1 Lycée Stendhal (Grenoble) Niveau : Terminale S Titre Cours : Chapitre 05 Probabilités Conditionnelles Année : 2014-2015 Jakob Bernoulli (27 Décembre 1654-16 Août 1705) Citation du moment : « L'incertitude n'est pas dans les choses mais dans notre tête : l'incertitude est une méconnaissance » (Jakob Bernoulli) I. Introduction, définition et propriétés 1. Activité d’introduction Dans les classes de terminale S du lycée Stendhal, la répartition des 2nde langues se fait de la façon suivante : Esp : E 17 22 Filles : F Garçons : G Total All : A 6 12 Ital : I 7 5 Total a. Compléter le tableau ci-dessus b. Si on choisit au hasard un des élèves de terminale S, quel sont les probabilités : ............. ............. ............. P( A) ............. ............. P( F A) ............. P( F ) c. Déterminer @Vincent Obaton ............. ............. ............. P( I ) ............. ............. P( F I ) ............. P(G) P( F E) ............. P( F ) ............. ............. ............. ............. P( F E) ............. P( E) P( F A) ............. P( F ) ............. P( F I ) ............. P( F ) ............. Site Internet : www.vincentobaton.fr 2 Lycée Stendhal (Grenoble) d. Déterminer la probabilité que l’élève fasse espagnol sachant que c’est une fille. On notera cette probabilité P( E| F ) ou PF ( E) : e. Déterminer la probabilité que l’élève fasse allemand sachant que c’est une fille. On notera cette probabilité P( A| F ) ou PF ( A) : f. Déterminer la probabilité que l’élève fasse italien sachant que c’est une fille. On notera cette probabilité P( I | F ) ou PF ( I ) : g. Comparer P( F ) et P( F E) P( F A) P( F I ) h. Compléter l’arbre ci-dessous : @Vincent Obaton Site Internet : www.vincentobaton.fr 3 Lycée Stendhal (Grenoble) 2. Définition et propriétés Définition : p est une probabilité sur un univers . A est un événement tel que P( A) 0 . Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant A le réel : PA ( B) P( B| A) P( A B) P( A) Exercices : 17 à 21 page 340 Propriétés : P( A B) P( A) PA ( B) P( B) PB ( A) PA ( A) 1 PA B 1 PA B Si A et B sont incompatibles A B alors PA ( B) PB ( A) 0 Démonstration : Exercice : Si P( A) 0 , démontrer que PA ( B) @Vincent Obaton PB ( A) P( B) (Théorème de Bayes) P( A) Site Internet : www.vincentobaton.fr 4 Lycée Stendhal (Grenoble) 3. Utilisation d’un arbre pondéré : Exercices 28 (Faire un arbre) Exercice 29 et Exercice 30 page 341 II. Formule de probabilités totales Définition (Partition de l’univers) : A1 , A2 , , An sont n événements de probabilité non nulle de l’univers. On dit que A1 , A2 , , An forment une partition de ou un système complet d’événements de si les Bi sont deux à deux disjoints (intersection vide) et si n i 1 A1 A2 Ai A1 A2 An A3 A4 A1 A2 A3 A4 @Vincent Obaton Site Internet : www.vincentobaton.fr 5 Lycée Stendhal (Grenoble) Théorème des probabilités totales : Si A1 , A2 , , An est un système complet d’événements de et si B est un événement de alors n P( B) P( B Ai ) P( B A1 ) P( B A2 ) i 1 P( B An ) et n P( B) PAi ( B)P( Ai ) PA1 ( B)P( A1 ) PA2 ( B)P( A2 ) i 1 PAn ( B)P( An ) Démonstration : Exercices : 33-37-39-40-42 page 342 et 343 Exercice 80 page 353 III. Indépendances d’événements Définition : On dit que deux événements A et B sont indépendants si P( A B) P( A) P( B) Théorème : A et B indépendants et P( A) 0 PA ( B) P( B) Propriété : Si A et B sont indépendants alors A et B le sont aussi Démonstration (exigible au BAC) B et B forment un système complet d’évènements de donc d’après la formule de probabilité total : P( A) Donc P( A B) Or A et B sont indépendants donc P( A B) Donc P( A B) @Vincent Obaton Site Internet : www.vincentobaton.fr