DM de Mathématiques 11

2016-2017 E1
DM de Mathématiques 11 - Correction
Exercice 13.
Une infinité dénombrable de ninjas attaque un élève pour connaitre l’identité de son professeur de mathématiques. Les
ninjas attaquent 1 par 1. Chaque ninja a une probabilité p∈]0,1[ de réussir à capturer l’élève, dans le cas contraire le ninja
meurt.
1. On note Xle rang du ninja qui capture l’élève (on pose X= 0 si aucun ninja ne parvient à capturer l’élève).
(a) Déterminer, à priori, le support de la variable aléatoire X.
(b) Déterminer, pour tout k∈N∗,P(X=k).
(c) En déduire P(X= 0) et identifier la loi de X.
2. Si l’élève est capturé par le k-ème ninja, la probabilité qu’il cède sous la torture et dévoile le nom de son professeur est
de pk−1.
Déterminer la probabilité que les ninjas obtiennent le nom du professeur.
3. Chaque élève de la classe de E1 subit ces attaques indépendamment. On note Yle nombre d’élèves dévoilant le nom
de leur professeur.
(a) Identifier la loi de la variable aléatoire Y.
(b) Quelle est la probabilité qu’aucun des élèves ne dévoile le nom de leur professeur ?
Correction.
1. (a) Le support de Xsemble être N.
(b) On note, pour tout i∈N∗, Ni:« Le ième ninja réussit à capturer l’élève ».
Soit k∈N∗
P(X=k) = P k−1
\
i=1
Ni!∩Nk!,
par probabilité composé =P(N1)×PN1(N2)× · · · × PTk−2
i=1 Ni(Nk−1)×PTk−1 i=1 Ni(Nk),
= (1 −p)k−1p.
Donc ∀k∈N∗, P (X=k) = (1 −p)k−1p.
(c) ([X=n])n∈N∗est une famille d’événements deux à deux incompatibles donc la série X
n∈N∗
P(X=n)converge et
P(X∈N∗) =
+∞
X
n=1
P(X=n),
=
+∞
X
n=1
(1 −p)n−1p,
=p
1−p
+∞
X
n=1
(1 −p)n,
=p
1−p +∞
X
n=0
(1 −p)n−1!,
=p
1−p1 1−(1 −p)−1,
=p
1−p×1−p p,
= 1.
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Donc P(X= 0) = 1 −P(X∈N∗)=0.
Donc le support de Xest N∗et ∀k∈N, P (X=k) = (1 −p)k−1p.
Ainsi X → G (p).
Version alternative
Par le théorème de la limite monotone P(X= 0) = P +∞
\
n=1
Nn!= lim
n→+∞
P n
\
i=1
Ni!.
Soit n∈N∗, par les probabilités composées :
P n
\
i=1
Ni!=P(N1)×PN1(N2)× · · · × PTn−1
i=1 Ni(Nn),
= (1 −p)n.
Donc, ∀n∈N∗,P n
\
i=1
Ni!= (1 −p)n.
Finalement P(X= 0) = lim
n→+∞
P n
\
i=1
Ni!= lim
n→+∞(1 −p)n= 0, car 1−p∈]0,1[.
Attention : Nii∈N∗n’est pas une suite décroissante d’événements.
2. On note T : « Dévoile le nom de son professeur ».
En utilisant le système complet d’événements associé à X, et avec la formule des probabilités totales, on sait que la
série X
n∈N∗
P(X=n)P[X=n](T)converge.
De plus,
P(T) =
+∞
X
n=1
P(X=n)P[X=n](T),
=
+∞
X
n=1
(1 −p)n−1p×pn−1,
=p
+∞
X
n=1
(p(1 −p))n−1,
On passe aux sommes partielles pour faire un changement d’indice. Soit n∈N,
n
X
j=1
(p(1 −p))j−1=
n−1
X
i=0
(p(1 −p))i.(en posant j−1 = i)
Donc
+∞
X
n=1
(p(1 −p))n−1=
+∞
X
n=0
(p(1 −p))n.
Donc
P(T) = p
+∞
X
n=0
(p(1 −p))n,
=p1
1−p(1 −p),
=p
1−p+p2.
Ainsi P(T) = p
1−p+p2.
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3. (a) Y → B 42,p
1−p+p2car on compte le nombre de succès (l’élève dévoile le nom de son professeur) lors d’une
répétition de 42 épreuves identiques et indépendantes dont la probabilité de succès est p
1−p+p2.
(b) On demande de calculer P(Y= 0).
P(Y= 0) = 42
0 p 1−p+p201−p 1−p+p242
=1−p+p2−p
1−p+p242
=1−2p+p2
1−p+p242
.
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