Sommes directes de sous-modules co-irréductibles d`un

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
JACQUES F ORT
Sommes directes de sous-modules co-irréductibles d’un module
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 20, no 1 (1966-1967), exp. no 3,
p. 1-21.
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1966-1967__20_1_A3_0>
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3-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
20e aimée, 1966/67, n° 3
1966
28 novembre
SOMMES DIRECTES DE SOUS-MODULES CO-IRRÉDUCTIBLES D’UN MODULE
Cette étude est le
de
Nous
( cf . ~ 5 ~~ ~
o
proposons, dans
nous
à l’Académie des Sciences
présentée
d’une note
développement
1966
le 16 mai
Paris,
FORT
Jacques
par
travail, d’étudier
ce
les
directes maximales de
sommes
M y et d’utiliser les résultats obtenus,
d’une part pour étudier les n-décompositions irréductibles réduites des sousmodules de M , d’autre part pour étendre à un module quelconque une notion de dimension introduite par A. W. GOLDIE, sous des hypothèses de finitude dans [7].
sous-modules co-irréductibles d’un module
Préliminaires.
1.
Rappelons l’essentiel
C ~
tible si
(i.
C 1’~ a
nulle
et
e.
étant
M
d’un
C
Un sous-module
0
et si deux sous-modules
sous-module du
tielle de
M
si,
X =
dit aussi que
Si
M
on
M
est
X
étant
Q
contenant
A. SCHOPF
étant
[3],
un
ou
M ;
(pour
ces
L, LESIEUR et R.
A-module
donné!
on
(chaque
C
ont
une
intersection
non
[6]
E
est
la relation
essentiel dans
Q 9
une
extension
M n X
implique
E.
E
toute extension essentielle
élément de
T~Z
est
essen-
invariant)
à
de
un
injectif, il ne possède pas d’extenpropriétés et les suivantes. of. B. ECKMANN et
si
M
est
CROISOT [9J).
il existe
isomorphisme près relativement à
un
et
A-module
ayant
les
E
E
est
une
extension essentielle maximale de
E
est
une
extension essentielle injective de
E
est une extension
injeotive
minimale de
M ;
M .
contenant
M , défini à
propriétés équivalentes
vantes :
(a)
(b)
(c)
définition, co-irréduc-
par
dit que
E,
(sous-module)
isomorphe relativement à
sion essentielle propre
un
est
est,
terminologie de A. W. GOLDIE dans
sous-module de
un
M
E ,
est sous-module du module injectif
sous-module de
M
A-module
M
nuls de
non
sous-module uniforme suivant la
un
0 ;
(à gauche)
A-module
utilisées dans cette étude.
propriétés
des notions et
M ;
sui-
Un module
E
de
injective
satisfaisant
de
jective
et
M y
propriétés précédentes s’appelle (une) l’enveloppe
aux
note
se
il existe
voit aisément que, dans toute extension in-
on
enveloppe injective
une
de
M .
.
Les relations entre les notions de module co-irréductible et
sont
ve
Soit
M
A-module
un
(cf.
par l’énoncé
précisées
non
E.
d’enveloppe injecti-
1
nul. Les trois
propriétés
suivantes sont
équivalentes :
(a) 0 est n-irréductible dans
(i. e. I~2 est co-irréductible) ;
(b) L’enveloppe injective E(rl) est indécomposable (en somme directe) ;
(c) E(M) est l’enveloppe injective de tout sous-module non nul de M (ou
E (~~i ~ ~ ,
Il
en
leurs
module
résulte que : Pour que deux modules co-irréductibles
enveloppes injectives isomorphesy il faut
nul de
non
isomorphe à
C~
Nous utiliserons les deux
PROPOSITION 1. -
A-module
M
........_....
(i.
propriétés
2-
e.
X.
X.
2014
i
"
PROPOSITION 2. -
Soient (P
~
et
Y
un
~2~p
exemple N. BOURBAKI
par
sous-module de
~
~.
non
nul de l’un des
= 0 ,
Z n Xl
(X~ ~
Si
1
Z
est bien
c’est alors
Ce résultat s’étend
sans
un
peine
somme 03A3 Y,
ieI 1.
la
’
est
20142014
où
(~ 0)
de
--
n’ est pas nul, il existe alors
un
sous-module de
2 ,
un
non
card 1
un
Y .
est sous-module de
sous-module de
nul
My
posons
) X
et
sous-module
cas
267.)
directe de sous-modules
isomorphe à
au
"
I est
(Z~X~) )1 X~~Z ~
alors
conditions
p.
isomorphe à
Preuve. - Si le cardinal de l’ensemble
si
15,
X. )
Y n
X1
°
"
somme
°°°°°°~
sous-module
ces
"
exercice
une
iEI
M ;9 si
directes :
de ~ X..
i~I
directe et est extension essentielle
(Cf.
sommes
°
M ; dans
dans
sous-
un
indépendante de sous-modules d’un
et
pour chaque i un sous-module Y.~
~.
~
201420142014
existe
famille
directe),
est
~-
iEI
extension essentielle de
qu’il
aient
C2
C2 .
suivantes des
Soient (X.).une
_..._..._..
et il suffit
sous-module de
un
et
C~
de
commun
est fini
X .
