I Encore un problème d`optimisation II Calculs trigonométriques III

TD 14 : Trigonométrie
1S
I
2015-2016
Encore un problème d’optimisation
La situation est celle de la figure ci-contre : B est un point
du quart de cercle Q1 .
bc
Q1
C
1. Quelles sont les coordonnées du point B ?
bc
bc
B
2. Exprimer le périmètre du rectangle ABCO en fonction de r et de θ.
r
~j
θ
bc
O
bc
A
~i
3. Prouver, en utilisant une
d’addition, que
formule
√
π
.
sin(θ) + cos(θ) = 2 cos θ −
4
4. En déduire que le périmètre
durectangle est maximal
π
si, et seulement si, cos θ −
est maximal.
4
π
5. Pour quelle valeur de θ, cos θ −
est-il maximal ?
4
(raisonner sur le cercle trigonométrique)
6. Quel est le périmètre maximal du rectangle ABCO ?
√
7. Le périmètre peut-il être égal à r 6 ?
II
Calculs trigonométriques
Montrer que les expressions A, B et C sont indépendantes de x.
• A = (cos(x) + sin(x))2 + (cos(x) − sin(x))2 ;
• B = sin4 (x) − cos4 (x) + 2 cos2 (x) ;
• C = (a cos(x) − b sin(x))2 + (b cos(x) + a sin(x))2 . (a, b) ∈ R2
III
Équations, inéquations et autres
√
• Résoudre dans l’intervalle ] − π; π], l’inéquation −2 cos(x) > 2 ;

 3 sin(x) − 2 sin(y) = 5
, avec x ∈ [−π; π] et y ∈ [0; 2π].
• Résoudre le système :
 2 sin(x) + 3 sin(y) = −1
p
• x ∈ [−π; π]. Préciser l’ensemble de définition de la fonction définie par f (x) = 2 cos(x) − 1
IV
Balistique
Si l’on fait abstraction des frottements de l’air et de la résistance de l’air, la trajectoire d’un obus, lancé d’un point
O, avec une vitesse initiale v, suivant un angle d’inclinaison α par rapport à l’horizoontale est la parabole d’équation
y=
−g
x2 + tan(α)x ,
2v 2 cos2 (α)
où g est l’accélaration de la pesanteur (g ≈ 9, 81m.s−2 ) et tan(α) =
sin(α)
π
, 06α6 .
cos(α)
2
La portée est la distance de O au point d’impact de la trajectoire avec l’horizontale.
1. Calculer la portée en fonction de v et de α.
2. Pour quelle valeur de α la portée est-elle maximale ?
Aide : On pourra déterminer le maximum de cos2 (α) sin2 (α) en remarquant que la somme est constante et vaut
1.
Lycée Bertran de Born - Périgueux
1 sur ??