Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices

ECS 2, Cours chapitre 8 Octobre 2010
Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices
I Espaces vectoriels, combinaisons linéaires, familles de vecteurs
I.1 Premières définitions
I.1.a Axiomes
Kétant le corps des coefficients ou des scalaires, égal à Rou à C, un K-espace vectoriel (E, +, .)est défini par :
* un ensemble Edont les éléments sont souvent appelés “vecteurs”,
* une opération (ou loi de composition interne) +qui est :
- associative : ∀u, v, w ∈E, (u+v) + w=u+ (v+w) = u+v+w (on fait les opérations dans l’ordre qu’on veut).
- commutative: ∀u, v ∈E, u +v=v+u (on peut placer les vecteurs dans l’ordre qu’on veut).
- possédant un élément neutre noté 0 ou 0
E
ou
−→
0 appelé vecteur nul (∀u∈E, u + 0 = 0 + u=u).
- tout élément u de E possède un opposé, noté −u (tel que u+ (−u) = (−u) + u= 0 ).
* une opération externe notée . , application de K×Edans E, qui au couple (λ, u)associe un vecteur v=λ.u :
- pseudo-associative : ∀(λ, µ)∈K
2
,∀u∈E, λ.(µ.u) = (λ×µ).u .
- pseudo distributive à gauche : ∀(λ, µ)∈K
2
,∀u∈E, (λ+µ).u =λ.u +µ.u .
- pseudo distributive à droite : ∀λ∈K,∀(u, v)∈E
2
, λ.(u+v) = (λ.u) + (λ.v).
- 1 est un pseudo-élément neutre à gauche : ∀u∈E, 1.u =u.
Ces axiomes fixent les règles algébriques qui permettent de “gérer” les combinaisons linéaires...
I.1.b Combinaisons linéaires
Le vecteur wde Eest combinaison linéaire des vecteurs uet vde E(ou des vecteurs u
1
, u
2
, ..., u
n
de E) s’il existe un couple
(λ, µ)de K
2
, tel que : w=λ.u +µ.v. (ou un n-uplet (λ
1
, ...λ
n
)tel que w=
n
k=1
λ
k
u
k
) .
Théorème : une combinaison linéaire de combinaisons linéaires est une combinaison linéaire.
Si w
′
=
n
k=1
λ
′
k
u
k
et w
′′
=
n
k=1
λ
′′
k
u
k
alors αw
′
+βw” = α
n
k=1
λ
′
k
u
k
+β
n
k=1
λ
′′
k
u
k
=
n
k=1
(αλ
′
k
+βλ
′′
k
)u
k
I.1.c Espaces vectoriels de référence
Historiquement, il faut citer les espaces de vecteurs V , associés aux espaces “affines” en géométrie (à tout couple de points (A, B) , on
associe un vecteur
−→
AB ). Cet exemple est utile pour faire des “dessins” sur des questions relatives aux vecteurs !
On évoquera juste le rôle stratégique de l’étude des vecteurs ou des champs de vecteurs en Physique. En économie, il y a aussi beaucoup de
situations qui obéissent à des “règles linéaires”, dès qu’il y a “proportionnalité”...
Il y a l’ensemble K
n
des n -uplets (a
1
, a
2
, ..., a
n
) , ou l’espace M
n,p
(K) des matrices n×p muni des opérations + et . classiques.
Il y a l’ensemble K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K , ( muni des opérations + et . ).
Il y a tous les espaces des applications F(A, K) d’un ensemble quelconque A dans l’ensemble K , (exemple : F(R,R) , ensemble des
fonctions numériques définies sur R ou F([a, b],R) , ensemble des fonctions définies sur [a, b] , F(N,R) ensemble des suites numériques
réelles....et les espaces des applications F(A, E) d’un ensemble A dans un K -espace vectoriel E Les opérations sont définies ainsi :
- si f, g ∈ F(A, K) ou F(A, E) , f+g est l’application définie sur A par : x→ f(x) + g(x) (on ajoute dans K ou E ).
- si f∈ F(A, K) ou F(A, E) , λ∈K, λ.f est définie sur A par : x→ λ×f(x) (la multiplication se passe dans K ou E ).
