TD1

Analyse fonctionnelle A. Leclaire
ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017
TD1
Exercice 1 Autour de la continuité
Soient E,F,Gtrois espaces topologiques et f:E→F,д:F→G.
1) Démontrer que fest continue en tout point de Esi et seulement si l’image réciproque par f
d’un ouvert est ouverte. Énoncer une propriété analogue avec les fermés.
2) Montrer que fest continue si et seulement si pour tout A⊂E,f(A)⊂f(A).
3) Montrer que si fet дsont continues, alors д◦fest continue.
4) On dit que fest séquentiellement continue si pour toute suite (xn)qui converge vers xdans E,
la suite f(xn)converge vers f(x)dans F.
a) Montrer que la continuité implique la continuité séquentielle.
b) Montrer que la réciproque est vraie si l’on suppose que Eest un espace métrique.
Exercice 2 Adhérence, valeurs d’adhérence et points d’accumulation
Soient Eun espace topologique séparé et A⊂E.
1) Rappeler les dénitions de point adhérent, point isolé et point d’accumulation de A.
2) Soit (xn)une suite d’éléments de Eet soit X={xn,n∈N}.
On note Al’ensemble des valeurs d’adhérence de (xn).
a) Montrer que les points d’accumulation de Xsont des valeurs d’adhérence de (xn).
Est-ce que la réciproque est vraie ?
b) Est-ce que X=A? Exprimer Xen fonction de Xet A.
c) Montrer que
A=\
n>0
{xp,p>n}.
d) Est-ce que
A=\
n>0
{xp,p>n}?
3) Soit Dune partie dense de Eet d∈D. À quelle condition D\ {d}est encore dense dans E?
Exercice 3 Fonctions distances et séparation des fermés
Soit (E,d)un espace métrique.
1) a) Montrer que pour tout x∈E,y7→ d(x,y)est 1-lipschitzienne.
En déduire qu’une boule fermée est fermée et qu’une boule ouverte est ouverte.
b) Montrer que d:E×E→R+est continue.
2) Soit Aune partie non vide de E.
On rappelle que la distance d’un point xà la partie Aest dénie par d(x,A)=inf
a∈Ad(x,a).
a) Montrer que x7→ d(x,A)est continue.
b) Montrer que d(x,A)=0⇐⇒ x∈A.
1/12

3) On rappelle que la distance entre deux parties non vides Aet Bde Eest dénie par
d(A,B)=inf
a∈A,b∈Bd(a,b).
a) Soient F⊂Eet K⊂Enon vides disjoints avec Ffermé et Kcompact.
Montrer que d(K,F)>0.
b) Donner un exemple de deux fermés disjoints F1et F2d’un métrique Etels que d(F1,F2)=0.
4) Soient A,Bdeux fermés non vides disjoints de Eet a<bdans R.
a) Montrer qu’on peut construire φ:E→[a,b] continue qui vaut asur Aet bsur B.
b) En déduire qu’il existe deux ouverts disjoints Uet Vde Etels que A⊂Uet B⊂V.
Exercice 4 Distances ultramétriques
Soit (E,d)un espace métrique. On supposera que dest ultramétrique, c’est-à-dire que
∀x,y,z∈E,d(x,z)6max(d(x,y),d(y,z)) .
1) Soient x,y,z∈E. Montrer que d(x,y),d(y,z)=⇒d(x,z)=max(d(x,y),d(y,z)) .
(Autrement dit, tout triangle est isocèle.)
2) Montrer qu’une boule ouverte est fermée et que tout point d’une boule ouverte en est un
centre. En déduire que deux boules ouvertes non disjointes sont comparables pour l’inclusion.
3) Montrer qu’une boule fermée est ouverte et que tout point d’une boule fermée en est un centre.
4) Montrer qu’une suite (xn)∈ENest de Cauchy si et seulement si lim
n→∞ d(xn,xn+1)=0.
5) Montrer que la distance discrète sur E, dénie par δ(x,y)=1x,y, est ultramétrique.
Trouver les suites de Cauchy pour cette distance. Un tel espace est-il complet ?
Exercice 5 Complété d’un espace métrique
Soit (E,d)un espace métrique. On va montrer qu’il existe un espace métrique complet qui
admet un sous-espace dense s’identiant isométriquement à E. Aussi, on va montrer que cet
espace complet est unique à isométrie bijective près.
1) (Existence) Fixons un point a∈E. Pour x∈E, considérons la fonction ix:E→Rdénie par
∀y∈E,ix(y)=d(x,y)−d(a,y).
Montrer que ix∈Cb(E). En déduire qu’il existe une isométrie i:E→Cb(E).
En déduire un espace complet ˆ Edans lequel i(E)est dense.
2) (Unicité) Soient F1,F2deux espaces métriques complets et j1:E→F1et j2:E→F2deux
isométries telles que j1(E)est dense dans F1et j2(E)est dense dans F2.
Construire une isométrie bijective de F1dans F2.
3) Quels sont les complétés des espaces métriques suivants ?
a) L’espace Qdes rationnels muni de la distance induite par la valeur absolue.
b) L’espace des fonctions polynômiales sur [0,1] muni de la norme uniforme.
c) L’espace Cc(R)des fonctions à support compact dans Rmuni de la norme uniforme.
d) L’espace C([0,1])des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme f7→ R1
0|f(x)|pdx 1/p.
2/12

