Étude des sous-modules compléments dans un A-module

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
G UY R ENAULT
Étude des sous-modules compléments dans un A-module
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 16, no 2 (1962-1963), exp. no 16,
p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1962-1963__16_2_A5_0>
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Séminaire DUBREIL-PISOT
16-01
(Algèbre e t théorie de s nombres)
16e année,
n° 16
1962/63,
1~ avril 1963
ÉTUDE DES SOUS-MODULES COMPLÉMENTS DANS UN
A-MODULE
Guy RENAULT
par
1. Rappels.
Soit
A
unitaire ;
un anneau
considérera dans la suite des
on
A~.modules à
gauche o
Définition
M
~~~ . »
Soit
N
X
N =
(0) ?
lequel
pour
appelé
un
module
complément
complément
X
est
n
sous-module
un
sous-module de
étant maximal pour cette
X
complément
relatif de
sous-module
un
X
pour
N
dans
lequel
module
pour tout sous-module
il existe
M
propre dans
Soit
P
X n N =
un
sous-module de
propriété ;
et
on
un
X
sera
appellera
sous-
sous-module
P
est extension essentielle d’un sous-module
de
la relation
P n N =
PROPOSITION lo - Pour
M~
M,
un
N
dont
relatif.
Rappelons qu’un
ment dans
X
et soit
M~
il faut
qu’un sous-module X de M
et il suffit qu’il n’admette
’
(0)
s oit
~..-..~
un
P =
N
si,
(D) ~
sous-module
c omplé-.
pas dtextension essentielle
M ~
une
extension essentielle de
(0) ~
P n N =
sous-module de
M
(0) ~
X,
eu
et par suite
X
complément
est
P = X
p
relatif de
Réciproquement,
(0) ,
sans
et par suite
P
est extension essentielle de
X
soit
extension essentielle propre dans M , soit N un
plément relatif de X 9 il existe un complément relatif P de N contenant
soit Q un sous-module de P tel que Q n X =
(0) , on a
Q =
N,
com...
X
P = X .
X,
On sait que tout A-module M est
male de M qui est un A-module
plongé dans une extension essentielle maxiinjectif appelé enveloppe injective de M et
qui
sera
noté
E (M) ~
2. Re lati ons entre le s sous-modules
injectifs
de
alors la trace
module
dans
M
e t le s sous-modules
E/ M o
PROPOSITION 2. -
N,
compléments
complément
M
Soit
s ur
dans
N
N é
un A-module extension essentielle d’un sous-module
d’un sous-module
c omplément
X
dans
M
est
un sous-
X
Soit
un
relatif à
S
complément
X n N
X ~ n N
Xt;
écarte le
Soit
sous-module
complément
et
on a
N
est essentiel dans
X
suite
X
M~
est
sous-module
un
N
sont des sous-modules de
(0)
X = M
ou
relatif dans
et
X’t
de
N
),
n
non
complément
nuls (on
on a
contenant X
N
n
N,
on a
la relation
Soient
de
X =
trivial où
cas
un
et
dans
X
M S’
sous-module
un
cela
complément
contenue dans
E (M~ ~ E(X)
E(X)
(proposition 1) ;
n
M = X
sont des sous-modules
(S+X)nN= (0)
implique
injectifs,
n
et
M
dans
M
E(X)
et
une
enve loppe injective
est extension essentielle de
les sous-modules
compte
S c X ,
et par suite
compléments
et par
X~
dans
tenu do la
proposition 2,
de
un
E(M)
on a
le
résultat :
THEOREME
dans
Pour qu’un
M J il faut
X
sous-module
e t il suffit que
X
M
soit
s oi t la trace
d’un
M
sur
c omplément
sous-module mjeo-
sous-module
’ ~
tif de E(M) .
