TD numéro 6 Exercice 1. Exercice 2.

Algèbre
LM 372
Université Pierre et Marie Curie
4 Mars 2013
TD numéro 6
Tous les anneaux considérés sont commutatifs
Exercice 1.
1. Montrez que a ∈ A engendre A comme A-module si et seulement si a est inversible.
2. Montrez que (a1 , 0, . . . , 0), (0, a2 , 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, an ) engendrent An si et seulement si tous
les ai sont inversibles.
3. Montrez que cl(m) ∈ Z/nZ engendre Z/nZ comme Z-module si et seulement si (m, n) = 1.
Solution de l’exercice 1.
1. Supposons que a est inversible, il existe b ∈ A tel que ab = 1. Alors, pour tout c ∈ A, On peut
écrire c = c(ab) = (cb)a. on en déduit que le A-module A est engendré par a.
Réciproquement si A est engendré par a alors, 1A est le produit de a par un élement de l’anneau
A ; Autrement dit il existe b tel que b.a = 1A . Ce qui revient à dire que a est inversible.
2. Supposons ai inversible pour tout i, et notons bi leurs inverses. Pour tout c = (c1 , . . . , cn ) ∈ An ,
on peut écrire c = (c1 (a1 b1 ), . . . , cn (an bn )). On obtient donc :
c = c1 b1 (a1 , 0, . . . , 0) + . . . + cn bn (0, . . . , 0, an ).
Le A-module An est bien engendré par les (0, . . . , 0, ai , 0, . . . , 0).
Réciproquement si A est engendré par les (0, . . . , 0, ai , 0, . . . , 0), alors l’élément (1, 1, . . . , 1) ∈ An
est combinaison linéaire des (0, . . . , 0, ai , 0, . . . , 0). Autrement dit il existe b1 , . . . , bn tels que :
n
X
bi (0, . . . , 0, ai , 0, . . . , 0) = (a1 , b1 , . . . , an bn ) = (1, . . . , 1).
i=1
Ce qui implique que tous les ai sont inversibles.
3. Si cl(m) engendre le Z-module Z/nZ. Alors il existe a ∈ Z tel que cl(1) = cl(a)cl(m) = cl(am),
ce qui implique par le théorème de Bezout que n et m sont premiers entre eux.
Réciproquement si n et m sont premiers entre eux, alors cl(m) est inversible dans Z/nZ et il
existe a ∈ Z tel que cl(a)cl(m) = cl(1). Alors pour tout c ∈ Z/nZ et c0 un représentant de c
(c = cl(c0 )), on a c = cl(c0 ) = cl(c0 )cl(a)cl(m) = cl(ac0 )cl(m) = ac0 .cl(m). Donc cl(m) engendre
Z/nZ.
Exercice 2.
Soit M un A-module.
Montrez que M est de type fini si et seulement si il existe une suite croissante de sous-modules
(0) = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M et des idéaux Ii de A tels que Mi+1 /Mi ' A/Ii pour i ≥ 0.
Solution de l’exercice 2. On rappelle le théorème très important du cours :
1
Théorème 1 Soient M un A-module et N un sous module de M
1. Si N et M/N sont de type fini, alors M est de type fini.
2. Si M est de type fini, alors M/N est de type fini.
3. Si M est de type fini et si de plus A est noethérien, alors N est de type fini.
On rappelle également un corollaire quasi-immédiat de ce théorème :
Corollaire 1 Soient M un A-module et 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M , une suite croissante de
sous-module.
1. Si Mi+1 /Mi est de type fini pour tout i ≥ 0, alors M est de type fini.
2. Si A est noetherien et M de type fini, alors Mi+1 /Mi est de type fini pour tout i ≥ 0.
Retour à l’exercice.
Si pour tout i ≥ 0 il existe un idéal Ii de A tel que Mi+1 /Mi ' A/Ii , alors puisque A/Ii est monogène,
il est clair que Mi+1 /Mi aussi. On a donc pour tout i ≥ 0, Mi+1 /Mi de type fini, et d’après le corollaire
précédent, M est de type fini.
Réciproquement, on suppose M de type fini. On note x1 , . . . , xn des générateurs de M : M =
hx1 , . . . , xn i. On considère alors les sous-modules de M définis de la façon suivante :
Mi = hx1 , . . . , xi i
Exercice 3.
Donnez un exemple d’un anneau noethérien A et d’un A-module M engendré par un élément tel qu’il
existe un sous-module N de M qui n’est pas engendré par un élément.
Solution de l’exercice 3. On considère l’anneau A = C[X, Y ] et lui même en temps que A-module :
M = A. On considère le sous-module N = hX, Y i = AX + AY . Il est claire que A est monogène en
temps que A-module, et que l’idéal hX, Y i ne peut pas être engendré par un seul élément.
Exercice 4.
Soit M un A-module libre de rang n et soit (e1 , . . . , en ) une base de M .
P
Considérez n éléments z1 , . . . , zn ∈ M et pour chaque i la décomposition zi = aij ej . Montrez que
les conditions suivantes sont équivalentes :
1. (z1 , . . . , zn ) est une base de M ,
2. la matrice (aij ) est inversible
3. Le déterminant de la matrice (aij ) est un élément inversible de l’anneau A.
Solution de l’exercice 4. Exercice 9.15 du polycopié de M. Peskine
Exercice 5.
Soit A un anneau. Montrez que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. Tout A-module de type fini est libre.
2. A est un corps.
2
Solution de l’exercice 5. Si A est un corps, alors un A-module de type fini est un espace vectoriel
engendré par un nombre fini d’élément. D’après les propriété des espaces vectoriels, les A-modules de
type fini sont libres.
Supposons maintenant que tout A-module de type fini est libre. On pose alors a ( A un idéal de A. Le
module A/a est de type fini puisqu’il est engendré par cl(1). Par hypothèse M est donc libre. Or s’il
existe a ∈ a \ {0} alors pour tout m ∈ M , on a am = 0, donc aucun élément de M n’est linéairement
indépendant, ce qui contredit la liberté de M . On en déduit que a = {0}.
Exercice 6.
Soient A un anneau, n et m deux entiers positifs. Montrez que si les A-modules An et Am sont
isomorphes alors n = m. (Indication : On se ramènera au cas où A est un corps.)
Solution de l’exercice 6.
Exercice 7.
Soient M et N deux sous-modules d’un A-module Q. Montrer que si M + N et M ∩ N sont finiment
engendrés, alors il en est de même pour M et N .
3