I.1.d Sous-espaces vectoriels
Si Fsous-ensemble de E,Fest un sous-espace vectoriel si Fest non vide et stable pour + et . :
1.∀(u, v)∈F
2
, u +v∈F; 2.∀(λ, u)∈K×F, λ.u ∈F
ou encore stable pour les combinaisons linéaires : ∀(u, v)∈F
2
,∀(λ, µ)∈K
2
, λ.u +µ.v ∈F
Remarque : dans 99 % des cas, pour démontrer qu’un ensemble, muni d’opérations + et . , possède une structure d’espace vectoriel, on
démontre que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E classique. Vérifier que ce sous-espace est non vide, c’est vérifier qu’il
contient le vecteur nul “ 0
E
” . Quelques exemples :
- les espaces C
n
([a, b],R) sont des sous-espaces vectoriels de F([a, b],R) .
- l’ensemble des suites numériques vérifiant une relation de récurrence linéaire (simple, double, multiple).
- l’ensemble K
n
[X] des polynômes de K[X] de degrés inférieurs ou égaux à n.
- si (Ω,F, P ) est un espace probabilisé, l’ensemble des variables aléatoires reélles est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
F(Ω,R) des applications de Ω vers R (idem avec les vecteurs aléatoires).
- l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène de n équations à p inconnues (sous-espace de K
p
).
I.2 Familles de vecteurs
I.2.a Sous-espace vectoriel Vect(u
i
)
i∈I
=<(u
i
)
i∈I
>engendré par une famille (u
i
)
i∈I
Théorème : Si (u
i
)
i∈I
est une famille (finie ou infinie) de vecteurs du K-espace vectoriel E, l’ensemble de toutes les combi-
naisons linéaires de vecteurs de la famille est un sous-espace vectoriel Fnoté aussi Vect(u
i
)
i∈I
ou <(u
i
)
i∈I
>.
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

ECS 2, Cours chapitre 8 Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices 2
Démonstration : un tel espace est stable par combinaisons linéaires.
Exemples : très souvent, on repère un sous-espace vectoriel (de dimension finie) comme un ensemble de combinaisons linéaires.
I.2.b Famille génératrice
On dit que ce sous-espace vectoriel F= Vect(u
i
)
i∈I
, ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille,
est engendré par (u
i
)
i∈I
ou encore que la famille (u
i
)
i∈I
est une famille génératrice de F.
Dans le cas de la famille finie (u
1
, u
2
, ..., u
n
), cela s’écrit :
w∈Vect(u
1
, u
2
, ..., u
n
) = u
1
, u
2
, ..., u
n
 ⇔ ∃(λ
1,
λ
2
, ..., λ
n
)∈K
n
tel que w=λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+... +λ
n
u
n
Exemples : l’ensemble des polynômes de K[X] de degrés inférieurs ou égaux à n est K
n
[X] = Vect(1, X, X
2
, ..., X
n
) ,
l’ensemble des matrices symétriques, de la forme
a
b
b
d
(a, b, d ∈K),
est S
2
(K) = Vect 
1
0
0
0
,
0
1
1
0
,
0
0
0
1
,
I.2.c Familles libres
La famille finie (u
1
, u
2
, ..., u
n
)de nvecteurs de Eest libre,
ou encore les nvecteurs u
1
, u
2
, ..., u
n
sont linéairement indépendants si :
•La combinaison linéaire nulle λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+... +λ
n
u
n
= 0
E
ne peut être obtenue que si λ
1
=... =λ
n
= 0 .
•Ou encore l’équation λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+... +λ
n
u
n
= 0
E
a pour unique solution λ
1
=λ
2
=... =λ
n
= 0.
La famille “infinie” (u
i
)
i∈I
est une famille libre, si toute famille finie extraite de (u
i
)
i∈I
est libre.
