CHAPITRE 3 – Repères, points et droites

Mathématiques - Cours de Seconde - CHAPITRE 3 – Repères, points et droites
CHAPITRE 3 – Repères, points et droites
A) Repères et coordonnées des points
1) Repères
Pour représenter le plan en géométrie analytique, on a besoin de définir deux axes, qu'on appelle axe des
abscisses et axe des ordonnées, et dont le point d'intersection s'appelle l'origine et se note généralement O.
Ces deux axes peuvent être perpendiculaires (on parle alors de repère orthogonal) ou pas. Sur chacun de ces
axes, on définit une unité, qui peut avoir la même longueur (repère normé) ou non.
La plupart du temps, on utilise un repère orthonormé (ou orthonormal), c'est à dire un repère à axes
perpendiculaires (orthogonaux) et portant la même longueur comme unité ("normés").
L'utilisation d'un repère permet aussi de résoudre des problèmes géométriques grâce aux théorèmes de la
géométrie analytique que nous allons étudier.
On caractérise un repère par son origine O(0 ; 0), son point I(1 ; 0) et son point J(0 ; 1). On parlera alors du
repère (O, I, J).
Exemples :
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2) Coordonnées cartésiennes d'un point
Tout point M du plan peut être défini entièrement par ses coordonnées cartésiennes, à savoir son abscisse et son
ordonnée.
L'abscisse se détermine en traçant la parallèle à l'axe des ordonnées passant par M et en prenant le point
d'intersection avec l'axe des abscisses. De même, l'ordonnée se trouve en traçant la parallèle à l'axe des
abscisses passant par M et en prenant le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
On note M(x ; y) pour exprimer que M a pour abscisse x et pour ordonnée y (notez que dans le logiciel
Geogebra, les coordonnées doivent être séparées par une virgule et non un point-virgule).
Remarque :
Il existe aussi des coordonnées "polaires", qui prennent la distance OM et l’angle entre [Ox) et [OM).
Exemples :
Placer les points A(5 ; -1), B(3 ; 2) et C(-2 ; 1) dans les repères dessinés au 1).
3) Coordonnées du milieu d'un segment (repère quelconque)
Théorème :
Soient les points M(xM ; yM) et N(xN ; yN).
Le milieu C du segment [MN] aura alors pour coordonnées : C
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(
x N+x M y N+y M
;
2
2
)
.
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Démonstration :
Il suffit d'appliquer le théorème de Thalès aux triangles MAC et MBN puis aux triangles MDC et MEN pour
voir que A est le milieu de [MB] et D le milieu de [ME], ce qui entraîne le résultat.
Exemples :
Calculer les coordonnées des points D, E et F, milieux des segments [AB], [BC] et [AC] et placer ces points sur
les repères du 1).
4) Distance entre deux points (en repère orthonormé)
Théorème :
Reprenons nos deux points M et N, leur distance est égale à x N−x M2 y N−y M 2 .
(Attention : Le repère doit être orthonormal, pour pouvoir appliquer le théorème de Pythagore !)
Démonstration :
On a MA = xN – xM et MB = AN = yN – yM, d'où en utilisant le théorème de Pythagore, MN² = AN² + AM², donc
MN =  AN²AM² =  x N – x M 2  y N – y M 2 .
5) Alignement de points (repère quelconque)
Théorème :
Soient trois points A(xA ; yA), B(xB ; yB), et C(xC ; yC).
yB – y A yC – yA
=
Ils sont alignés si et seulement si on a
.
xB – xA xC – xA
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Exemples :
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les trois points sont ou non alignés :
a) A(2 ; 1), B(3 ; 2), C(4 ; 3)
(O)
b) A(3 ; -1), B(5 ; -2), C(1 ; -2)
(N)
c) A(7 ; 5), B(4 ; 3), C(1 ; 1)
(O)
Trouver l'ordonnée de C pour qu'il soit aligné avec A et B :
a) A(3 ; 2), B(5 ; 1), C(0 ; ?)
(1)
b) A(3 ; 2), B(5 ; -2), C(0 ; ?)
(5)
Trouver l'abscisse de C pour qu'il soit aligné avec A et B :
a) A(3 ; 2), B(5 ; 1), C(? ; 0)
(7)
b) A(3 ; 2), B(5 ; -2), C(? ; 0)
(4)
B) Les droites
1) Droite et fonction affine
Dans tout repère, la représentation graphique d'une fonction affine f(x) = a x + b est une droite. Il suffit donc de
placer deux points de cette droite pour la tracer.
Pour cela, on choisit une première valeur x1 pour x et on calcule y1 = a x1 + b, on place le point A(x1 ; y1), puis
une seconde valeur x2 et on calcule y2 = a x2 + b, on place le point B(x2 ; y2).
Il ne reste plus qu’à tracer la droite (AB).
Exemples :
Tracer dans chaque repère les droites correspondant aux fonctions affines suivantes :
a) (d1)
b) (d2)
c) (d3)
f(x) = x – 2
f(x) = 3 – 2x
f(x) = 2x + 1
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d) (d4)
f(x) = -3x + 2
2) Équations de droites
L'équation de la représentation graphique d'une fonction f s'écrit y = f(x). Pour une droite correspondant à la
fonction affine f(x) = ax + b, l'équation s'écrit donc y = ax + b.
