XCH2 Algebre lineaire-exo2

ALG` EBRE LIN´ EAIRE ET G´ EOM´ ETRIE AFFINE
1. Espaces vectoriels, applications lin´ eaires
1.1. Bases, sommes directes.
Exercice 1.1.1.F
Soit Eun ensemble non vide.
(1) Montrer que (P(E),∆, .) est un e.v. sur Z2Zo`u ∆ est d´efinie par
A∆B= (A∩Bc)∪(B∩Ac)
(Acest le compl´ementaire de Adans E) et la loi externe par 0.A =∅, 1.A =A.
(2) Si Eest fini, donner une base de P(E).
Exercice 1.1.2.F
Montrer que la famille (fn)n∈N∗o`u fn(x) = sin nx est une famille libre de RR.
Exercice 1.1.3.F
Soit E=RN; si x∈R, soit Sxla suite (xn)n∈N. En utilisant le fait que lim
n→∞ xn= 0 lorsque
x∈]0,1[, d´emontrer que la famille (Sx)x>0est libre dans E.
Exercice 1.1.4.I
´
Etudier dans C∞(R,R) l’ind´ependance de la famille (f, f ◦f, f ◦f◦f) avec f(x) = sin x.
Exercice 1.1.5.I C
Soit (α, β)∈R2,α < β, on note El’espace vectoriel sur Rdes fonctions de [α, β] dans R
continues et affines par morceaux. Si a∈[α, β] on pose fa(x) = |x−a|.
Montrer que la famille (fa)a∈[α,β]est une base de E.
Exercice 1.1.6.D
Soit (Fi)i∈Nune suite de sous-espaces vectoriels de Eespace vectoriel r´eel de dimension n. On
suppose que tous les Fiont la mˆeme dimension p < n.
(1) Montrer que
+∞
[
i=0
Fi6=E.
(2) Montrer que l’on peut trouver un sous-espace vectoriel Wde Etel que, pour chaque i,
W⊕Fi=E.
1

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Exercice 1.1.7.F C
Soient pet qdeux projecteurs d’un espace vectoriel E.
(1) Id −pest-il un projecteur ?
(2) Montrer que p+qest un projecteur ssi p◦q=q◦p= 0.
(3) Montrer que p◦qest un projecteur si p◦q=q◦p.
1.2. Image et noyau d’une application lin´eaire.
Exercice 1.2.1.I
Soit Ele R-e.v. des fonctions de classe C∞et 2π-p´eriodiques de Rdans Ret Dl’endomor-
phisme qui `a fassocie sa d´eriv´ee seconde f′′.
Montrer que E= Ker(D)⊕Im(D).
Exercice 1.2.2.I T
Soient x1,...,xnnr´eels distincts, E=R2n−1[X] et les formes lin´eaires sur Ed´efinies par
∀P∈E, ui(P) = P(xi), vi(P) = P′(xi), i ∈[1, n].
(1) Montrer que (u1,...,un, v1,...,vn) est une base de E∗.
(2) ` A l’aide du polynˆome T=
n
Q
i=1
(X−xi) et de ses d´eriv´ees, trouver sa base ant´eduale.
Exercice 1.2.3.I
Soient Fet Gdes polynˆomes `a coefficients complexes, F(X) =
m
P
i=0
aiXi,am6= 0 G=
n
P
i=0
biXi,
bn6= 0. On d´efinit
ϕ: (U, V )∈(C[X]27→ F U +GV ∈C[X].
(1) Montrer que Im ϕest un id´eal de C[X].
(2) Montrer que la restriction de ϕ`a Cn−1[X]×Cm−1[X] est injective ssi F∧G= 1.
En d´eduire que Fet Gont une racine commune ssi
a00b00
.
.
.....
.
....
.
.
.a0b0
am
.
.
.bn
.
.
.
....
.
.....
.
.
0am0bn
= 0.
1.3. Dualit´e en dimension finie.
Exercice 1.3.1.F T
Sur C3on consid`ere les formes lin´eaires ϕ1,ϕ2,ϕ3d´efinies par :
∀(x, y, z)∈C3, ϕ1(x, y, z) = x+ 2y−3z, ϕ2(x, y, z) = 5x−3y, ϕ3(x, y, z) = 2x−y−z.
V´erifier que (ϕ1, ϕ2, ϕ3) est une base de (C3)∗et d´eterminer la base (ε1, ε2, ε3) dont (ϕ1, ϕ2, ϕ3)
est la base duale.

