TS3 nom:................ le 8/02/2017 DS ( 1h) Exercice 1: (3,5 points

TS3
nom:................
le 8/02/2017
DS ( 1h)
Exercice 1: (3,5 points)
Résoudre dans ℝ :
e2 x+4
a) −x+7 ⩾e
e
b) e 2 x +5e x −6=0
Exercice 2: (7,5 pts)
Partie A
Soit g définie sur ℝ par : g ( x ) =( 2 x+1 ) e 2 x −2
1°) Étudier les limites de g en −∞ et en +∞ .
2°) a) Calculer la dérivée de g puis tracer son tableau de variations complet.
b) Justifier que l'équation g ( x ) =0 admet sur ℝ une unique solution α .
c) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d' amplitude 10−2 .
d) Donner le tableau de signe de la fonction g .
3°)Soit G ( x ) = x e 2 x −2 x définie sur
ℝ.
Justifier que G est une primitive de g .
Exercice 3: ( 9 points)
Une épidémie touche 20% d'une population. Un test de dépistage de la maladie a été mis
au point mais il n'est pas parfait. On suppose que toute la population est testée :
• Si un individu est touché par la maladie le test est négatif dans 0,5% des cas.
• Si un individu n'est pas touché par la maladie, le test est positif dans 2% des cas.
On choisit une personne au hasard dans la population et on note :
M l’événement la personne est atteinte par le virus.
P l’événement : le test est positif.
1°) Donner
pM ( P ) .
2°) Calculer la probabilité que la personne soit malade et ait un test négatif.
3°) Représenter cette situation par un arbre pondéré.
4°) On décide de donner un traitement à tous les individus ayant un test positif.
a) Montrer que la probabilité qu'une personne reçoive le traitement est 0,215.
b) Calculer la probabilité qu'un personne reçoive le traitement à tort ?
5°) On prélève un échantillon de 20 personnes, ce tirage est assimilé à un tirage avec
remise. On note X le nombre de personnes ayant reçu un traitement dans cet échantillon.
a) Quelle est la loi de X ? ( justifier)
b) Calculer la probabilité pour qu'au moins une de ces personnes ait reçu un traitement.
c) Calculer la probabilité pour qu'exactement 5 personnes aient reçu le traitement.
d) Calculer l’espérance de X et interpréter cette valeur.
correction :
Exercice 1 :
e2 x+4
2 x+ 4− (− x+7)
=e3 x−3 donc l'inéquation équivaut à e 3 x−3⩾e1 ⇔ 3 x−3⩾1
a) −x+7 =e
e
4
4
S = ;+∞
⇔ x⩾
3
3
[
[
b) On pose X =e x alors e 2 x = X 2 et l'équation équivaut à : X 2 +5 X −6=0
Δ=52 −4× (−6 ) =49=7 2 donc deux racines pour le trinôme :
−5−7
−5+7
X 1=
=1 et X 2=
=−6 soit
2
2
⇔ x=0
ou e x =−6 ( impossible car pour tout x , e x >0 ) donc S={0}
e x =1
Exercice 2 :
1°) En - ∞ : g ( x ) = 2 x e 2 x +e 2 x −2
X e X =0 donc lim 2 x e2 x =0
par croissance comparée Xlim
→−∞
x →−∞
X
2x
lim e =0 donc lim e =0 . Enfin par somme lim f ( x ) =−2
x →−∞
X →−∞
x →−∞
X
2x
e =+∞ donc lim e =+∞
En + ∞ : Xlim
→+∞
x →+∞
lim 2 x+1=+∞ donc lim ( 2 x+1 ) e 2 x =+∞ . Enfin par somme lim f ( x ) =+∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
2°) a) g ' ( x ) =2e 2 x+ ( 2 x+1 ) ×2 e 2 x = ( 4 x+4 ) e 2 x Pour tout réel x e 2 x >0 donc g ' ( x )
est du signe de 4 x+4 : 4 x+4>0 ⇔ x>−1 et g (−1 ) =−e−2 −2
x
signe de g'
−∞
+∞
-1
+
−
+∞
-2
g
−2
−e −2
b) *sur ]- ∞ ;-1] g est majorée par -2 donc l'équation g ( x ) =0 n'admet pas de solution.
*sur [-1;+ ∞ [ : g est continue strictement croissante et 0 est compris entre g (−1 ) et
lim f ( x ) donc d'après le TVI l'équation g ( x ) admet une unique solution α .
x →+∞
En conclusion l'équation g ( x ) =0 admet une unique solution sur ℝ .
d)
x
-∞
- ∞
α
g ( x)
-
0
+
3°) Il suffit de dériver G : G est dérivable sur ℝ , et pour tout réel x ,
2x
2x
2x
2x
2x
G' ( x )=1×e + x×( 2e )−2=e +2 x e −2=( 1+2 x ) e −2= g ( x ) donc G est bien
une primitive de g .
Exercice 3 :
1°) P M ( P ) est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade. le
pourcentage associé est 100−0 , 5=99,5 soit une probabilité P M ( P ) =0,995
2°) P ( M ∩ P ) =P ( M ) P M ( P )=0,2×0,005=0,001
3°)
4°)a) M et M forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités
totales : P ( P ) = P ( M ) P M ( P )+ P ( M ) P M =0,2×0,995+0,8×0,02=0,215
b) Attention ici à l'interprétation de l'énoncé , la phrase sous entend que la personne a reçu
un traitement ( le test est donc positif), on veut donc connaître la probabilité que ce
traitement ait été administré à tort (la personne n'est donc pas malade) :
P ( M ∩ P ) 0,8×0,02
P P ( M )=
=
≈0,0744
P ( P)
0,215
5°) a) Quand on choisit une personne au hasard il y a deux issues possibles, c'est donc une
épreuve de Bernoulli dont l’événement succès est : « la personne a reçu un traitement » .
Le choix des 20 personnes s'effectue de manière identique et indépendante ( tirage avec
remise) donc X suit une loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,214 .
b) P ( X ⩾1 ) =1− P ( X =0 ) =1−( 1−0,214 ) 20≈0,9921
c) A l'aide de la calculatrice P ( X =5 ) ≈0,18866
d) E ( X )=n p=20×0,215=4 , 3 interprétation : si on répète un grand nombre de fois
l'expérience, il y aura en moyenne 4,3 personnes sur 20 qui auront reçu le traitement.