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LES DECIMAUX
1- Nature de cet ensemble de nombres :
Dans le langage courant, un nombre décimal est souvent considéré comme un
nombre non entier s’écrivant avec une virgule ; ce qui est inexact car l’ensemble
des entiers est inclus dans celui des décimaux. Par exemple : 1 peut s’écrire
également 1,0.
Par ailleurs, tous les nombres comportant une écriture avec une virgule ne sont
pas des décimaux.
Les nombres décimaux sont donc des nombres qui s’écrivent avec une partie
entière et une partie décimale finies.
Ces nombres peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur et
le dénominateur sont des entiers, et le dénominateur pouvant s’exprimer en
puissance de 10.
Ainsi, une fraction représente un nombre décimal, si et seulement si son
dénominateur lorsqu’elle est irréductible peut s’exprimer en puissance de 10 ou
de diviseurs de 10, soit 2 et 5. ex : 4/5 est décimal ; 1/3 n’est pas décimal.
2-Didactique :
Les élèves ont souvent des difficultés à distinguer cet ensemble de nombres par
rapport aux nombres entiers. Une erreur fréquente consiste à les considérer
comme deux nombres entiers séparés par une virgule, ce qui est dû à une
difficulté pour concevoir l’importance des décimaux dans la numération.
Ceci peut être induit également par l’utilisation du contexte et du vécu de l’élève
où les prix, mesures etc… sont présentés de cette manière : 2m10 et non 2,10m
ou 1E50, et non 1,50E .
Ainsi, l’utilisation de droite numérique peut aider les élèves à se représenter ce
qu’est un nombre décimal. Un nombre décimal serait alors ce qui peut être
intercalé entre deux nombres entiers, grâce à de multiples divisions de cette
droite( cf. utilisation d’une règle graduée). Mais ceci ne permet pas la distinction
entre nombres décimaux et nombres rationnels.
Ainsi, pour permettre aux élèves de bien distinguer les entiers et les décimaux
comme deux ensembles n’ayant pas les mêmes propriétés, on peut avoir recours
à la décomposition du nombre décimal en somme de fractions : 1,25=1+25/100.
Il est important de faire comprendre aux élèves qu’un nombre décimal peut
s’écrire d’une infinité de manière car 1, 25=1,250=1,2500…ou encore 5/4=
1+1/4.
Ceci permet d’introduire l’idée que la notion de nombres précédents ou
succédant n’existe pas dans cet ensemble, car la partie décimale peut comporter
un nombre infini de 0.
Ainsi, la notion d’intervalle est également différente, puisque entre deux
nombres décimaux on peut toujours en intercaler une infinité d’autres. C’est
pourquoi, l’ensemble des décimaux est dit « dense ».
Ces propriétés propres aux décimaux interviennent dans tous les exercices de
comparaisons entre nombres et d’encadrement.
Pour comparer deux nombres décimaux :
On compare les parties entières entre elles, le nombre le plus grand est alors
celui qui a le plus grand nombre de chiffre, comme pour les nombres entiers.
Mais ce qui distingue les décimaux des entiers et pose des difficultés aux élèves
concerne la comparaison entre parties décimales. Le plus grand nombre n’est
pas toujours celui qui a le plus de chiffres dans son écriture.
Par exemple : 1,2>1,15.
Il faut donc comparer la partie décimale rang après rang à partir des dixièmes
jusqu’à obtenir deux chiffres différents. Le plus grand nombre est donc celui
dont le chiffre indiquant la valeur de ce rang est le plus grand. L’absence de
chiffre a un rang donné correspond à la présence d’un 0.
3-Propriétés dans les opérations utilisant des décimaux.
La somme ou le produit de deux nombres décimaux est obligatoirement
décimal :
A/10n X B/10m= A X B / 10 n+m.
La somme ou le produit de deux fractions non décimales n’est pas toujours non
décimal. Ex : 1/3 + 2/3=3/3=1