à
Y
ou
infini.
et à
X .
directes
2. Sommes
03B1
des
parties
A
de
I
est
i--~ C.
1I9 cette
modules co-irréductibles du module
L’ensemble
(
la famille collectivisante
(Ci)i~I
1 lE I
Soit
maximales de co-irréductibles.
i
famille
telles que la
H
vide
03A3
soit
somme
S
vide,
0
=
convention) ;
par
peut être étendue
X
Si
S
n
est
X ~
0
entraine
un
pour
S n C
sous-module
X..
somme
qui contient
toute
0 ,y
somme
maximale
et la
somme
=
S n
S
somme
maximale
sous-module
(si
est
Ci
A s H .
avec
de
co-irréductibles ;
serait
directes
de co-irréductibles
C.
sous-module co-irréductible
C
directe,
la famille des
directe £
(1),
§ 3).
sommes
un
S
+
CL
sous-
directe,
en
effet
C ,
alors
S
X
n
qui contredirait
ce
0
=
le
S.
caractère maximal de
Inversement,
telle
en une
et toute
C,
existe des
dans
des
pouvant être
ordonné par inclusion, est inductif 9 il résulte
maximales de co-irréductibles :t
définies par le choix d’un élément maximal
bijectif)
X ~
0
et la
isomorphe à
un
proposition 2 du §
sous-module ~ 0
X
1 montrent que
co-irréductible
contient
un
X
Ci;
contient le co-irréductible
PROPOSITION 3. - Pour
une
M,y et
équivalentes :i
tibles d’un module
vantes sont
(a)
(b)
S n
X
somme
pour
directe maximale
un
de sous-modules co-irréduc-
de M ,
les deux conditions sui-
X ~ 0 ;1
contient
un
sous-module co-irréductible.
composantes d’une
co-irréductibles ; plus précisément :1
Certaines substitutions sont permises
maximale de
X
sous-module
S
PROPOSITION 4. - Etant donnée
une
sur
somme
d’un module
modules co-irréductibles
les
directe maximale
M y
on
obtient
S
une
=
somme
Et
C.
nouvelle
directe
de
sous-
direc-
somme
te maximale de co-irréductibles :
(a)
(b)
dans
En
En
M .
remplaçant chacun
remplaçant chacun
des
C.
par
un
des
C.
par
une
de
de
ses
ses
sous-modules
non
nuls
C! ;
extensions essentielles
E.
(a). -
Preuve de
S’ _ ~
Il est évident que
est directe et que chacun des
C!
i~H 1
co-irréductible ; S’ est maximale car si, pour un sous-module co-irréductible C, la somme S’ + C était directe, il en serait de même de S + C (la
proposition 1 du § 1 s’applique puisque chaque Ci est extension essentielle d’un
C’
est
quelconque de
sous-modules
ses
S* = 03A3 E.
(b). -
Preuve de
co-irréductible
S
maximal de
nuls).
non
(proposition 1),
est directe
(contrôle facile,
cf.
est évident :i si
S
p. 13 de
proposition 5.4,
+
était directe, il
C
et
chaque
[4]) ;
est
E.
le caractère
serait de même de
en
S + C .
Remarquons
que les
peuvent être choisis,
E1
des extensions essentielles maximales de
des
veloppes injectives9’
algèbres
Par
qui
modulaires
une
démarche
contiennent
ne
C, i
au
(cf. chap.
donné dans l’étude du
sens
cas
[4]).
VII de
e
des sous-modules
E
de
H ;
et
B
En
une
C n
La
0
C
tout élément maximal
K
particulier,
étant
ne
cette
avec
est
donc facteur direct dans
comparaison d’un tel
un
i~
de
B
K
S = 8t
C,
un
n
en
effet que
contiendrait
propriété
C
et
E (B ,
sur
ses
un
éléments.
co-irréductible
B .
de B
A-module
est
aucun
maximal dans
ffi
avec une
de co-irréductibles est
la maximalité de
=
0 ;
la
K .
est alors
injectif
proposition
quelconque des
précisée
par
(cf.
la
1
somme
du §
1) ,
directe
ce
qui
K ~ X
est
en
sommes
di-
l’assertion ( X
proposition 3 de ce § 2 montre
co-irréductible ;
la
K
extension essentielle
M .
S n X
(appliquer
sans
injectif,
i~H 1
sous-module) :
Supposons
X
M
M ;9 lorsque
rectes maximales
M
de
entraînerait
contiendrait le co-irréductible
propre dans
§ 1),
extension essentielle dans
E ~
B
co-irréductible ; 0 est un tel sous-module.
inductif ; soit K un élément maximal de ~i .
~i est invariant par des extensions essentielles effectuées
Soient
()-
abstrait des
sous-module
ordonné par inclusion est
Qi
dans
C. 1
considérons l’ensemble ?
opposée,
aucun
chaque i , dans l’ensemble
M ; de tels Ei sont des "en-
pour
alors que
aurait aussi
contradiction
proposition 3 entraîne
Cette même
cette
somme
S 0 K
est
X
Si
S 3 K
directe
comme
sous-module de
un
=
de
0 ;
extension
plus,
(2) implique
que
essentielle, c’est-à-dire
que
M :1
sous-module essentiel de
un
est
I~~
admet
S n K
aussi
M ,
Nous pouvons énoncer le théorème suivants
,
,
THEOREME 1. - Pour tout
qui
ceux
M,
co-irréductibles,
M
de sous-modules de
contiennent
ne
A-module
aucun
il existe des
sommes
et des sous-modules
co-irréductible. Si
S
et
contient
une
K
S
directes maximales
K
maximaux
parmi
sont deux tels
sous-
modules :
(a)
(b)
La
Si
M
de
somme
S
tielle de
directe ;
sous-module essentiel de
A-module
un
sans
toutes
avec
la
un
étant
K
S ;
§ 1,
est
Q
=
coïncide
du
est
S 0 K
est
S + K
somme
Q
injectif,
M .