I.2.d Familles liées
La famille finie (u
1
, u
2
, ..., u
n
)de vecteurs de Eest liée si n’est pas libre, ou encore si les vecteurs u
1
, u
2
, ..., u
n
sont linéaire-
ment dépendants, c’est à dire aussi si :
l’un (au moins) des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. C’est à dire
∃j∈ {1, ..., n},∃(a
1
, ..., a
j−1
, a
j+1
, ..., a
n
)∈K
n−1
tel que u
j
=a
1
u
1
+... +a
j−1
u
j−1
+a
j+1
u
j+1
+... +a
n
u
n
Démonstration :
- si (u
1
, u
2
, ..., u
n
) est liée, l’égalité : u
j
=a
1
u
1
+... +a
j−1
u
j−1
+a
j+1
u
j+1
+... +a
n
u
n
fournit un n -uplet (λ
1
, ..., λ
n
) =
(a
1
, ..., a
j−1
,−1, a
j+1
, ..., a
n
) différent de (0, ..., 0) tel que : λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+... +λ
n
u
n
= 0
E
.
- si λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+... +λ
n
u
n
= 0
E
et (λ
1
, ..., λ
n
)= (0, ..., 0) , ∃k∈ {1, ..., n} tel que λ
k
= 0 , on a une relation de dépendance
linéaire : u
k
=−
λ
1
λ
k
u
1
−
λ
k−1
λ
k
u
k−1
−
λ
k+1
λ
k
u
k+1
−... −
λ
n
λ
k
u
n
, la famille est donc liée.
Remarque : Si la famille (u
i
)
i∈I
est libre et si J⊂I , alors la famille extraite (u
i
)
i∈J
est libre ;inversement (u
i
)
i∈J
liée ⇒(u
i
)
i∈I
liée.
Il suffit de voir qu’une combinaison linéaire de vecteurs de la famille extraite (u
i
)
i∈J
peut être prolongée en une combinaison linéaire de
vecteurs de la famille (u
i
)
i∈I
en ajoutant des coefficients nuls aux autres vecteurs.
I.2.e Base
Une base (u
1
, u
2
, ..., u
n
)de l’espace vectoriel Eest une famille libre et génératrice.
Tout vecteur de Epeut s’écrire de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille :
∀w∈E, ∃!(λ
1
, λ
2
, ..., λ
n
)∈K
n
tel que w=λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+... +λ
n
u
n
.
Ce n-uplet s’appelle “les coordonnées ou les composantes” du vecteur wdans la base (u
1
, u
2
, ..., u
n
).
Plus généralement une base (u
i
)
i∈I
(Iquelconque, fini ou infini) de l’espace vectoriel Eest une famille libre et génératrice : à
tout vecteur wde Ecorrespond une famille de coordonnées ou composantes (λ
i
)
i∈I
mais dans ces coordonnées seul un nombre
fini de λ
i
n’est pas nul, car on travaille toujours avec des “combinaisons linéaires finies”.
Exemple : (1, X, X
2
, ..., X
n
, ...) est une base de K(X) , un polynôme est une somme finie de monomes.
I.2.f Calculs sur les coordonnées ou composantes
Si B= (u
1
, ..., u
n
)est une base de l’espace vectoriel E, à tout vecteur vde E, qui s’écrit sous la forme x
1
u
1
+... +x
n
u
n
correspond des coordonnées : v
x
1
¨x
n
de M
n,1
(K)( ou (x
1
, ..., x
n
)de K
n
) .
Il y a “unicité” des coordonnées : si v
x
1
¨x
n
, w 
y
1
...
y
n
,v=w⇔ ∀i∈ {1, ..., n}, x
i
=y
i
.
et λv +µw a pour coordonnées:λ
x
1
¨x
n
+µ
y
1
...
y
n
=
λx
1
+µy
1
λx
n
...
+µy
n
I.3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels
I.3.a Intersection
Théorème : si (F
k
)
k∈I
est une famille de sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E, alors l’intersection 
k∈I
F
k
des
sous-espaces vectoriels de la famille (finie ou infinie) est un sous espace vectoriel.
Démonstration immédiate :
si des vecteurs appartiennent à tous les sous-espaces, une combinaison linéaire de ces vecteurs appartient à
chacun des sous espaces vectoriels stable par combinaison linéaire.
Remarque sur la réunion : si F
1
et F
2
sont deux sous-espaces vectoriels, alors leur réunion n’est pas un sous-espace vectoriels, (sauf s’il
y a une relation d’inclusion entre les deux sous-espaces).