Exemple. -
Un
A-module
M
est
quasi-injectif [4]
’
s ’il vérifie la condition
"
suivante :
soient
f
se
est
N
un
prolonge
sous-module de
en un
équivalente à
M
Donnons
un
exemple
la
M
est alors
f
un
endomorphisme de M ;
propriété suivante :
on
homomorphisme
endomorphisme
général
modules ;
assez
quasi-injectif
en
de tels
l
et
A
un
particulier le
de
N
dans
montre que la condition
est stable pour tout
morphisme s d’un module injectif
M
et
de
E(M) .
soient
B
l’anneau des endo-
idéal bilatère de
coeur
[5]
M ~ alors
précédente
B
et soit
d’un module est
quasi-
injectif.
sous-modules
directs,
e t si
quelconque
M
dans
tout
X .
compléments
dans
module
quasi-injectif
X e s t un sous-module complément dans M et
homomorphisme de N dans X se prolonge en
un
s ont de s facteurs
N
un
un
sous-module
endomorphisme de
précédent
Nous allons utiliser le résultat
(resp. maximaux)
ments minimaux
(ii)
est
X
X ).
le théorème
aucun
la condition
1,
sous-module
nombre fini
équivalente au fait que E(X) ne
suite E(x) est un injectif indécom-
(i)
est
et par
injectif
voit aisément que si
posable. Dn
M
E(M) soit
indécomposables,
est tel que
de sous-modules
injectifs et
maximales de sous-modules compléments ont pour longueur n .
tats répondent à une question posée dans [5]. (Cf. également
n
THÉORÈME 3 ° .. Soi t X
est
is omorphe à
D ’après
M
==>
est
un
un
un
sous-module
le théorème
E (X ) ,
est
sous-module
X
1,
un
est
sous-module
injectif
et
alors les chaînes
Ces derniers résul~
[2],
h
E
de
202.)
p.
alors
(M)
E
(M/X)
est
M a
sous-module
un
directe d’un
somme
dans
complément maximal
in j e c tif e t indécomposable
sous-module
n-irréductible minimal de
s ous-module
un
(0)
complément co-irréductible ~i. e a ~
s ous-module
un
n-irréductible dans
contient
M , les propriétés
sous-module de
complément minimal,
sous-module
un
est
Dlaprès
un
équivalentes :
suivantes sont
(i) X
complé-
o
A-module et X
M un
THEOREME 20 - Soit
pour étudier les sous-modules
injectif
complément
maximal de
E
maximal dans
(M)
indécomposable, d’autre part
~X ~ ~
E
-
on a
la deuxième assertion résulte du lemme suivant :
LEMME 1.
M
-Soient
c on tenant
N9
N
alors
La démonstration de
sous-module de
un
ce
X/N
est
un
M
et
sous-module
X
un
complément
âe
un
M~
M
un
A-module ;
aux
dans
allons montrer
qu’il
A-module
existe
un
M ,
sous-module
compléments
dans
r(M)
r(M)
soit
complément,
On considère l’ensemble
f ais ant
nous
tel que l’intersection de deux sous-modules
sous-module
complément dans
lemme est immédiate.
3 o Définition e t é tude d’ un sous-module particulier du
Soit
sous-module
B’
des
propriétés suivantes :
endomorphismes essentiels
c~
de
E(M)
satis-
(i)
il existe
(ii) p(E(M))
A-module
un
K
injectif
tel que
ker (p
=
I
une
K @
H~
cK .
On pose
S oient
de N
I~ ~
à
cp’
un
r(E)
cr(l) .
sous-module de
E (M) ,
c ontenue dans
Soit
(ii) ;
N
alors
N
et
Q
c~ un endomorphisme essentiel de l satisfaisant aux conditions (i) et
soit cp’ = c~ o p al p est la projection de E (M) sur I parallèlement
K~
on
est
un
supplémentaire
de
I
dans
E .
endomorphisme de E(M) de noyau ker 03C6 ®
morphisme essentiel qui satisfait de façon évidente à (i)
ker 03C6 ~ N et N ~ T(I) .
est
n
M
alors
lt
et
r (E ) ~
Soit
c’est donc
un
IEMME 3. - S oient
l
enve loppe injective
N
E(N)
thèse
I
M
et
de ux sous-modules
injectifs
et par suite
E (M)
de
sont extensions essentielles différentes de
complément
relatif de
rencontrerait
M
l’
(ii),
te ls
1 n Ii
que
M ;
n
M ~
un
sinon
n
n
1
et
endo-
un
1
M
Il
n
M~
suivant
un
est extension essentielle de
1
On en déduit que
I
et
n
on a
sous-module
n
l’
n
I’ ont les marnes modules
M,
non
nul,
d’ou
et par
hypo-
E (N) n I ~ n
supplémentaires
dans.
M 0 .