ALG ` EBRE LIN ´ EAIRE ET G ´ EOM´ ETRIE AFFINE 3
Exercice 1.3.2.F
Soient E1et E2deux espaces vectoriels sur R.
Trouver un isomorphisme canonique de E∗
1×E∗ 2sur (E1×E2)∗.
Exercice 1.3.3.F
Soit E={P∈R[X],deg P6n}.
(1) ´ Etant donn´e n+ 1 ´el´ements α0, α1...,αnde R, on leur associe les n+ 1 formes lin´eaires
y∗
0, y∗ 1,...,y∗ nd´efinies par y∗
k:p7→ P(αk).
Montrer que (y∗
0, y∗ 1,...,y∗ n) est une base de E∗ssi les αisont deux `a deux distincts.
(2) Soit f∈ C0([0,1],R), montrer qu’il existe (a0,...,an)∈Rn+1 tel que
∀P∈Rn[X],Z1
0
f(x)P(x) dx=
n
X
i=0
aiP(αi).
Exercice 1.3.4.F
Montrer qu’il existe 4 r´eels c,x1,x2,x3tels que :
∀P∈R3[X],Z+1
−1
P(x)
√1−x2dx=c[P(x1) + P(x2) + P(x3)].
Exercice 1.3.5.F
Soit Eun C-e.v. de dimension finie n>1.
(1) Si (x, y)∈E2, x 6=ymontrer alors qu’il existe une ϕ∈E∗telle que ϕ(x)6=ϕ(y) (on
dit que E∗s´epare les points de E).
(2) R´eciproque : si V⊂E∗est un s.e.v. s´eparant les points de E, montrer que V=E∗.
Exercice 1.3.6.I
Soit E=Cn[X], on d´efinit ∆ op´erateur diff´erence de Epar ∆(P(X)) = P(X+ 1) −P(X) et
ϕkdans E∗par ϕk(P) = (∆k(P))(0).
Montrer que l’ensemble des ϕkpour k∈[0, n] est une base de E∗; trouver la base antiduale.
1.4. Trace d’un endomorphisme.
Exercice 1.4.1.D
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif Kde caract´eristique
nulle et p1,...,pkdes projecteurs de Edont la somme est un projecteur.
Montrer que, si i6=j,pi◦pj= 0.
Exercice 1.4.2.D
Soit pun nombre premier.
(1) Si Aet Bsont deux matrices carr´ees `a coefficients entiers, montrer que
Tr(A+B)p≡Tr(Ap) + Tr(Bp)[p].
(2) D´eduire du (1) que, pour toute matrice A∈Mn(Z), Tr(Ap)≡Tr(A)[p].

4 ALG ` EBRE LIN ´ EAIRE ET G ´ EOM´ ETRIE AFFINE
Exercice 1.4.3.D T
On appelle d´erivation d’une alg`ebre Atout endomorphisme Dde A(en tant qu’espace vectoriel)
v´erifiant
∀(a, b)∈ A2, D(ab) = D(a)b+aD(b).
(1) Si A∈ Mn(K), montrer que DA:M∈ Mn(K)7→ AM −MA ∈ Mn(K) est une
d´erivation de l’alg`ebre Mn(K) (appel´ee d´erivation int´erieure). D´eterminer les matrices
Atelles que DA= 0.
(2) Montrer que toute d´erivation de Mn(K) est de la forme DA(consid´erer D(Eij)).
Exercice 1.4.4.I
Si A= (aij )∈ Mn(R), on dit que Aest une matrice magique si
n
P
i=1
aij =
n
P
j=1
aij =
n
P
i=1
aii.
L’objet de cet exercice est de chercher la dimension de An(R) ensemble des matrices magiques.
On d´efinit les formes lin´eaires suivantes :
Li(A) =
n
X
j=1
aij , Cj(A) =
n
X
i=1
aij , D(A) = Tr(A).
(1) Montrer que la famille (L1,...,Ln, C1,...,Cn) est li´ee.
(2) Montrer que la famille (L1,...,Ln, C1,...,Cn−1, D) est libre.
(3) Montrer finalement que dim An(R) = (n−1)2.
1.5. Calcul matriciel et syst`emes d’´equations lin´eaires.
Exercice 1.5.1.I
´
Etant donn´e P(X) =
n
P
k=0
akXk, soit A= (aij)∈ Mn+1(R) o`u aij =P(αi−1+βj−1)
(α0,...,αn, β0,...,βn´etant 2n+ 2 ´el´ements de R) ; on se propose de calculer det A.
On pose V(x0, x1,...,xn) = det X=
1x0. . . xn
0
1x1. . . xn
1
. . . .
1xn. . . xn
n
=Q
06i<j6n
(xj−xi).
Montrer que A=BCD o`u B,C,Dsont 3 matrices carr´ees Bet D´etant de la forme de X
ci-dessus, C´etant une matrice ”triangulaire invers´ee’. En d´eduire det A.
Exercice 1.5.2.I C
Montrer que le rang d’une matrice est ´egal `a l’ordre maximal du mineur extrait non nul.
Exercice 1.5.3.I
Soit A=A11 A12
A21 A22o`u la matrice Aa ´et´e d´ecompos´ee par blocs, A11 ∈ Mr(R), A22 ∈
Mn−r(R), r∈[[1, n −1]].
Montrer que, si Rg A= Rg A11 =ralors A22 =A21A−1
11 A12.