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

ECS 2, Cours chapitre 8 Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices 3
En effet si u est un vecteur de F
1
qui n’est pas dans F
2
et v est un vecteur de F
2
qui n’est pas dans F
1
la somme s=u+v des deux
vecteurs n’est pas dans F
1
(sinon v=s−u serait dans F
1
) ni dans F
2
.
I.3.b Somme de sous-espaces vectoriels
Si F
1
et F
2
sont deux sous-espaces vectoriels de E, la somme des sous-espaces F
1
+F
2
=Sest l’ensemble des vecteurs vqui
s’écrivent sous la forme : v=v
1
+v
2
, avec (v
1
, v
2
)∈F
1
×F
2
.
On obtient une famille génératrice de F
1
+F
2
=Sen juxtaposant des familles génératrices ou des bases de F
1
et F
2
.
Plus généralement, si F
1
,F
2
,..., F
n
sont nsous-espaces vectoriels, on définit une somme F
1
+... +F
n
=Sen prenant tous
les vecteurs vqui sont des sommes v
1
+... +v
n
de vecteurs appartenant respectivement à F
1
, ..., F
n
.
Une famille génératrice de Ss’obtient par juxtaposition de familles génératrices (ou de bases) de F
1
, ..., F
n
.
I.3.c Somme directe de sous-espaces vectoriels
1. Somme directe de 2 sous-espaces
Il y a unicité dans la décomposition v=v
1
+v
2
d’un vecteur de F
1
+F
2
si et seulement si F
1
∩F
2
={0
E
}.
On dit dans ce cas que la somme F
1
+F
2
est directe, on écrit : F
1
+F
2
=F
1
⊕F
2
.
2. Somme directe de nsous-espaces
Plus généralement la somme S
n
=F
1
+F
2
+... +F
n
est directe s’il y a unicité de la décomposition de tout vecteur vde S
n
en somme de vecteurs de F
1
,F
2
, ..., F
n
et on écrit dans ce cas : S
n
=F
1
⊕F
2
⊕... ⊕F
n
.
Règle :S
n
=F
1
+F
2
+... +F
n
est directe ⇔S
n−1
=F
1
+F
2
+... +F
n−1
est directe et S
n−1
+F
n
est directe.
Démonstration : on applique la définition à un vecteur v de S
n−1
+F
n
, qui s’écit de façon unique sous la forme v=s
n−1
+v
n
puis à
s
n−1
qui s’écrit de façon unique sous la forme s
n−1
=v
1
+... +v
n−1
.
Donc on a une décomposition unique v= (v
1
+... +v
n−1
) + v
n
=v
1
+... +v
n−1
+v
n
.
Conséquences :
•S=F
1
+... +F
n
est directe ⇔toute famille (v
1
, ..., v
n
)de vecteurs non nuls de F
1
×... ×F
n
est libre.
La propriété est vraie pour n= 2 et on la suppose vraie jusqu’au rang (n−1 ) : on pose w
′
=a
1
v
1
+...+a
n−1
v
n−1
, avec w
′
∈S
n−1
,
et w=w
′
+a
n
v
n
∈S
n
. La somme S
n−1
+F
n
est directe ⇔ ( w= 0
E
⇒w
′
= 0
E
et a
n
v
n
= 0
E
), donc en utilisant l’hypothèse
de récurrence, cela équivaut à : a
1
v
1
= 0
E
, ... , a
n−1
v
n−1
= 0
E
et a
n
v
n
= 0
E
. D’où la conclusion.
•S=F
1
+...+F
n
est directe ⇔une base de Ss’obtient par juxtaposition de bases de F
1
, .., F
n
.
La propriété a été établie dans le cas n= 2 , elle s’étend par récurrence à une somme de n sous-espaces.
I.3.d Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Définition :F
1
et F
2
sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires du K-espace vectoriel Esi et seulement si la somme
F
1
+F
2
est directe et égale à E.