E(M) et
on a
Soit
x
n’eE(N) .
un
élément quelconque de
On pose
E(M) ; on a
(p(x)= i - i’ = n’ - n ; il
morphisme de noyau 1 n l’
par hypothèse on a (p(M) ~ (0) .
Les lemmes 2 et 3 entraînent la
il satisfait
est clair que
aux
conditions
+n’ ,
eu
n
et
03C6 est un endo-
(i)
et
(ii),
et
propriété suivante :
THÉORÈME
un
x=i+n=i’
4. - L’intersection de deux sous-modules
sous-module complément.
compléments
dans
F(M)
En particulier si E(M) =
r(E) , alors l’intersection de deux sous-modules
tifs de E(M) est un sous-module
injectif.
est
**
injec-
THÉORÈME 5. - S oit E
A-module
un
injectif,
suffit que l’intersection de de ux sous-modules
module
de
enveloppe injective
P
Soit
H,
le résultat
complément,
alors
Exemple. coeur [5]
de
,
ce
module,
A-modules
M
est
un
1
dési-
P
compléments
façon
suivante :
étant quasi-injectif et tel que
P
dans
soit
un
sous-module
Z-module Q~Z ~
on a
r ~~Z ~ : ~/Z~ ~ Soit
on a
M
tels que toute intersection
sous-module
de
sous-:modules complé-
complément.
,
THEOREME 6, - S oit
a o
K E9 H
r ~E ~ ,
c
Considérons le
4 . E!-ude de s
me nts dans
P
de la
E ~M~ ~
module essentiel dans
un
=
on a
précédent
l’intersection de deux sous-modules
le
un s ous~.
=
peut généraliser
On
soit
que ker p
r(E) , il existe un endomorphisme (p essentiel,
x ~~x~ est une injection, si
(p ~ E ~ posons ~;:’y
ker
une
gne
E
de
in j e c tif s
il f aut e t il
injectif.
Si
avec
E = r (E )
pour que
M
un
le s c onditions suivantes sont
A-module,
L’intersection de deux sous-modules
compléments
NI
dans
est
équivalentes:
sous-module
un
complémen1o
bo Pour que X sous-module de M soit
f aut e t il suf f it qu’il vérifie la proprié
(I) x ~
e o
X
=>
il existe
a E
A
avec
Toute intersection de sous-modules
un
sous-module
té
suivante :
ax ~
0
compléments
complément
tel que
dans
Aax
M
n
est
dans
X =
un
il
(0)
~
sous-module
compléments
(a)
===>
(b). -
Soit X
suivante : il existe
existe
un
sous-module
un
sous-module
x ~ X tel que,
complément
Xt
complément
pour tout
dans
M
ayant
la
propriété
Aax ~ X ~ (0) ,
extension essentielle de
Ax ~
priété précédente entrafne que Xt est extension essentielle de Xt
X’t n X est par hypothèse un sous-module complément dans
et par suite
mais par hypothèse x ~ X , d 1 cù l’assertion.
il
et la pro~
n
X~
(b)
M , et
(c). -
~
n x. ;
X =
peut trouver
ne
(c)
x f. X
aeA
(a },. ~
===>
(Xi)iEI
Soient
il existe
=>
ax 1=
avec
0
i ~ I
x ~ Xi ’
tel que
Aax n X . ~ (0)
tel que
dans.
compléments
famille de sous-modules
une
et
a
et par suite
fortiori
C’ es t évident.
On vérifie aisément la
propriété
PROPOSITION 3. - Soit
M un
suivante :
A-module,
les conditions suivantes sont
équiva-
lentes:
a. ’ Toute intersection de sous-modules
b. Pour tout eous-module
plément
X
dans
X
de
contenant
il exis te
M~
X ;
compléments
et alors
un
est
sous-module
un
complément~
plus pe tit sous-module
X -~ X
l’application
est
una
appli.~
ca ti on de fermeture.
Soit
M
A-module,
condition (I)
un
vérifie la
Soit
est
x
un
PROPOSITION 4. - Soit
sous-module
qu’un
X
de
est fermé s fil
M
du théorème 6.