ALG ` EBRE LIN ´ EAIRE ET G ´ EOM´ ETRIE AFFINE 5
Indication 1.1.1
(1) Imm´ediat.
(2) Si Card E=nalors Card P(E) = 2ndonc dim P(E) = n.
Indication 1.1.2 Proc´eder par r´ecurrence ou utiliser le calcul int´egral.
Indication 1.1.3 Raisonner par r´ecurrence sur le nombre d’´el´ements d’une sous-famille et faire
intervenir le plus grand xdes Sx.
Indication 1.1.4 Prendre une combinaison lin´eaire et ´ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre
5.
Indication 1.1.5 La famille est libre (vu en cours) et pour montrer qu’elle est g´en´eratrice,
utiliser c=c
β−α(|x−α|+|x−β|)∈Vect(fa) et (x−a)+=(0 pour x < a
(x−a) pour x>aappartient
`a Vect(fα, fa, fβ).
Indication 1.1.6
(1) Raisonner par l’absurde et prouver par r´ecurrence sur kque si (x1,...,xk) sont kvec-
teurs de Ealors il existe un indice itel que ces kvecteurs soient dans le mˆeme espace
Fi.
(2) Utiliser le (1) pour trouver un vecteur n’appartenant `a aucun des Fipuis raisonner par
r´ecurrence finie sur p= dim Fi.
Indication 1.1.7
(1) Imm´ediat.
(2) On a p◦q+q◦p= 0 et on compose par p`a gauche et `a droite.
(3) Calcul imm´ediat.
Indication 1.2.1 On montre que Ker(D) est l’ensemble des fonctions constantes puis, si f∈E
on montre que g(x) = f(x)−1
2πR2π
0f(t) dt∈Im(D).
Indication 1.2.2
(1) Montrer que f:P∈R2n−1[X]7→ (u1(P),...,un(P), v1(P),...,vn(P)) ∈R2nest un
isomorphisme.
(2) Si Ti=Qj6=i(X−xj) alors, en posant Qi=T Ti
[T′(xi)]2et Pi= [T′(xi)−(X−
xi)T′′(xi)] T2
i
[T′(xi)]3, montrer que (Pi, Qj) est la base cherch´ee.
Indication 1.2.3 Montrer que ϕ[(C[X])2] = F∧GC[X].
L’injectivit´e ne pose pas de probl`eme puis ´ecrire la matrice de la restriction de ϕ`a
Cn−1[X]×Cm−1[X], corestreinte `a Cn+m−1[X] dans de bonnes bases.
Indication 1.3.1 On peut utiliser le d´eterminant puis r´esoudre les ´equations obtenues en
´ecrivant ϕi(εj) = δij .
Indication 1.3.2 Si (f1, f2)∈E∗
1×E∗ 2, d´efinir f: (x1, x2)∈E1×E27→ f(x1, x2) = f1(x1) +
f2(x2).
Indication 1.3.3
(1) Le sens direct est imm´ediat, pour la r´eciproque, penser aux polynˆomes d’interpolation
de Lagrange.
(2) Utiliser la base pr´ec´edente.
Indication 1.3.4 Utiliser les fonctions sym´etriques ´el´ementaires de x1,x2,x3, cf. d´efinition
8.3.13 page 141.
Indication 1.3.5
(1) Pour tout vecteur non nul uil existe ϕ∈E∗tel que ϕ(u)6= 0.
(2) Prendre une base de Vque l’on compl`ete et raisonner par l’absurde.