Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux

Ecrit 2 CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014
1
Probabilité que deux entiers soient premiers
entre eux
Voici un autre problème dans lequel on retrouve la fonction de Möbius ...
1. Le sujet
Dans ce problème, on se propose d’étudier la question suivante :
On choisit deux entiers strictement positifs. Quelle est la probabilité que ces deux entiers soient premiers
entre eux ?
Notation : On désignera par G l’évènement « les deux entiers choisis sont premiers entre eux » quel que soit
le protocole de choix.
Partie 1. Un protocole simple.
Dans cette partie, les deux entiers sont choisis dans l’ensemble
{
}
6;5;4;3;2;1 (par exemple en lançant deux
dés équilibrés).
1. Déterminer la probabilité que ces deux entiers soient multiples de 2 ; soient multiples de 3. Les
évènements « a et b sont multiples de 2 » et « a et b sont multiples de 3 » sont-ils indépendants ?
2. Les évènements « a et b sont multiples de 2 », « a et b sont multiples de 3 » et « a et b sont multiples de
5 » sont-ils indépendants deux à deux ? Mutuellement ?
3. Déterminer la probabilité de G.
Partie 2. L’outil informatique.
Dans toute cette partie, on se donne un entier 2
≥
n. Les deux entiers choisis constituent un couple (a, b) de
{
}
{
}
nn ;...;2;1;...;2;1 × en supposant l’équiprobabilité des
2
n couples. On note Gn l’évènement : « a et b
sont deux entiers premiers entre eux ».
1. Proposer un programme permettant, l’entier n étant donné, de calculer la probabilité de l’évènement Gn
(en pratique, au moins quand l’ordre de grandeur de n est de quelques centaines).
2.1. Contrôler les résultats de la partie 1 pour 6
=
n .
2.2. Effectuez quelques autres applications numériques de votre choix.
3. Je vous propose les deux conjectures suivantes :
CJ1 : « Il y a plus de chances d’obtenir deux entiers premiers entre eux que d’obtenir deux entiers qui ne le
sont pas ».
CJ2. « La probabilité de G est égale à
5
3 ».
Qu’en pensez vous ?
Partie 3.
Soit n un entier
2
≥
. Comme dans la partie précédente, les deux entiers choisis constituent un couple (a, b )
de
{
}
{
}
nn ;...;2;1;...;2;1 ×en supposant l’équiprobabilité des
2
n couples. On note Gn l’évènement : « a et
b sont deux entiers premiers entre eux ».
1. On désigne par
k
ppp ;...;;
21
les nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à n , (classés par ordre
croissant par exemple : ;...7;5;3;2
4321
==== pppp ). Pour chaque indice i tel que ki
≤
≤
1 on note
i
P
l’évènement : «
pi est un diviseur commun des entiers a et b ».

Ecrit 2 CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014
2
1.1. Justifier que :
( )
2
1
=
i
i
p
n
E
n
Pp où E désigne la fonction partie entière.
1.2. Soient j tel que kj
≤
≤
1 et j indices tels que : kiii
j
≤<<<≤ ...1
21
. Justifier que :
2
1
1
1
=
∏
=
=
=
=ju
ui
ju
ui
u
u
p
n
E
n
Pp
I
(c’est à dire :
( )
2
...
1
...
1
1
××
=∩∩
j
j
ii
ii pp n
E
n
PPp )
2.1. Interpréter l’évènement :
U
ki
iin PH = =
=1 et son évènement contraire.
2.2. Justifier que :
( )
∑ ∑
=
= ≤<<≤
+
=
=
××
−=
kj
j kii ii
j
ki
ii
jj
pp n
E
n
Pp
1 ...1
2
1
2
1
11
...
1
1
U
3. En tenant compte des propriétés de la fonction de Möbius µ, montrer que :
( )
∑
=
=
=
=
−=
nx
x
ki
ii
x
n
Ex
n
Pp
2
2
2
1
1
µ
U.
En déduire que :
( ) ( )
∑
=
=
=
nx
x
n
x
n
Ex
n
Gp
1
2
2
1
µ
4. On veut dans cette question comparer
(
)
n
Gp avec :
(
)
∑
=
=
nx
x
xx
12
µ
4.1. Etablir que pour chaque entier x de
{
}
n;...;2;1 :
2
2
2
2
1111 x
x
n
E
n
nx
≤ <
−
et en déduire que :
22
2
2
1211 n
xn
x
x
n
E
n
−<−
4.2. Montrer que
( ) ( )
∑∑∑
=
=≤≤≤≤
+< −
nx
xnxnx
xnnx
n
Ex
nx
x
11
2
2
12
1211
µ
µ
5. Déterminer, à l’aide des résultats obtenus dans le problème « Tel-Aviv 1976 » prolongé, la limite quand n
tend vers l’infini de
( )
2014
12
2
2
1
gjulia
nx
x
n
Ex
n
∑
≤≤
µ . Quelle réponse peut-on donner à la question initiale du
problème ?
6. Que se passerait-il si on cherchait la probabilité que trois entiers choisis au hasard soient premiers dans
leur ensemble ?

