Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux

Ecrit 2
CAPES Mathématiques
Probabilité que deux entiers soient premiers
entre eux
Voici un autre problème dans lequel on retrouve la fonction de Möbius ...
1. Le sujet
Dans ce problème, on se propose d’étudier la question suivante :
On choisit deux entiers strictement positifs. Quelle est la probabilité que ces deux entiers soient premiers
entre eux ?
Notation : On désignera par G l’évènement « les deux entiers choisis sont premiers entre eux » quel que soit
le protocole de choix.
Partie 1. Un protocole simple.
Dans cette partie, les deux entiers sont choisis dans l’ensemble {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} (par exemple en lançant deux
dés équilibrés).
1. Déterminer la probabilité que ces deux entiers soient multiples de 2 ; soient multiples de 3. Les
évènements « a et b sont multiples de 2 » et « a et b sont multiples de 3 » sont-ils indépendants ?
2. Les évènements « a et b sont multiples de 2 », « a et b sont multiples de 3 » et « a et b sont multiples de
5 » sont-ils indépendants deux à deux ? Mutuellement ?
3. Déterminer la probabilité de G.
Partie 2. L’outil informatique.
Dans toute cette partie, on se donne un entier n ≥ 2 . Les deux entiers choisis constituent un couple (a, b) de
{1 ; 2 ;...; n}× {1 ; 2 ;...; n} en supposant l’équiprobabilité des n 2 couples. On note Gn l’évènement : « a et b
sont deux entiers premiers entre eux ».
1. Proposer un programme permettant, l’entier n étant donné, de calculer la probabilité de l’évènement Gn
(en pratique, au moins quand l’ordre de grandeur de n est de quelques centaines).
2.1. Contrôler les résultats de la partie 1 pour n = 6 .
2.2. Effectuez quelques autres applications numériques de votre choix.
3. Je vous propose les deux conjectures suivantes :
CJ1 : « Il y a plus de chances d’obtenir deux entiers premiers entre eux que d’obtenir deux entiers qui ne le
sont pas ».
3
CJ2. « La probabilité de G est égale à
».
5
Qu’en pensez vous ?
Partie 3.
Soit n un entier ≥ 2 . Comme dans la partie précédente, les deux entiers choisis constituent un couple (a, b)
de {1 ; 2 ;...; n}× {1 ; 2 ;...; n} en supposant l’équiprobabilité des n 2 couples. On note Gn l’évènement : « a et
b sont deux entiers premiers entre eux ».
1. On désigne par p1 ; p2 ;...; pk les nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à n, (classés par ordre
croissant par exemple : p1 = 2 ; p2 = 3 ; p3 = 5 ; p4 = 7 ;... ). Pour chaque indice i tel que 1 ≤ i ≤ k on note Pi
l’évènement : « pi est un diviseur commun des entiers a et b ».
G. Julia, 2014
1
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2
 1  n 
1.1. Justifier que : p(Pi ) =  E    où E désigne la fonction partie entière.
 n  pi  
1.2. Soient j tel que 1 ≤ j ≤ k et j indices tels que : 1 ≤ i1 < i2 < ... < i j ≤ k . Justifier que :




u= j

 1  n
p I Piu  =  E  u = j
 u =1   n 
 ∏ piu

 u =1

2


1 
n

 E
(c’est
à
dire
:
p
P
∩
...
∩
P
=
i1
ij

 n  p × ... × p
ij
 i1
 



(
)
2

 )


i=k
2.1. Interpréter l’évènement : H n = U Pi et son évènement contraire.
i =1
 i =k  1
2.2. Justifier que : p U Pi  = 2
 i =1  n
j=k 
 

n
j +1
(
)
−
1
∑
∑  E  p × ... × p
j =1 
1≤ i1 <...< i j ≤ k
ij
  i1





2





3. En tenant compte des propriétés de la fonction de Möbius µ, montrer que :
2
 i =k 
  n   
1 x = n 
p U Pi  = − 2 ∑ µ (x ) E    .
n x=2
  x   
 i =1 

