Les équations différentielles stochastiques: une introduction Plan de

Les ´equations diff´erentielles stochastiques:
une introduction
Les m´ethodes stochastiques dans les sciences de la gestion
6-640-93
Genevi`eve Gauthier
Derni`ere mise `a jour : 19 mars 2002
Plan de la pr´esentation
•Les ´equations diff´erentielles ordinaires
•Une introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques
Les ´equations diff´erentielles ordinaires
Lorsquenousmod´elisons certaines situations, nous ne savons pas a priori
quelle fonction nous devons utiliser, car nous n’avons qu’une connaissance
locale du comportement de notre syst`eme. Par exemple, supposons que
f(t)repr´esente le prix d’une denr´ee `a l’instant t.Nous´ecrivons
f(t+∆t)−f(t)=µ∆tf(t)o`uµ≥0
pour signifier que la variation f(t+∆t)−f(t)duprixdeladenr´ee au
cours d’une p´eriode de temps est proportionnelle `a la longueur ∆tde la
p´eriode de temps consid´er´eeainsiqu’auprixf(t)deladenr´ee au d´ebut
de la p´eriode, c’est-`a-dire µ∆tf(t),µ ´etant une constante. En divisant
de part et d’autre de l’´egalit´epar∆t,nousobtenons
f(t+∆t)−f(t)
∆t=µf(t).
Prenons maintenant la limite lorsque ∆ttend vers z´ero :
d
dtf(t) = lim
∆t→0
f(t+∆t)−f(t)
∆t=lim
∆t→0µf(t)=µf(t).
Les ´equations diff´erentielles ordinaires (suite)
Rappelons que nous consid´erons l’´equation
d
dtf(t)=µf(t).
La notation souvent employ´ee pour les ´equations diff´erentielles permet de
r´e´ecrire l’´equation pr´ec´edente :
df(t)=µf(t)dt. (1)
Notons que, techniquement parlant, l’objet df(t) n’est pas bien d´efini.
Cette derni`ere ´equation n’est qu’une notation pour exprimer ”la d´eriv´ee
de la fonction est proportionnelle `alafonctionelle-mˆeme”, c’est-`a-dire
d
dtf(t)=µf(t).L’inconnue, dans cette ´equation, est la fonction f.
Nous cherchons les fonctions qui satisfont cette ´egalit´e.
1

Les ´equations diff´erentielles ordinaires (suite)
Rappelons que nous ´etudions l’´equation
df(t)=µf(t)dt. (1)
Il est possible de montrer que la fonction d´efinie pour tout t∈Rpar
f(t)=ceµt,o`ucest une constante quelconque, (2)
satisfait l’´equation (1). En effet, dans ce cas,
d
dtf(t)= d dtceµt =µceµt =µf (t).
Nous d´eterminons la constante c`a l’aide de la condition initiale. Nous
connaissons le prix f0de la denr´ee aujourd’hui. Par cons´equent,
f0=f(0) = ceµ×0=c,
ce qui entraˆıne que le prix de la denr´ee au temps test
f(t)=f0eµt.
Dans cet exemple, la connaissance du comportement infinit´esimal du prix
de la denr´ee (df(t)=µf(t)dt) et du prix initial f0suffit `ad´eterminer
de fa¸con exacte le prix `a tout instant.
Les ´equations diff´erentielles ordinaires (suite)
Rappelons que nous ´etudions l’´equation
df(t)=µf(t)dt. (1)
L’´equation (1) est un exemple d’une ´equation diff´erentielle ordinaire et
cederniersecomportedefa¸con tout `a fait charmante puisqu’il existe au
moins une fonction fqui satisfait l’´equation (1) et, de plus, il est possible
de montrer que cette fonction est n´ecessairement de la forme d´ecrite en
(2) :
f(t)=f0eµt.
Les ´equations diff´erentielles ordinaires (suite)
Il existe des ´equations diff´erentielles ordinaires beaucoup moins sympa-
tiques. Par exemple,
df(t)=f(t)
t2dt. (3)
La solution de cette ´equation a la forme
f(t)=ce−1
to`ucest une constante.
Il faut maintenant sp´ecifier c`a l’aide de la condition initiale. Or f(0) = 0
quel que soit c, ce qui implique que (3) poss`ede une infinit´e de solutions
lorsque f(0) = 0 et n’en poss`ede aucune lorsque f(0) =0.