.
extension essentielle propre dans
ses
enveloppes injectives dans
E(S)
+
K
est
a
fortiori extension essentielle
est
Q
est aussi
). D’après
Q
directe ; d’autre part
E(S)
injectif (il
enveloppe injective
la
proposition
1
Q, étant extension essende l’injectif E(S~ -:-l K .
Donc
COROLLAIRE. - Dans les conditions du
~ E(s)
De
est
plus,
tomorphisme
En
effet,
morphisme
une
enveloppe injective
si
est
cp
le
de
Q
couple
une
théorème 1,
de
S
dans
autre telle
si
il
est
injectif,
alors :
décomposition,
il existe
un au-
=
Q
Q .
tel que :
(S’ , K)
définit la
décomposition Q = E(S’)
@K
et l’iso-
et le
couple
(S, K’)
Le théorème 1 et
-
-
qui
en
ne
corollaire inscitent à
son
contiennent
lesquels il existe
3. Modules
THEOREME
unitaires,
une
somme
une
l’isomorphisme
étude élémentaire des modules 1~~
(§ 3) ;
directe maximale de co-irréductibles
qui soit
(§4).
r~I
essentielle dans
co-irréductible
aucun
et
Q =
définit la décomposition
co-irréductibles.
sans
2. - Soit
et soit
A
=
~. ~l
A.
l’anneau produit d’une famille infinie d’anneaux
l’idéal bilatère des
a
(x~)~
x =
qui ont
un
support fini ;
alors :
B
Dans l’anneau
Preuve. - Soit b
établir le
et
b.
’~2
Il existe
un
théorème,
de A
b
et
K 9
A
idéal à gauche de
bi
et
x=
(x.). l
As
une
partition
et définissons les éléments
et ont pour
élément de
support de
J = H + K
h =
al ;
J
de
gauche
r =
hb
=
H
b,
deux ensembles infinis
en
(h.) - et
supports respectifs
étant les idéaux à gauche
un
existe alors deux idéaux à
a ; le
Il est aisé de vérifier que les éléments
Ar
Pour
a .
tels que:
= tb.~. 1 1 EI ,
tiennent pas â n
qui contient strictement
qu’il
il suffit de montrer
est infini. Considérons
H
gauche co-irréductible.
il n’existe pas d’idéal à
=
k
bh
=
(k.). Ide
et s
et
monogènes engendrés
=
kb = bk
A
par :
n’appar-
K . Posons :
par
r
et
s ; et soit
Supp
et
a
a’
Supp
étant les
de
supports
respectivement,
a’
et
a
les trois
ensembles suivants :i
(Supp a’)
(Supp a) n K ~
sont
finis,
ce
Donc « =
qui entraine
(a+Ar)
n
(a
(Supp a)
H ,
n
As) ,
+
0
Si
dans
M
est
( cf .
sition
Si
~-réductible,
cas, chaque
ce
fl
si
alors ~
est
Xi
théorème 8.2, p. 62 de
8.1,
M
théorème
p.
65 de
un
2),
il résulte de
module
non
irréductible réduite dans
M)
(E )
de
M
4
prendre
0 ,
et si
aucun
des
X1
ne
est
M
A-module
si chacun des
M
dans
est
X, i
n-
contient
~4 ~~ 9
et
non
chaque
essentiel, complément
X. 1
est
de
dans
X. 1
co-irréductible (cf.
nul
ce
ne
contenant
qui précède
M ; néanmoins
aucun
0
que
0
est
co-irréductible
propo-
1.1 de
H~
du
n’a
pas de décomposition tr
n-réductible dans M (par défi-
et est l’intersection de tous les sous-modules
(cf. proposition
(tel
n-irréductibles
~9~~ ~
dans l’ensemble ?
des
parties
H
telles ue
(E03B1) 03B1~H0
dé-
une
i ~ I ,
n-irréductible
il n’existe pas d’élément minimal
sinon
,
[4]).
est
nition de
de
(I - J)
n
car :
de sous-modules d’un
(Xi)i~I
M ,
est fini
x
et il suffit de
9
Rappelons qu’une famille
composition n-irréductible réduite
irréductible dans
de
support
que le
(I - J) = (Supp at)
n
serait
une
décomposition irréductible réduite
de
U
dans
de
L
Ces observations
peuvent s’appliquer, en particulier, à l’anneau de
des parties d’un ensemble infini I 9 défini par la somme symétrique et
des parties ; cet anneau est isomorphe à l’anneau produit
Le théorème 2
s’applique
Le filtre C
à
A :
des
complémentaires
plus fins que lui,
des ultrafiltres
la réunion
des
parties finies de I est l’intersection
et C ne peut être intersection réduite de
tels ultrafiltres.