2
  n   
1 x = n 
En déduire que : p(Gn ) = 2 ∑ µ ( x ) E   
n x =1 
  x   

4. On veut dans cette question comparer p(Gn ) avec :
 µ (x ) 

x2 
x =1
x=n
∑ 
2
2
1   n 
1
1 1
4.1. Etablir que pour chaque entier x de {1 ; 2 ;...; n} :  −  < 2  E    ≤ 2 et en déduire que :
x
n
x
n
x


  
1
n2
2
  n 
1
2
1
 E    − 2 <
− 2
nx n
x
  x 
4.2. Montrer que
∑
1≤ x ≤ n
µ (x )
x2
2
−
  n 
1
1 2 x =n 1
(
)


µ
x
E
<
+ ∑


∑
 x 
n n x =1 x
n 2 1≤ x≤ n
  
5. Déterminer, à l’aide des résultats obtenus dans le problème « Tel-Aviv 1976 » prolongé, la limite quand n
 n2 
1
tend vers l’infini de 2 ∑ µ ( x )E  2 
. Quelle réponse peut-on donner à la question initiale du
n 1≤ x≤n
 x  gjulia 2014
problème ?
6. Que se passerait-il si on cherchait la probabilité que trois entiers choisis au hasard soient premiers dans
leur ensemble ?
G. Julia, 2014
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2. Eléments de correction
Partie 1.
1. Parmi les six entiers de {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} , 3 sont multiples de 2, 2 sont multiples de 3, et 1 est multiple de 2
et de 3.
Les probabilités que a et b soient tous deux multiples de 2, de 3, de 2 et de 3 sont égales respectivement à
1 1 1 1 1
; ;
= × . Du fait que 6 est multiple à la fois de 2 et de 3, les évènements « a et b sont multiples de
4 9 36 4 9
2 » et « a et b sont multiples de 3 » sont indépendants.
1
et est incompatible avec chacun des
36
deux autres. Il n’est donc pas indépendant des deux autres. Ces trois évènements ne sont pas indépendants
deux à deux ni, a fortiori, mutuellement indépendants.
2. L’évènement « « a et b sont multiples de 5 » a pour probabilité
3. Les entiers a et b ne sont pas premiers entre eux si et seulement si ils sont tous deux multiples de 2, ou de
3 ou de 5. La probabilité de l’évènement réunion « a et b sont multiples de 2 ou sont multiples de 3 ou sont
 1 1 1  1 13
multiples de 5 » est égale à  + +  −
=
. Avec les notations des questions suivantes, il s’agit de
 4 9 36  36 36
p(P2 ) + p (P3 ) + p(P5 ) − p (P2 ∩ P3 ) (toutes les autres contributions éventuelles sont nulles)
13 23
La probabilité que a et b soient premiers entre eux est égale à 1 −
=
.
36 36

1 
Cet exemple montre au passage que la formule que l’on aurait pu conjecturer : p(G ) = ∏ 1 − 2  est
pi 
p i ≤ 6
fausse.
Partie 2.
Le programme entreux ci-contre a pour argument
l’entier n.
Il comptabilise systématiquement les couples
qui sont premiers entre
d’entiers de {1;2; ... ; n}
gjulia 2014
eux. Il renvoie sous forme de liste de trois nombres le
cardinal de Gn, celui de l’évènement contraire et la
probabilité de Gn.
Voici les résultats pour 100 ; … ; 500.
G. Julia, 2014
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On peut aussi proposer, pour des valeurs de n plus
grandes, une simulation de l’expérience.
Le programme simul est muni de deux arguments :
l’entier n et le nombre e d’essais voulus.
La liste l enregistre le résultat de chaque essai : 1 si
l’essai a abouti à deux entiers premiers entre eux, 0
sinon.
Provisoirement, on fait afficher les résultats de
chaque essai et en fin de programme la liste l. Ces
affichages seront désormais effacés, puis on va lancer
le programme avec n = 1000000
; e = 2500 .
gjulia 2014
Sur 2500 essais, le résultat de cette simulation a
donné 1507 fois deux entiers premiers entre eux.
Ce qui donne, en ce qui concerne les fréquences
d’obtention de deux entiers premiers entre eux, le
graphique ci-contre.
On peut proposer, comme intervalle de confiance de la probabilité de G2500 au seuil 95 %, l’intervalle
 1507
1
1507
1   1457 1557 

