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Correction : 72 p. 26
n est un entier naturel.
n n’est pas divisible par 5. Donc, n n’est pas congru à 0 modulo 5.
Tout entier naturel est congru à 0, 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
Donc, n est congru à 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
On peut résumer sous forme de tableau :
n ≡ … [5]
n2 - 1 ≡ … [5]
n2 - 4 ≡ … [5]
(n2 - 1)( n2 - 4) ≡ …
[5]
1
0
2
0
2
3
0
0
3
3
0
0
4
0
2
0
Pour tout entier naturel n non divisible par 5, on a : (n2 - 1)( n2 - 4) ≡ 0 [5].
Donc : (n2 - 1)( n2 - 4) est divisible par 5.
Correction : 73 p. 26
x et y sont des entiers naturels.
(E) est l’équation : 7x2 + 2y3 = 3.
a) On a le tableau suivant :
y ≡ … [7]
y3 ≡ … [7]
2y3 ≡ … [7]
0
0
0
1
1
2
2
1
2
3
6
5
4
1
2
5
6
5
6
6
5
b) Supposons qu’il existe un couple solution (x ; y) de (E).
Donc :
7x2 + 2y3 = 3
2y3 = 3 – 7x2
≡ 3 [7] puisque 7 ≡ 0 [7]
D’après le tableau précédent, 2y3 ne peut être congru à 3 modulo 7.
On obtient une absurdité.
Donc, l’équation (E) n’admet pas de solution.
Correction : 74 p. 26
a) x est un entier relatif.
On a le tableau suivant :
x ≡ … [9]
x3 ≡ … [9]
0
0
1
1
Correction : 72, 73, 74 et 75 p. 26
2
8
3
0
4
1
5
8
6
0
7
1
8
8
1/3
b) D’après la question précédente, on a : pour tout entier relatif x, on a :
• x3 ≡ 0 [9] si et seulement si x ≡ 0 [9] ou x ≡ 3 [9] ou x ≡ 6 [9]
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 9k ou x = 9k + 3 ou x = 9k + 6
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 3(3k) ou x = 3(3k + 1) ou x = 3(3k + 2)
si et seulement si il existe un entier relatif q tel que : x = 3q
(puisque tous les entiers relatifs q s’écrivent sous la forme : 3k, 3k + 1 ou 3k + 2)
si et seulement si x ≡ 0 [3]
•
si et seulement si x ≡ 1 [9] ou x ≡ 4 [9] ou x ≡ 7 [9]
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 9k + 1 ou x = 9k + 4 ou x = 9k + 7
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 3(3k) + 1 ou x = 3(3k + 1) + 1 ou x = 3(3k + 2) + 1
si et seulement si il existe un entier relatif q tel que : x = 3q + 1
(puisque tous les entiers relatifs q s’écrivent sous la forme : 3k, 3k + 1 ou 3k + 2)
si et seulement si x ≡ 1 [3]
•
x3 ≡ - 1 [9] si et seulement si x3 ≡ 8 [9]
si et seulement si x ≡ 2 [9] ou x ≡ 5 [9] ou x ≡ 8 [9]
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 9k + 2 ou x = 9k + 5 ou x = 9k + 8
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 3(3k) + 2 ou x = 3(k + 1) + 2 ou x = 3(3k + 2) + 2
si et seulement si il existe un entier relatif q tel que : x = 3q + 2
(puisque tous les entiers relatifs q s’écrivent sous la forme : 3k, 3k + 1 ou 3k + 2)
si et seulement si x ≡ 2 [3]
si et seulement si x ≡ - 1 [3]
x3 ≡ 1 [9]
c) x, y et z sont trois entiers relatifs tels que : x3 + y3 + z3 est divisible par 9.
Donc : x3 + y3 + z3 ≡ 0 [9].
Supposons par l’absurde que aucun des nombres x, y et z ne soit divisible par 3.
Donc : x, y et z sont congru à 1 ou – 1 modulo 3.
D’où : x3, y3 et z3 sont congru à 1 ou – 1 modulo 9.
Donc : x3 + y3 + z3 est congru à – 3, - 1, 1 ou 3 modulo 9.
Ce qui est absurde.
Donc, l’un des nombres x, y et z est divisible par 3.
Correction : 75 p. 26
n est un entier naturel.
1) Si n = 4k, k entier relatif, on a : 2n = 24k
= (24)k
≡ 1k [5] puisque 24 ≡ 1 [5]
≡ 1 [5]
Correction : 72, 73, 74 et 75 p. 26
2/3
Si n = 4k + 1, k entier relatif, on a : 2n
Si n = 4k + 2, k entier relatif, on a : 2n
Si n = 4k + 3, k entier relatif, on a : 2n
= 24k + 1
= (24)k × 21
≡ 1k × 2[5]
≡ 2 [5]
= 24k + 2
= (24)k × 22
≡ 1k × 4[5]
≡ 4 [5]
= 24k + 3
= (24)k × 23
≡ 1k × 8 [5]
≡ 3 [5]
puisque 24 ≡ 1 [5]
puisque 24 ≡ 1 [5]
puisque 24 ≡ 1 [5]
2) a) On a : 22n + 1 – 2n + 1 + 1 = 2 × (2n)2 – 2 × 2n + 1.
Si n = 4k, k entier relatif, on a : 2n ≡ 1 [5].
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 2 × 12 – 2 × 1 + 1 [5]
≡ 1 [5]
Si n = 4k + 1, k entier relatif, on a : 2n ≡ 2 [5].
≡ 2 × 22 – 2 × 2 + 1 [5]
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 5 [5]
≡ 0 [5]
Si n = 4k + 2, k entier relatif, on a : 2n ≡ 4 [5].
≡ 2 × 42 – 2 × 4 + 1 [5]
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 25 [5]
≡ 0 [5]
Si n = 4k + 3, k entier relatif, on a : 2n ≡ 3 [5].
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 2 × 32 – 2 × 3 + 1 [5]
≡ 13 [5]
≡ 3 [5]
b) On a : 22n + 1 + 2n + 1 + 1 = 2 × (2n)2 + 2 × 2n + 1.
Si n = 4k, k entier relatif, on a : 2n ≡ 1 [5].
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 2 × 12 + 2 × 1 + 1 [5]
≡ 5 [5]
≡ 0 [5]
Si n = 4k + 1, k entier relatif, on a : 2n ≡ 2 [5].
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 2 × 22 + 2 × 2 + 1 [5]
≡ 13 [5]
≡ 3 [5]
Si n = 4k + 2, k entier relatif, on a : 2n ≡ 4 [5].
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 2 × 42 + 2 × 4 + 1 [5]
≡ 41 [5]
≡ 1 [5]
Si n = 4k + 3, k entier relatif, on a : 2n ≡ 3 [5].
Donc : 22n + 1 – 2n + 1 – 1
≡ 2 × 32 + 2 × 3 + 1 [5]
≡ 25 [5]
≡ 0 [5]
Correction : 72, 73, 74 et 75 p. 26
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