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Introduction aux ´equations
diff´erentielles stochastiques
Supposons maintenant que le processus stochastique S={St:t≥0}
repr´esente l’´evolution du prix d’un actif risqu´e. Nous ne connaissons pas,
en g´en´eral, la loi qui gouverne un tel processus, mais nous avons peut-ˆetre
une id´ee de son comportement local. Par exemple, sur un court intervalle
detempsdelongueur∆t, il est possible que ce prix ait tendance `a varier
proportionnellement `alalongueurdelap´eriode et au prix de l’actif au
d´ebut de la p´eriode. Nous ´ecrivons, pour d´ebuter,
St+∆t−St=µS
t∆t.
Si, en g´en´eral, les prix augmentent, alors µest une constante positive et
si les prix tendent `a diminuer, alors µest n´egative.
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Rappel
St+∆t−St=µS
t∆t
Il y a cependant un probl`eme avec cette derni`ere ´equation : nous ne
sommes pas certain que le prix varie proportionnellement `a la longueur de
la p´eriode et au prix de l’actif, nous pr´etendons seulement qu’il a tendance
`a le faire. Il faut donc incorporer `anotre´equation une erreur non pr´evisible.
Nous pouvons toutefois contrˆoler l’ampleur de cette erreur al´eatoire. Par
exemple, nous pouvons supposer qu’elle d´epend du prix de l’actif en d´ebut
de p´eriode. En effet, nous constatons que plus le prix est ´elev´e, plus le prix
de l’actif risqu´epeuts’´ecarter de la tendance. De plus, l’erreur al´eatoire
doit aussi d´ependre de la longueur de l’intervalle de temps consid´er´e : plus
l’intervalle est grand, plus le prix risque de s’´ecarter de la tendance. C’est
pourquoi nous ajoutons un terme stochastique `anotre´equation de d´epart.
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Le terme stochastique `a ajouter `anotre´equation initiale nous m`ene `a
l’´equation
St+∆t−St=µS
t∆t+σS t(∆t)1/2ξt(4)
o`uσest une constante positive et ξtest une variable al´eatoiredeloi
N(0,1) ind´ependante de {Su:0≤u≤t}. Cette derni`ere condition est
importante, car nous ne devons pas ˆetre capable de pr´edire l’erreur ξten
observantlecomportementduprixdel’actifrisqu´e ant´erieurement `ala
date t.
Cette ´equation est al´eatoire et doit ˆetre satisfaite par ”presque” tous les
ω,c’est-`a-dire que
Pr ω∈Ω:St+∆t(ω)−St(ω)=µS
t(ω)∆t+σS t(ω)(∆t)1
2ξt(ω)
vaut un.
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Concernant l’amplitude de l’erreur al´eatoire, remarquons que (∆t)1/2ξt
estdeloiN(0,∆t).De plus,
EσS
t(∆t)1
2ξt|σ{Su:u∈{0,∆t, 2∆t..., t}}=σSt(∆t)1 2E[ξt]
=0,
EσS
t(∆t)1
2ξt2|σ{Su:u∈{0,∆t, ..., t}}=σ2S2
t∆tE ξ2 t
=σ2S2
t∆t,
ce qui implique que l’´ecart-type conditionnel de notre terme d’erreur est
σSt(∆t)1/2. Ainsi, plus la longueur de l’intervalle de temps ∆test grande
ou plus le prix Stdu titre est ´elev´e, plus l’´ecart-type de l’erreur al´eatoire
est grand. Cela implique que les valeurs pouvant ˆetre prises par l’erreur
al´eatoire sont plus dispers´ees autour de son esp´erance (qui est de z´ero).
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Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Rappel
St+∆t−St=µS
t∆t+σS t(∆t)1/2ξt.(4)
R´e´ecrivons l’´equation (4) pour la p´eriode suivante :
St+2∆t−St+∆t=µS
t+∆t∆t+σS t+∆t(∆t)1/2ξt+∆t.
Si nous ne voulons pas ˆetre en mesure de pr´edire l’erreur ξt+∆t,ilfautque
cette derni`ere soit ind´ependante de {Su:u∈{0,∆t, ..., t +∆t}}.Pour
cette raison, nous introduisons le mouvement brownien puisqu’il est un
processus gaussien dont les incr´ements sont mutuellement ind´ependants :
St+∆t−St=µS
t∆t+σS tWt+∆t−Wt.(5)
Notons que la loi de Wt+∆t−Wtest la mˆeme que la loi de (∆t)1/2ξt:
elles sont toutes deux de loi N(0,∆t).
