Niveau : Terminale S Titre Cours : Chapitre 05 Probabilités

Lycée Stendhal (Grenoble)
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I. Introduction, définition et propriétés
1. Activité d’introduction
Dans les classes de terminale S du lycée Stendhal, la répartition des 2nde langues se
fait de la façon suivante :
Esp : E
All : A
Ital : I
Total
Filles : F
17
6
7
Garçons : G
22
12
5
Total
a. Compléter le tableau ci-dessus
b. Si on choisit au hasard un des élèves de terminale S, quel sont les probabilités :
.............
() ............. PF 
.............
() ............. PG 
.............
() ............. PE 
.............
() ............. PA 
.............
() ............. PI 
.............
()
.............
P F E
.............
()
.............
P F A
.............
()
.............
P F I
c. Déterminer
( ) .............
( ) .............
P F E
PF
( ) .............
( ) .............
P F A
PF
( ) .............
( ) .............
P F I
PF
Niveau :
Terminale S
Titre Cours :
Chapitre 05
Probabilités Conditionnelles
Année :
2014-2015
Jakob Bernoulli
(27 Décembre 1654-16 Août 1705)
Citation du moment :
« L'incertitude n'est pas dans les choses mais dans notre tête : l'incertitude est une
méconnaissance » (Jakob Bernoulli)

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d. Déterminer la probabilité que l’élève fasse espagnol sachant que c’est une fille.
On notera cette probabilité
( | )P E F
ou
()
F
PE
:
e. Déterminer la probabilité que l’élève fasse allemand sachant que c’est une
fille. On notera cette probabilité
( | )P A F
ou
()
F
PA
:
f. Déterminer la probabilité que l’élève fasse italien sachant que c’est une fille.
On notera cette probabilité
( | )P I F
ou
()
F
PI
:
g. Comparer
()PF
et
( ) ( ) ( )P F E P F A P F I    
h. Compléter l’arbre ci-dessous :

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2. Définition et propriétés
Définition :
p
est une probabilité sur un univers . A est un événement tel que
( ) 0PA 
.
Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant A le réel :
()
( ) ( | ) ()
A
P A B
P B P B A PA
Exercices : 17 à 21 page 340
Propriétés :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AB
P A B P A P B P B P A    
( ) 1
A
PA
1
AA
P B P B
 Si A et B sont incompatibles
AB  
alors
( ) ( ) 0
AB
P B P A
Démonstration :
Exercice : Si
( ) 0PA 
, démontrer que
( ) ( )
() ()
B
A
P A P B
PB PA
(Théorème de Bayes)

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3. Utilisation d’un arbre pondéré :
Exercices 28 (Faire un arbre) Exercice 29 et Exercice 30 page 341
II. Formule de probabilités totales
Définition (Partition de l’univers) :
12
, , , n A A A
sont
n
événements de probabilité non nulle de l’univers. On dit que
12
, , , n A A A
forment une partition de ou un système complet d’événements de
si les
i
B
sont deux à deux disjoints (intersection vide) et si
12
1
n
in
i
A A A A
1 2 3 4
A A A A    
A1
A2
A3
A4

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Théorème des probabilités totales :
Si
12
, , , n A A A
est un système complet d’événements de et si B est un événement
de alors
12
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
in
i
P B P B A P B A P B A P B A
et
12
12
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
in
n
A i A A A n
i
P B P B P A P B P A P B P A P B P A
Démonstration :
Exercices : 33-37-39-40-42 page 342 et 343 Exercice 80 page 353
III. Indépendances d’événements
Définition :
On dit que deux événements A et B sont indépendants si
( ) ( ) ( )P A B P A P B  
Théorème : A et B indépendants et
( ) 0PA 
( ) ( )
A
P B P B
Propriété : Si A et B sont indépendants alors A et
B
le sont aussi
Démonstration (exigible au BAC)
B et
B
forment un système complet d’évènements de donc d’après la formule de
probabilité total :
()PA 
Donc
()P A B
Or A et B sont indépendants donc
()P A B
Donc
()P A B