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• Electrostatique
• Conducteurs en équilibres
• Electrocinétique
• Magnétostatique
Pr. L. Hajji
Electrostatique
Partie 1 : Force et champ
électrostatique
I) Introduction
II)
Force électrostatique
III) Champ électrostatique
Complément mathématique 1
I ) Introduction
I-2) Interactions fondamentales
1) La force nucléaire faible,
responsable de la cohésion des baryons (quarks);
2) La force nucléaire forte,
responsable de la cohésion du noyau (protons-neutrons) ;
3) La force électromagnétique,
responsable de la cohésion de l’atome (électrons-noyaux) ;
4) La force gravitationnelle,
responsable de la structure à grande échelle de l’univers
(cohésion des corps astrophysiques, cohésion des systèmes planétaires, des
galaxies, des amas galactiques, moteur de la cosmologie).
I-3) Charge électrique
Expérience 1 :
Prenons une boule (faite de polystyrène, par ex.)
On approche une tige, de verre ou d’ambre,
après l’avoir frottée préalablement : les
deux tiges attirent la boule.
On approche simultanément
Rien ne se passe
Tout se passe donc comme si chacune des tiges était, depuis son frottement, porteuse
d’électricité, mais que celle-ci pouvait se manifester en deux états contraires
Expérience 2 :
Prenons maintenant deux boules A et B, préalablement mises en contact avec une tige
frottée(elles sont « électrisées »), et suspendons-les côte à côte.
Si elles ont été mises en contact toutes deux avec une tige
de même matériau, elles se repoussent.
de matériau différent alors elles s’attirent.
Deux charges de même signes se repoussent
Deux charges de signes opposés s’attirent
L’électricité agit a distance
Benjamin Franklin (1706-1790) :
2 types de charges:
convention de polarité positive ou négative
I-4) Structure de la matière
 Grec : atomos signifie indivisible
Dans la matière, il existe des particules qui portent des charges positives et
des charges négative
- - - - --- - - - - - - - -
Modèle du « pudding aux
raisins » de Thomson :
 Expérience de Rutherford (1909) : l’atome contient un noyau
et des électrons en mouvement autour du noyau
L'électrostatique : qu'est-ce que c'est ?
Electrostatique
Charges immobiles
Charge électrique
L’électrostatique est l’étude de l’électricité statique des corps électrisés
(conducteur ou isolant).
Force électrostatique
Champ électrostatique
II) Force électrostatique
II) Force électrostatique
1) Loi de Coulomb
• Soit deux corps ponctuels de charges q1 et q2
Coulomb après une série de mesure a montré que la force électrostatique est
caractérisée par :
• Sens
- charges de même signe : répulsion
- signe opposé : attraction
• Intensité : Loi de Coulomb
ε0= 8,85 10-12 F/m permittivité électrique du vide
Direction : force radiale dirigée selon la droite qui joint les deux charges
q1q2 > 0
F 21 
1 q1q2
u 21
2
4 0 r
u 21
F 12   F 21
Ordres de grandeur
• Quel est le rapport entre la force d’attraction gravitationnelle et la répulsion
coulombienne entre deux électrons ?
mm'
FG  G 2
r
G  6,671011( SI )
Distance électron – noyau = 0,5 10-10 m
1 e2
Fe 
4 0 r 2
La force électrostatique apparaît donc dominante vis-à-vis de l’attraction gravitationnelle.
Cela implique donc que tous les corps célestes sont exactement électriquement neutres.
• Quelle est la force de répulsion coulombienne entre deux charges de 1 C situées
à 1 km ?
C’est une force équivalente au poids
exercé par une tonne
2) Principe de superposition
Distribution discrète de charge
La force totale exercée par un ensemble de charges (q1, q2,q3, ...) sur une
charge ponctuelle Q est la somme vectorielle des forces créées par chacune
des charges séparément.
Exemple 1
Deux points A et B séparés par une distance 2a portent 2 charges positives égales
qA=qB=q . Une charge positive q’ est placée en M dans le plan médian de AB.
Quelle est la force subie par q’
F  FAFB
qA
qB
La résultante est dirigée suivant la médiane Oy
M(q’)
On détermine donc uniquement les projections des
Forces suivant Oy
FAy  FA sin 