4. Modules riches
en
co-irréductibles.
..
THEOREME 3. - Soit
M
A-module
un
non
nul ;
les conditions suivantes sont
équi-
val ent es :
(a)
0
nul de
(b)
(c)
possède
décomposition irréductible réduite
une
dans tout sous-module
non
M ;
Tout sous-module
Il existe
une
essentielle dans
(a)
Preuve de
somme
M
nul de
non
contient
sous-module
un
co-irréductible ;
directe de sous-modules co-irréductibles de
est
M, qui
M .
====>
(b) . -
Dans le sous-module
non
nul
N ,
0
possède
dé-
une
composition irréductible réduite,
nous
que, dans
savons
card
0
I = 1 ,
est
(b)
Preuve de
ces
conditions,
les
X.
n-irréductible dans
(c) . -
===>
ductibles. Si
n’était pas essentiel dans
X ~
tel que
S
somme
C
+
Preuve de
S
=
~B C~
i~H
M
S n X
=
0 ;
serait alors
(c)
====>
directe maximale
par
hypothèse,
directe,
(b) . -
N
Soit
ce
N
S
=
M ,
X
~
est alors
co-irréductible).
C.
sous-module
la somme directe essentielle donnée par
n’est pas
de sous-modules co-irré-
il existerait
contient
0
un
un
sous-module
co-irréductible
qui contredirait la maximalité de
un
(si
sont co-irréductibles
La famille des co-irréductibles de
une somme
0
X.
et
vide. Considérons
S
F)
=
~
non
nul de
M ,
C ;
la
S .
et soit
l’hypothèse (c).
étant extension essentielle de
module
nul de
N ~ soit
proposition 2 du § l).
non
S, N n S ~ 0 ; il existe alors un sousisomorphe à un sous-module C’ de l’un des
Ci
étant
co-irréductible,
il
en
est de même de
Ci
N .
Preuve de
comme
M ,
tible.
(b)
somme
a
(b)
====>
tous
ses
sous-modules
donc
implique
directe
(a) . -Soit
(p
S =
(c)
N
non
sous-module
un
de sous-modules de
chacun des
C. 1 (si
ductible
card H’
dans
S ;
0 = n
terminer,
pour
s’étend à l’extension essentielle
de la
N
N
de
S ;
n-irréductible dans
dans
isomorphe
le théorème 3 est
0
soit
r~ ,
du
A-module
M.
il faut et il suffit
qu’il
le
E .
Pour que
0 =
(1
soit
X~
tels que
0 =
(1
X!
une
X.
chaque
soit
décomposition irréductible
une
i~I
soit la trace
sur
M
réduite de
0
dans
de sous-modules
décomposition irréductible réduite
de
X!
0
E .
(a). -
C’est la proposition
Preuve de
(b). -
Nous établirons tout d’abord le lemme suivant.
LEMME. -
E
étant
une
suffit
extension
qu’un sous-module
qu’il soit la trace
pour
X
de
sur
M
(pas
M
M = X
tels que
Y
sous-modules
5.4,
p.
[4].
43 de
nécessairement
soit
essentielle)
n-irréductible dans
d’un sous-module
La condition
n
exten-
son
décomposition
alors conséquence
Preuve de
M ,
co-irré-
au
décomposition irréductible ré-
une
extension essentielle
une
il faut et il suffit que
de E
est
il suffit de prouver que cette
(a)
M ,
S 1 C!
car
est
C!
E
(b)
une
qui soit
et
co-irréductibles,
est co-irréductible ainsi que
PROPOSITION 5. - Soit
Pour que
N
suivante.
proposition
soit dans
X’
S,
S
1 y alors
=
Il est aisé de contrôler que
0
co-irréduc-
un
N ).
sion essentielle
duite de
moins
N . Posons
n-irréductible dans
est
C!
au
tout
N,
et il existe donc dans
N,
iEH, 1
sous-module essentiel dans
nul de
qui contiennent
nuls
pour le module
C!l
non
du
A-module
x , il faut
n-irréductible de
et il
E .
est.nécessaireo - Soit X’ un complément de M sur X dans E ’
(c’est-à-dire un maximal dans l’ensemble des sous-modules Y de E
n M = X ). Si
X’
était n-réductible dans E , il existerait des
X~
cela entraînerait
et
X2
tels que :
(maximalité
de
X’ ) :
X
et
n-réductible dans
serait
M.
X
La condition est suffisante. - Soit
M ,
alors
et
X’1
0
le serait dans
serait
n-réductible dans
Retour à la preuve de
La condition est
n-irréductible
1
+
M
duite
Xi
(a
de
cause
n-réductible dans
l’isomorphisme
fortiori dans
E ).
dans
E
tel que
le
X.
X!
=
0
M :
lemme,
=
il
M ,
n
existe,
ce
n
i ,
pour chaque
un
qui entraîne :
décomposition
et cette
est ré-
car :
réduite de
0
dans
E 9 dtaprès
le
0 ~ ~
une
les
lemme,
décomposition irréductible
~1
X. -
M
sont
n-irréductibles
M .
I,
(E
à
X’
nécessaire. - D’après
La condition est suffisante. - Soit
dans
X’
était
X
Si
(b).