=
−
;
+
;
.
 2500
2500 gilbertjulia 2014 2500
2500   2500 2500 
La conjecture CJ1 peut être retenue. Au seuil de confiance 95 %, on peut considérer qu’il est exact que
p(G2500 ) > 0,5 .
Quant à la conjecture CJ2, elle est plausible puisque 0,6 est dans l’intervalle de confiance obtenu. (Mais
« plausible » ne signifie pas « exacte » ...)
G. Julia, 2014
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Partie 3.
1.1. Soit pi un nombre premier plus petit que n et : n = qi pi + ri avec 0 ≤ ri < pi la division euclidienne de n
par pi. Alors : qi =
 n
n ri
et qi = E 
+
pi pi
 pi

n

puisque qi ≤
< qi + 1 .
pi
 gjulia 2014
Il y a qi entiers de {1 ; 2 ;...; n} qui sont divisibles par pi, les entiers pi , 2 pi ,..., qi pi . La probabilité qu’un
q
entier de {1 ; 2 ;...; n} soit divisible par pi est égale à i .
n
Puisque les entiers a et b sont choisis indépendamment l’un de l’autre, la probabilité qu’ils soient tous les
2
2
 1  n 
q 
deux divisibles par pi est égale à  i  , c’est à dire que : p(Pi ) =  E   
n
 n  pi  
(Ce résultat ne dépend d’ailleurs pas du fait que pi soit on non un nombre premier).
1.2. Un couple (a, b ) appartient à l’évènement
u= j
I Pi
u =1
u
si et seulement si a et b sont tous deux divisibles par
chaque nombre premier piu , c’est à dire si et seulement si ils sont tous deux divisibles par le PPCM de ces
u= j
nombres. Puisque ces nombres sont des nombres premiers, leur PPCM est égal à leur produit
∏ pi
u =1
 u= j 
D’après la remarque faite en fin de question 1.1 : p Piu 


 u =1  gjulia 2014
I




1 
=  E
n 




u
.
2


n 
 .
u= j
piu  

u =1

∏
i=k
2.1. Si un couple (a, b ) appartient à H n = U Pi alors a et b sont tous deux divisibles par l’un au moins des
i =1
nombres premiers pi qui sont inférieurs ou égaux à n. Ils ne sont pas premiers entre eux.
Réciproquement, si a et b ne sont pas premiers entre eux, ils ont au moins un diviseur commun d autre que 1,
diviseur qui a lui-même au moins un diviseur premier pi. Le couple (a, b ) appartient à au moins un des Pi
i=k
donc à leur réunion. Ainsi, un couple (a, b ) appartient à H n = U Pi si et seulement si a et b ne sont pas
i =1
premiers entre eux. Hn et Gn sont deux évènements contraires.

 (− 1) j +1

j =1 
1≤i1 <...<i j ≤k
2



n


gjulia
2014
pi1 × ... × pi j  



 i =k 
2.2. D’après la formule du crible : p Pi  =
gjulia 2014
 i =1 
U
 i=k  1
p Pi  = 2
 i =1  n
U
j=k 
 

j +1
 E
(
)
−
1

 
j =1 
1≤ i1 <...< i j ≤ k
 

∑
∑
j =k
∑
∑
 u = j  
p Piu  . Ce qui donne :


 u =1  
I
3. Lorsqu’on fait varier les indices i1 ,..., i j , pi1 × ... × pi j décrit l’ensemble des produits de nombres premiers
distincts, c'est-à-dire des nombres libres de carrés, qui peuvent s’exprimer à l’aide des nombres premiers plus
petits que n. Cet ensemble inclut par construction tous les nombres libres de carrés qui sont plus petits que n,
à l’exception de 1.
(
)
Pour ces entiers-là, la fonction de Möbius vue dans un autre sujet vérifie : µ pi1 × ... × pi j = (− 1)
G. Julia, 2014
5
j
Ecrit 2
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Dans la somme précédente :


n
 = 0 , ces entiers n’apportent aucune contribution à la
Ou bien pi1 ×... × pi j > n et dans ce cas E 
 pi × ... × pi 
j 
 1
somme.