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Soit W={Wt:t≥0}un mouvement brownien construit sur un espace
probabilis´efiltr´e(Ω,F,F,P) tel que la filtration Fest celle engendr´ee par
le mouvement brownien, augment´ee de tous les ´ev´enements de probabilit´e
nulle, c’est-`a-dire que pour tout t≥0,
Ft=σ(Net Ws:0≤s≤t).
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Le prix de l’actif risqu´e aujourd’hui (t= 0) est connu avec certitude. S0
est donc (∅,Ω) −mesurable donc F0−mesurable. Reprenons l’´equation (5)
en prenant t=0.
S∆t
=S0
F0−mesurable
+µS
0∆t
F0−mesurable
+σS
0
F0−mesurable
(W∆t−W0)
F∆t−mesurable
ind´ependant de F0
F∆t−mesurable
Nous constatons que S∆test F∆t−mesurable. Nous pouvons montrer par
induction que Sn∆test Fn∆t−mesurable, quel que soit l’entier positif n.
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
En effet, supposons qu’il existe k∈{0,1,2,...}tel que Sk∆test Fk∆t−mesurabl
e
Alors
S(k+1) ∆t
=Sk∆t
Fk∆t−mesurable
+µS
k∆t∆t
Fk∆t−mesurable
+σS
k∆t
Fk∆t−mesurable W(k+1) ∆t−Wk∆t
F(k+1) ∆t−mesurable
ind´ependant de Fk∆t
F(k+1) ∆t−mesurable
ce qui implique que S(k+1) ∆test F(k+1) ∆t−mesurable. Notre processus
Shabite sur le mˆeme espace probabilis´efiltr´e que le mouvement brownien
Wque nous avons utilis´e pour le construire. 
4

Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Reprenons l’´equation (5)
St+∆t−St=µS
t∆t+σS tWt+∆t−Wt.
Lorsque les intervalles de temps de longueur ∆tdeviennent de longueur
infinit´esimale, nous obtenons une ´equation du type
dSt=µS
tdt +σS tdWt.
Cette derni`ere ´equation est un exemple d’´equation diff´erentielle stochas-
tique et elle devrait soulever quelques interrogations : (i) le terme σS
t
dWtn’est pas bien d´efini, particuli`erement si nous nous rappelons que les
trajectoires du mouvement brownien sont nulle part diff´erentiables ! (ii)
existe-t-il une solution `a cette ´equation ? et (iii) si cette solution existe,
est-elle unique et comment faisons-nous pour la trouver ?
Notons que la solution `a une ´equation diff´erentielle stochastique n’est pas,
commedanslecasdes´equations diff´erentielles ordinaires, une fonction
mais est un processus stochastique.
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Pour r´epondre `a ces questions nous consid´erons une ´equation diff´erentielle
stochastique sous une forme plus g´en´erale
dX (t)= b(X(t),t)
coefficient de d´erive
dt +a(X(t),t)
coefficient de diffusion
dW (t).(6)
o`u les fonctions a:R×[0,∞)→Ret b:R×[0,∞)→Rsont des
fonctions mesurables.
(i) Que signifions-nous par a(X(t),t)dW (t) ? Nous n’avons pas
d´efini ce terme. Dans les faits, l’´equation (6) est la forme diff´erentielle de
l’´equation int´egrale :
X(t)=X(0) + t
0b(X(u),u)du +t 0a(X(u),u)dW (u)
et nous connaissons maintenant la signification du terme
t
0a(X(u),u)dW (u).
Introduction aux ´equations diff´erentielles stochastiques (suite)
Il n’existe pas toujours de solution `a cette ´equation et nous verrons quelques
r´esultats nous donnant des conditions sur les fonctions bet aqui feront en
sorte qu’une solution existe. Pour r´epondre aux questions (ii) et (iii), nous
avons besoin de quelques outils suppl´ementaires.
R´ef´erences
Martin Baxter et Andrew Rennie (1996). Financial Calculus, an indroduc-
tion to derivative pricing, Cambridge university press.
Damien Lamberton et Bernard Lapeyre (1991). Introduction au calcul
stochastique appliqu´e`alafinance, Ellipses.
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