Ecrit 2 CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014
3
2. Eléments de correction
Partie 1.
1. Parmi les six entiers de
{
}
6;5;4;3;2;1 , 3 sont multiples de 2, 2 sont multiples de 3, et 1 est multiple de 2
et de 3.
Les probabilités que a et b soient tous deux multiples de 2, de 3, de 2 et de 3 sont égales respectivement à
9
1
4
1
36
1
;
9
1
;
4
1×= . Du fait que 6 est multiple à la fois de 2 et de 3, les évènements « a et b sont multiples de
2 » et « a et b sont multiples de 3 » sont indépendants.
2. L’évènement « « a et b sont multiples de 5 » a pour probabilité
36
1 et est incompatible avec chacun des
deux autres. Il n’est donc pas indépendant des deux autres. Ces trois évènements ne sont pas indépendants
deux à deux ni, a fortiori, mutuellement indépendants.
3. Les entiers a et b ne sont pas premiers entre eux si et seulement si ils sont tous deux multiples de 2, ou de
3 ou de 5. La probabilité de l’évènement réunion « a et b sont multiples de 2 ou sont multiples de 3 ou sont
multiples de 5 » est égale à 36
13
36
1
36
1
9
1
4
1=−
++ . Avec les notations des questions suivantes, il s’agit de
(
)
(
)
(
)
(
)
32532
PPpPpPpPp ∩−++ (toutes les autres contributions éventuelles sont nulles)
La probabilité que a et b soient premiers entre eux est égale à
36
23
36
13
1=− .
Cet exemple montre au passage que la formule que l’on aurait pu conjecturer :
( )
∏
≤
−=
62
1
1
i
pi
p
Gp est
fausse.
Partie 2.
Le programme entreux ci-contre a pour argument
l’entier n.
Il comptabilise systématiquement les couples
d’entiers de
{
}
2014
;...;2;1
gjulia
n qui sont premiers entre
eux. Il renvoie sous forme de liste de trois nombres le
cardinal de G
n
, celui de l’évènement contraire et la
probabilité de G
n
.
Voici les résultats pour 100 ; … ; 500.

Ecrit 2 CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014
4
On peut aussi proposer, pour des valeurs de n plus
grandes, une simulation de l’expérience.
Le programme simul est muni de deux arguments :
l’entier n et le nombre e d’essais voulus.
La liste l enregistre le résultat de chaque essai : 1 si
l’essai a abouti à deux entiers premiers entre eux, 0
sinon.
Provisoirement, on fait afficher les résultats de
chaque essai et en fin de programme la liste l. Ces
affichages seront désormais effacés, puis on va lancer
le programme avec 2500;1000000
2014
== en
gjulia
.
Sur 2500 essais, le résultat de cette simulation a
donné 1507 fois deux entiers premiers entre eux.
Ce qui donne, en ce qui concerne les fréquences
d’obtention de deux entiers premiers entre eux, le
graphique ci-contre.
On peut proposer, comme intervalle de confiance de la probabilité de G
2500
au seuil 95 %, l’intervalle
=
+− 2500
1557
;
2500
1457
2500
1
2500
1507
;
2500
1
2500
1507
2014iagilbertjul
.
La conjecture CJ1 peut être retenue. Au seuil de confiance 95 %, on peut considérer qu’il est exact que
(
)
5,0
2500
>Gp .
Quant à la conjecture CJ2, elle est plausible puisque 0,6 est dans l’intervalle de confiance obtenu. (Mais
« plausible » ne signifie pas « exacte » ...)

