TD numéro 6 Exercice 1. Exercice 2.

Algèbre Université Pierre et Marie Curie
LM 372 4 Mars 2013
TD numéro 6
Tous les anneaux considérés sont commutatifs
Exercice 1.
1. Montrez que a∈Aengendre Acomme A-module si et seulement si aest inversible.
2. Montrez que (a1,0,...,0),(0, a2,0,...,0),...,(0,...,0, an)engendrent Ansi et seulement si tous
les aisont inversibles.
3. Montrez que cl(m)∈Z/nZengendre Z/nZcomme Z-module si et seulement si (m, n)=1.
Solution de l’exercice 1.
1. Supposons que aest inversible, il existe b∈Atel que ab = 1. Alors, pour tout c∈A, On peut
écrire c=c(ab)=(cb)a. on en déduit que le A-module Aest engendré par a.
Réciproquement si Aest engendré par aalors, 1Aest le produit de apar un élement de l’anneau
A; Autrement dit il existe btel que b.a = 1A. Ce qui revient à dire que aest inversible.
2. Supposons aiinversible pour tout i, et notons bileurs inverses. Pour tout c= (c1, . . . , cn)∈An,
on peut écrire c= (c1(a1b1), . . . , cn(anbn)). On obtient donc :
c=c1b1(a1,0,...,0) + . . . +cnbn(0,...,0, an).
Le A-module Anest bien engendré par les (0,...,0, ai,0,...,0).
Réciproquement si Aest engendré par les (0,...,0, ai,0,...,0), alors l’élément (1,1,...,1) ∈An
est combinaison linéaire des (0,...,0, ai,0,...,0). Autrement dit il existe b1, . . . , bntels que :
n
X
i=1
bi(0,...,0, ai,0,...,0) = (a1, b1, . . . , anbn) = (1,...,1).
Ce qui implique que tous les aisont inversibles.
3. Si cl(m)engendre le Z-module Z/nZ. Alors il existe a∈Ztel que cl(1) = cl(a)cl(m) = cl(am),
ce qui implique par le théorème de Bezout que net msont premiers entre eux.
Réciproquement si net msont premiers entre eux, alors cl(m)est inversible dans Z/nZet il
existe a∈Ztel que cl(a)cl(m) = cl(1). Alors pour tout c∈Z/nZet c0un représentant de c
(c=cl(c0)), on a c=cl(c0) = cl(c0)cl(a)cl(m) = cl(ac0)cl(m) = ac0.cl(m). Donc cl(m)engendre
Z/nZ.
Exercice 2.
Soit Mun A-module.
Montrez que Mest de type fini si et seulement si il existe une suite croissante de sous-modules
(0) = M0⊂M1⊂. . . ⊂Mn=Met des idéaux Iide Atels que Mi+1/Mi'A/Iipour i≥0.
Solution de l’exercice 2. On rappelle le théorème très important du cours :
1

Théorème 1 Soient Mun A-module et Nun sous module de M
1. Si Net M/N sont de type fini, alors Mest de type fini.
2. Si Mest de type fini, alors M/N est de type fini.
3. Si Mest de type fini et si de plus Aest noethérien, alors Nest de type fini.
On rappelle également un corollaire quasi-immédiat de ce théorème :
Corollaire 1 Soient Mun A-module et 0 = M0⊂M1⊂. . . ⊂Mn=M, une suite croissante de
sous-module.
1. Si Mi+1/Miest de type fini pour tout i≥0, alors Mest de type fini.
2. Si Aest noetherien et Mde type fini, alors Mi+1/Miest de type fini pour tout i≥0.
Retour à l’exercice.
Si pour tout i≥0il existe un idéal Iide Atel que Mi+1/Mi'A/Ii, alors puisque A/Iiest monogène,
il est clair que Mi+1/Miaussi. On a donc pour tout i≥0,Mi+1/Mide type fini, et d’après le corollaire
précédent, Mest de type fini.
Réciproquement, on suppose Mde type fini. On note x1, . . . , xndes générateurs de M:M=
hx1, . . . , xni. On considère alors les sous-modules de Mdéfinis de la façon suivante :
Mi=hx1, . . . , xii
Exercice 3.
Donnez un exemple d’un anneau noethérien Aet d’un A-module Mengendré par un élément tel qu’il
existe un sous-module Nde Mqui n’est pas engendré par un élément.
Solution de l’exercice 3. On considère l’anneau A=C[X, Y ]et lui même en temps que A-module :
M=A. On considère le sous-module N=hX, Y i=AX +AY . Il est claire que Aest monogène en
temps que A-module, et que l’idéal hX, Y ine peut pas être engendré par un seul élément.
Exercice 4.
Soit Mun A-module libre de rang net soit (e1, . . . , en)une base de M.
Considérez néléments z1, . . . , zn∈Met pour chaque ila décomposition zi=Paij ej. Montrez que
les conditions suivantes sont équivalentes :
1. (z1, . . . , zn)est une base de M,
2. la matrice (aij )est inversible
3. Le déterminant de la matrice (aij )est un élément inversible de l’anneau A.
Solution de l’exercice 4. Exercice 9.15 du polycopié de M. Peskine
Exercice 5.
Soit Aun anneau. Montrez que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. Tout A-module de type fini est libre.
2. Aest un corps.
2

Solution de l’exercice 5. Si Aest un corps, alors un A-module de type fini est un espace vectoriel
engendré par un nombre fini d’élément. D’après les propriété des espaces vectoriels, les A-modules de
type fini sont libres.
Supposons maintenant que tout A-module de type fini est libre. On pose alors a(Aun idéal de A. Le
module A/aest de type fini puisqu’il est engendré par cl(1). Par hypothèse Mest donc libre. Or s’il
existe a∈a\ {0}alors pour tout m∈M, on a am = 0, donc aucun élément de Mn’est linéairement
indépendant, ce qui contredit la liberté de M. On en déduit que a={0}.
Exercice 6.
Soient Aun anneau, net mdeux entiers positifs. Montrez que si les A-modules Anet Amsont
isomorphes alors n=m. (Indication : On se ramènera au cas où Aest un corps.)
Solution de l’exercice 6.
Exercice 7.
Soient Met Ndeux sous-modules d’un A-module Q. Montrer que si M+Net M∩Nsont finiment
engendrés, alors il en est de même pour Met N.
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