IUT Info 1A Année 2007-08 Période 1 Arithmétique Feuille de TD n◦1 1 Suites et Récurrence Exercice 1. Démontrer les formules suivantes : a - ∀n ∈ N∗ , n X k=1 k= n(n + 1) 2 1 F. Madelaine J. Mailfert D. Richard feuille de TD n◦ 1 b - ∀n ∈ N∗ , n X Arithmétique k2 = k=1 c- ∀n ∈ N∗ , n X k=1 d - ∀n ∈ N, n X 3 k = n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) 2 2 (2k + 1) = (n + 1)2 k=0 2 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique Exercice 2. Simplifier, calculer et factoriser : A = 25 X k=2 3 4 k − 24 X k=1 k4 . feuille de TD n◦ 1 Arithmétique 4 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique 3 u0 = 4 . Exercice 3. La suite u est définie par 2 un+1 = 1 + un pour tout n ≥ 0 2 1 Montrer par récurrence que pout tout n ∈ N, on a < un < 1. 2 5 feuille de TD n◦ 1 Exercice 4. Pour tout n ∈ Arithmétique N∗ , on pose Cn = n X k=1 1 a - Montrer par récurrence que Cn = 1 − . n+1 6 n X 1 1 et Dn = . k(k + 1) k2 k=1 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique b - Retrouver le résultat précédent en écrivant c - Montrer que la suite D est bornée. 7 1 sous une autre forme. k(k + 1) feuille de TD n◦ 1 Arithmétique Exercice 5. On rappelle le principe des dominos : si u est une suite et si p et q sont des q X entiers tels que 0 ≤ p ≤ q, alors on a (uk+1 − uk ) = uq+1 − up . k=p n X Montrer la formule suivante : ∀n ∈ N, k · k! = (n + 1)! − 1. k=0 Exercice 6. a - Montrer que ∀n ∈ N, n X k(k + 1) = k=0 8 n(n + 1)(n + 2) . 3 feuille de TD n◦ 1 b - Montrer que ∀n ∈ N, Arithmétique n X k(k + 1)(k + 2) = k=0 c - Généraliser les formules précédentes. 9 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) . 4 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique 10 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique Exercice 7. En utilisant la formule du binôme, calculer X k≥0 11 Cn2k et X k≥0 Cn2k+1 . feuille de TD n◦ 1 2 Arithmétique Arithmétique de Péano Exercice 8. En utilisant les définitions de l’addition, de la multiplication et de l’exponentiation vues en cours, montrer que : a - ∀x, y, z ∈ N, (x + z = y + z) =⇒ (x = y) 12 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique b - ∀x, y, z ∈ N, x · (y + z) = x · y + x · z 13 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique c - ∀x, y, z ∈ N, xy+z = xy · xz 14 feuille de TD n◦ 1 3 Arithmétique Divisibilité - Nombres premiers Exercice 9. Citer tous les nombres premiers inférieurs à 50. Voir sur le web à propos du crible d’Eratosthène, par exemple sur wikipedia (clic). Exercice 10. Calculer les pgcd de : a - A = (80 × 9)5 et B = (81 × 50)3 , b - A = 4320 et B = 2025, c - A = 6n+1 + 5n+1 et B = 6n + 5n pour tout n ∈ N, n ≥ 1. 15 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique Exercice 11. n est un entier divisible par 2 et 3. Les quotients de n par 2 et 3 sont respectivement p et q. Quel est le quotient de n par 6 ? Exercice 12. Exercice 4. a est un nombre premier. Trouver deux entiers naturels b et c vérifiant : a2 + b2 = c2 . Résoudre cette dernière équation. 16 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique Exercice 13. Combien de 0 terminent le nombre 100! ? 17 feuille de TD n◦ 1 Arithmétique Exercice 14. Prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers. 18