étant extension essentielle de
E
+
X’ n
=
Xi
entraîne
0 = n
X.
i~I
étant extension essentielle de
;
ce
et cette
qui
décomposition
est contraire
au
est réduite
car:
fait que 0 = n X!
lE . I
est réduite.
DEFINITION. - Un module riche
des conditions
en
co-irréductibles est
équivalentes exprimées
au
tion
(a)
2° Si
A-module noethérien
(artinien)
module vérifiant l’une
théorème 3.
Etudions quelques classes de modules riches
1° Tout
un
en
co-irréductibles.
est riche
en
co-irréductibles,
la condi-
du théorème 3 étant réalisée.
A
est
module à gauche
un anneau
A/a
tel que, pour tout idéal à
soit riche
en
co-irréductibles,
gauche a
alors tout
de
A ~
le
Aodule
A-
(à
gau-
che)
est riche
M
co-irréductibles :
en
effet, tout sous-module monogène non nul
qui, par hypothèse, contient au moins un
En
A/a
isomorphe à
est
M
de
sous-module co-irréductible.
(à gauche) sur un anneau noethérien (ou artinien)
co-irréductibles (cas particulier du 2°~.
à
3° Tout module
riche
en
4° Pour que l’anneau
A
produit d’une
IlI A.
=
quotient
un
(finie
famille
ou
gauche,
infinie)
est
d’an-
(à gauche) co-irréductibles, il faut et il
suffit que tous les
A. 1. soient riches en idéaux (à gauche) co-irréductibles :
La condition est suffisante car, pour x E A - ~0~ , il existe un idempotent
neaux
unitaires soit riche
tel que
ex
n’ait
xe
=
5° Pour qu’une
modules
soient riches
idéaux
qu’une
en
(finie
ou
infinie)
de
A-
il faut et il suffit que tous les
co-irréductibles,
(d’après
e
nulle.
non
d’une famille
M
co-irréductibles
en
composante
seule
directe
somme
soit riche
Mi
en
la
proposition
2
du §
Mi
1).
6°
Remarques.
(a) Un quotient
MJX
cessairement riche
§ 3, considéré
ches
en
(b)
d’un module
riche
M ,
co-irréductibles,
en
n’est pas né-
A/a du théorème 2 du
(lorsque tous les A. 1 sont ri-
co-irréductibles. L’anneau quotient
en
A-module,
comme
donne
en
exemple
un
co-irréductibles).
Si
o
M
est
un
module riche
co-irréductibles,
en
(en particulier l’enveloppe
(cf. condition (c) du théorème 3).
tielle
injective
Le théorème 1.1 de A. W. GOLDIE dans
des conditions de
finitude,
THEOREME 4. - Dans
tions suivantes sont
(a) E
de M ).
(b) E
est
un
[7]
module
M
riche
sous-module essentiel de
coupe selon
s’étend
est riche
en
co-irréductibles
d’un module
au cas
essen-
non
soumis à
par le théorème suivant.
~ 0 ,
équivalentes :
un
M)
de
alors toute extension
sous-module
en
M
co-irréductibles,
(i.
M
e.
les trois condi-
est extension essentielle
nul toutes les
composantes d’une quelcondirecte maximale de sous-modules co-irréductibles de M.
un
non
’
que
somme
(c)
E
contient
une
somme
directe maximale de sous-modules co-irréductibles de
’
~
’
M .
Montrons que
(c)
entraine
(a) :
sous-modules co-irréductibles de
tiel de
puisque
M
Soit
S
.~ ~~
C.
une
somme
directe maximale de
i~I 1
M
est riche
contenue dans
en
E.
co-irréductibles
S
( cf .
est sous-module
la preuve de
essen-
(b) ~> (c~ ~ .
extensions
(transitivité
E
est alors extension essentielle de
4). M
essentielles).
théorème 3 du §
au
des
5. Dimension d’un module injectif.
1° Cas d’un module
tient des
sommes
injectif
riche
en
S ~
directes maximales
co-irréductibles. - Tout module Q con~ C, de sous-modules co-irréductibles
injectif, chacun des C. peut être remplacé
les
loppes injectives dans Q (cf. proposition 4 du § 2) ;
sous-modules injectifs indécomposables de Q (cf. § l). Si,
est
Q
C.. Si
co-irréductibles,
en
(b)
preuve de
S
(a)
ment
Pour tout
sommes
sont alors des
de
directes maximales de sous-modules
riche
injectif Q
du module
C
e I , il existe
un projecteur
p
cy
par
relatifaucomposant
injectifs
co-irréductibles :
en
C .
Q
é
de
tel que
J
Q
K
prolongeant
.
-
..-
>
Il existe
un
soit
le
appliqué isomorphique-
projecteur
p
--
-
-
>
-
Lasomme
automorphisme ~ de Q ~ et
S
de
OE
-
Q .
est alors directe et est sous-module essentiel de
(b)
Ci
conditions:
ces
sur
enve-
plus, Q est riche
essentiel de Q (cf. théorème,
est alors sous-module
PROPOSITION 6. - Soient deux
Dans
ses
une
(c) ).
=>
indécomposables
de
par
une
bijection
a
de
l
sur
J ,
.
tels que :
Preuve de
~a~. ~
Si le cardinal de
I
est
1 ~
n’ayant pas d’extension essentielle propre, S
jectif indécomposable, et les assertions (a) et
alors
S
=
est
C
a
injectif ;
est alors in-
est
égal à Q ;
(b)
sont trivialement valables dans
Q
ce cas.