élément de
sous-module de
un
dira
on
M~
M~
on
M
Ann(x)
notera
on
l’annulateur de
x ~ et si X
notera
Un A-module, les conditions suivantes
sont
équiva’
lentes:
Toute intersection de sous-modules
a.
compléments
dans
M
est
un
sous-module
complément~
b. Pour tout sous-module
est
un
on
===>
il existe
notera.a
(b)
dans
b E A
a
===>
M
e t tout
x f. X ,
(X ’ ~ x)/Ann(x)
dans
a X
tel que
avec
ba ~ Ann x ,
=>
la classe de
(b). - Soit
Abax n X ~
avec
X
sous-module fermé de
Soit
(a)
complément
(o)
=>
par suite
~:>
.
Aban
d’où
(a).-Soit
Aba’nX *.x/Annx= (0)
il existe
=>
b
AbanX *.x=Amix
avec
ba’~0
Aba xnX
tel que
=
(0)
X
et par suite
Soit M
est
sous-module
un
nous
un
LEMME 4. -
N
et
N’
et
N’
sont
N
sentielles de
P
Soit
N
~==>
un
dan.s
d’équivalence 03C1
compléments
équivalents
~
N
et
N’
relatifs.
sont extensions
es-
sous-module de
un
N’ , tel
complément
que P n (il
relatif de
n
NI) = (0)
N~
P n N =
w~>
(0) .
et par suite
donc de
~o~ ~
P =
Réciproquement,
S
de conclure.
deux sous-modules
ensemble de
ont
permet
n
est donc contenu dans
P
le théorème 6
allons définir une relation
Soient N vt
ble des sous-modules de
N p NIi
fermée
un
N
si
sous-module
de
N
sont extensions essentielles de
et
N’
un
A-module,
n
N’ ~
soit
M
le résultat.
THÉORÈME
a.
M
7. - Soit
les
L’intersection de deux sous-modules
propriétés
compléments
suivantes sont
dans
NI
est
un
équivalentes :
sous-module
compléments
b. s oient
N
et
N~t
deux sous-modules de
M 9
Considérons la condition
(III)
cette dernière condition
entraine la condition
pour tout sous-module
~IZ~ 9
en
effet,
prenons
ona
de
m8me
on a
1° Nous allons donc établir que la
Soient
N ~ N’ ,
P
des
propriété (a) entraine ~II z ~ ,
sous-modules de M, tels que l’on ait :
P,
1
on a
N .~ N l’application de fermeture, d’après
d’autre part
et soit
N ~ Nf
P~
sont des sous-modules essentiels de
2° Soit
N
un
sous-module de
complément ~
sous-module
Soient
et
tielles de
caractérisation qui
les sous-modules
M
un
baE X *.
x
LEMME 5 .a
tels que
un
extensions
seul
essen-
-
pas faire
ne
x~
X
X
et
quelconque
un
il existe donc
ax ~ U ~
A
E
bax ~
0
première
que X ° e x
M
X ~ ~0~ , alors
ax ~ X et
bax ~ X , d’où
n
soit
A,
avec
Aax
dans
tel que
ba ~ 0 .
X
Soit
b
complément
sous-module
tel que , pour tout
idéal à gauche essentiel dans
x
M
’
avec
X.
de
précédemment étudia
intervenir de façon explicite
A-modules
un
sous-module de
s oit essentiel dans
de s éléments
M , l’ensemble
A
est
un
sous-module
relation prouve que, si
essentiel dans A =>
et y
x
de
x
M
X ,
’
Cela résulte des relations suivantes g
La
existe
qu’il
est extension essentielle de
l’avantage
compléments
ax ~ 0 ,
fortiori
a
dans
aura
il existe
est
x
compléments
caractérisation des
une
A-module
un
fermé 9
X .
N ~
(lemme 3) X + X
Nous allons établir
non
estension essentielle de
deux sous-modules
X~
P+N’1
et
propriété .
allons montrer
nous
P
et par suite
N
et par suite
Soient
h! 9
d’ aû la
précédent
le lemme
alors
E
(X ° a x) ° o
~
x +
montre
E
y
essentiel dans
A ;
soit
’
il existe
03B2 ~ A
tel que
03B203B1a
Soit maintenant X
alors
X’
relatif de
d~ou
est
X
un
03B203B1a ~ 0
eX
un
avec
*.x
sous-module
complément
dans
sous-module contenant strictement
dans
M~
0 .
