Arithmétique modulaire - Mathématiques au lycée Bellepierre
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Arithmétique modulaire Laval Bellepierre November 25, 2012 Laval Arithmétique modulaire Arithmétique Définition L’arithmétique est la science des nombres entiers Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne Étant donnés deux entiers naturels a et b avec b ≤ 0, la division euclidienne de a par b consiste à déterminer les deux entiers q et r tels que a = b q + r avec 0 ≤ r < b a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste. Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne Étant donnés deux entiers naturels a et b avec b ≤ 0, la division euclidienne de a par b consiste à déterminer les deux entiers q et r tels que a = b q + r avec 0 ≤ r < b a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste. Exemple Pour a=49 et b=8, on trouve q=6 et r=1 Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne en math Définition mathématique ∀(a, b) ∈ N × N∗ , ∃!(q, r ); a = bq + r et 0 ≤ r < b . On lit pour tout entier a et tout entier b non nul, il existe un unique couple d’entier q et r tel que . . . Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne en math Définition mathématique ∀(a, b) ∈ N × N∗ , ∃!(q, r ); a = bq + r et 0 ≤ r < b . On lit pour tout entier a et tout entier b non nul, il existe un unique couple d’entier q et r tel que . . . Remarque q et r existent toujours et sont uniques. Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne en informatique Algo en français Une manière naturelle de définir le quotient est de se demander : Dans a, combien de fois b ? Pour répondre à cette question, on examine d’abord si a est strictement inférieur à b. Dans l’affirmative, q = 0 et r = a. Dans la négative, on soustrait b à a autant de fois que nécessaire pour que le résultat devienne strictement inférieur à b. Le nombre de soustractions effectuées est alors q, et la dernière valeur de a est r. Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne en informatique La division Euclidienne Variables : a,q,r,nbsous : entiers b : entier non nul Début : lire a et b Si a<b alors q←0 r←a Sinon nbsous ← 0 r←a Répéter r ← r-b nbsous ← nbsous+1 Jusqu’à r<b q ← nbsous Afficher ”La division de” a ”par” b ”vaut” q Afficher ”Le reste vaut ” r Fin : Laval Arithmétique modulaire La division Euclidienne en informatique La division Euclidienne en light Variables : a,q : entiers b : entier non nul Début : lire a et b q←0 Tant que b≤a a ← a-b q ← q+1 Afficher ”Le quotient vaut” q Afficher ”Le reste vaut” a Fin : Laval Arithmétique modulaire Multiple et diviseur Définition mathématique a et b sont deux entiers où b 6= 0 On dit que b divise a si il existe un entier q tel que a=bq On note b | a Laval Arithmétique modulaire Multiple et diviseur Définition mathématique a et b sont deux entiers où b 6= 0 On dit que b divise a si il existe un entier q tel que a=bq On note b | a Exemple Pour a=48 et b=8, on trouve q=6. Remarques b divise a si le reste dans la division vaut 0. a est un multiple de b. Laval Arithmétique modulaire Nombre Premier Définition mathématique Un nombre strictement supérieur à 1 est premier si il n’est divisible que par lui même et par 1. Laval Arithmétique modulaire Nombre Premier Définition mathématique Un nombre strictement supérieur à 1 est premier si il n’est divisible que par lui même et par 1. Exemple 2 - 3 - 5 - 7 ... Remarques 1 n’est pas un nombre premier. Laval Arithmétique modulaire Test de primalité Algorithme en français Une manière naturelle est de tester la divisibilité par les nombres inférieurs. Remarques On peut améliorer pour tester si un entier N est premier, √ en testant la divisibilité par tous les nombres inférieur à N On peut encore améliorer pour tester si un entier N est premier, en√testant la divisibilité par tous les nombres premiers inférieur à N Laval Arithmétique modulaire Test de primalité en informatique Test de primalité Variables : n : entiers supérieur à 1 i : entiers rep : chaine Début : rep ← ”est premier” lire n Pour i allant de 2 à n-1 Si i | n alors rep ← ”n’est pas premier” Afficher rep Fin : Laval Arithmétique modulaire Composition des nombres entiers Théorème fondamentale Tout entier naturel non nul peut être écrit comme un produit de nombres premiers, cette décomposition étant unique (à l’ordre d’écriture des facteurs près). Algorithme en français Méthode pour décomposer un nombre N en facteurs premiers : Laval Arithmétique modulaire Composition des nombres entiers Théorème fondamentale Tout entier naturel non nul peut être écrit comme un produit de nombres premiers, cette décomposition étant unique (à l’ordre d’écriture des facteurs près). Algorithme en français Méthode pour décomposer un nombre N en facteurs premiers : Déterminer le plus petit diviseur de N autre que 1 : c’est le plus petit facteur premier de N. Diviser N par ce facteur premier : le quotient est M. Laval Arithmétique modulaire Composition des nombres entiers Théorème fondamentale Tout entier naturel non nul peut être écrit comme un produit de nombres premiers, cette décomposition étant unique (à l’ordre d’écriture des facteurs près). Algorithme en français Méthode pour décomposer un nombre N en facteurs premiers : Déterminer le plus petit diviseur de N autre que 1 : c’est le plus petit facteur premier de N. Diviser N par ce facteur premier : le quotient est M. Tant que M > 1, faire (1) et (2) avec M. Laval Arithmétique modulaire Composition des nombres entiers Décomposition en facteur premier Variables : N,d : entiers Début : lire N Tant que N>1 d←2 Tant que d ne divise pas N d←d+1 N←N/d afficher d Fin : Laval Arithmétique modulaire Composition des nombres entiers II Décomposition en facteur premier Variables : N,d : entiers Début : lire N d←2 répéter si d divise N alors afficher N N←N/d sinon d←d+1 tant que N>1 Afficher N Fin : Laval Arithmétique modulaire Composition commune de deux nombres Définition Deux nombres sont premiers entre eux si ils n’ont que 1 comme diviseur commun. Laval Arithmétique modulaire Composition commune de deux nombres Définition Deux nombres sont premiers entre eux si ils n’ont que 1 comme diviseur commun. Premiers entre eux?? 27 et 56 sont premiers entre eux. 27 et 36 ne sont pas premiers entre eux. Laval Arithmétique modulaire Plus Grand Diviseur Commun Définition On note PGCD(a,b) le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres non nuls a et b. Laval Arithmétique modulaire Plus Grand Diviseur Commun Définition On note PGCD(a,b) le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres non nuls a et b. Exemples PGCD(27,56)=1 PGCD(27,36)=9 Remarque Deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD(a,b)=1 Laval Arithmétique modulaire Algorithme D’Euclide Théorème PGCD(a,b)=PGCD(b,r) où r est le reste dans la division de a par b algorithme en français On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu’on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début. On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le terme précédent de la suite. Laval Arithmétique modulaire Algorithme D’Euclide Laval Arithmétique modulaire Algorithme D’Euclide Algo Euclide Variables : a,b;r : entiers Début : lire a et b répéter Déterminer le reste r de la divison de a par b a←b b←r tant que r6= 0 Afficher b Fin : Laval Arithmétique modulaire
