1 Définitions et exemples - LMPA

Stage secondes juin 2012
U.L.C.O.
Probabilité conditionnelle et vie courante
1 Dénitions et exemples
1.1
Les aléas, les événements et leurs probabilités
Les dénitions qui gurent ici ne concernent que les expériences aléatoires pour lesquelles
il n'y a qu'un nombre ni de résultats possibles.
Modéliser une expérience aléatoire, c'est
1. faire la liste des diérents résultats possibles de l'expérience. Ils sont appelés "aléas" et
notés ω ou ω1 , ω2 , etc ;
2. aecter chaque aléa ωi d'un nombre P (ωi ) representant les chances qu'a ωi d'être obtenu
à l'issue de l'expérience. Le nombre P (ωi ) est appelé "probabilité de ωi ". Ces nombres
doivent vérier 0 ≤ P (ωi ) ≤ 1 et leur somme doit valoir 1 (certitude).
Ce que nous appelons "événement" dans la vie courante est représenté en mathématiques
par un ensemble d'aléas. La probabilité d'un événement est dénie comme étant la somme
des probabilités des aléas qui le constituent. On dit qu'un événement A s'est "réalisé" lorsque
l'aléa obtenu à l'issue de l'expérince est un élément de A.
1.2
Exemple 1
Dix cartes sont pacées dans un sac. Elles sont numérotées de 1 à 10. Les cartes numérotées
1, 2 et 3 sont de couleur rouge et un cercle y est dessiné, les cartes 4 et 5 sont de couleur noire
et un carré y est dessiné, la cartes 6 est rouge et un carré y est dessiné, les cartes 7, 8 9 et 10
sont noires et un cercle y est dessiné.
Une carte est tirée au sort de façon qu'elle aient toutes les mêmes chances d'être obtenues.
On peut dénir les aléas comme étant les numéros de 1, 2, . . . , 10. Il y en a 10. Tous doivent
être de même probabilité et la somme de ces probabilités doit valoir 1. Donc, ici, chacun des
10 nombres P (ωi ) vaut 1/10.
L'événement "un carré est dessiné sur la carte tirée au sort" est alors représenté par
A = {4, 5, 6} .
Sa probabilité est
P (A) = P (4) + P (5) + P (6) =
1
1
1
3
+
+
=
.
10 10 10
10
Si le résultat de l'expérience est 4, alors A s'est réalisé. Si le résultat est 7, A ne s'est pas
réalisé.
1.3
Exemple 2
On lance deux fois un dé équilibré. On peut dénir les aléas comme étant les couples
(1, 1), (1, 2), (2, 1), . . . , (6, 6). Il y en a 36. Tous doivent être de même probabilité et la somme
de ces probabilités doit valoir 1. Donc, ici, chacun des 36 nombres P (ωi ) vaut 1/36.
L'événement "la somme des deux resultats vaut 4" est alors représenté par
A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} .
Sa probabilité est
1
1
3
1
1
+
+
=
=
.
36 36 36
36
12
Si le résultat de l'expérience est (1, 3), alors A s'est réalisé. Si le résultat est (2, 5), A ne s'est
P (A) = P ((1, 3)) + P ((2, 2)) + P ((3, 1)) =
pas réalisé.
1.4
Exemple 3
On s'accorde trois tentatives pour obtenir pile en lançant une pièce équilibrée. On peut
dénir les aléas comme étant : p, f p, f f p et f f f . L'aléa p a une chance sur deux d'être
obtenu, L'aléa f p a une chance sur quatre et chacun des deux aléas f f p et f f f une chance
sur huit. On impose donc P (p) = 1/2, P (f p) = 1/4 et P (f f p) = P (f f f ) = 1/8. La somme
des P (ωi ) vaut bien 1.
L'événement "on obtient pile" est alors représenté par
A = {p, f p, f f p} .
Sa probabilité est
P (A) = P (p) + P (f p) + P (f f p) =
1.5
1 1 1
7
+ + = .
2 4 8
8
Intersection de deux événements
Les aléas qui sont à la fois dans l'événement A et l'événement B constituent un troisième
événement noté A ∩ B . L'événement A ∩ B se réalise lorsque les deux événements A et B se
réalisent simultanément.
Dans l'exemple 1, A = {4, 5, 6}. Si on note B l'événement "la carte tirée est noire", alors
B = {4, 5, 7, 8, 9, 10} et A ∩ B = {4, 5} .
Dans l'exemple 2, A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Si on note B l'événement "le premier lancer
a donné 2", alors B = {(2, 1), (2, 2), . . . , (2, 6)} et A ∩ B = {(2, 2)} .
Dans l'exemple 3, A = {p, f p, f f p}. Si on note B l'événement "il y a eu trois lancers de
la pièce", alors B = {f f p, f f f } et A ∩ B = {f f p} .
1.6
Probabilité conditionnelle
La probabilité d'un événement A conditionnée par un autre événement B représente ce
que devient la probabilité de A si l'on apprend que l'événement B s'est réalisé (et qu'on ne sait
pas si A s'est réalisé ou pas). Cette probabilité conditionnelle se note PB (A). Elle se calcule
grâce à la formule
PB (A) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Dans l'exemple 1, pour quelqu'un qui voit que la carte tirée est noire, la probabilté de A
devient
PB (A) =
P (A ∩ B)
2/10
2
=
= .
