AXIOMES (ou REGLES) D`ALGÈBRE

AXIOMES (ou REGLES) D’ALGÈBRE
Définition. Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. La forme générale
d’une équation à une inconnue est souvent donnée sous la forme A(x) = B(x), où A et B sont des
expressions algébriques en x. Une nombre donné a ∈ R est solution d’une équation (à une
inconnue) si en remplaçant chaque x dans l’équation par a on obtient une égalité vraie.
Résoudre une équation signifie trouver l’ensemble de toutes ses solutions (réelles) dénotée par S.
Exemple. 3 est une solution de l’équation 2x + 2 = 11 – x car 2·3 + 2 = 11 – 3
Cette équation n’admet pas d’autres solutions alors S = { 3 }.
Principe général de résolution.
Le principe suivant est appliqué pour résoudre des équations :
N’agir que globalement sur les deux membres de l’égalité et ce
de manière parfaitement identique à gauche comme à droite.
Exemple. Résoudre 2x + 3 = 4x – 5. Commençons par additionner 5 aux deux membres :
(2x + 3) + 5 = (4x – 5) + 5 . Les axiomes de calcul permettent de ‘supprimer’ les parenthèses, d’où
2x + 8 = 4x (après réduction). Ensuite additionnons (-2)x à chaque membre,
(2x + 8) + (-2)x = 4x + (-2)x. À nouveau les axiomes de calcul permettent de réduire à
8 = 2x. Enfin, multiplier par l’inverse de 2 (1/2) à chaque membre permet de conclure que 4 = x.
D’où S = {4}.
Questions.
Cependant plusieurs questions méritent d’être posées :
- la solution de la dernière équation x = 4 est-elle solution de l’équation initiale 2x + 3 = 4x – 5 ?
- peut-il exister d’autres solutions à l’équation 2x + 3 = 4x – 5 ?
- ce peut-il qu’en agissant sur chaque membre de manière identique on introduise des solutions
‘parasites’ qui ne sont pas solutions de l’équation initiale ?
Réponse partielle.
La réponse à la première question posée ci-dessus consiste à imaginer de connaître la valeur de x
pour laquelle l’égalité est vérifiée. Dans ce cas le fait d’additionner 4 aux deux membre (égaux),
puis de soustraire le double de x des deux côtés et enfin de diviser chaque différence (identique) par
2 donnera évidemment le même résultat à gauche comme à droite.
On dit dans ce cas que les équations 2x + 3 = 4x – 5 ; 2x + 8 = 4x ; 8 = 2x et 4 = x
sont des équations équivalentes, puisqu’elles admettent exactement le même ensemble de solutions.
Plus généralement, deux axiomes permettent de passer d’une équation à une équation équivalente :
Axiome 1. Si C(x) est une expression numérique ou algébrique alors A(x) = B(x) est équivalent à
A(x) + C(x) = B(x) + C(x) (de même A(x) = B(x) est équivalent à A(x) – C(x) = B(x) – C(x)).
Axiome 2. Si C(x) ≠ 0 alors A(x) = B(x) est équivalent à C(x)·A(x)= C(x)·B(x)
En abrégé :
Axiome 1. A( x) = B( x) ⇔ A( x) ± C ( x) = B( x) ± C ( x)
Axiome 2. A( x) = B ( x) ⇔ C ( x) ⋅ A( x) = C ( x) ⋅ B( x) à condition que C ( x) ≠ 0
 A( x, y ) = B( x, y )
Pour les systèmes d’équations de la forme 
alors les deux axiomes restent
C ( x, y ) = D( x, y )
 A( x, y ) = B( x, y )
est
valables et on a pour k et l des constantes non nulles que le système 
C ( x, y ) = D( x, y )
k ⋅ A( x, y ) + l ⋅ C ( x, y ) = k ⋅ B( x, y ) + l ⋅ D( x, y )
, méthode utilisée pour résoudre les
équivalent à 
C ( x , y ) = D ( x, y )

problème par combinaison linéaire (ou appelé aussi en 9e, par addition).
UNE MÉTHODE POUR RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS DU 2e DEGRÉ.
La démarche suivante peut être appliquée pour résoudre des équations du 2e degré:
1. Ramener l’équation A(x) = B(x) à une équation équivalente de la forme C(x) = 0 en
s’appuyant sur les axiomes d’équivalences, où C(x) finit par être de la forme ax2 + bx + c.
2. Si C(x) est factorisable alors le factoriser, afin d’obtenir C(x)=M(x)·N(x) = 0
3. Résoudre M(x) = 0 et N(x) = 0.
Vocabulaire. Les valeurs de x qui annulent une expression sont appelées les zéros de l’expression.
Exemples de résolutions.
1) x 2 − 13 x − 30 = 0 , l’identité 4 permet tout de suite de l’écrire sous la forme ( x − 15)( x + 2) = 0
D’où S = {15 ;-2}.
2) x 2 = 3x − 4 ⇔
x 2 − 3x + 4 = 0 . Cherchons une factorisation du membre de gauche :
2
2
3  9 16 
3 7

0 = x − 3x + 4 =  x −  − + =  x −  + > 0 . Une somme d’un carré et d’un nombre
2 4 4 
2 4

positif ne peut jamais s’annuler, donc S = ∅.
2
3) 0 = x 2 + 6 x − 8 = ( x + 3) − 9 − 8 = ( x + 3) − 17 = ( x + 3) −
2
2
2
(
 x + 3 − 17 = 0
 x = −3 + 17
D’où la résolution de 
⇔  1
 x1 = −3 − 17
 x + 3 + 17 = 0
4)
x −1
= x−2
x+2
Si x ≠ -2
⇔
x − 1 = ( x − 2) ⋅ ( x + 2) ⇔
⇔ 0 = 4 x 2 − 4 x − 12 = ( 2 x − 1) − 13 = ( 2 x − 1) −
2
D’où la résolution de
2
17
) = (x +3−
2
17
)( x + 3 +
{
17
et donc S= −3 + 17; −3 − 17
}
x − 1 = x2 − 4 ⇔ 0 = x2 − x − 3
( 13 ) = ( 2 x − 1 −
2
1

 2 x − 1 − 13 = 0
 2 x = 1 + 13
 x1 = 2 1 + 13
⇔ 
⇔ 

2 x = +1 − 13
 x = 1 1 − 13
2 x − 1 + 13 = 0
 2 2
(
(
)
)
)(
13 2 x − 1 + 13
)
1
1

et S=  1 + 13 ; 1 − 13 
2
2

(
) (
)
Exercices.
1) La longueur d’un rectangle mesure 10 cm de plus que sa largeur. Son aire est de 56 cm2.
Quels sont tous les nombres en question qui vérifient la condition ci-dessus ?
2) Résoudre les équations suivantes, en donnant toutes les solutions.
a) 6 x 2 + x = 12
b) 4 x 2 = 12 x + 11
c) 4 x 2 + 324 = 72 x
Solutions. 1) larg =4 et long =14 sinon -14 et -4 ? 2a) S =  4 ; − 3  2b)
3
2
3
3

S =  + 5; − 5  2c) S ={9}.
2
2


)