Réduction de Jordan

Réduction de Jordan
Table des matières
1 Blocs de Jordan
2
2 Réduction de Jordan des matrices nilpotentes
2.1 Noyaux itérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Construction d’une base de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
3 Cas général
6
4 Applications
4.1 Commutant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
L’objectif principal de ce texte est l’étude de l’ensemble des matrices nilpotentes de
Mn (K) (où K est un corps commutatif quelconque), que nous appellerons le cône nilpotent, du point de vue de la similitude des matrices. Bien sûr, toute matrice semblable
à une matrice nilpotente est elle-même nilpotente. De ce fait, le cône nilpotent est une
réunion de classes de similitude. Les questions qui vont nous intéresser, parmi d’autres,
sont les suivantes :
1. Le cône nilpotent est-il réunion d’un nombre fini de classes de similitude ?
2. Y a-t-il un algorithme permettant de détecter si deux matrices nilpotentes données
sont semblables ?
La réduction de Jordan, dans le cadre des matrices ou des endomorphismes nilpotents,
apporte une réponse simple et complète à ces deux questions, sans aucune restriction sur
le corps de base.
La situation est un peu plus compliquée lorsqu’on cherche à résoudre le problème général de la classification des matrices à similitude près, sans se limiter au cône nilpotent.
Lorsque le corps K est algébriquement clos, nous verrons néanmoins comment déduire
du cas nilpotent un théorème de classification, mais l’aspect algorithmique sera perdu, à
cause du fait que le spectre d’une matrice est en général inaccessible.
1
Nous terminerons par deux applications significatives de la réduction de Jordan : le calcul
de la dimension du commutant et la recherche de racines carrées.
Le meilleur livre existant actuellement sur la réduction de Jordan est à notre avis [3]. Dans
cet ouvrage, la réduction de Jordan est ramenée de façon lumineuse à la combinatoire
des tableaux de Young, que nous n’abordons pas ici. Le lecteur y trouvera également
d’innombrables approfondissements et exercices inédits.
1
Blocs de Jordan
Étant donné un entier n ≥ 2, on note Jn la matrice de Mn (K) dont tous les coefficients
sont nuls, sauf ceux d’indice (i, i + 1) (1 ≤ i ≤ n − 1), tous égaux à 1 :


0 1
0 ··· 0
 .. . .
.. 
..
..
 .
.
.
.
. 


 ..

..
..
Jn =  .
.
.
.
0


 ..

..
 .
. 1 
0 ··· ··· ··· 0
On pose également J1 = [0] ∈ M1 (K). La matrice Jn s’appelle le bloc de Jordan standard
d’ordre n. Le calcul des puissances de Jn est facile : si 1 ≤ k ≤ n − 1, tous les coefficients
de la matrice Jnk sont nuls, sauf ceux d’indices (i, i + k) (1 ≤ i ≤ n − k) qui valent 1. De
plus, Jnn = 0. La matrice Jn est donc nilpotente, d’indice de nilpotence n.
À présent, si on se donne une suite finie et croissante d’entiers naturels non nuls
k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ kr ,
on note Jk1 ⊕ Jk2 ⊕ . . . ⊕ Jkr la matrice diagonale
blocs diagonaux sont les Jki :

Jk1 0 · · ·

 0 Jk2 . . .

 ..
..
..
 .
.
.
0 ···
0
par blocs d’ordre k1 + . . . + kr dont les

0
.. 
. 
.

0 
Jkr
Dans la suite, nous appellerons une telle matrice une matrice de Jordan.
Considérons une matrice de Jordan A ∈ Mn (K). En particulier, A est nilpotente. Notons
p son indice de nilpotence, et posons dk = dim ker Ak pour k ≥ 0. Nous noterons en
outre nk , pour chaque k ∈ [[1, p]], le nombre de blocs de Jordan d’ordre k constituant la
2
matrice A. En utilisant la remarque faite plus haut à propos des puissances d’un bloc de
Jordan, on obtient immédiatement les égalités suivantes :

d1 = n1 + n2 + n3 + . . . + np−1 + np ,




d2 = n1 + 2n2 + 2n3 + . . . + 2np−1 + 2np ,




..


