Niveau : Terminale S Titre Cours : Chapitre 05 Probabilités

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Lycée Stendhal (Grenoble)
Niveau :
Terminale S
Titre Cours :
Chapitre 05
Probabilités Conditionnelles
Année :
2014-2015
Jakob Bernoulli
(27 Décembre 1654-16 Août 1705)
Citation du moment :
« L'incertitude n'est pas dans les choses mais dans notre tête : l'incertitude est une
méconnaissance » (Jakob Bernoulli)
I.
Introduction, définition et propriétés
1. Activité d’introduction
Dans les classes de terminale S du lycée Stendhal, la répartition des 2nde langues se
fait de la façon suivante :
Esp : E
17
22
Filles : F
Garçons : G
Total
All : A
6
12
Ital : I
7
5
Total
a. Compléter le tableau ci-dessus
b. Si on choisit au hasard un des élèves de terminale S, quel sont les probabilités :
.............
.............
.............
P( A) 
.............
.............
P( F  A) 
.............
P( F ) 
c. Déterminer
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.............
.............
.............
P( I ) 
.............
.............
P( F  I ) 
.............
P(G) 
P( F  E) .............

P( F )
.............
.............
.............
.............
P( F  E) 
.............
P( E) 
P( F  A) .............

P( F )
.............
P( F  I ) .............

P( F )
.............
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d. Déterminer la probabilité que l’élève fasse espagnol sachant que c’est une fille.
On notera cette probabilité P( E| F ) ou PF ( E) :
e. Déterminer la probabilité que l’élève fasse allemand sachant que c’est une
fille. On notera cette probabilité P( A| F ) ou PF ( A) :
f. Déterminer la probabilité que l’élève fasse italien sachant que c’est une fille.
On notera cette probabilité P( I | F ) ou PF ( I ) :
g. Comparer P( F ) et P( F  E)  P( F  A)  P( F  I )
h. Compléter l’arbre ci-dessous :
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2. Définition et propriétés
Définition :
p est une probabilité sur un univers  . A est un événement tel que P( A)  0 .
Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant A le réel :
PA ( B)  P( B| A) 
P( A  B)
P( A)
Exercices : 17 à 21 page 340
Propriétés :
 P( A  B)  P( A)  PA ( B)  P( B)  PB ( A)
 PA ( A)  1
 
 PA B  1  PA  B 
 Si A et B sont incompatibles A  B   alors PA ( B)  PB ( A)  0
Démonstration :
Exercice : Si P( A)  0 , démontrer que PA ( B) 
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PB ( A)  P( B)
(Théorème de Bayes)
P( A)
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3. Utilisation d’un arbre pondéré :
Exercices 28 (Faire un arbre) Exercice 29 et Exercice 30 page 341
II.
Formule de probabilités totales
Définition (Partition de l’univers) :
A1 , A2 ,
, An sont n événements de probabilité non nulle de l’univers. On dit que
A1 , A2 ,
, An forment une partition de  ou un système complet d’événements de 
si les Bi sont deux à deux disjoints (intersection vide) et si
n
i 1
A1
A2
Ai  A1  A2 
 An  
A3
A4
A1  A2  A3  A4  
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Théorème des probabilités totales :
Si A1 , A2 ,
, An est un système complet d’événements de  et si B est un événement
de  alors
n
P( B)   P( B  Ai )  P( B  A1 )  P( B  A2 ) 
i 1
 P( B  An )
et
n
P( B)   PAi ( B)P( Ai )  PA1 ( B)P( A1 )  PA2 ( B)P( A2 ) 
i 1
PAn ( B)P( An )
Démonstration :
Exercices : 33-37-39-40-42 page 342 et 343 Exercice 80 page 353
III.
Indépendances d’événements
Définition :
On dit que deux événements A et B sont indépendants si P( A  B)  P( A)  P( B)
Théorème : A et B indépendants et P( A)  0  PA ( B)  P( B)
Propriété : Si A et B sont indépendants alors A et B le sont aussi
Démonstration (exigible au BAC)
B et B forment un système complet d’évènements de  donc d’après la formule de
probabilité total : P( A) 
Donc P( A  B) 
Or A et B sont indépendants donc P( A  B) 
Donc P( A  B) 
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