Exercices 3

Universit´e Pierre et Marie Curie
Master de Sciences et Technologies
Mention Math´ematiques et Applications
Sp´ecialit´e Education et Formation, Section CAPES, M1
Ann´ee 2011 - 2012
ARITHM´ ETIQUE
Exercices
Exercice 3.1.
(a) Soit nun nombre entier strictement positif. Trouver le plus grand
diviseur commun des nombres 2n+ 13 et n+ 7.
(b) Soit nun nombre entier strictement positif. Trouver le plus grand
diviseur commun des nombres n2+ 3n+ 3 et n+ 2.
(c) Trouver le plus grand diviseur commun de 111...11 (le chiffre 1 est
r´ep´et´e 100 fois) et 111...11 (le chiffre 1 est r´ep´et´e 30 fois).
(d) Trouver le plus grand diviseur commun de 260 −1 et 250 −1.
Exercice 3.2. Trouver toutes les solutions en nombres entiers de l’´equation
11x+ 17y= 1.
Exercice 3.3. L’´ecriture d´ecimale d’un nombre entier strictement positif n
est form´ee par dix chiffres 0, dix chiffres 1 et dix chiffres 2. Montrer que n
n’est pas le carr´e d’un nombre entier.
Exercice 3.4.
(a) Trouver tous les nombres entiers premiers ntels que 8n2+ 1 soit
aussi premier.
(b) Montrer que 2100 −1 n’est pas la somme de deux carr´es de nombres
entiers.
(c) Existe-il des nombres entiers aet btels que
7a2 −3b3= 6 ?
Exercice 3.5. Un nombre entier strictement positif abc `a trois chiffres est
un nombre premier. Montrer que b2 −4ac n’est pas le carr´e d’un nombre
entier.
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