.



dk−1 = n1 + 2n2 + 3n3 + . . . + (k − 1)nk−1 + (k − 1)nk + . . . + (k − 1)np−1 + (k − 1)np ,
dk = n1 + 2n2 + 3n3 + . . . + (k − 1)nk−1 + knk + . . . + knp−1 + knp ,




..


.




d
= n1 + 2n2 + 3n3 + . . . + (p − 1)np−1 + (p − 1)np ,


 p−1
dp = n1 + 2n2 + 3n3 + . . . + (p − 1)np−1 + pnp .
En soustrayant à chacune de ces égalités la précédente, nous en déduisons que
dk − dk−1 = nk + nk+1 + . . . + np
puis que
nk = (dk − dk−1 ) − (dk+1 − dk )
soit finalement
nk = −∆2 dk ,
(1)
en notant ∆2 l’opérateur de « dérivation seconde discrète »
∗
∗
∆2 : KN → KN , (uk )k≥1 7→ (uk+1 − 2uk + uk−1 )k≥1 ,
avec la convention uk = 0. Ainsi, si A est une matrice de Jordan, le nombre de blocs de
Jordan d’une taille donnée constitutifs de la matrice A est parfaitement déterminé par
les dimensions des noyaux itérés de A. Une conséquence de cela est le fait non trivial
suivant, qui constitue la partie « unicité » du théorème que nous avons en vue : une
matrice nilpotente quelconque est semblable à au plus une matrice de Jordan.
2
Réduction de Jordan des matrices nilpotentes
Dans ce paragraphe, nous allons montrer que toute matrice nilpotente est semblable à
une matrice de Jordan. Nous en déduirons le
Théorème 1 (Jordan). Si A ∈ Mn (K) est une matrice nilpotente, il existe une unique
suite finie et croissante k1 ≤ . . . ≤ kr d’entiers naturels non nuls tels que A soit semblable
à Jk1 ⊕ . . . ⊕ Jkr . La matrice Jk1 ⊕ . . . ⊕ Jkr est parfois appelée la réduite de Jordan de A.
2.1
Noyaux itérés
Commençons par observer l’égalité (1) ; elle traduit la concavité de la suite (dk )k≥0 des
dimensions des noyaux itérés d’une matrice de Jordan, c’est-à-dire le fait que cette suite
3
est « de moins en moins croissante ». Nous allons commencer par montrer que ce fait est
tout à fait général, grâce à un argument qui sera crucial dans la suite.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et u ∈ L (E). Fixons un entier
k ≥ 1, et supposons que l’on dispose d’un supplémentaire S de ker uk dans ker uk+1 :
ker uk+1 = S ⊕ ker uk .
Alors,
la somme u(S) + ker uk−1 est directe, et contenue dans ker uk .
(2)
En effet, si x = u(s) est élément de ker uk−1 , avec s ∈ S, alors s ∈ S ∩ ker uk = {0}, d’où
x = 0. On a donc
u(S) ⊕ ker uk−1 ⊂ ker uk .
Comme la restriction de u à S est injective, on en déduit immédiatement, en posant à
nouveau dk = dim ker uk , que
dk − dk−1 ≥ dim u(S) = dim S = dk+1 − dk ,
soit
−∆2 dk ≥ 0.
La concavité annoncée est donc établie.
2.2
Construction d’une base de Jordan
Supposons désormais l’endomorphisme u nilpotent d’indice p. Commençons par fixer un
sous-espace Sp de E tel que