n
n
j +1
 = − µ p × ... × p E 
.
Ou bien 2 ≤ pi1 × ... × pi j ≤ n et dans ce cas : (− 1) E 
i1
ij
 pi × ... × pi 
 pi × ... × pi 
j 
j 
 1
 1
(
)
2
  n 
On peut d’autre part ajouter à la somme tous les termes µ (x ) E    pour lesquels x ∈ {2 ;... ; n} n’est pas
  x 
libre de carrés car pour ceux-là, µ (x ) = 0
 i =k 
1
On obtient : p Pi  = − 2
n
 i =1 
ayant une contribution nulle.
U
p(Gn ) =
gjulia 2014
p(Gn ) =
1
n2
∑
2≤ x≤n
 i =k 
1
1 − p Pi  = 1 + 2
n
 i =1 
U
x =n 
 µ ( x ) E  n  
 x 

  
x =1 
∑
2
  n 
  
2
µ ( x ) E    , les termes figurant dans une somme et pas dans l’autre
x
x=n 
 µ ( x ) E  n  
 x 

  
x =2 
∑
2

,


2
et
  n 
1
µ (1) E    = 1 ,
2
n
  1 
comme
finalement :

.


4. Pour comparer p(Gn ) avec :
 µ (x ) 
 :
x2 
x =1
x=n
∑ 
n n
n
4.1. Soit x un entier x de {1 ; 2 ;...; n} . Par définition de la partie entière : E   ≤ < E   + 1 ce qui
 x x
 x
n
1 1 1 n 1
n n
et en
implique, en tenant compte aussi que 1 ≤ x ≤ n : 0 ≤ − 1 < E   ≤ puis 0 ≤ − < E   ≤
x
x n n x x
 x x
2
1
1 1
élevant au carré :  −  < 2
x
n
n


2
  n 
1
 E    ≤ 2 .
x
x
  
2
2
2
1
1   n 
1
1   n 
1
2
1
On obtient : −
+ 2 < 2  E    − 2 ≤ 0 puis 2  E    − 2 <
− 2
nx n
nx n
n   x  x
n   x 
x
4.2.
µ (x )
∑
1≤ x≤ n
∑
1≤ x≤n
∑
1≤ x≤n
µ (x )
x2
µ (x )
x2
x2
2
  n 
1
− 2
µ ( x ) E    = gjulia 2014
n 1≤ x≤n
  x 
∑
2
1≤ x≤n
x
2
  n 
1
1
1
µ ( x ) E    ≤
µ (x ). 2 − 2
2
n 1≤ x≤n
x
n
  x 
1≤ x≤n
−
 2
  n 
1
1  2
1 1
− .

µ ( x ) E    ≤
− 2  = 
2
n 1≤ x≤n
n   n 1≤ x≤n x  n
  x 
1≤ x ≤n  n x
µ (x )
2
∑
  n 
 E   
  x 
−
∑
∑
2
∑
∑
Compte tenu de la majoration classique
∑
 1
1
µ (x ) 2 − 2

x
n
1≤ x≤ n

  n 
1
− 2
µ ( x ) E   
n 1≤ x≤n
  x 
∑
2




  n 
1
1
 E    ≤
. 2− 2
n
  x 
1≤ x≤ n x
∑
  n 
 E   
  x 
2
∑
1
≤ 1 + ln (n ) :
1≤ x≤ n x
∑
2
≤
2
(1 + ln(n )) − 1 = 1 + 2 ln(n ) .
n
n
n
gjulia 2014
G. Julia, 2014
6
Ecrit 2
CAPES Mathématiques
La différence est majorée en valeur absolue par une suite qui converge vers zéro.
∞
µ (x )
1
lim p(Gn ) =
=
2
n→∞
ζ (2 )
x
1
∑
5. Ce résultat donne un sens à la question initiale : « On choisit deux entiers strictement positifs. Quelle est la
probabilité que ces deux entiers soient premiers entre eux ? ».
Il n’y a en effet aucun protocole réalisable permettant de « choisir deux entiers », il n’est pas possible de
munir N* d’une probabilité. Telle qu’elle était posée, la question n’avait pas de sens1.
Le protocole appliqué est de choisir le couple d’entiers dans l’ensemble {1 ; 2 ;...; n} qui peut, quant à lui,
être muni de l’équiprobabilité, puis de regarder ce qu’il se passe lorsqu’on fait tendre n vers l’infini.
1
En conclusion, la limite de p(Gn ) , lorsqu’on fait tendre n vers l’infini, est égale à
. C’est en ce sens
ζ (2)
seulement que l’on peut dire que la probabilité que deux entiers choisis de « façon quelconque » soient
1
6
premiers entre eux est égale à
= 2
ζ (2) π
2
6. On peut considérer un triplet (a, b, c ) choisi dans l’ensemble {1 ; 2 ;...; n}3 muni de l’équiprobabilité.
Dire que ces entiers sont premiers dans leur ensemble, c'est dire que ces trois entiers n’ont en commun aucun
autre diviseur que l’unité.
Dans ce cas, l’évènement contraire de Gn est l’évènement « il existe au moins un nombre premier inférieur
ou égal à n qui divise à la fois a, b et c ».
Dans ce cas, on note Pi l’évènement « les trois entiers a, b, c sont tous divisibles par pi » et la probabilité de
3
 1  n 
cet évènement est : p(Pi ) =  E    . On reprend donc la démarche précédente avec des « cubes à la
n

