Exercice - Alain Camanes

2015/2016
(Ω,A,P)
Exercice 1. (Un univers) 2n
n3,...,2n
Exercice 2. (-)A, B AA∆B∈A
Exercice 3. (Intersections d’algèbres, ♥)A1A2Ω
1. A1∩A2
2. A1∪A2
Exercice 4. (-)A B
P(A∆B) = P(A) + P(B)−2P(A∩B).
Exercice 5. (-)Ω = J1, nKP(Ω) λ k ∈J1, nK
pk=λ·k λ (p1, . . . , pn)
Exercice 6. (-)A, B ∈A
1.
P(A)−P(c B)6P(A∩B)6min{P(A),P(B)}.
2. P(A) = 3
4P(B) = 1 3
a) 1
12 6P(A∩B)61 3
b)
Exercice 7. n∈N?p, q ∈[0,1] (Ar)r∈J1,nK
2
(r, s)∈J1, nK2r6=sP(Ar) = pP(Ar∩As) = q
p>1
nq62 n
Exercice 8. (Inégalité de Bonferroni) n∈N?(Ai)i∈J1,nK∈An
P n
[
r=1
Ar!>
n
X
r=1
P(Ar)−X
16r<k6n
P(Ar∩Ak).
Exercice 9. (Inégalité de Kounias, ! )n∈N?(Ai)i∈J1,nK∈An
P n
[
r=1
Ar!6min
k
n
X
r=1
P(Ar)−X
r∈J1,nK\{k}
P(Ar∩Ak)
.

Exercice 10. (-)A, B, C P(B∩C)·P(C)>0
P(A|B∩C)·P(B|C) = P(A∩B|C).
Exercice 11. (-)A, B ∈Ap=P(A)q=P(B)p > q
p+q < 1
P(A|c B)∈p−q
1−q,p 1−q.
Exercice 12. (Formule de Bayes séquentielle, -)n∈N?(Ai)i∈J1,nK∈Ann−1
T
i=1
Ai
P(A1∩. . . ∩An) = P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)···P(An|A1∩ ··· ∩ An−1).
Exercice 13. (-)A B
P(A)P(B)P(A∪B)
(i) 0.1 0.9 0.91
(ii) 0.4 0.6 0.76
(iii) 0.5 0.3 0.73
(iv) 0.5 0.6 1.1
Exercice 14. n∈N?(Ai)i∈J1,nK
(e Ai)i∈J1,nKe AiAic Ai
Exercice 15. n∈N?n(Ai)i∈J1,nK
1
n
S
i=1
Ai= Ω
Exercice 16. A, B ∈Ap=P(A∩B)q=P(A∩c B)r=P(c A∩B)
s=P(c A∩c B)A B ps =qr
Exercice 17. (Indépendant & Mutuellement indépendant) Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}P
(Ω,P(Ω))
∀i∈J1,4K,P(ωi) = 1
4.
A={ω1, ω2}B={ω2, ω3}C={ω1, ω3}
A B B C A C A, B C

Exercice 18. pΩ = J1, pKA=P(Ω) P
ΩA B A B
Ω
Exercice 19. (Fonction indicatrice d’Euler) n∈N?Ω = J1, nK
P(Ω) Pk∈J1, nKAk
Ωk
1. k|nP(Ak) = 1
k
2. k1, . . . , krn
Ak1, . . . , Akr
Pnn
3. Ωn
Y
p∈Pn1−1
p.
ϕ:n7→ n·Q
p∈Pn1−1
p
4. d n n =kd Bd={j·d, j ∈J1, kK;j∧k= 1}
Bd
5. P
d|n
ϕ(d) = n