Cela implique que F
1
∩F
2
={0
E
}. On a encore la propriété caractéristique suivante : tout vecteur ude Ese décompose de
façon unique sous forme d’une somme d’un vecteur u
1
de F
1
et d’un vecteur u
2
de F
2
,u=u
1
+u
2
.
I.4 Espace vectoriel de dimension finie
I.4.a Nombres d’éléments d’une famille
1
libre et d’une famille génératrice
Un espace vectoriel Eest de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie.
Théorème : On peut construire une base de Een partant d’une famille génératrice finie (u
1
, u
2
, ...., u
n
) :
- si la famille (u
1
, u
2
, ...., u
n
)est libre, on a une base, il n’ y a rien de plus à faire.
- sinon, l’un des vecteurs, u
k
par exemple, peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille et
Vect(u
1
, u
2
, ..., u
n
) = Vect(u
1
, ..., u
k−1
, u
k+1
, ..., u
n
): dans toute combinaison linéaire de u
1
, u
2
, ..., u
n
on peut remplacer u
k
par son expression en fonction de u
1
, ..., u
k−1
, u
k+1
, ..., u
n
,donc (u
1
, ..., u
k−1
, u
k+1
, ..., u
n
)est génératrice
- on enlève des vecteurs jusqu’à ce qu’on obtienne “une famille génératrice minimale”, n’étant pas liée, c’est une base.
Théorème : si G= (u
1
, ..., u
p
)est une famille génératrice et L= (v
1
, ..., v
r
)est libre de E, alors |G|=p≥ |L|=r.
Démonstration : on écrit v
1
=
p
k=1
α
k
u
k
( G est génératrice), les coefficients α
k
n’étant pas tous nuls ( v
1
= 0 car L est libre). On
suppose (quite à changer l’ordre des éléments de G) que α
1
= 0 : on a alors u
1
=
1
α
1
v
1
−
p
k=2
α
k
α
1
u
k
. La famille G
1
= (v
1
, u
2
, ..., u
p
)
est génératrice car (en remplaçant u
1
) une combinaison linéaire de u
1
, ..., u
p
est une combinaison linéaire de v
1
, u
2
, ..., u
p
..
Si p= 1 , c’est fini, sinon on continue : on suppose que G
h
= (v
1
, ..., v
h
, u
h+1
, ..., u
p
) est génératrice ( h < p et h < r).
On peut écrire v
h+1
=
h
k=1
α
k
v
k
+
p
k=h+1
α
k
u
k
, les coefficients α
h+1
, ..., α
p
n’étant pas tous nuls ( L est libre ⇒v
h+1
/∈Vect (v
1
, ...v
h
) )
et en supposant (quitte à permuter les p−h derniers vecteurs) que α
h+1
= 0, on remplacera dans une combinaison linéaire des éléments de
1
On utilise le mot famille d’éléments lorsque les éléments sont repérés par des indices i∈I. Ici I⊂N
∗
,cette famille est en quelque sorte une suite
(finie ou infinie).
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

ECS 2, Cours chapitre 8 Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices 4
G
h
, u
h+1
=
h
k=1
−
α
k
α
h+1
v
k
+
1
α
h+1
v
h+1
−
p
k=h+2
α
k
α
h+1
u
k
, on obtiendra une famille génératrice G
h+1
.
Si r > p alors (v
1
, ..., v
p
) est libre et génératrice donc une base : v
p+1
, ..., v
r
s’expriment comme combinaisons linéaires de v
1
, ..., v
p
et
la famille (v
1
, ..., v
r
) est liée ! Ceci contredit l’hypothèse, donc r≤p .
Et si r≤p, les substitutions s’arrêtent lorsque h=r, la famille (v
1
, ..., v
r
, u
r+1
, ..., u
p
) étant génératrice, d’où le théorème
I.4.b Dimension d’un espace vectoriel
Théorème de la dimension
Si Epossède une base (e
1
, ..., e
n
)de nvecteurs, toute autre base a nécessairement nvecteurs et ce nombre ns’appelle la
dimension de Eet se note dim(E).
Et si dim(E) = n, alors toute famille libre a au plus nvecteurs ;si elle possède nvecteurs, c’est une base ;
toute famille génératrice a au moins nvecteurs ;si elle possède nvecteurs, c’est une base.