Nous supposerons
Posons
donc,
dans toute la
suite,
que
card
I >, 2 ,
et que
card J
2.
C
Comme
selon
sous-module
un
S’
Posons
géant
p
S
de
C
canonique
20142014~
S
le choix de
$
La restriction de
un
sous-module
identique
à
C
OE
C
S ,
il
en
p03B1
à
K$
somme
C
+
a
-2014~ C ~ puis
en
composant
+
projecteur
C
de
p
et
u
l’injection
p :
C
aussi que
n
Ker
OE
pOE
=
0);
Q
étant exten-
résulte que :
est ainsi
homomorphisme injectif, et
un
de
pOE (Q)
=
COE ,
est facteur direct dans
donc nécessairement
C
OE
S’ = K. ~
serait directe
a
C
noyau
prolonge
injectif
Montrons que le sous-module
la
ce
un
inj ectif indécomposable
( pOE (K $)
tel que :
;
p
(observer
J
E
de
Q y d’image C03B1 , prolons’obtient en
projecteur
Q
en
Q . Comme
~
sion essentielle de
est
nul ; il existe donc a
non
le théorè-
Q ;
composants
coupe pas tous les
ne
OE
C ; et soit p03B1
d’image Ca et de
0153
prolongeant
d’après
C
@
K,.
=
n’est pas essentiel dans
C
le sous-module
0 ,
==
4 permet d’affirmer que
§
4- du
ne
C
n
C03B1
est essentiel dans
( contraire
au
indécomposable):
Q . Si S’
caractère maximal de
D’autre
part,
S’
comme
coupe donc toutes les
S’
S’ est bien essentiel
Preuve de
(b). -
Nous
C.
n
=
C.
composantes
(cf.
inspirerons
(of) (puisque
I -
E
suivant des sous-modules
S
de
le théorème 4 du
nous
i
pour tout
nuls ; et
§ 4).
de la méthode utilisée par G. AZUMAYA dans
remarquable théorème 1,
son
D’après le (a) précédent, tout C. IL est isomorphe à un
même, tout K. J est isomorphe à un C. (au moins un).
Pour a
La
correspondance entre
phes, est
Si
classes
il existe
il
en
résultera que les
isomorphes composantes
Soit donc
un
ensemble fini
.
tions successives du
un
Si
ment
{a)9
nous
sous-module essentiel
cela entratne que
card
d’équivalences
tels
et je
prouvons que deux telles classes
cardinal,
soit
(au
moins
un) ;
de
définie par la
~-~->
que
C. 1
et
soient isomor-
K. J
visiblement biunivoque.
nous
seront
K. j
posons
propriété :
me
non
les ~
I(a) est fini,
card
vide) :
est
ont mê-
et
correspondantes
directes
sommes
composantes,
{03B11~ , ... , 03B1n}
par
d’indices de
par
n
pouvons
de Q ,
trouver 03B21 ,
et que
sont dans
K
... 03B2n
soit
~h
et que si
p
dans
isomorphe à
card
est
applica-
J ,
tels que:
C~h
fini
alors
et
infini , à chaque j E
associons l’ensemble
(éventuelle-
F(j) = (i !
étant
que
une
i
(orthogonale)
famille
i ,
p-.~- prolonge
~;
~ -B /.
~-
projecteur
le
K
applique isomorphiquement
pi
1 ,
=
projecteurs
de
p~
S
de
C Ci
=
telle que, pour cha-
Q
de
Ci} ,
sur
d’image
et de noyau
Ci
_
C.
=
i
et que :
Soit
x ~
K -
J
i
e
F(j)
Les
par
J(p)
~.
S ;
{i1 ,
existe j
(diaprés (a)) :i
J(S) ,
et
iel
0 . Soit
(i , ...
P.(o’x_) ~ 0 ; on
03B1xj ~
card
soit
tel que
I(a) ~
Q ,
a
bien
à
il existe
J(p) ,
a un
K~
a e
(fini)
noyau
A
des in-
non
nul.
puisque, pour chaque
applique isomorphiquement
sur
C~
card
J(p) ;
et
en
échangeant
les
rôles de
l(a)
il vient :
Il existe donc
l(a)
une
et
bijection
pour chaque
=
card
-S~ J qui applique
I
i
E
I(a) ,
il existe
chaque classe
un
isomorphisme
définissons alors l’isomorphisme :
Q
effet :
en
l’ensemble
is}
pj_
fini ,
résulte :
en
card
associée
décrit
lorsque j
K. ù
est
,
la restriction de
,
~
F(j)
-
~-
étant de cardinal infini, il
Dans tous les cas,
card
part,
étant essentiel dans
C.
=
-.
=
d’autre
= ~
S
recouvrent
il
e
l(~) ;
tels que
1
i~
car, pour
i
’!
c
(O’} ;
ax. e K. n
tel que
dices
F(j)
d ’ abord ,
Tout
p’. C..
