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Correction : 72, 73, 74 et 75 p. 26 1/3
Correction : 72 p. 26
n est un entier naturel.
n n’est pas divisible par 5. Donc, n n’est pas congru à 0 modulo 5.
Tout entier naturel est congru à 0, 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
Donc, n est congru à 1, 2, 3 ou 4 modulo 5.
On peut résumer sous forme de tableau :
n
≡
… [5] 1 2 3 4
n
2
- 1
≡
… [5] 0 3 3 0
n
2
- 4
≡
… [5] 2 0 0 2
(n
2
- 1)( n
2
- 4)
≡
…
[5]
0 0 0 0
Pour tout entier naturel n non divisible par 5, on a : (n
2
- 1)( n
2
- 4) ≡ 0 [5].
Donc : (n
2
- 1)( n
2
- 4) est divisible par 5.
Correction : 73 p. 26
x et y sont des entiers naturels.
(E) est l’équation : 7x
2
+ 2y
3
= 3.
a) On a le tableau suivant :
y
≡
… [7] 0 1 2 3 4 5 6
y
3
≡
… [7] 0 1 1 6 1 6 6
2y
3
≡
… [7] 0 2 2 5 2 5 5
b) Supposons qu’il existe un couple solution (x ; y) de (E).
Donc : 7x
2
+ 2y
3
= 3
2y
3
= 3 – 7x
2
≡ 3 [7] puisque 7 ≡ 0 [7]
D’après le tableau précédent, 2y
3
ne peut être congru à 3 modulo 7.
On obtient une absurdité.
Donc, l’équation (E) n’admet pas de solution.
Correction : 74 p. 26
a) x est un entier relatif.
On a le tableau suivant :
x
≡
… [9] 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
3
≡
… [9] 0 1 8 0 1 8 0 1 8

Correction : 72, 73, 74 et 75 p. 26 2/3
b) D’après la question précédente, on a : pour tout entier relatif x, on a :
• x
3
≡ 0 [9] si et seulement si x ≡ 0 [9] ou x ≡ 3 [9] ou x ≡ 6 [9]
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 9k ou x = 9k + 3 ou x = 9k + 6
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 3(3k) ou x = 3(3k + 1) ou x = 3(3k + 2)
si et seulement si il existe un entier relatif q tel que : x = 3q
(puisque tous les entiers relatifs q s’écrivent sous la forme : 3k, 3k + 1 ou 3k + 2)
si et seulement si x ≡ 0 [3]
• x
3
≡ 1 [9] si et seulement si x ≡ 1 [9] ou x ≡ 4 [9] ou x ≡ 7 [9]
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 9k + 1 ou x = 9k + 4 ou x = 9k + 7
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 3(3k) + 1 ou x = 3(3k + 1) + 1 ou x = 3(3k + 2) + 1
si et seulement si il existe un entier relatif q tel que : x = 3q + 1
(puisque tous les entiers relatifs q s’écrivent sous la forme : 3k, 3k + 1 ou 3k + 2)
si et seulement si x ≡ 1 [3]
• x
3
≡ - 1 [9] si et seulement si x
3
≡ 8 [9]
si et seulement si x ≡ 2 [9] ou x ≡ 5 [9] ou x ≡ 8 [9]
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 9k + 2 ou x = 9k + 5 ou x = 9k + 8
si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :
x = 3(3k) + 2 ou x = 3(k + 1) + 2 ou x = 3(3k + 2) + 2
si et seulement si il existe un entier relatif q tel que : x = 3q + 2
(puisque tous les entiers relatifs q s’écrivent sous la forme : 3k, 3k + 1 ou 3k + 2)
si et seulement si x ≡ 2 [3]
si et seulement si x ≡ - 1 [3]
c) x, y et z sont trois entiers relatifs tels que : x
3
+ y
3
+ z
3
est divisible par 9.
Donc : x
3
+ y
3
+ z
3
≡ 0 [9].
Supposons par l’absurde que aucun des nombres x, y et z ne soit divisible par 3.
Donc : x, y et z sont congru à 1 ou – 1 modulo 3.
D’où : x
3
, y
3
et z
3
sont congru à 1 ou – 1 modulo 9.
Donc : x
3
+ y
3
+ z
3
est congru à – 3, - 1, 1 ou 3 modulo 9.
Ce qui est absurde.
Donc, l’un des nombres x, y et z est divisible par 3.
Correction : 75 p. 26
n est un entier naturel.
1) Si n = 4k, k entier relatif, on a : 2
n
= 2
4k
= (2
4
)
k
≡ 1
k
[5] puisque 2
4
≡ 1 [5]
≡ 1 [5]

Correction : 72, 73, 74 et 75 p. 26 3/3
Si n = 4k + 1, k entier relatif, on a : 2
n
= 2
4k + 1
= (2
4
)
k
× 2
1
≡ 1
k
× 2[5] puisque 2
4
≡ 1 [5]
≡ 2 [5]
Si n = 4k + 2, k entier relatif, on a : 2
n
= 2
4k + 2
= (2
4
)
k
× 2
2
≡ 1
k
× 4[5] puisque 2
4
≡ 1 [5]
≡ 4 [5]
Si n = 4k + 3, k entier relatif, on a : 2
n
= 2
4k + 3
= (2
4
)
k
× 2
3
≡ 1
k
× 8 [5] puisque 2
4
≡ 1 [5]
≡ 3 [5]
2) a) On a : 2
2n + 1
– 2
n + 1
+ 1 = 2 × (2
n
)
2
– 2 × 2
n
+ 1.
Si n = 4k, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 1 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 1
2
– 2 × 1 + 1 [5]
≡ 1 [5]
Si n = 4k + 1, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 2 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 2
2
– 2 × 2 + 1 [5]
≡ 5 [5]
≡ 0 [5]
Si n = 4k + 2, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 4 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 4
2
– 2 × 4 + 1 [5]
≡ 25 [5]
≡ 0 [5]
Si n = 4k + 3, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 3 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 3
2
– 2 × 3 + 1 [5]
≡ 13 [5]
≡ 3 [5]
b) On a : 2
2n + 1
+ 2
n + 1
+ 1 = 2 × (2
n
)
2
+ 2 × 2
n
+ 1.
Si n = 4k, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 1 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 1
2
+ 2 × 1 + 1 [5]
≡ 5 [5]
≡ 0 [5]
Si n = 4k + 1, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 2 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 2
2
+ 2 × 2 + 1 [5]
≡ 13 [5]
≡ 3 [5]
Si n = 4k + 2, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 4 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 4
2
+ 2 × 4 + 1 [5]
≡ 41 [5]
≡ 1 [5]
Si n = 4k + 3, k entier relatif, on a : 2
n
≡ 3 [5].
Donc : 2
2n + 1
– 2
n + 1
– 1 ≡ 2 × 3
2
+ 2 × 3 + 1 [5]
≡ 25 [5]
≡ 0 [5]