Démonstration : Si on a 2 bases B
1
= (e
1
, ..., e
p
) et B
2
= (v
1
, ..., v
r
) de E, l’une des familles étant une famille génératrice l’autre étant
une base, d’après le théorème précédent on aura à la fois p≥r et r≥p en inversant les rôles, donc p=r.
Il faut connaître les bases canoniques et dimension de K
n
,et K
n
[X].
Théorème de la base incomplète
Une famille libre (u
1
, u
2
, ..., u
r
)d’un espace vectoriel de dimension npeut-être complétée en une base de E.
- Si r=n , on a une base (théorème de la dimension).
- sinon il y a au moins un vecteur w de E qui n’est pas combinaison linéaire de u
1
, ..., u
r
: w /∈Vect(u
1
, ..., u
r
) .
On pose alors u
r+1
=w , la famille (u
1
, u
2
, ..., u
r
, u
r+1
) est libre et on recommence, si r+ 1 < n en choisissant un vecteur u
r+2
/∈
Vect(u
1
, ..., u
r+1
) jusqu’à ce qu’on obtienne une famille libre “maximale” (u
1
, ..., u
n
) .
I.4.c Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Théorème : tout sous-espace vectoriel Fde dimension pde l’espace vectoriel Ede dimension npossède (au moins) un
supplémentaire Gde dimension n−p.
Si F est un sous-espace vectoriel de E, si (v
1
, ..., v
p
) est une base de F, la famille libre (v
1
, ..., v
p
) de vecteurs de E peut être prolongée
en une base (v
1
, ..., v
n
) de E( cf. théorème de la base incomplète ) : si n > p, la famille (v
p+1
, ..., v
n
) engendre un sous-espace vectoriel
G supplémentaire de F dans E : tout vecteur de E s’écrit de façon unique : u=
n
k=1
α
i
v
i
=
p
k=1
α
i
v
i
+
n
k=p+1
α
i
v
i
=u
1
+u
2
, avec
u
1
=
p
k=1
α
i
v
i
∈F et u
2
=
n
k=p+1
α
i
v
i
∈G (remarque : dim (G) = n−p).
Théorème : en juxtaposant des bases des sous-espaces supplémentaires F
′
et F
′′
de E, on obtient une base de E.
Si F
′
et F
′′
sont supplémentaires, si
e
′
1
, ..., e
′
p
est une base de F, e
′′
1
, ..., e
′′
q
est une base de F
′′
, par unicité de la décomposition d’un
vecteur quelconque u de E=F
′
⊕F
′′
en une somme u
′
+u
′′
, telle que (u
′
, u
′′
)∈F
′
×F
′′
, puis de u
′
et u
′′
en combinaison linéaires
de e
′
1
, ..., e
′
p
et e
′′
1
, ..., e
′′
q
, on obtient une décomposition unique de u en combinaison linéaire des vecteurs de
e
′
1
, ..., e
′
p
, e
′′
1
, ..., e
′′
q
qui est
une base de E et dim (E) = p+q.
Réciproque , si (e
1
, ..., e
n
) est une base de E et p∈ {1, ..., n},Vect (e
1
, ..., e
p
) et Vect (e
p+1,
..., e
n
) sont supplémentaires.
I.4.d Dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels
Théorème : si F
1
et F
2
sont des sous-espaces vectoriels, dim(F
1
+F
2
) = dim(F
1
) + dim(F
2
)−dim(F
1
∩F
2
)
Démonstration : si F
1
et F
2
sont de dimensions finies p et q , on construit une base de F
1
+F
2
de la façon suivante :
- On choisit une base de F
1
∩F
2
: (u
1
, ..., u
k
) .
- On complète cette base (u
1
, ..., u
k
) en ajoutant des (p−k) vecteurs u
k+1
, ..., u
p
pour obtenir une base (u
1
, ..., u
p
) de F
1
.
- On complète aussi la base (u
1
, ..., u
k
) en ajoutant des (q−k) vecteurs u
p+1
, ..., u
q+p−k
pour obtenir une base de F
2
.
Les p+q−k vecteurs ainsi obtenus forment une famille libre d’une part et engendre F
1
+F
2
: c’est une base de F
1
+F
2
.