avec
YnX’ ~ (0)
si
x
=Y
un
A-module
X . Soit
nX’ ,
alors
Y
M
un
non
fermé,
complément
(X ’. x)=Ann(x)
PROPOS ITION ~ , .. S oient
M
fermé,
non
ment
x
non
soit
Y
un A-module
Ann(x)
tel que
X
e t
X
soit
un
c omplément
sous-module
un
relatif de
complément
un
X’
nul de
M
dans
il existe
un
dans
élé-
idéal à gauche essentiel dans
A e
Soit
M
A-module ;
un
des éléments
M,
x E
COROLLAIRE. - Soit
Ann(x)
tels que
M
de deux sous-modules
6. - S oit X
LEMME
complément
s ous-module
un
y ~ M ~ y~ ~ (0) avec AynX= (0)
z~ 0~ z~
Il existe
sous-module de
un
relatif de
X~
il existe
singulier J(M)
dans
M
est
sait
un sous-
fermé dans
il existe
M,
élément
A(x+y)
tel que
n X o
tel que, pour tout
contenant strictement
az ~ 0 ,
X ;
si
Aaz
X’
n
est
X ~ (0~ 9
un
X +Az
complément
tels que
y~
avec
l’hypothèse
Aa(x y) X ~ (0) ,
A(x+ y)nX .
+
un
non
X
et
y==- x+bz
n
0
si
faite
==> bzeX’
x=0
sur
A(x
et par suite
z , pour tout
+
y)
et
a(x
Abz n X =
+
(0)
.
y) ~ 0 ,
est extension essentielle de
~
THEOREME 8. - Soit
pas
As .
on a
x==x
Contrairement à
M
et
A(x+y)
soit extension essentielle de
M
un A-module, les propriétés suivantes
il existe deux sous-modules
a.
compléments
l’ensemble
complément.
module
~
soit essentiel dans
A-module tel que le sous-module
un
nul ; alors l’intersection
est
de
appelle sous-module singulier
on
sous-module
un
compléments
dans
M
sont
équivalentes :
dont l’intersection n’est
complément ;
b. il existe deux éléments
et
x
y
non
nuls de
M
tels que
(i) Ax n Ay = (0)
(ii)
(b)
n
=>
sous-module
et
on a
Ann(y)
est extension essentielle de
(a).- Ax n Ay = (0)
complément
d’autre part
dans
M
=>
Ann(x)/Ann(x)
Ann(x+ y) = Ann(x) n Ann(y) ;
extension essentielle de
Ax
n
X
n
Ann(y) .
soitX
=
(0) ,
un
s’écrit :
la relation
A
s
~Ann (x
d’après
et
(a)
6,
y)
+
la
(b). -
..--~
il existe
et
x
Ax n X
y
sous-module
un
éléments
y
(0)
=
X
Soit
n’est pas
X
proposition 4 ~
et par suite
A(x
extension essentielle de
y)
+
n
+
y~~Ann (x
+
y)
,
sous-module fermé.
un
complément
non
fermée d’après
le lemme
propriétés suivantes 1
Ax n Ay == (0) ; d’autre part A(x + y) est
X . On a les relations d’isomorphismes suinuls de
non
’. (x
X
extension essentiellede
M
les
ayant
vantes :
A(x
+
y) ~
A/Ann(x
+
A(x
+
y)
X ~X’,
(x
n
y)
+
y)( Ann(x
+
y) = Ann (x
+
y)
=
Ann(x)/Ann(x)
Exemples.
Soient
As
idéal à gauche essentiel dans
vérifie les conditions du théorème précédent.
A , Le
£-module injectif Q/Z .
Ax
A
As/
Soit le
et
un anneau
A
un
(q ,
m/qq’
que
ce
m
n’est pas
(q , q’ )
b.
=
qui .contredit
de
est
M
un
Ah
un
A
est
b. Soit
tels que
n
Ay =
c. m,
de
p~q~
et de
pq’ .
(0) ,
On vérifie
appartient à Z(p/q)n Z(p’/q’).
(0)
et par suite
et par suite l’intersection de deux sous-modules
sous-module injectif.
A
un
anneau les conditions suivantes sont
un A-module quelconque : alors l’intersection
dans
M
est
(b).- C’est
(b)
=>
(a). -
semi-simple.
y
(ii),
=>
ASx
et
Zq~ ~
(a)
module
et
injectifs
équivalentes :
semi-simple,
M
compléments
le p, p,
entier
1 ,
PROPOSITION 6. - Soit
a.
x
et par suite
et
a.
