Exercice - Alain Camanes

Probabilités
Stanislas
Exercices
Chapitre XXIII
MPSI 1
2015/2016
Sauf mention contraire, (Ω, A , P) désigne un espace probabilisé.
I - Univers, Algèbres
Exercice 1. (Un univers) Un tournoi par élimination directe commence avec 2n joueurs et dure
n tours. Il n'y a pas de matchs pour déterminer les positions 3, . . . , 2n et le tableau initial est
donné. Donner une description concise de l'univers de tous les résultats possibles ainsi que son
cardinal.
Exercice 2. (-) Soient A, B deux éléments de A . Montrer que A∆B ∈ A .
Exercice 3. (Intersections d’algèbres, ♥) Soient A1 et A2 deux algèbres sur Ω.
1. Montrer que A1 ∩ A2 est une algèbre.
2. Que dire de A1 ∪ A2 ?
II - Probabilités
Exercice 4. (-) Montrer que la probabilité qu'exactement un des événements A ou B soit réalisé
est
P(A∆B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B).
Exercice 5. (-) Soit Ω = J1, nK muni de l'algèbre P(Ω). Pour tout réel λ et tout entier k ∈ J1, nK,
on pose pk = λ · k. Déterminer la valeur de λ pour laquelle (p1 , . . . , pn ) dénit une mesure de
probabilité.
Exercice 6. (-) Soient A, B ∈ A .
1. Montrer que
P(A) − P(cB) 6 P(A ∩ B) 6 min{P(A), P(B)}.
2. On suppose que P(A) = 43 et P(B) = 31 .
1
a) Montrer que 12
6 P(A ∩ B) 6 13 .
b) Montrer que ces bornes peuvent être atteintes.
Exercice 7. Soit n ∈ N? et p, q ∈ [0, 1]. On suppose qu'un des événements (Ar )r∈J1,nK arrive
certainement mais que pas plus de 2 ne peuvent être réalisés simultanément. De plus, on suppose
que pour tout couple (r, s) ∈ J1, nK2 tel que r 6= s, P(Ar ) = p et P(Ar ∩ As ) = q . Montrer que
p > n1 et q 6 n2 .
Vous pourrez utiliser la formule du crible de Poincaré.
Exercice 8. (Inégalité de Bonferroni) Soient n ∈ N? et (Ai )i∈J1,nK ∈ A n . Montrer que
!
n
n
[
X
X
P
Ar >
P(Ar ) −
P(Ar ∩ Ak ).
r=1
r=1
16r<k6n
Exercice 9. (Inégalité de Kounias, !) Soient n ∈ N? et (Ai )i∈J1,nK ∈ A n . Montrer que


!
n
n
X

[
X
P
Ar 6 min
P(Ar ) −
P(Ar ∩ Ak ) .

k 
r=1
Stanislas
r=1
r∈J1,nK\{k}
A. Camanes
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III - Probabilités conditionnelles
Exercice 10. (-) Soient A, B, C trois événements tels que P(B ∩ C) · P(C) > 0. Montrer que
P(A|B ∩ C) · P(B|C) = P(A ∩ B|C).
Exercice 11. (-) Soient A, B ∈ A . On note p = P(A) et q = P(B). On suppose que p > q et
p + q < 1. Montrer que
p−q
p
P(A|cB) ∈
.
,
1−q 1−q
Exercice 12. (Formule de Bayes séquentielle, -) Soient n ∈ N? et (Ai )i∈J1,nK ∈ A n tels que
ne soit pas négligeable. Montrer que
n−1
T
Ai
i=1
P(A1 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 ) · P(A2 |A1 ) · P(A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P(An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 ).
IV - Événements indépendants
Exercice 13. (-) Dans chacun des cas suivants, déterminer si A et B sont indépendants.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
P(A) P(B) P(A ∪ B)
0.1
0.9
0.91
0.4
0.6
0.76
0.5
0.3
0.73
0.5
0.6
1.1
Exercice 14. Soient n ∈ N? et (Ai )i∈J1,nK des événements mutuellement indépendants. Montrer
que la famille (Aei )i∈J1,nK , où Aei désigne Ai ou cAi , est une famille d'événements mutuellement
indépendants.
Exercice 15. Soient n ∈ N? . Existe-t-il n événements indépendants (Ai )i∈J1,nK , de même probabin
S
lité strictement inférieure à 1 tels que
Ai = Ω ?
i=1
Vous pourrez utiliser la formule du crible de Poincaré.
Exercice 16. Soient A, B ∈ A . On note p = P(A ∩ B), q = P(A ∩ cB), r = P(cA ∩ B) et
s = P(cA ∩ cB). Montrer que A et B sont indépendants si et seulement si ps = qr.
Exercice 17. (Indépendant & Mutuellement indépendant) Soit Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 }. On note P
la probabilité dénie sur (Ω, P(Ω)) par
1
∀ i ∈ J1, 4K, P(ωi ) = .
4
On pose A = {ω1 , ω2 }, B = {ω2 , ω3 } et C = {ω1 , ω3 }.
Montrer que A et B (resp. B et C , puis A et C ) sont indépendants mais que A, B et C ne sont
pas mutuellement indépendants.
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A. Camanes
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Exercice 18. Soient p un nombre premier et Ω = J1, pK. Soit A = P(Ω) et P la probabilité
uniforme sur Ω. Montrer que si A et B sont des événements indépendants, alors A ou B est vide
ou Ω.
Exercice 19. (Fonction indicatrice d’Euler) Soit n ∈ N? . L'ensemble Ω = J1, nK est muni de
l'algèbre P(Ω) et la probabilité uniforme P. Pour tout k ∈ J1, nK, on note Ak l'ensemble des
entiers de Ω divisibles par k.
1. Montrer que si k|n, alors P(Ak ) = k1 .
2. Soient k1 , . . . , kr des diviseurs de n deux à deux premiers entre eux. Montrer que les événements
Ak1 , . . . , Akr sont mutuellement indépendants.
On note Pn l'ensemble des nombres premiers divisant n.
3. Montrer que la probabilité qu'un élément de Ω soit premier avec n vaut
Y 1
1−
.
p
p∈Pn
La fonction ϕ : n 7→ n ·
Q p∈Pn
1−
1
p
est la fonction indicatrice d'Euler.
4. Soit d un diviseur de n tel que n = kd. On note Bd = {j · d, j ∈ J1, kK ; j ∧ k = 1}. Déterminer
le cardinal de Bd .
P
ϕ(d) = n.
5. En déduire que
d|n
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A. Camanes