P (B)
6/10
6
Dans l'exemple 2, pour quelqu'un qui apprend que le premier lancer a donné 2, la probabilté
de A devient
PB (A) =
P (A ∩ B)
1/36
1
=
= .
P (B)
6/36
6
Dans l'exemple 3, pour quelqu'un qui voit qu'il y a eu trois lancers de la pièce, la probabilté
de A devient
PB (A) =
P (A ∩ B)
1/8
1
=
= .
P (B)
2/8
2
Dans les trois cas, le résultat correspond bien à ce que laissait prévoir l'intuition.
2 Exercices
1. Si l'on tire au sort une carte d'un jeu de 32 cartes, on a une chance sur quatre d'obtenir
un 10 ou un valet (car 8 cartes sur 32 sont soit un 10 soit un valet). Que devient cette
probabilité pour quelqu'un qui
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(a) apprend que la carte tirée est une carte rouge (c÷ur ou carreau) ;
(b) apprend que la carte tirée est une gure (valet, dame ou roi) ?
Une pièce de monnaie équilibrée est lancée trois fois. On a alors une chance sur deux
d'obtenir au moins deux fois "pile". Que devient cette probabilité pour quelqu'un qui
(a) apprend que le premier lancer a donné "pile" et le deuxième a donné "face" ;
(b) apprend que le premier lancer a donné "pile" ?
Une pièce de monnaie équilibrée est lancée jusqu'à ce que trois "pile" ou trois "face"
aient été obtenus. Pour des raisons de symétrie, on a alors une chance sur deux d'obtenir
trois "face". Que devient cette probabilité pour quelqu'un qui
(a) apprend que le premier lancer a donné "pile" et le deuxième a donné "face" ;
(b) apprend que le premier lancer a donné "pile" ?
Un salon contient deux commodes C1 et C2 . Chaque commode a six tiroirs. On est a
la recherche d'un objet dont on se dit qu'il a une chance sur deux d'être dans C1 et
une chance sur d'être dans C2 , que les tiroirs de C1 ont tous les mêmes chances de
contenir l'objet et que les tiroirs de C1 ont tous les mêmes chances de contenir l'objet.
On ouvre en vain les quatre premiers tiroirs de C1 . Quelle est maintenant, à nos yeux,
la probabilité que C1 contienne l'objet ?
Même situation et même question si C1 a six tiroirs et C2 n'en possède que quatre.
On sait que les Dupond ont deux enfants, mais on ignore leurs sexes. En l'absence de
toute information, il y a une chance sur quatre que ce soient deux garçons. On croise
un garçon dans la rue et quelqu'un nous dit que c'est un enfant Dupond. Que devient
maintenant la probabilité que la famille Dupond soir composée de deux garçons si
(a) on interprète l'information reçue par : "on sait maintenant qu'il y a au moins un
garçon chez les Dupond" ;
(b) on apprend de plus que l'enfant croisé dans la rue est l'aîné des enfants Dupond ;
(c) on ne sait pas si l'enfant croisé est l'aîné ou le benjamin, mais on analyse plus
nement l'information reçue ?
Trois jetons sont placés dans une boîte et mélangés. Un des jetons a ses deux faces de
couleur rouge, un autre a une face rouge et une face noire et les deux faces du dernier
jeton sont noires. En notre absence, un jeton est tiré au sort et placé sur une table. Il y
a alors une chance sur deux pour que la face cachée du jeton tiré au sort soir rouge. On
entre dans la pièce et on constate que la face visible du jeton est rouge. Quelqu'un nous
demande de parier sur la couleur de la face cachée. Quelle est la meilleure tactique :
miser sur "rouge" ou sur "noire" ?
Un candidat à un jeu télévisé est placé devant trois portes fermées. Une seule des trois
portes cache un lot intéressant. Le candidat a une chance sur trois de choisir la bonne
prte. Il choisit la porte 1. Elle n'est pas ouverte. L'animateur ouvre la porte 2. On
constate que la porte 2 ne cache pas le lot. L'animateur laisse le candidat choisir entre
les portes 1 et 3. Quelle est la probabilté de gagner en conservant la porte 1 lorsque
(a) l'animateur sait où est le lot et s'interdit d'ouvrir la bonne porte et d'ouvrir la
porte 1 ;
(b) l'animateur choisit la porte qu'il va ouvrir au hasard entre les portes 2 et 3 ?
Trois astronautes numérotés 1,2 et 3 s'entrainent pour une mission pour laquelle deux
personnes seulement partiront. Ils ne savent pas qui a été choisi pour partir en mission
et considèrent qu'ils sont tous les trois de même valeur. A priori, l'astronaute 1 a deux
chances sur trois de partir. Que deviennent ses chances si
(a) il demande à un membre de la direction de lui donner le nom d'un partant. On
lui répond : je ne peux pas te dire si tu pars ou pas, mais, pour t'être agréable, je
t'informe que l'astronaute 2 partira ;
(b) il apprend par hasard, en surprenant une conversation, que l'astronaute 2 partira ?