Conséquences
·La somme F
1
+F
2
est directe ⇔dim(F
1
∩F
2
) = 0 ⇔dim(F
1
+F
2
) = dim(F
1
) + dim(F
2
).
·Les sous-espaces F
1
et F
2
de Esont supplémentaires ⇔dim(F
1
∩F
2
) = 0 et dim(F
1
) + dim(F
2
) = dim (E).
·Plus généralement F
1
+... +F
n
est directe ⇔dim(F
1
+F
2
+... +F
n
) = dim(F
1
) + dim(F
2
) + ... + dim(F
n
).
En effet une famille génératrice de S s’obtient par juxtaposition de bases de F
1
, .., F
n
, et cette famille est libre si et seulement si la somme
est directe par unicité des décompositions en somme de vecteurs de F
1
, .., F
n
, et en combinaison linéaire d’éléments de S.
Remarque : dim(F
1
+... +F
n
)≤dim(F
1
) + ... + dim(F
n
), il y a égalité si et seulement si la somme est directe.
Je ne donne pas de théorème sur la dimension de la somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, il n’y a rien de simple.
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

ECS 2, Cours chapitre 8 Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices 5
II Applications linéaires
II.1 Généralités
II.1.a Définition
Une application φdu K-espace vectoriel Evers le K-espace vectoriel est dite linéaire (ou K-linéaire) si :
∀(u, v)∈E
2
, φ(u+v) = φ(u) + φ(v) ; ∀(λ, u)∈K×E, φ(λ.u) = λ.φ(u).
ou encore ce qui est équivalent, ∀(u, v)∈K
2
,∀(λ, µ)∈E
2
, φ(λ.u +µ.v) = λφ(u) + µφ(v).
Cas particulier : si F=K, on dit aussi que φest une “forme linéaire”.
Exemples : Parmi les situations innombrables, on peut citer par exemple une application de K
3
vers K
2
qui au triplé (a, b, c) fait
correspondre le couple (a+c, −a+b−3c) . On peut citer en géométrie des transformations sur les “vecteurs” associées à des transformations
du plan (exemple à une rotation du plan de centre C , d’angle α correspond une rotation des vecteurs d’angle α , à une projection des points du
plan sur la droite D correspond à une projection des vecteurs sur une droite vectorielle).
De K[X] vers K[X] , étant donné un polynôme P
0
, on peut citer les applications Φ : P→ Q et Ψ : P→ R , qui associent au polynôme
P , le quotient et le reste de P dans la division enclidienne par P
0
.
Dans les espaces de fonctions, on peut citer des opérations telles que la dérivation ;si on associe à une fonction l’intégrale de cette fonction
sur un segment [a, b] , on a une “forme linéaire”.
II.1.b Images et images réciproques d’un sous-espace
Théorème 1 : L’image d’un espace vectoriel E(resp. d’un sous-espace vectoriel E
′
de E) par une application linéaire φde E
vers Fest un sous-espace vectoriel Im(φ) = φ(E)de F(resp. φ(E
′
)).
En particulier si E= Vect(u
1
, u
2
, ..., u
p
)alors Im(φ) = φ(E) = Vect(φ(u
1
), φ(u
2
), ..., φ(u
p
)).
Démonstration : si v
′
et v
′′
appartiennent à l’image de E ou E
′
, alors il existe u
′
, u
′′
∈E (ou E
′
) tels que v
′
=φ(u
′
) et v
′′
=φ(u
′′
) .
Donc α
′
v
′
+α
′′
v
′′
est une image car α
′
v
′
+α
′′
v
′′
=α
′
φ(u
′
)+α
′′
φ(u
′′
) = φ(α
′
u
′
+α
′′
u
′′
) est l’image de u=α
′
u
′
+α
′′
u
′′
vecteur de
E ou E
′
. En particulier w combinaison linéaire de u
1
, u
2
, ..., u
p
son image s’écrit comme combinaison linéaire de φ(u
1
), φ(u
2
), ..., φ(u
p
)
(avec les mêmes coefficients).
