Mémoire de mathématiques. Propriétés différentielles de formes

Olivier Bouillot
Universit´e Paris Sud , Orsay.
M´emoire de math´ematiques.
Master 2 de math´ematiques.
Th´eorie des nombres.
Propri´et´es diff´erentielles
de formes modulaires.
Sous la direction de
M. Daniel Bertrand.
Institut de Math´ematiques de Chevaleret.

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Table des mati`eres
1 Introduction. 7
2 La fonction G2. 9
2.1 D´efinition et propri´et´e de la fonction G2. ................... 9
2.1.1 D´efinition ................................ 9
2.1.2 Perte du caract`ere modulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Fonction G∗
2. .................................. 13
2.2.1 Estimation de l’int´egrale de Fourier ZR
e−2iπxt
(t+iy)2+ s
2(t−iy)s 2
dt . . . 14
2.2.2 Calcul de X
(m,n)∈Z2−{(0,0)}
1
(mz +n)2|mz +n|spour z∈ H et s∈C,
<e s > 0. ................................ 16
2.2.3 D´efinition de la fonction G∗
2, et propri´et´e. . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Fonctions E2et E2∗. .............................. 21
3 Formes modulaires presque holomorphes et formes quasi-modulaires. 23
3.1 Introduction des formes quasi-modulaires et des formes modulaires presques
holomorphes. .................................. 23
3.1.1 Motivations................................ 23
3.1.2 D´efinitions et premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Premi`eres propri´et´es des formes quasi-modulaires et des formes modulaires
presqueholomorphes............................... 27
3.2.1 Utilit´e de la profondeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Structure d’alg`ebre gradu´ee sur f Met c M. .............. 28
3.2.3 Op´erateurs diff´erentiels sur c Mk(Γ) et f Mk(Γ). ............ 30
3.2.4 Etude des coefficients des formes quasi-modulaires et des formes
modulaires presque-holomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Isomorphisme entre f Mk(Γ) et c Mk(Γ). .................... 41
3.4 Structure de c M≤s
k(Γ) et f
M≤s
k(Γ) o`u Γ est un sous-groupe de congruence
de SL2(Z). ................................... 44
3.4.1 Structure de c M≤s
k(Γ) et f
M≤s
k(Γ). .................. 44
3.4.2 Cas particulier de c M≤s
k(SL2(Z)) et c
M≤s
k(SL2(Z))........... 47
4 Valeurs sp´eciales de formes modulaires presque holomorphes : th´eor`eme
de Shimura. 51
4.1 Quelques notations et rappels de propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Rappels de notations autour des formes modulaires. . . . . . . . . . 51
3

4.1.2 Notations autour des formes modulaires presques holomorphes arithm´etiques. 52
4.1.3 Notation autour des op´erateurs diff´erentiels introduit par Shimura,
et propri´et´es ´el´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Le th´eor`eme de Shimura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Valeurs sp´eciales de formes modulaires arithm´etiques. . . . . . . . . 55
4.2.2 Propri´et´es arithm´etiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Principe de la d´emonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Vers la d´emonstration du th´eor`eme de Shimura. . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Des lemmes interm´ediaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2 D´emonstration de la propri´et´e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 D´emonstration du th´eor`eme de Shimura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Autour d’un probl`eme de Katz. 69
5.1 R´eseau `a multiplications complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Point de d´epart : un corollaire au th´eor`eme de Shimura. . . . . . . . . . . 70
5.3 L’´enonc´e du probl`eme pos´e par N. Katz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Lien avec une conjecture de [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Int´erˆet du probl`eme de Katz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 O`u se trouve la difficult´e dans ce probl`eme ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6.1 Sch´ematisation d’une d´emonstration de transcendance. . . . . . . . 76
5.6.2 Quelques pistes pour le probl`eme de Katz. . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Formes modulaires, th´eorie de Eichler-Shimura et ´equations diff´erentielles. 79
6.1 Equation diff´erentielle non lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Equation diff´erentielle lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 Conclusion. 83
A Fonctions elliptiques. 85
A.1 Th´eor`emes de Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.2 Fonctions elliptiques de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.3 Fonctions elliptiques et ´equations diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.4 Formuled’addition. .............................. 88
A.5 Fonction zˆeta de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B Fonctions modulaires. 89
B.1 Legroupemodulaire............................... 89
B.2 Fonctions et formes modulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.3 Alg`ebre des formes modulaires relativement `a SL2(Z). ........... 91
B.3.1 Z´eros et pˆoles d’une forme modulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.3.2 Description de l’espace des formes modulaires. . . . . . . . . . . . . 92
C S´eries d’Eisenstein. 93
C.1 D´efinitions. ................................... 93
C.1.1 Le cas o`u kest un entier sup´erieur `a 3. . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.1.2 Le cas o`u k=2.............................. 93
C.1.3 Premi`ere propri´et´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.2 D´eveloppement en s´erie, `a l’infini, des Gk. .................. 94
4

C.3 Lien avec les fonctions elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.3.1 D´eveloppement de Laurent en 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.3.2 S´erie d’Eisenstein G2et quasi - p´eriodes. . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.3.3 Expression de E2, E4et E6en notations elliptiques. . . . . . . . . . 95
C.4 Lien avec les formes modulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C.4.1 Exemples et contre - exemple de formes modulaires. . . . . . . . . 96
C.4.2 Alg`ebre des formes modulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C.4.3 Equations diff´erentielles v´erifi´ees par E2, E4, E6............ 96
D Discriminant et invariant modulaire. 97
D.1 Discriminant. .................................. 97
D.2 L’invariantmodulaire. ............................. 98
D.2.1 L’invariant modulaire et les courbes elliptiques. . . . . . . . . . . . 98
D.2.2 Fonctions modulaires de poids 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
E Autour du th´eor`eme de Nesterenko. 101
E.1 Le th´eor`eme et ses corollaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
E.2 Principe de d´emonstration du th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
E.3 Conjecture de Nesterenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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