E = ker up = Sp ⊕ ker up−1 .
D’après (2), u(Sp ) ⊕ ker up−2 ⊂ ker up−1 , d’où l’existence d’un sous-espace Sp−1 de E tel
que
ker up−1 = u(Sp ) ⊕ Sp−1 ⊕ ker up−2 .
(3)
On a alors
E = Sp ⊕ u(Sp ) ⊕ Sp−1 ⊕ ker up−2 .
Dans le cas où p ≥ 3, en réappliquant l’argument (2) à (3), on obtient 1
u2 (Sp ) ⊕ u(Sp−1 ) ⊕ ker up−3 ⊂ ker up−2 ,
d’où l’existence d’un sous-espace Sp−2 de E tel que
ker up−2 = u2 (Sp ) ⊕ u(Sp−1 ) ⊕ Sp−2 ⊕ ker up−3 ,
1. Noter que l’égalité
u(u(Sp ) ⊕ Sp−1 ) = u2 (Sp ) ⊕ u(Sp−1 )
provient de l’injectivité de la restriction de u à n’importe quel supplémentaire de ker u dans E.
4
donc
E = Sp ⊕ u(Sp ) ⊕ u2 (Sp ) ⊕ Sp−1 ⊕ u(Sp−1 ) ⊕ Sp−2 ⊕ ker up−3 .
En poursuivant ainsi, on construit des sous-espaces Sp , Sp−1 , . . . , S1 de E vérifiant
ker uj = up−j (Sp ) ⊕ up−j−1 (Sp−1 ) ⊕ . . . ⊕ u(Sj+1 ) ⊕ Sj ⊕ ker uj−1 pour 1 ≤ j ≤ p.
À ce stade, il faut remarquer un fait important : si 1 ≤ k ≤ p et j ≤ k − 2, la somme
uj (Sk ) + ker u est directe, ce qui implique que
u induit un isomorphisme de uj (Sk ) sur uj+1 (Sk ).
(4)
Finalement, on obtient la décomposition suivante :
E = Sp ⊕ u(Sp ) ⊕ . . . ⊕ up−1 (Sp )
⊕Sp−1 ⊕ u(Sp−1 ) ⊕ . . . ⊕ up−2 (Sp−1 )
..
.
⊕S2 ⊕ u(S2 )
⊕S1 .
(5)
Une fois que l’on dispose de (4) et de (5), la construction d’une base agréable de E est
alors facile : il suffit de remarquer que si l’on fixe k ∈ [[1, p]] et x ∈ Sk non nul, le sousespace V = Vect (uk−1 (x), . . . , u(x), x) est de dimension k et stable par u. De plus, la
matrice dans la base (uk−1 (x), . . . , u(x), x) de u|V est exactement le bloc de Jordan Jk .
Grâce à ce fait, on peut construire alors une base de E relativement à laquelle la matrice
de u est une matrice de Jordan, ce qui termine la preuve du théorème 1.
Corollaire 1. Deux matrices nilpotentes A et B de Mn (K) sont semblables si et seulement si
rg Ak = rg B k pour tout k ∈ N∗ .
Démonstration. Le sens direct est clair. Inversement, si la condition sur les rangs est
réalisée, on a dim ker Ak = dim ker B k pour tout k ≥ 1, de sorte que les réduites de
Jordan de A et B sont identiques d’après (1).
Le théorème de Jordan élucide le problème de la classification des matrices nilpotentes
à similitude près. De façon précise, il montre que le cône nilpotent de Mn (K) est union
disjointe d’un nombre fini de classes de similitude. Ce nombre, souvent noté p(n), n’est
autre que le nombre de partitions de l’entier n, c’est-à-dire le nombre de façons d’écrire n
comme somme d’entiers naturels non nuls, l’ordre n’intervenant pas. Par exemple, comme
3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1,
on a p(3) = 3, de sorte qu’à
d’ordre 3 ; ce sont :