Cette équation sert à représenter toutes les droites du plan, sauf les droites parallèles à l'axe des ordonnées ! En
effet, celles-ci sont le lieu (ensemble) des points ayant même abscisse, autrement dit vérifiant l'égalité x = a, où
a est l'abscisse en question.
De façon générale, on peut donc dire que l'équation d'une droite quelconque s'écrit ax + by + c = 0 (où a et b ne
sont pas simultanément nuls).
On retrouve les droites de fonctions affines si b n'est pas nul, et les parallèles à (Oy) si b = 0.
On peut aussi dire que toute droite a une équation de la forme y = ax + b ou de la forme x = a.
Exemples :
x
a) Tracer les droites d'équation y= 1 , y = -x + 2 et x = 3.
2
b) Trouver l'équation de la droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) passant par A(7 ; 1).
c) Trouver l'équation de la droite passant par les points A ci-dessus et B(8 ; -1).
3) Déterminer l’équation d’une droite connaissant deux points
Pour déterminer l’équation de (AB) connaissant les coordonnées de A(xA ; yA) et B(xB ; yB) , on peut procéder
ainsi :
a) On détermine le coefficient directeur a de (AB) par a=
b) On détermine l’ordonnée à l’origine b par a=
yB – yA
.
xB – xA
b – yA
, soit b=y A – a x A .
0 – xA
Exemples :
Trouver l’équation de la droite (AB) :
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i. A(2 ; 5) et B(3 ; 7)
ii. A(-2;2) et B(5; 1)
iii. A(-1;3) et B(2;0)
4) Parallélisme et équations de droites
Théorème :
Dans un repère (O, I, J), la droite d'équation y = ax + b et la droite d'équation y = a'x + b' sont parallèles si
et seulement si a = a'.
Démonstration :
On a vu au collège que ces deux droites sont parallèles respectivement à la droite d'équation y = ax et à la droite
y = a'x respectivement, d'où le résultat.
Exemples :
Trouver des équations de droites parallèles à la droite y = 3x – 30.
5) Droites sécantes et intersections
Lorsque deux droites ne sont pas parallèles, elles sont sécantes.
Elles ont alors un unique point d’intersection (si elles en avaient deux, ce serait la même droite puisque par
deux points distincts passe une droite et une seule).
Pour trouver les coordonnées du point d’intersection, il faut trouver un point M(x ; y) dont les coordonnées x et
y vérifient l’équation de chacune des deux droites.
On a alors quatre cas possibles :
a) (d1) verticale et (d2) horizontale
Leurs équations seront du type (d1) x = a et (d2) y = b. On a alors M(a ; b)
b) (d1) verticale et (d2) oblique
(d1) x = c et (d2) y = a x + b. On aura alors M(c ; a c + b).
L’ordonnée de M s’obtient en effet en remplaçant x par sa valeur dans ‘équation de (d2).
Exemple :
(d1) x = 5 et (d2) y = 3x - 2
c) (d1) oblique et (d2) horizontale
(d1) y = a x + b et (d2) y = c. On aura alors M(
c–b
; c).
a
En effet, on a c = a x + b en remplaçant y par c dans l’équation de (d1), et on résout l’équation en x en faisant :
c=a x+b ⇔c – b=a x ⇔ a x=c – b⇔ x=
c–b
.
a
Exemple :
(d1) y = 3x - 2 et (d2) y = 7
d) (d1) oblique et (d2) oblique
(d1) y = a x + b et (d2) y = c x + d
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On a alors un système de deux équations à deux inconnues x et y qu’il faut résoudre :
{ a x – y=−b
{ c x – y=−d
6) Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues
a) Par substitution
On commence par exprimer une inconnue en fonction de l’autre, ici le plus simple est d’écrire y = a x + b.
Puis on remplace y dans l’autre équation : c x – (a x + b) = - d, et on résout en x cette dernière équation :
c x – (a x+b)=−d ⇔ c x – a x – b=−d ⇔c x – a x=b−d ⇔(c – a) x=b – d ⇔ x=
b– d
.
c−a
Bien entendu c doit être différent de a pour que ce soit possible, ce qui équivaut à dire que les deux droites ne
doivent pas avoir le même coefficient directeur, c’est à dire ne doivent pas être parallèles : on arait pu s’en
douter !
b) Par combinaisons successives
On peut toujours modifier une égalité en multipliant à gauche et à droite par le même nombre ou en ajoutant la
même chose à droite et à gauche.
On peut donc par ces opérations faire disparaître x ou y en combinant les deux égalités et en les ajoutant (ou
soustrayant).
c) Exemples :
Résoudre des deux façons les systèmes linéaires suivants :
i. 2x – 5y = 7
x + 2y = 8
ii. 3x + 7y = 2
2x – 7y = 13
iii. 5x + 3y = 19
7x – 9y = -13
iv. x – 3y = 15
2x – 6y = 3
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