Soient
A-module
Soit
un
s ous-module
de de ux aous--modules
compléments
trivial.
A
un
contredisait
idéal à gauche essentiel dans
l’hypothèse,
d’où
A=
As , et
A~
on a vu
par suite
que le
A
est
M
PROPOSITION 7. - S oient
compléments
s ous-module s
Xi
est
un
complément :
sous-module
M
A-modules
dont le
LEMME 7 et .. Soit
M un A-module, les
(i) Ann(x)
un
(ii)
est
(ii)
=>
complément
n
singulier
(i)
(i). -
===->
X
es t nul.
bx ~
s, ,~
0 . Soit
b~
X e
(0)
pour tout
sous-module de
un
M,
0
ue
pour
suffitque,pour tout ax ~ 0 ,
x
0
appartenant à
un
Ann (bx ) ~
Aax
n
b rj Ann (x) qui
=>
Aab
n
est
fermé,
Ann (x) ~ (0) .
:= > Aab n
X’,
x
soit essentiel dans
X ~ (0) .
Il est évident que la condition est suffisante. Montrons
Soit
x~0~
pour tout
~~
(ii)..
Ann(bx) = (0) ~ .-.>
il faut et il
M
de
est nul
propositions suivantes sont équivalentes :
Soit
relatif de
IEMME 80 - Soit
sous-module singulier
idéal à gauche formé de
le s ous-module
Il est clair que
et
alors S est
immédiate du théorème 8.
conséquence
une
5. Cas particulier des
A
dans
l’intersection de deux
ensemble inductif ,
C’est
Aa
la f ami lle de s sous-modules
ayant la propriété suivante : pour tout i
(Xi)ieI
un
A-module et 5
un
qu’elle
il existe
est
ab ~
0
nécessaire.
tel que
Ann(x) = (0)
on a
Compte
tenu de l’étude
générale précédente,
on en
déduit le résultat suivant.
PROPOSITION 8. - Pour que X sous-module de M s oit un sous-module
dans M, il faut et il suffit qu’il vérifie la
propriété :
x f. X
Du lemme
2,
ture N de
tiel dans
X ° o x
=>
est
un
idéal fermé de
déduit le fait suivant : soit
N est l’ensemble des éléments
on
A . 0n
a
plément
maximal dans
mal de
A ~
N
x E
M
et
x ’1 X ,
alors
X ’.
A .
un
sous-module de
M
tels que
d’autre part le résultat suivant: Soit
x
est
un
complément
X
N ’.
un
M
x
la ferme-
soit essen-
sous-module
com-
sous-module fermé maxi-
16-12
Cas
particulier. - On suppose que le A-module à gauche As
à gauche singulier est nul. On a les propriétés suivantes :
PROPOSITION 9. - Soient
X
un
idéal à gauche de
A
et
X
est tel que l’idéal
sa
fermeture,
on a
les relations suivantes;
et par suite
sation
Inapplication
et
(b)
sont vraies dans
section de deux sous-modules
X B
e X B a
c.
z
Aza
n
avec
a
est
X
compléments
===>
za e
X . Si
za
par suite il existe
(X Ann(x))/Ann(x) ,
+
Ann(x)
+
un
fermé
=
X
+
M
X B
soit
a .
un
Soit
M
tel que l’inter-
sous-module
complément.
z~ 0,
(0)
b
e
A
Xa ~ (X
est extension essentielle de
par suite
A-module
un
dans
est extension essentielle de
X ~ (0) ,
bz ~ 0 .
d.
X
peut être définie à partir d’une locali-
[l],
propriétés (a)
les
de fermeture
Ann(x)/Ann(x)
avec
+
bza ~ (0) ,
bz
a
Ann(x))/Ann(x) .
X
+
Ann(x) .(théorème 7)~ Ann(x)
est extension essentielle de
Finalement
+
BIBLIOGRAPHIE
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GABRIEL (Pierre). - La localisation dans les anneaux non
commutatifs, Séminaire Dubreil-Pisot, t. 13,
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Soc., t. 10, 1960, p. 201-220.
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Dubreil-Pisot,
t. 14, 1960/61, n° 1 et 17, 11 et 13 p.
JOHNSON
math.