I Encore un problème d`optimisation II Calculs trigonométriques III

1 S TD 14 : Trigonométrie 2015-2016
I Encore un problème d’optimisation
~
i
~
j
O
r
θ
BC
A
Q1
La situation est celle de la figure ci-contre : Best un point
du quart de cercle Q1.
1. Quelles sont les coordonnées du point B?
2. Exprimer le périmètre du rectangle ABCO en fonc-
tion de ret de θ.
3. Prouver, en utilisant une formule d’addition, que
sin(θ) + cos(θ) = √2 cos θ−π
4.
4. En déduire que le périmètre du rectangle est maximal
si, et seulement si, cos θ−π
4est maximal.
5. Pour quelle valeur de θ, cos θ−π
4est-il maximal ?
(raisonner sur le cercle trigonométrique)
6. Quel est le périmètre maximal du rectangle ABCO ?
7. Le périmètre peut-il être égal à r√6 ?
II Calculs trigonométriques
Montrer que les expressions A,Bet Csont indépendantes de x.
• A = (cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)−sin(x))2;
• B = sin4(x)−cos4(x) + 2 cos2(x) ;
• C = (acos(x)−bsin(x))2+ (bcos(x) + asin(x))2. (a, b)∈R2
III Équations, inéquations et autres
•Résoudre dans l’intervalle ] −π;π], l’inéquation −2 cos(x)>√2 ;
•Résoudre le système : 
3 sin(x)−2 sin(y) = 5
2 sin(x) + 3 sin(y) = −1
, avec x∈[−π;π] et y∈[0; 2π].
•x∈[−π;π]. Préciser l’ensemble de définition de la fonction définie par f(x) = p2 cos(x)−1
IV Balistique
Si l’on fait abstraction des frottements de l’air et de la résistance de l’air, la trajectoire d’un obus, lancé d’un point
O, avec une vitesse initiale v, suivant un angle d’inclinaison αpar rapport à l’horizoontale est la parabole d’équation
y=−g
2v2cos2(α)x2+tan(α)x,
où gest l’accélaration de la pesanteur (g≈9,81m.s−2) et tan(α) = sin(α)
cos(α), 0 6α6π 2.
La portée est la distance de Oau point d’impact de la trajectoire avec l’horizontale.
1. Calculer la portée en fonction de vet de α.
2. Pour quelle valeur de αla portée est-elle maximale ?
Aide : On pourra déterminer le maximum de cos2(α) sin2(α)en remarquant que la somme est constante et vaut
1.
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