I- Qu`est-ce que le mapping class group? A.) Définition. B.) Propriété

Etudier le mapping class group (ou MCG par la
suite) est important car il permet de mieux comprendre le comportement
des surfaces dans le cadre de la topologie algébrique via ses homéomorphismes. L'objectif de cet exposé sera donc d'expliquer ce que c'est un MCG,
d'expliciter quelques exemples simples, d'étudier le cas non trivial du tore
(exemple fondamental) et d'en proposer une famille simple de générateurs .
Introduction:
I- Qu'est-ce que le mapping class group?
A.) Dénition.
Dans toute la suite, les surfaces sont connexes, orientables, munie d'une
topologie classique . Les homéomorphismes restreints sur le bord sont l'identité
si la surface a une bord.
Théorème de Bauer: Soit une surface S et f et g deux homéomorphismes de S, alors f et g sont homotopes si et seulement si elles sont isotopes
sauf pour un disque ou un anneau. Si de plus f et g préservent l'orientation
alors la relation d'homotopie et celle d'isotopie sont équivalentes à leur égard.
Dénition:
Soit S une surface topologique, Homéo(S) le groupe des
homéomorphismes de S et Homéoo (S) celui des homéomorphismes isotopes
à l'identité, alors MCG est le groupe quotient de Homéo(S) par Homéoo (S).
Remarque:
dans Homéo(S).
Cette dénition a un sens car Homéoo est bien distingué
B.) Propriété utile.
Propriété : Soit X une surface topologique et f et g deux homéomor-
phismes de X. Notons [f ] l'élément de MCG(X) relatif à f, alors [f ] = [g] si
et seulement si f et g sont isotopes entre elles.
Preuve : [f ] = [g] ⇔ f H = gH avec H =Homéo (S)
⇔ g −1 f H = H ⇔ g −1 f ∈ H
⇔ ∃G ∈ F (X × [0; 1], X) tel que G(x, o) = g −1 f (x), G(x, 1) = Id(x) et
que G(x, s) soit un homéomorphisme pour tout s de [0;1]. On pose:
As (x) = G(f −1 (x), s)
Ainsi les As sont des homéomorphismes. Alors en posant
F (x, s) = As (x)−1
F correspond donc à une isotopie entre f et g. Réciproquement, s'il existe
une isotopie F entre f et g alors on pose, par un procédé semblable: Bs (x) =
F (x, s) et G(x, s) = Bs (f −1 (x))−1 .
Alors, G est une isotopie entre g −1 f et Id, ce qui, par les équivalences
précédentes, achève la preuve.
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On remarque que la preuve reste valable pour l'homotopie (il sut de
réécrire la preuve en considérant des homotopies.)
En terme topologique, une conséquence immédiate de cette proposition
est que MCG est le groupe fondamental de l'espace des homéomorphismes
sur X, ou plus simplement, étudier MCG c'est étudier les relations d'isotopie
entre les homéomorphismes.
C.) Exemples simples.
Propriété: Le MCG d'un disque D2 est trivial.
Preuve :
(
x
(1 − t)φ( 1−t
) si 0 ≤ |x| < 1
F : (x, t) 7→
x
si 1 − t ≤ |x| ≤ 1
est une isotopie explicite entre l'homéomorphisme φ et l'identité.
Propriété: Le MCG de R est trivial.
Preuve :
F (x, t) = t ∗ f (x) + (1 − t) ∗ g(x)
est une homotopie de f à g.
Remarque: contrairement au cas du disque, le théorème de Bauer ne
s'applique pas, c'est pourquoi le MCG de R est isomorphe à Z/2Z si dans la
dénition on a remplacé l'homotopie par l'isotopie car:
Les homéomorphismes de R sont exactement les fonctions strictement
monotones non bornées en − ∝ et en + ∝. Si f et g ont la même monotonie,
mettons croissante, alors
F (x, t) = t ∗ f (x) + (1 − t) ∗ g(x)
est une isotopie entre f et g, car F est continue, et à chaque instant t xé, F
est strictement croissante en x, non borné, car t et (1-t) sont positifs et f et
g le sont.
Montrons maintenant que si f est strictement décroissante alors il n'existe
pas d'isotopie entre f et IdR par l'absurde. Supposons que G est une isotopie
de f à IdR , appelons A (resp B) l'ensemble des instants tels que G est décroissante en x (resp croissante en x), alors ce sont des fermés: en eet, soit une
suite de A convergente, les fonctions correspondantes convergent simplement
vers une fonctio qui de ce fait est décroissante. g est un élément de Homéo(R),
ce qui implique sa stricte décroissance, donc l'instant t qui lui correspond
est un élément de A. A est donc un fermé. La même démonstration se tient
pour B. Comme [0, 1] est connexe, et que les deux ensembles sont disjoints,
l'un des deux ensembles est vide, ce qui est absurde car f ∈ A et IdR ∈ B.
