Rappel sur les vecteurs 3.1 Introduction 3.2 Produit scalaire 3.3

Cours de Physique I Chapitre III M. BOUGUECHAL 2010-2011
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Direction
Sens
Point d’application
Chapitre trois : Rappel sur les vecteurs
3.1 Introduction
3.2 Produit scalaire
3.3 Produit vectoriel
3.4 Produit mixte
3.1 Introduction
Un vecteur est un outil mathématique, très utilisé en physique. Il faut le manipuler avec
précaution. Il existe en physique deux types de grandeurs : les grandeurs scalaires et les
grandeurs vectorielles. Les grandeurs scalaires sont représentées par un nombre, positif,
négatif ou nul comme la masse m, la température θ, la longueur l ou le temps t. La seule
connaissance de la valeur suffit à déterminer la grandeur. Mais il existe aussi des grandeurs
physiques dont la valeur ne suffit pas à caractériser la grandeur. Par exemple, la connaissance
de la valeur de la vitesse ne décrit pas tous les paramètres de la vitesse, car la vitesse a une
direction, un sens et a aussi un point particulier appelé point d’application ou origine où elle
est déterminée. Un vecteur est donc caractérisé par un ensemble de propriétés.
 La direction ou support : c’est une droite.
 Le sens : une direction a deux sens.
 Le point d’application ou origine.
 La norme ou le module ou la valeur.

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 Il ne faut pas confondre les quantités scalaires et vectorielles, cette confusion
provient du fait qu'on peut toujours associer à une quantité vectorielle une quantité
scalaire, c’est la norme du vecteur.
 Il faut savoir que certaines grandeurs physiques ne sont ni des scalaires, ni des
vecteurs mais des nombres complexes, comme l’impédance d’une bobine, d’un
condensateur.
Il faut donc être vigilant à la présence ou à l'absence d'une flèche sur une quantité
vectorielle. Sa présence signifie que l'on parle du vecteur et donc on a trois composantes,
tandis que son absence signifie que l'on parle de grandeur scalaire.
Exemple de grandeurs scalaires et de grandeurs vectorielles et de grandeurs complexes :
Grandeurs scalaires
unités
Masse
kg
Temps
s
Longueur
m
Température
K
volume
m3
Intensité d’un courant
A
Tension électrique
V
Grandeurs vectorielles
unités
Vecteur-vitesse
m/s
Vecteur accélération
( m/s2 )
Vecteur-force
N
Vecteur quantité de mouvement
Kg.m/s
Vecteur champ magnétique
T
Vecteur champ électrique
V/m
Vecteur position
m
Grandeurs complexes
unités
Impédance d’une bobine
Ω
Impédance d’un condensateur
Ω
Tension électrique
V
Intensité électrique
A
Il faut noter que certaines grandeurs scalaires peuvent s’écrire sous forme complexe.

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Pour les vecteurs, en coordonnées cartésiennes, on écrit :
 Pour la quantité de mouvement :
 Pour la force :
Quelques opérations simples sur les vecteurs
Vecteur unitaire porté par :
 On ne peut additionner des vecteurs que s’ils ont la même unité

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3.2 Produit scalaire
Il existe deux façons très différentes de multiplier les vecteurs et donc de faire leur produit.
La plus simple s'appelle le produit scalaire et se symbolise par un point placé entre les deux
vecteurs. Il faut écrire de préférence les vecteurs en colonnes et faire tout simplement les
produits des composantes, ligne par ligne tout en additionnant les résultats obtenus.
On obtient alors un nombre scalaire numériquement égal au produit des normes des deux
vecteurs par le cosinus de l'angle que font ces deux vecteurs.
Le travail d’une force est un exemple de scalaire obtenu en multipliant scalairement le
vecteur force par le vecteur déplacement.
Ou encore :
)
r et r’ étant les normes des vecteurs.
Le produit scalaire sert à projeter un vecteur sur un autre. (voir figure)

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Exercice 1 : Déterminer l’angle entre deux vecteurs.
 On peut toujours calculer un angle entre deux vecteurs de nature différente.
 On peut toujours faire le produit de vecteurs (scalaire ou vectoriel) même s’ils
n’ont pas la même unité