0 0
J1 ⊕ J1 ⊕ J1 =  0 0
0 0
similitude près, il y a exactement 3 matrices nilpotentes





0
0 0 0
0 1 0
0 , J1 ⊕ J2 =  0 0 1  et J3 =  0 0 1 .
0
0 0 0
0 0 0
5
Lorsque n augmente, le nombre p(n) augmente très vite. Le comportement asymptotique
de p(n) lorsque n → +∞ a été étudié en par Hardy et Ramanujan. Grâce à leur célèbre
« méthode du cercle », ils ont obtenu en 1918 l’équivalent hautement non trivial suivant :
r
√
1
2
K n
p(n) ∼ √ e
, où K = π
.
3
4n 3
Pour plus de détails sur ce point, nous renvoyons à l’extraordinaire livre [1].
3
Cas général
Fixons à nouveau u ∈ L (E) (non nécessairement nilpotent), et supposons le polynôme
caractéristique χ de u scindé sur K. On peut alors écrire
χ=
r
Y
(X − λk )αk ,
k=1
les λk étant des éléments de K deux à deux distincts et les αk des entiers naturels non nuls.
On dispose alors de la décomposition de E en somme des sous-espaces caractéristiques :
E=
r
M
Ck , où Ck = ker(u − λk idE )αk .
k=1
Chaque Ck est stable par u, et la restriction uk de u à Ck peut s’écrire
uk = λk idCk + nk ,
où nk est un endomorphisme nilpotent de Ck . En appliquant le théorème de Jordan à
chaque nk , on obtient l’existence d’une base B de E relativement à laquelle la matrice
de u est diagonale par blocs, chaque bloc étant de la forme


λ 1
0 ··· 0


 0 . . . . . . . . . ... 




Jk (λ) := λIk + Jk =  ... . . . . . . . . . 0  .