Im
étant injectif, Y
se
prolonge
en un
endomorphisme v
de
Q ;
sur son
0
Ker Y
(p(s)
sion essentielle de
et
injectif,
La
Q
bijection
=
Ker (p
=
entraîne
S
n
=
Ker
(o
=
0 ,
est sous-module
injectif, et
~(s) T ; Q est
est
essentiel. (?
est
S
car
=
exten-
injectif
donc extension essentielle de
=
(p(Q) .
e
bien les
l’automorphisme 03C6 ainsi construits ont
et
a
propriétés
voulues.
les
lesquels
injectifs Q
1. - Il existe des modules
Remarque
tinctes de
nie de corps
directes maximales de sous-modules co-irréductibles sont dis03C0 A. l’anneau produit d’une famille infiQ. Par exemple, soit A
tous
A.
isomorphes à
un
-
(donc indécomposable),
A .
est d’autre
A
q.(A.) ;
S ).
injectifs
Remarque 2..- Dans
rème 4 du §
est donc
A
qi(Ai)
sommes
tif
Q
K
de
théorème 1
E(S)
et
S
A-module
T
et
est
est
un
un
A-module simple
injectif
sous-module essentiel du
A-
produit des A-modules
injectif (enveloppe injective du A-
A-module
un
les
isomorphe
au
proposition 6,
est
Q
sont essentiels dans
enveloppe injecti-
Q , d’après
le théo-
4).
directes
(nulles
Q
= ~ qi(Ai)
les conditions de la
injectif quelconque. - Soient
2° Cas d’un module
deux
part
(puisque
T
et de
S
de
S
et que
q~
A .
produit
au
K ; désignons par
corps commutatif
Il est aisé de contrôler que chacun des
ve
co-irréductibles pour
sommes
injections canoniques attachées
module
en
=
20142014201420142014
module
riches
si
maximal
du §
maximales
est
Q
parmi
de sous-modules co-irréductibles d’un module
privé
ceux
qui
de
co-irréductibles).
sont
privés
de
Introduisons
co-irréductibles ;
un
injec-
sous-module
le corollaire du
2 donne alors :
E(T) désignant
des
enveloppes injectives de
E
et
T
dans
Q . Soit
e
l’isomorphisme composé ;
E(S)
étant extension essentielle de
le de
iEI
~-
E(T)
S,
est riche
e(E(S)) = E(T)
en
est extension essentiel-
co-irréductibles
(la
condition
(c)
du
théorème
est
3~ § 4,
réalisée) ;
la
proposition
J
et
6
s’applique
e(s)
aux sommes
et
T :
Il existe
une
1
bijection
-S~
K ,
sur
nous
THEOREME 5. - Soient deux
d’un module
décomposables
il existe alors
Comme toute
en une somme
§ 1) ,
comme
E(T)
étant la
somme
de ~
sommes
e
sur
E(S)
injectifs
in-
Q
injectif
directe maximale
o
directes maximales de sous-modules
et
I
bijection
une
~~
J
tels que :
peut être étendue
d’injectifs indécomposables (cf. proposition 4 du
directe maximale de co-irréductibles de
somme
tels que
obtenons ainsi le théorème suivant.
automorphisme cp de Q
un
de
automorphisme ~
de Q,
Définissons l’automorphisme Y
et de l’identité
un
Q
théorème 5 permet de donner la définition suivante :
ce
.
appelle dimension d’un module injectif
DEFINITION. - On
famille
qui
se
dim Q
le cardinal d’une
maximale de sous-modules co-irréductibles de
indépendante
note
4 ~
ne
dépend
Q ;
ce
cardinal
pas du choix d’une telle famille.
6. Dimension d’un module quelconque.
La notion
précédente
de dimension s’étant à
module
un
quelconque
au
moyen du
théorème suivant.
1
.
THEOREME 6. - Soient deux
bles du module
E(C.)
~Dans
et
..~_
ces
(B E(C.)
i~I
E(K.)
J
directes maximales de sous-modules co-irréducti-
M â
des
enveloppes injectives
’
°
conditions,
sur
sommes
~...
-
il existe
~: E(K.) ,
.
une
’
’
°
.
l
"
bijection
tels ue :
C.
des
~
I
et des
K..
20142014201420142014 j
--~ J
~
et
un
isomorphisme c~
de
Preuve. - Soit
une
une
enveloppe injective
E(C.~
i
C.
de
décomposables.
Pour cet ensemble de
est extension essentielle de
S’il existait
S’ n r
=
C
0,
=
et formée de
M
n
0393 ~
0
choisissons pour
chaque
i,
E(C.) injectifs
in-
alors
composantes
E(M) ,
S’ est maximale dans
propriétés,
car
E :
injectif indécomposable
un
E~~~~ ;
dans
1
(cf. proposition 1, § 1)
est directe
E(M)
enveloppe injective de M ;9
serait alors
r
E(M) , indépendant
de
co-irréductible de
un
M
E(C.) :
des
tel que
S n C = 0 ,
donc
indépendant
De même
des
C..
peut étendre
on
T == ~
K.
en une
somme
directe maximale dans
j~J j
d’injectifs indécomposables,
E(K.) .
T’
Le théorème
5, appliqué
E(M)
aux sommes
j~J
S’et
T’
de
l’injectif
E(ï~~) ,
donne alors la
bijection
et
Q
l’isomorphisme cp
cherchés.
DEFINITION. - On appelle dimension d’un module
le cardinal d’une famille in-
dépendante maximale de sous-modules co-irréductibles de M ;
te dim M ne dépend pas du choix d’une telle famille.