 pi  

3
  n   
1 x=n 
µ ( x ) E    .
place des carrés ». On aboutit à : p(Gn ) = 3
n x=1 
  x   

∑
Pour chaque entier x de
{1 ; 2 ;...; n} ,
de l’inégalité 0 ≤
3
3
1 1 1 n 1
− < E  ≤
on peut déduire que
x n n x x
2
1   n 
1
1 1
 −  < 3  E    ≤ 3
n   x 
x
 x n
−
puis
3
3
1
1   n 
1
+ 2 − 3 < 3  E    − 3 ≤ 0
2
nx
n x n
n   x 
x
3
1   n 
1
3
3
1
E
 − 3 <
− 2 + 3.
3   
2
n   x 
x
nx
n x n
En comparant la probabilité de Gn avec
∑
µ (x )
1≤ x≤ n
∑
1≤ x≤n
µ (x )
x3
  n 
1
− 3
µ (x ) E   
n 1≤ x≤n
  x 
∑
3
x3
:
1
1   n 
≤
. 3 − 3  E   
n   x 
1≤ x≤ n x
3
∑
gjulia 2014
1
C’était délibéré …
G. Julia, 2014
7
puis
Ecrit 2
∑
1≤ x≤n
µ (x )
x
3
  n 
1
µ ( x ) E   
− 3
n 1≤ x≤n
  x 
∑
CAPES Mathématiques
3
≤
 3
∑ . n x
1≤ x≤n
2
−
3
2
n x
+
1  1 ∞ 1 3
 ≤ 3
−
n 3  n  x =1 x 2 n
∑
∞
1
1 

2 

∑x+n
x =1
gjulia 2014
La différence est majorée par une suite convergeant vers zéro. lim p(Gn )
n →∞
gjulia 2014
=
∞
∑
1
µ (x )
x
3
=
1
.
ζ (3)
6. Point de vue informatique.
Le programme trointreux est muni d’un argument n
(cet entier étant, en pratique, de l’ordre de quelques
dizaines d’unités). Ce programme comptabilise tous
3
les triplets de {1 ; 2 ;...; n} qui sont constitués de
trois entiers premiers entre eux dans leur ensemble
(compteur u). Il renvoie une ligne de résultats donnant
le nombre de triplets premiers entre eux et leur
3
proportion dans {1 ; 2 ;...; n} pour de petites valeurs
de n.
Pour les valeurs de n testées, la proportion de triplets
premiers entre eux est voisine de 0,83.
Une autre approche est de construire une simulation.
Le programme simtrois est muni de deux arguments,
l’entier n qui n’est plus soumis à la contrainte d’ordre
de grandeur de quelques dizaines d’unités, et le
nombre e de triplets choisis aléatoirement. Ce
programme renvoie la fréquence de triplets premiers
entre eux observés et un intervalle de confiance
contenant, au seuil 0,95, la probabilité qu’un triplet
soit constitué de nombres premiers entre eux dans
leur ensemble.
On pourra comparer avec la valeur théorique obtenue
G. Julia, 2014
1
ζ (3)
.
8