 ..
..
..
 .
. 1 
.
0 ··· ··· 0 λ
De plus, pour chaque valeur propre λ, le nombre de blocs Jk (λ) de taille donnée ne
dépend que de u, car ce nombre se calcule en fonction des dimensions des noyaux itérés
de u − λidE comme on l’a vu dans le paragraphe 1. Par conséquent, la matrice de u dans
B est unique, à l’ordre près des blocs, ce qui permet de parler de la réduite de Jordan
d’une matrice quelconque de Mn (K) dont le polynôme caractéristique est scindé sur K.
On en déduit facilement la
6
Proposition 1. Deux matrices A et B de Mn (C) sont semblables si et seulement si
rg (A − λIn )k = rg (B − λIn )k pour tout (λ, k) ∈ C × N∗ .
Évidemment ce résultat est peu exploitable dans la pratique à cause de l’impossibilité
en général de calculer le spectre. Signalons sans insister qu’un algorithme purement « rationnel 2 » permettant de décider si deux matrices données à coefficients dans un corps
commutatif quelconque sont semblables existe, celui des invariants de similitude. Pour
plus de détails à ce sujet, on renvoie à [2].
4
4.1
Applications
Commutant
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, et u ∈ L (E) nilpotent d’indice
p. Cherchons à calculer la dimension du commutant
C = {v ∈ L (E)/uv = vu}
de u en fonction des dk = dim ker uk . D’après le théorème de Jordan, il existe une unique
suite croissante d’entiers naturels non nuls k1 ≤ . . . ≤ kr ainsi qu’une famille (non
unique !) (x1 , . . . , xr ) de vecteurs de E vérifiant les conditions suivantes :
ki −1 (x )) est de dimension k ,
• uki (xL
i ) = 0 et Vi := Vect (xi , u(xi ), . . . , u
i
i
r
• E = i=1 Vi .
Commençons par remarquer qu’un élément v du commutant de u est parfaitement déterminé par la donnée des v(xi ), 1 ≤ i ≤ r, à cause des égalités :
v(uj (xi )) = uj (v(xi )).
(6)
De plus, xi ∈ ker uki et ker uki est stable par v, de sorte que v(xi ) ∈ ker uki . Cela permet
de définir l’application linéaire
Φ:C→
r
Y
ker uki , v 7→ (v(x1 ), . . . , v(xr )).
i=1
D’après (6), Φ est injective. D’autre part, si l’on se donne (y1 , . . . , yr ) ∈
peut définir v ∈ L (E) par les conditions
Qr
ki
i=1 ker u ,
on
v(uj (xi )) = uj (yi ) pour 1 ≤ i ≤ r et 0 ≤ j ≤ ki − 1.
Vérifions que v est élément du commutant de u : on a
0 si j = ki − 1
(vu)(uj (xi )) = v(uj+1 (xi )) =
uj+1 (yi ) sinon,
2. c’est-à-dire utilisant uniquement les opérations du corps K, à l’exclusion de la résolution par
radicaux d’équations algébriques.
7
tandis que
(uv)(uj (xi )) = uj+1 (yi ).
Comme yi ∈ ker uki , on a (vu)(uj (xi )) = (uv)(uj (xi )) que j soit égal à ki − 1 ou non, ce
qui prouve la surjectivité de Φ. En définitive,
dim C =
r
X
dim ker uki .
i=1
Transformons cette expression, en notant (comme dans le paragraphe 1) nj le nombre de
termes de la suite (k1 , . . . , kr ) égaux à j. On obtient
dim C =
∞
X
nj dj
j=1
∞
X
(∆2 dj )dj où ∆2 dj = dj+1 − 2dj + dj−1
= −
= −
j=1
∞
X
(∆dj − ∆dj−1 )dj où ∆dj = dj+1 − dj
j=1
= −
∞
X
(∆dj )dj +
j=1
= d21 +
∞
X
(∆dj )dj+1
j=0
∞
X
(∆dj )2 .
j=1
Finalement,
dim C =
∞
X
(dim ker uj+1 − dim ker uj )2 .
j=0
Exemple 1. Dans le cas de la matrice A = J2 ⊕ J2 ⊕ J4 ⊕ J5 ∈ M13 (K), on a d1 = 4,
d2 = 8, d3 = 10, d4 = 12 et d5 = 13, d’où dim C = 41, alors que la dimension de l’algèbre
des polynômes en A est seulement 5.
4.2
Carrés
Dans ce paragraphe, on se propose de caractériser les matrices de Mn (C) qui sont des
carrés. Commençons par rappeler pourquoi toute matrice A de GLn (C) est un carré.
Grâce à la décomposition en sous-espaces caractéristiques, on peut supposer que A est
de la forme λIn + N , N étant nilpotente et λ ∈ C∗ . Comme λ est un carré dans C∗ , on
peut même supposer que λ = 1. Il reste à poser
√
A=
n−1
X
k=0
8
ak N k ,
où la suite (ak )0≤k≤n−1 est définie par le développement limité
√
1+x=
n−1
X
ak xk + o(xn−1 ).
k=0
Ainsi, il reste à caractériser les carrés du cône nilpotent de Mn (C). Commençons par
étudier le carré du bloc de Jordan standard Jn , avec n ≥ 2 (on a bien sûr J12 = J1 ). En
réordonnant la base canonique (e1 , . . . , en ) de la façon suivante : (e1 , e3 , . . . , e2 , e4 , . . .),
on voit que :
• si n est pair, Jn2 est semblable à Jn/2 ⊕ Jn/2 ,
• si n est impair, Jn2 est semblable à J(n−1)/2 ⊕ J(n+1)/2 .
La réduite de Jordan de Jn2 est donc Jn/2 ⊕ Jn/2 si n est pair, et J(n−1)/2 ⊕ J(n+1)/2
sinon. On en déduit facilement la caractérisation suivante des carrés du cône nilpotent
de Mn (K) :
Proposition 2. Une matrice nilpotente A ∈ Mn (K) est un carré si et seulement si sa
réduite de Jordan est constituée d’un certain nombre de blocs égaux à J1 , et d’autres
blocs d’ordre ≥ 1 pouvant être regroupés par deux de telle sorte que les ordres de deux
blocs membres d’une même paire diffèrent d’au plus une unité.
Exemple 2. Ainsi, J1 ⊕ J1 ⊕ J3 ⊕ J4 est un carré (celui de J1 ⊕ J1 ⊕ J7 ), tandis que
J1 ⊕ J1 ⊕ J2 ⊕ J4 n’en est pas un.
Références
[1] G. H. Hardy, Ramanujan, twelve lectures on subjects suggested by his life and word,
Cambridge University Press, 1940. Réédité par l’American Mathematical Society en
2002.
[2] N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman, 1985
[3] R. Mneimné, Réduction des endomorphismes, Calvage & Mounet, 2006
9