FB
FA
FBy  FB sin 
Y
Donc :
2qq'
F  2 FA sin  j 
sin  j
4 0
X
Exemple 2
Quelle est la force électrostatique qui s’exerce sur une charge positive (q’) placée
Au centre O d’un carré de côté b qui porte des charges q,3q,-4q et 3q placées dans
Cet ordre sur les sur ses quatre sommets (q>0).
FA
1 qq'
uA
2
4 0 r
1 4qq'
FC 
uC
2
4 0 r
On a
1 3qq'
FB 
uB
2
4 0 r
A(q)
B(3q)
O(q’)
1 3qq'
FD 
uD
2
4 0 r
u D  u B  F B  F D  0
D(3q)
u C  u A  F A  F C 
qq' 5u A
4 0 r 2
C(-4q)
2
5 qq'
r b
 FT 
uA
2
2
2 0 b
Exemple 3 (TD)
Considérons un système de 4 charges (q,-q,q,-q) placées respectivement aux sommets
A, B, C, D d’un carré de côté a
1. Déterminer en utilisant une construction géométrique la direction de la force exercée sur la
charge en A par les autres charges.
2. Déterminer le module et le sens de cette force .
Faire la construction géométrique.
D(-q)
A(q)
La distribution de charge a le plan passant par AC est
Perpendiculaire au plan du carré comme plan de symétrie
Le carre est aussi plan de symétrie
Donc F est contenue dans l’intersection des deux plans
B(-q)
Soit la droite AC
Il suffit donc de calculer la projection des trois forces sur AC :
 q2
F B ( A) 
u
2 BA
4 a
0
q2
F C ( A) 
u
2 CA
4 2a
0
 q2
F D ( A) 
u
2 DA
4 a
0
C(q)
 q2
2
F B ( A).u CA 
4 a 2 2
0
q2
F C ( A).u CA 
4 2a 2
0
et
L’intensité de la force totale au point C est donc :
F ( A) 
q2
8 a
0
2
(1  2 2 )
Cette intensité étant négative, cette force est donc dirigée de A vers C
Ou encore : donner l’expression de chaque force dans la base (i,j)
III) Champ électrostatique
1) Champ électrostatique
Soient 4 charges ponctuelles qi ( i= 1,2,3 et 4)
Que représente le terme :
q
1 u)
(
4 r 2
0
1
C’est une grandeur vectorielle indépendante de la charge que subit la force :
on l’appelle champ électrique crée par q1
Cas ou q1 < 0
Il y a deux façons de déterminer la force électrostatique qui s’exerce sur une charge
Q placée au point P

On utilise la loi de Coulomb et le principe de superposition

On détermine le champ au point P et F = q E
La notion du champ électrique permet de se substituer aux charges électrostatiques
2) Principe de superposition
a) Cas de distribution discrète de charge
Remarque
La charge électronique apparaît continue
b) Cas d’une distribution de charge continue
dq
S
dq  dS
dq   .dl
Distribution de charge linéique
dq   .dl
dq crée un champ élémentaire :
dE 
1 dl
u
2
4 0 r
Le champ crée par l’ensemble de la distribution est :
E
1 dl
u
2
4 0 r
NB On calcul chaque composante séparément :
Exemple 1 : Champ crée par un arc chargé avec une
densité linéaire
< 0 en un point P de son axe

Ey 
L /2
 dE
y
0
L / 2
dEx= k dq cos  /r2
dEx= k  dl cos  /r2
Ex  k
Ex 
L/2
0
L / 2
0
2
rd

cos

/
r
 k / r  d cos 

2k
sin 0
r
Quel est le champ au centre d’un cercle ?
3) Exemple de calcul : Distribution linéique uniforme sur une
spire circulaire
Calcul direct


E  d E
N.B
L’intégrale doit être faite sur chacune des composantes du vecteur E
Règles de symétries : les plans (Ox,Oy) et ( Ox,Oz) qui passent par P sont
deux plans de symétrie : Donc, le champ au point P est suivant Ox.
On calcul donc uniquement la composante de E suivant Ox : les deux autres
composantes sont nulles. S’il n y a pas de symétrie : il faut calculer les 3
composantes séparément
la charge portée par l'élément de longueur dl de la spire, situé en M,
est dq = dl. Le champ électrique dEx créé en P par dl est donc
Pr. L. Hajji FSTG-Gueliz Marrakech 2009
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dEx 
dl
u.i
2
4 0r
Si P est de coordonnées (x,y,z)
Donc :
Avec
u.i 
r = MP
x
r
dlx
dE x 
4 0 r 3
Si on intègre sur toute la spire de rayon R ; x et r sont des constantes
x2R
xR 3
x
3
Ex 


sin
( )
3
2 3
2
4 0 r
2 0 R r
2 0 R
Pr. L. Hajji FSTG-Gueliz Marrakech 2009
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Si on connait le champ, on déduit facilement le potentiel par la relation :
E   gradV  V ( x)   E ( x)dx
Soit :
V ( x)   
x
xRdx
3
sin
(

)
dx


 2 0 ( R 2  x 2 ) 3 / 2
2 0 R 2
Le changement de variable : u2 = (x2 + R2 ) soit udu = xdx
permet alors d'établir l'expression du potentiel, ce dernier étant supposé nul à l'infini
Hajji
Marrakech
Représentation dePr.EL.et
V FSTG-Gueliz
en fonction
de x 2009
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