Lorsque
dim M
est
finie,
ce
cardinal
~ui
se no-
retrouve bien-entendu la dimension définie par
on
’
A. W. GOLDIE dans
[7].
La dimension d’un module
a
les
propriétés
additives que l’on est
en
droit d’atten-
dre :
PROPOSITION 7. -
Si
M =
alors :
M2 ,
dim M == dim
Preuve. - Introduire les
enveloppes
dim
injectives Q i
liser le corollaire du théorème
égale à
celle de
son
1, et observer
enveloppe injective.
Nous terminerons par quelques observations
de tout autre
Au
cours
sous-module,
par passage
de l’étude du théorème 3
M2 .
aux
du § 4,
et
Q~
de
Mi
et
uti-
M ,
que la dimension d’un module est
sur
les
n-décompositions
de
0
(ou
quotients).
il
a
été établi que, dans
un
module
M
riche
co-irréductibles,
en
ductible réduite de
sur
toute
somme
il était
de trouver
possible
une
~-décomposition irré-
0 :
directe maximale de co-irréductibles
S
=
20142014
(~ C~
donnée dans
M y
c’est-à-dire telle que y
et dans
ce
cas,
card I =dimM .
De telles
n-décompositions
sont caractérisées par le fait que la famille indé-
de co-irréductibles associés
pendante
est maximale.
n-décompositions irréductibles réduites de 0 telles que la fane soit
mille indépendante de co-irréductibles associés
pas maximale
(considérer le Z-module produit d’une famille infinie de ~-modules isomorphes au
p étant un nombre premier fixé).
p-groupe de type
Il existe des
Les théorèmes 3 et 6
permettent,
question, d’énoncer
touchant cette
la
proposition
suivante.
PROPOSITION 8. - Soient
M
module riche
un
co-irréductibles et :
en
n-décompositions irréductibles réduites de
maximales de co-irrëductibles ;9 il existe alors
0
deux
En
sont
effet,
E(X)
1
et
~
des familles
-~
indépendantes
J
et
un
étant des enveloppes injectives de
X.
=
le théorème 6 montre que les
isomorphes,
sur
sommes
une
bijection
I
iso-
directes :
1
(1 X
Îl
~~1
’
et de
Y.
=
(1
J
p$j
D’autre
part ,
Y .
"
X,
i
n
X.
i
=
0
entraîne que
X.
i
N
(X1
n
X)
|Xi (sous-module
1
non
nul
M~X.1 ~ p
du module co-irréductible
_
de
et de
problème
de
Observons à
l’égalité
ce
indépendantes
dans
au § (e)
de
de
finitude, d’établir l’égalité
ce
dernier exercice suppose
(b)
qui
"Une famille de sous-modules
une
décomposition
de
0 ,
maximales de co-irréductibles
I
J
et de
se
pose.
d’algèbre linéaire (cf. [2J),
l’exercice 23, p. 271, et sans condition explicite
son
de
fascicule
ces
cardinaux
(explicitement)
sables considérés sont finies.
tour l’exercice 16
non
des cardinaux de
sujet que,
N. BOURBAKI propose,
son
enveloppes injectives
n-décompositions irréductibles réduites
les
Lorsque
définissent des familles
le
que les
qui signifie
sont isomorpheso
1. -
Remarque
ce
D’ailleurs,
utilisant l’exercice 21
en
que les familles
(d) ;
d’injectifs indécompo-
la preuve de l’exercice 21
(d)
utilise à
donne l’intéressante caractérisation suivante :
(E ~ h ~EL ,
n-irréductibles,
irréductible réduite de
0
F
dans
d’un module
et seulement
si,
F, est
si, l’homo-
morphisme canonique
est
essentiel" ; aucune condition supplémentaire n’apparaît dans le libellé
exercice ; or, w n’est défini que sous l’une des hypothèses suivantes :
(a) (p
est restreint
pour
lesquels
Dans
ce
(b)
La
sous-module
au
il n’existe
qu’un
F0
de
F
constitué des éléments
nombre fini d’indices X
pour
somme
directe ±,
est
remplacée
par le
produit
n’est pas essentiel pour toutes les
soit
où
G.h y
G.A est, pour
type p~ (indécomposable
tout
X~L
abélien de
x
x~
de
F
E..
l’assertion annoncée est vraie.
cas
alors (p
lesquels
de cet
est
une
et
ri
n-décompositions réduites
X y un Z-module isomorphe au
divisible) ;
posons
~-décomposition irréductible réduite
de
0 ,
mais
de
0 :
p-groupe
3-21
est le
plongement canonique
de
F
n’est pas extension essentielle du
L
Î~I
dans
Z-module
Z-module
et le
&. y
injectif F g lorsque
f1
injectif
G
le cardinal de
est infini.
Remarque
anneaux
riches
G. RENAULT
en
abordé, dans ce travail, l’étude particulière des
(à gauche) co-irréductibles ; signalons à ce sujet, que
2. - Nous n’avons pas
idéaux
en
établi tout récemment le résultat : dans
a
idéaux à gauche
la relation
co-irréducti bles,
Ax
un
n
Ay
anneau réduit
=
A
et riche
(0) implique xy=yx==0
(cf. [14]~.
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