Théorème 2 : L’image réciproque d’un espace vectoriel F(resp. d’un sous-espace vectoriel F
′
de F) par une application
linéaire φde Evers Fest un sous-espace vectoriel φ
−1
(F)de E(resp φ
−1
(F
′
)).
En particulier si F
′
={0
F
}, l’image réciproque s’appelle le noyau de φ, et se note Ker(φ).
Démonstration : Si u
′
et u
′′
∈φ
−1
(F
′
) , image de réciproque de F
′
, les images v
′
=φ(u
′
) et v
′′
=φ(u
′′
) sont dans F
′
.
Si (α, α
′
)∈K
2
, v =a
′
v
′
+a
′′
v
′′
∈F
′
et v=α
′
φ(u
′
)+α
′′
φ(u
′′
) = φ(α
′
u
′
+α
′′
u
′′
) est l’image de u=α
′
u
′
+α
′′
u
′′
∈φ
−1
(F
′
) .
Si u
′
et u
′′
∈Ker(φ) alors φ(α
′
u
′
+α
′′
u
′′
) = α
′
φ(u
′
)+α
′′
φ(u
′′
) = α
′
0
E
+α
′′
0
E
= 0
E
donc (α
′
u
′
+α
′′
u
′′
)∈Ker(φ).
Théorème 3 : Application linéaires φde Evers Finjectives, surjectives, bijectives :
1. L’application linéaire φest surjective si et seulement Im(φ) = F.
(u
1
, ..., u
p
, ...)étant une base de E:φsurjective ⇔Im(φ) = F⇔(φ(u
1
), ..., φ(u
p
), ...)est une famille génératrice de F.
2. L’application linéaire φest injective si et seulement Ker(φ)est réduit à {0
E
}.
(u
1
, ..., u
p
, ...)étant une base de E:φinjective ⇔Ker(φ) = {0
E
} ⇔ (φ(u
1
), ..., φ(u
p
), ...)est une famille libre de F.
3. L’application linéaire φest bijective ⇔Im(φ) = Fet Ker(φ)est réduit à {0
E
}.
(u
1
, ..., u
p
, ...)étant une base de E:φbijective ⇔(φ(u
1
), ..., φ(u
p
), ...)est une base de F.
Démonstration :
1. Chercher l’antécédent du vecteur v de F dans E revient à chercher ses coordonnées (x
1
, ..., x
p
) dans la base (u
1
, ..., u
p
) : on a alors
v=x
1
φ(u
1
) + ... +x
p
φ(u
p
) et on conclut avec la définition d’une surjection ou d’une famille génératrice ...
2. Si v∈F possède déjà un antécédent u, alors : φ(u) = φ(u
′
)⇔φ(u−u
′
) = 0
F
⇔u−u
′
∈Ker(φ).
Donc φ est injective ⇔ il y a unicité de l’antécédent de n’importe quel vecteur v⇔Ker(φ) = {0
E
}.
Inversement si u
0
∈Ker(φ) alors φ(u+u
0
) = φ(u) + φ(u
0
) = φ(u) , donc le vecteur v=φ(u) a pour antécédent tout vecteur qui
s’écrit u
′
=u+u
0
avec u
0
∈Ker (φ)
Isomorphismes et dimension
Si Eet Fsont deux espaces vectoriels, tels que dim(E) = pet dim(F) = n, il ne peut y avoir de bijection linéaire φde E
vers Fque si n=p, puisque l’image d’une base de Eest une base de F.
Si dim (E) = dim (F),alors d’après le théorème de la dimension, il y a équivalence
φinjective⇔φsurjective⇔φbijective car (φ(u
1
),...,φ(u
p
)) libre⇔(φ(u
1
),...,φ(u
p
)) génératrice⇔(φ(u
1
),...,φ(u
p
)) libre.
L’application de Evers K
n
ou M
n,1
(K)qui associe au vecteur uses coordonnées dans une base est un isomorphisme.
II.2 Différents types de morphismes
II.2.a Notations
On désigne par L
K
(E, F )l’ensemble des applications linéaires de Evers F, ou morphismes d’espaces vectoriels [on dit aussi
homomorphismes, ce sont des notions très “structuralistes”]
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence