Énoncé - al9ahira

ROYAUME DU MAROC
Minist`ere de l’ ´ Education Nationale Minist`ere de l’Enseignement
Enseignement Secondaire et Technique Sup´erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs
Session 2002
´
EPREUVE DE PHYSIQUE I
Dur´ee 4 heures
Concours TSI
Cette ´epreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit
al9ahira

L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 5 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
On veillera `a une pr´esentation claire et soign´ee des copies. Il convient en particulier de rappeler avec pr´ecision les
r´ef´erences des questions abord´ees.
Satellites artificiels
Ce probl`eme propose l’´etude de quelques propri´et´es des satellites artificiels terrestres. Dans le cadre de
cette ´etude on consid`ere un mod`ele simple se basant sur les hypoth`eses suivantes :
– le r´ef´erentiel d’´etude est le r´ef´erentiel g´eocentrique Rsuppos´e galil´een ;
– la Terre de masse Test suppos´ee sph´erique de centre T et de rayon T;
– le satellite artificiel sera assimil´e `a un point mat´eriel de masse ;
– sauf mention explicite du contraire, le satellite est suppos´e soumis `a la seule action de la Terre
caract´eris´ee par le champ de gravitation terrestre dont l’intensit´e `a une distance du centre T de la
Terre est not´ee ;
1`ere partie
´
Etude g´en´erale
En quelle ann´ee, le Maroc a-t-il lanc´e son premier satellite artificiel ? Quel nom porte-t-il ? ` A quel
usage principal est-il destin´e ?
Exprimer l’intensit´e du champ de pesanteur terrestre `a la distance du centre de la Terre en
fonction de , et qui d´esigne l’intensit´e du champ de pesanteur `a la surface de la Terre.
La mise sur orbite d’un satellite artificiel se fait `a partir d’une fus´ee en un point situ´e `a une
distance du centre de la Terre, . La vitesse de lancement du satellite par rapport `a Rest . On
posera dans toute la suite
et
Montrer que, apr`es sa mise sur orbite, le satellite parcourt une trajectoire plane. Caract´eriser
compl`etement le plan de la trajectoire.
Dans toute la suite, on rep´erera la position du satellite dans le plan de sa trajectoire par :
la distance telle que ;
l’angle orient´e de vers .
On posera aussi
et
constitue donc une base orthonorm´ee directe. Faire un sch´ema repr´esentatif dans le plan de la
trajectoire du satellite montrant , , , , , , et .
Montrer que le moment cin´etique du satellite en peut s’´ecrire et donner
l’expression de en fonction de , , et .
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Epreuve de Physique I
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On d´efinit le vecteur de HAMILTON du satellite artificiel par
o `u d´esigne le produit vectoriel et une constante r´eelle.
Montrer que le vecteur reste constant au cours du mouvement `a condition de donner `a une
expression particuli`ere.
Dans toute la suite du probl`eme, a l’expression d´etermin´ee `a la question 1 4 est alors une constante du
mouvement appel´ee int´egrale premi`ere de LANDAU.
On appelle hodographe Hdu mouvement le lieu des points tels que , ´etant un point
quelconque de l’espace. Pour tracer H, on porte donc le vecteur `a partir d’un point . L’hodographe du
mouvement est le lieu des points d´ecrit par l’extr´emit´e du vecteur vitesse au cours du temps.
D’apr`es les questions pr´ec´edentes, exprimer et en d´eduire la forme de l’hodographe dans le
cas du mouvement d’une particule dans un champ central de force en ?
Que peut-on dire `a propos des directions permises pour le vecteur vitesse selon que le point
est `a l’ext´erieur ou `a l’int´erieur de H?
`
A quel type de trajectoire correspond chacun des cas cit´es `a la question 1 5 2 ? On se rappellera
pour cela des r´esultats de l’´etude g´en´erale du mouvement d’une particule dans un champ central de force en
.
Donner la direction du vecteur de HAMILTON. Que vaut dans le cas d’une trajectoire
circulaire ?
On introduit le vecteur d´efini par
Montrer que le vecteur est une constante du mouvement. Dans quel plan se situe ?
En exprimant le produit scalaire , montrer que l’´equation polaire de la trajectoire du
satellite peut se mettre sous la forme
o `u , et sont des constantes, et . Exprimer et en fonction de , et . Que repr´esente ?
Exprimer en fonction de , et et montrer que est donn´ee par
On se propose de discuter la nature de la trajectoire du satellite en fonction des conditions de sa
mise sur orbite.
Tracer les courbes repr´esentatives de en fonction de pour les valeurs suivantes de : ,
, , et .
Discuter la nature de la trajectoire en fonction de la valeur de et en d´eduire la valeur de la
vitesse de lib´eration `a l’altitude .
`
A quelles conditions sur et la trajectoire est-elle circulaire ? En d´eduire la vitesse du satellite
sur son orbite circulaire de rayon .
On consid`ere le cas : et .
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Epreuve de Physique I
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Quelle est la nature de la trajectoire ?
D´eterminer en fonction de .
Montrer que est un sommet du petit axe de la trajectoire du satellite et positionner celle-ci en
faisant un sch´ema clair et soign´e.
2`eme partie
Satellites circulaires
On consid`ere le cas d’une trajectoire circulaire de rayon .
En appliquant le th´eor`eme de la r´esultante cin´etique au satellite, retrouver directement l’expres-
sion de sa vitesse sur son orbite circulaire de rayon .
En d´eduire la p´eriode de r´evolution du mouvement du satellite. Retrouve-t-on la troisi`eme loi
de KEPLER ?
Y a-t-il une restriction concernant le plan de la trajectoire ainsi que le sens de rotation du
satellite ? Pourquoi certains de ces satellites sont ils dits satellites polaires ?
Un satellite g´eostationnaire est un satellite qui apparaˆıt fixe `a un observateur terrestre.
Quel est l’int´erˆet de tels satellites ? Citer un exemple d’application.
Exprimer l’altitude `a laquelle il faut placer le satellite pour qu’il soit g´eostationnaire en
fonction de , et qui d´esigne la p´eriode de rotation de la Terre par rapport au r´ef´erentiel g´eocentrique.
Calculer num´eriquement en prenant , , et .
Pourquoi n’est-elle pas rigoureusement ´egale `a la dur´ee d’un jour ?
Pr´eciser le plan de la trajectoire ainsi que le sens de rotation du satellite.
On veut transf´erer un satellite artificiel de masse d’une orbite circulaire basse (C) de rayon `a une
orbite g´eostationnaire (C) de rayon . Pour cela on emprunte une orbite de transfert elliptique appel´ee
ellipse de HOHMANN. Une telle ellipse (E) est tangente aux deux trajectoires (C) et (C) ; son p´erig´ee est
sur l’orbite basse alors que son apog´ee est sur l’orbite g´eostationnaire. On appelle et les variations
de vitesse qu’il faut communiquer au satellite pour le faire passer respectivement de (C) `a (E) et de (E) `a
(C).
Quelle est la particularit´e des plans des trois trajectoires ? Repr´esenter graphiquement C,Cet
E.
En exprimant la conservation de l’´energie et du moment cin´etique sur l’orbite de transfert,
exprimer les vitesses du satellite `a l’apog´ee et au p´erig´ee sur l’orbite de transfert en fonction de ,
, et .
En d´eduire et . Commenter.
Quelle est la dur´ee minimale de la phase de transfert sur l’ellipse de HOHMANN ?
D´eterminer l’excentricit´e de l’ellipse de HOHMANN.
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3`eme partie
Influence de l’atmosph`ere terrestre
Dans cette partie, on se propose d’´etudier l’influence de l’atmosph`ere terrestre sur la trajectoire d’un
satellite artificiel en orbite circulaire basse. Pour cela on commence par d´evelopper un mod`ele de force de
frottement avant de l’appliquer pour ´etudier le freinage du satellite par l’atmosph`ere.
On consid`ere un satellite ( ) anim´e d’une vitesse sur une orbite circulaire basse `a une altitude .
Le frottement subit par le satellite est dˆu aux chocs avec les mol´ecules de l’atmosph`ere suppos´ees identiques.
Dans le cadre du mod`ele utilis´e, on supposera ces chocs parfaitement mous et on n´egligera la vitesse initiale
des particules de l’atmosph`ere.
Montrer qu’au cours du choc entre le satellite et une mol´ecule de masse de l’atmosph`ere, la
quantit´e de mouvement du satellite subit une variation apr`es avant donn´ee au er ordre par
Pour cela on exprimera la conservation, au cours du choc, de la quantit´e du mouvement du syst`eme
satellite+mol´ecule suppos´e isol´e pendant la dur´ee de la collision.
Montrer que tout se passe comme si le satellite ´etait soumis de la part de l’atmosph`ere `a une
force de frottement donn´ee par
o `u . Pour cela on fera un bilan de quantit´e de mouvement entre les instants et en comptant
le nombre de chocs subis par le satellite que l’on pourra consid´erer comme une sph`ere de rayon .
Exprimer en fonction et de la masse volumique de l’atmosph`ere `a l’altitude . Que
repr´esente ? Le r´esultat obtenu d´epend-il en r´ealit´e de la forme du satellite ?
On suppose qu’`a une altitude , la masse volumique de l’atmosph`ere est donn´ee par la
loi
´
Etablir cette loi et exprimer les constantes et dans le cadre du mod`ele d’atmosph`ere isotherme constitu´ee
d’un gaz parfait. Que repr´esente ?
Sous l’effet du frottement atmosph´erique, le satellite de masse perd de l’altitude. On suppose que le
module de la force de frottement est petit devant celui de la force d’attraction terrestre de sorte que l’on puisse
assimiler la trajectoire `a un cercle de rayon lentement d´ecroissant.
En exprimant que la trajectoire reste approximativement circulaire entre les instants et ,
d´eterminer une relation approch´ee entre la variation d’altitude et la variation de vitesse du satellite.
En utilisant des arguments ´energ´etiques, expliquer qualitativement pourquoi la vitesse du satel-
lite augmente au cours de sa chute.
Exprimer la variation de l’´energie m´ecanique du satellite entre les instants et en
fonction de , , , et .
Exprimer de mˆeme le travail des forces de frottement en fonction de , , et .
En d´eduire que la variation d’altitude pendant l’intervalle de temps v´erifie une ´equation
diff´erentielle du type
o `u est une constante r´eelle positive que l’on exprimera en fonction de et .
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