Exercice 6 Une métrique rendant Rnon complet
Dans cet exercice, on considère sur R, la distance ddénie par
d(x,y)=|Arctan(x)−Arctan(y)|.
Montrer que (R,d)n’est pas complet.
Exercice 7 Un exemple de topologie non métrisable
Soit E=[0,1][0,1] l’ensemble des fonctions de [0,1] dans [0,1] muni de la topologie produit.
1) Donner une base d’ouverts de E. Que signie que (fn)converge vers fdans E?
2) On appelle fonction simple toute fonction de [0,1] dans [0,1] nulle en dehors d’un nombre ni
de points. Montrer que l’ensemble des fonctions simples est dense dans E.
3) Montrer que la fonction constante 1n’est pas limite de fonctions simples.
4) En déduire que la topologie de la convergence simple sur En’est pas métrisable.
Exercice 8 Espaces séparables... ou pas
On rappelle qu’un espace topologique est dit séparable s’il admet une partie dénombrable dense.
1) Montrer qu’un ouvert Ω⊂Rdest séparable.
2) Montrer qu’un espace métrique compact Kest séparable.
3) Soit un ouvert Ω⊂Rd.
a) Montrer que si p<∞, alors Lp(Ω)est séparable.
(On pourra admettre que Cc(Ω)est dense dans Lp(Ω).)
b) On va voir que ce résultat n’est plus vrai pour p=∞.
Pour tout a∈Ω, on note ra=sup{r>0|B(a,r)⊂Ω}.
On note Oala boule ouverte de L∞(Ω)centrée en 1B(a,ra)et de rayon 1
2.
Montrer que (Oa)a∈Ωest une famille d’ouverts non vides disjoints deux à deux.
En déduire que L∞(Ω)n’est pas séparable.
Exercice 9 Autour des théorèmes de point xe
1) Soient (K,d)un espace métrique compact et f:K→K. On suppose que
∀x,y∈K,x,y=⇒d(f(x),f(y)) <d(x,y).
Montrer que fadmet un point xe aunique.
Indication : on pourra raisonner sur le minimum de x7→ d(x,f(x)).
Montrer de plus que pour tout x0∈E, la suite xn=fn(x0)converge vers a.
Indication : on pourra considérer la suite dn=d(a,xn).
2) Soient Kun compact convexe d’un espace vectoriel normé et f:K→Ktelle que
∀x,y∈K,kf(x)−f(y)k6kx−yk.
Montrer que fadmet au moins un point xe a.
Indication : pour t∈]0,1[, on pourra considérer l’application contractante ft(x)=(1−t)f(x)+tx0avec x0est xé.
3/12

Correction :
Exercice 1 Autour de la continuité
1) Supposons que fsoit continue et soit Uun ouvert de F. Pour tout x∈f−1(U),Uest un
voisinage ouvert de f(x), donc par continuité de f, il existe Vun voisinage de xdans Etel que
f(V)⊂Ui.e. V⊂f−1(U)et donc f−1(U)est un voisinage de x. Par suite, f−1(U)est ouvert.
Réciproquement, supposons que pour tout ouvert Ude F,f−1(U)soit ouvert dans E. Mon-
trons que fest continue en un point x∈E. Soit Vun voisinage de f(x)dans F. Il contient un
ouvert Ucontenant f(x). Par hypothèse, f−1(U)est un voisinage ouvert de xdont l’image par f
est contenue dans V. Ainsi fest continue en x.
Par passage au complémentaire, on en déduit immédiamement que fest continue si et seule-
ment si l’image réciproque par fd’un fermé est fermée.
2) Supposons fcontinue et soit A⊂E. Par la question précédente, f−1(f(A)) est un fermé
contenant A. Par dénition de l’adhérence, on a donc A⊂f−1(f(A)) i.e. f(A)⊂f(A).
Réciproquement, supposons que pour tout A⊂E,f(A)⊂f(A). Soit Bun fermé de F. Po-
sons A=f−1(B). On voit que Aest fermé car
A⊂f−1(f(A)) ⊂f−1(B)=f−1(B)=A.
3) Supposons fet дcontinues. Pour tout ouvert Ude G,д−1(U)est ouvert dans Fet donc
f−1(д−1(U)) =(д◦f)−1(U)
est ouvert dans E. Cela prouve que д◦fest continue par la première question.
4) a) Supposons fcontinue et soit (xn)convergeant vers xdans E. Si Vest un voisinage de f(x),
f−1(V)est un voisinage de x(par continuité de f) et donc il existe Ntel que pour tout n>Non
ait xn∈f−1(V)i.e. f(xn)∈V. Cela prouve que f(xn)→f(x)dans F.
b) On suppose maintenant Emétrique et que pour toute suite (xn)convergeant vers xdans E,
f(xn)converge vers f(x)dans F. Par l’absurde, supposons fnon continue en x, c’est-à-dire qu’il
existe un voisinageVde f(x)tel que f−1(V)ne soit pas un voisinage de x. Comme Eest métrique,
cela signie qu’il ne contient aucune boule contenant x, et donc pour tout n>1, il existe xn∈E
tel que d(x,xn)<1
net qui n’est pas dans f−1(V). Mais alors on a xn→xdans E, et avec
l’hypothèse, f(xn)→f(x). En particulier, il existe un rang ntel que f(xn)∈Vce qui contredit
que xn<f−1(V). Finalement, fest bien continue en x.
Exercice 2 Adhérence, valeurs d’adhérence et points d’accumulation
Notons V(x)l’ensemble des voisinages du point x.
1) Un point x∈Eest adhérent à Asi tout voisinage de xrencontre A.
Un point x∈Aest dit isolé dans As’il existe V∈ V (x)tel que V∩A={x}.
Un point x∈Eest appelé point d’accumulation de Asi pour tout V∈ V (x),V∩Acontient
un point distinct de x.
Remarques :
•Dire que xest isolé dans Arevient à dire que {x}est ouvert dans A(pour la topologie induite).
•xest point d’accumulation de As’il est adhérent à A\ {x}.
•Si x∈A, alors xest soit point isolé de Asoit point d’accumulation de Aselon que {x}est ouvert
dans Aou non.
4/12

