DM de Mathématiques 11

2016-2017
E1
DM de Mathématiques 11 - Correction
Exercice 13.
Une infinité dénombrable de ninjas attaque un élève pour connaitre l’identité de son professeur de mathématiques. Les
ninjas attaquent 1 par 1. Chaque ninja a une probabilité p ∈]0, 1[ de réussir à capturer l’élève, dans le cas contraire le ninja
meurt.
1. On note X le rang du ninja qui capture l’élève (on pose X = 0 si aucun ninja ne parvient à capturer l’élève).
(a) Déterminer, à priori, le support de la variable aléatoire X.
(b) Déterminer, pour tout k ∈ N∗ , P(X = k).
(c) En déduire P(X = 0) et identifier la loi de X.
2. Si l’élève est capturé par le k-ème ninja, la probabilité qu’il cède sous la torture et dévoile le nom de son professeur est
de pk−1 .
Déterminer la probabilité que les ninjas obtiennent le nom du professeur.
3. Chaque élève de la classe de E1 subit ces attaques indépendamment. On note Y le nombre d’élèves dévoilant le nom
de leur professeur.
(a) Identifier la loi de la variable aléatoire Y .
(b) Quelle est la probabilité qu’aucun des élèves ne dévoile le nom de leur professeur ?
Correction.
1. (a) Le support de X semble être N.
(b) On note, pour tout i ∈ N∗ , Ni : « Le ième ninja réussit à capturer l’élève ».
Soit k ∈ N∗
P(X = k)
=
P
k−1
\
!
Ni
!
∩ Nk
,
i=1
par probabilité composé
=
P(N1 ) × PN1 (N2 ) × · · · × PTk−2 Ni (Nk−1 ) × PTk−1 Ni (Nk ),
i=1
=
Donc ∀k ∈ N∗ , P (X = k) = (1 − p)
k−1
(1 − p)
k−1
i=1
p.
p.
(c) ([X = n])n∈N∗ est une famille d’événements deux à deux incompatibles donc la série
X
n∈N∗
P(X ∈ N∗ )
=
=
+∞
X
n=1
+∞
X
P(X = n),
(1 − p)
n−1
p,
n=1
=
+∞
p X
n
(1 − p) ,
1 − p n=1
=
p
1−p
+∞
X
!
n
(1 − p) − 1 ,
n=0
p
1
−1 ,
1 − p 1 − (1 − p)
p
1−p
=
×
,
1−p
p
= 1.
=
page 1
P(X = n) converge et
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Donc P(X = 0) = 1 − P(X ∈ N∗ ) = 0.
k−1
Donc le support de X est N∗ et ∀k ∈ N, P (X = k) = (1 − p)
p.
Ainsi X ,→ G (p) .
Version alternative
!
+∞
\
Par le théorème de la limite monotone P (X = 0) = P
Nn = lim P
n→+∞
n=1
n
\
!
Ni .
i=1
Soit n ∈ N∗ , par les probabilités composées :
P
n
\
!
= P(N1 ) × PN1 (N2 ) × · · · × PTn−1 Ni (Nn ),
Ni
i=1
i=1
(1 − p)n .
=
n
\
∗
Donc, ∀n ∈ N , P
!
Ni
= (1 − p)n .
i=1
Finalement P (X = 0) = lim P
n→+∞
Attention :
Ni
i∈N∗
n
\
!
Ni
= lim (1 − p)n = 0, car 1 − p ∈]0, 1[.
n→+∞
i=1
n’est pas une suite décroissante d’événements.
2. On note T : « Dévoile le nom de son professeur ».
En utilisant
le système complet d’événements associé à X, et avec la formule des probabilités totales, on sait que la
X
série
P(X = n)P[X=n] (T ) converge.
n∈N∗
De plus,
P(T )
=
=
+∞
X
n=1
+∞
X
P(X = n)P[X=n] (T ),
(1 − p)
n=1
+∞
X
n−1
p × pn−1 ,
(p(1 − p))
= p
n−1
,
n=1
On passe aux sommes partielles pour faire un changement d’indice. Soit n ∈ N,
n
X
(p(1 − p))
j−1
=
j=1
n−1
X
i
(p(1 − p)) . (en posant j − 1 = i)
i=0
Donc
+∞
X
(p(1 − p))
n−1
=
n=1
+∞
X
n
(p(1 − p)) .
n=0
Donc
P(T )
= p
+∞
X
n=0
1
,
1 − p(1 − p)
p
.
1 − p + p2
= p
=
Ainsi P (T ) =
p
.
1 − p + p2
page 2
n
(p(1 − p)) ,
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3. (a) Y ,→ B 42,
p
car on compte le nombre de succès (l’élève dévoile le nom de son professeur) lors d’une
1 − p + p2
p
répétition de 42 épreuves identiques et indépendantes dont la probabilité de succès est
.
1 − p + p2
(b) On demande de calculer P (Y = 0).
P(Y = 0) =
42
0
p
1 − p + p2
0 p
1−
1 − p + p2
page 3
42
=
1 − p + p2 − p
1 − p + p2
42
=
1 − 2p + p2
1 − p + p2
42
.