéquate
Recadrer le graphique pour adapter rapidement les échelles: cliquer sur le bouton
puis cliquer droit sur le fond et choisir Recadrer
Integrale de f sur [a ;b] : dans la zone de saisie : Integrale( , a, b)
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