•Si x∈A\A, alors xest point d’accumulation de A.
•L’adhérence de Aest l’union disjointe des points isolés de Aet de ses points d’accumulation.
•Vu que l’on a supposé Eséparé, alors xest point d’accumulation de Asi et seulement si tout
voisinage de xcontient une innité de points de A. En eet, si xest point d’accumulation de Aet
si Uest un voisinage ouvert de x, alors U∩Acontient un point x0,x. Dès lors, {x0}cest ouvert
(car Eest séparé) donc U\ {x0}est encore un voisinage ouvert de xdonc contient un point x1,x.
Puis U\ {x0,x1}contient un point x2,xetc.
2) On rappelle que `est valeur d’adhérence de (xn)si pour tout voisinage Vde `, il existe une
innité d’indices ntels que xn∈V.
a) Si `est point d’accumulation de X, et si Vest un voisinage de `, alors d’après la remarque
précédente, `contient une innité de points de Xet donc en particulier contient les xnpour une
innité d’indices n. Donc `est valeur d’adhérence de (xn).
La réciproque est fausse. Par exemple, pour xn=(−1)ndans R, 1 est valeur d’adhérence, mais
n’est pas un point d’accumulation de X={−1,1}.
b) On n’a pas nécessairement X=Acar Xcontient toutes les valeurs de la suite, qui ne
sont pas nécessairement des valeurs d’adhérence. Par exemple, dans R, la suite xn=nn’a pas de
valeur d’adhérence, mais Xcontient tous les entiers naturels.
En fait, on a X=X∪ A. En eet, l’inclusion ⊃est claire et pour l’autre, si `∈X\X, alors
nécessairement `est point d’accumulation de Xet donc est valeur d’adhérence (question 2a).
c) On remarque que
l∈ A
⇐⇒ ∀V∈ V (l),∀n∈N,∃p>n,xp∈V
⇐⇒ ∀n∈N,∀V∈ V (l),V∩ { xp,p>n},∅
⇐⇒ ∀n∈N,l∈ { xp,p>n}
⇐⇒ l∈\
n>N
{xp,p>n}.
d) C’est faux. Remarquons que \
n>0
{xp,p>n}est l’ensemble des valeurs de la suite qui se
répètent une innité de fois. Cet ensemble peut donc être vide, même s’il existe une valeur d’adhé-
rence. Ainsi, pour la suite xn=1
n+1dans R, 0 est valeur d’adhérence alors que \
n>0
{xp,p>n}
est vide.
3) D\ {d}est dense dans Esi et seulement si dn’est pas un point isolé de D. En eet, si dn’est pas
isolé dans D, alors un ouvert non vide Ude Erencontre nécessairement Den un point distinct
de det donc rencontre D\ {d}.
Réciproquemenet, si D\{d}est dense dans E, alors tout voisinage ouvertUde drencontre D\ {d},
ce qui prouve que dn’est pas un point isolé de D.
Exercice 3 Fonctions distances et séparation des fermés
1) a) On xe x∈E. Pour tous y,z∈E, l’inégalité triangulaire donne
−d(y,z)6d(x,y)−d(x,z)6d(y,z),
d’où
|d(x,y)−d(x,z)|6d(y,z).
5/12