Ecrit 2 CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014
5
Partie 3.
1.1. Soit p
i
un nombre premier plus petit que n et : iii rpqn += avec
ii
pr <≤0 la division euclidienne de n
par pi. Alors :
i
i
i
i
p
r
p
n
q+= et
2014gjulia
i
i
p
n
Eq  =
puisque 1
+<≤
i
i
i
q
p
n
q
.
Il y a q
i entiers de
{
}
n ;...;2;1 qui sont divisibles par p
i, les entiers iiii
pqpp ,...,2, . La probabilité qu’un
entier de
{
}
n ;...;2;1 soit divisible par p
i est égale à
n
q
i
.
Puisque les entiers a et b sont choisis indépendamment l’un de l’autre, la probabilité qu’ils soient tous les
deux divisibles par pi est égale à
2
n
q
i
, c’est à dire que :
( )
2
1
=
i
i
p
n
E
n
Pp
(Ce résultat ne dépend d’ailleurs pas du fait que pi soit on non un nombre premier).
1.2. Un couple
(
)
ba , appartient à l’évènement
I
ju
ui
u
P
=
= 1
si et seulement si a et b sont tous deux divisibles par
chaque nombre premier
u
i
p , c’est à dire si et seulement si ils sont tous deux divisibles par le PPCM de ces
nombres. Puisque ces nombres sont des nombres premiers, leur PPCM est égal à leur produit
∏
=
=
ju
ui
u
p
1
.
D’après la remarque faite en fin de question 1.1 :
2
1
1
1
2014
=
∏
=
=
=
=ju
ui
ju
ui
u
gjulia
u
p
n
E
n
Pp
I
.
2.1. Si un couple
(
)
ba, appartient à U
ki
iin
PH
=
=
=
1
alors a et b sont tous deux divisibles par l’un au moins des
nombres premiers p
i
qui sont inférieurs ou égaux à n. Ils ne sont pas premiers entre eux.
Réciproquement, si a et b ne sont pas premiers entre eux, ils ont au moins un diviseur commun d autre que 1,
diviseur qui a lui-même au moins un diviseur premier p
i
. Le couple
(
)
ba, appartient à au moins un des P
i
donc à leur réunion. Ainsi, un couple
(
)
ba, appartient à U
ki
iin
PH
=
=
=
1
si et seulement si a et b ne sont pas
premiers entre eux. H
n
et G
n
sont deux évènements contraires.
2.2. D’après la formule du crible :
( )
∑ ∑
=
= ≤<<≤
=
=
+
=
=
−=
kj
j kii
ju
ui
j
ki
ii
j
u
gjulia
PpPp
1 ...1 1
1
1
1
2014
1
IU
. Ce qui donne :
( )
∑ ∑
=
= ≤<<≤
+
=
=
××
−=
kj
j kii ii
j
ki
ii
j
gjulia
j
pp n
E
n
Pp
1 ...1
2
1
2
1
1
2014
1
...
1
1
U
3. Lorsqu’on fait varier les indices
j
ii ,...,
1
,
j
ii
pp ××...
1
décrit l’ensemble des produits de nombres premiers
distincts, c'est-à-dire des nombres libres de carrés, qui peuvent s’exprimer à l’aide des nombres premiers plus
petits que n. Cet ensemble inclut par construction tous les nombres libres de carrés qui sont plus petits que n,
à l’exception de 1.
Pour ces entiers-là, la fonction de Möbius vue dans un autre sujet vérifie :
(
)
(
)
j
ii
j
pp 1...
1
−=×× µ