II- Le tore: exemple fondamental.
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Le tore est noté par Π2 par suite. La deuxième coordonnée d'une homotopie (ou isotopie) est appelée "instant"' par la suite et noté invariablement
par t. Le but ici est de montrer le:
Théorème: M CG(Π2 )
est isomorphe à GL2 (Z).
A.) Le langage des lacets.
Dénition: Soit X un espace métrique, on appelle arc d'exrémités x0
et x1 , une application continue de [0, 1] dans X valant x0 en 0 et x1 en 1.
On appelle un lacet d'extémité x0 un arc d'extémités x0 et x1 avec x0 = x1 .
Désormais on travaille exclusivement avec des lacets.
Dénition: On appelle le lacet produit γ1 γ2 le lacet :
(
γ1 (2u)
γ(t) 7→
γ2 (2u − 1)
si 0 ≤ u ≤ 12
si 21 ≤ u ≤ 1
Dénition:
Les lacets γ1 et γ2 sont dits homotopes entre eux lorsqu'il
existe une homotopie i.e une application continue de ([0; 1] × [0; 1], X) qui en
l'instant 0 vaut γ1 et en 1 vaut γ2 , et pour tout instant t elle vaut x0 en 0 et
en 1.
La relation d'homotopie est évidemment une relation d'équivalence,
par suite on note [γ] la classe d'équivalence correspondante.
Remarque:
Dénition:
[γ1 ][γ2 ] = [γ1 γ2 ]
Remarque: Bien sûr on compose lorsque cela a un sens. Vérions que
cette dénition ne dépend pas du représentant d'une classe donnée. soit γ1
et τ1 isotopes entre eux et γ2 et τ2 isotopes entre eux appelons par H1 et H2
les 2 homotopies correspondantes. Alors :
(
H1 (2u, t)
si 0 ≤ u ≤ 21
H(t, x) 7→
H2 (2u − 1, t) si 21 ≤ u ≤ 1
est une homotopie entre γ1 γ2 et τ1 τ2 , la continuité en les points (x,1/2) étant
assurée par le fait qu'à l'instant 1 et 0 respectivement, les 2 homotopies ont
même image.
De plus, l'ensemble des classes muni du produit précédemment déni (à
extrémité x0 = (1, 1) xé qui par suite est prise par défaut) est un groupe.
Son élément neutre est la classe du lacet constant. l'inverse de [γ] est [γ −1 ]
obtenue par le changement de variable u → 1−u (on "rebrousse" le chemin).
B.) Action des homéomorphismes sur les lacets.
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Par suite γ(0) = γ(1) = (1, 1)
Comme [0;1] est étoilé et compact, il existe donc un relèvement continu
pour γ , donc γ = (exp(iθ1 (u)), exp(iθ2 (u))) où les arguments sont continues.
En imposant que les arguments prennent 0 en 0, ce relèvement est unique. De
ce fait il existe un unique couple k1 et k2 tel que θ1 (1) = 2k1 π; θ2 (1) = 2k2 π ,
on a alors la :
Dénition:
déni ci-dessus.
On appelle A l'application qui à un lacet associe le couple
A est un homomorphisme de groupe surjective. Pour ce faire on dénit
notre produit sur les lacets de telle sorte qu'en arrivant à t = 1/2 on fait
une translation de A(γ2 ) ce qui décale tous les arguments de γ1 . On a donc
A(γ1 γ2 ) = A(γ1 ) + A(γ2 )
Propriété:
A(γ1 ) = A(γ2 ) ssi les deux lacets sont homotopes.
Preuve: Supposons les lacets homotopes. Avec les mêmes notations et
introduisons l'homotopie F entre les lacets. F est uniformément continue
car continue sur un compact. Soit η d'uniforme continuité tel que |(u1 , t1 ) −
(u2 , t2 )| ≤ η ⇒ |F (u1 , t1 ) − F (u2 , t2 )| ≤ 1. Découpons [0;1] en n intervalles
de longueurs égales inférieures à η et appelons par fi l'application qui à u
associe F (u, ti ) où les ti forment les éxtrémités croissantes de ces untervalles.
Montrons que A(fi ) = A(fi+1 ): En eet, |fi (u) − fi+1 (u)| = |F (u, ti ) −
F (u, ti+1 )| ≤ 1 or si fi (u) = (exp(iθi1 (t)), exp(iθi2 (t))) et notation similaire
θ (u)−θ(i+1)1 (u)
pour fi+1 , on a alors | exp(iθi1 (u))−exp(iθ(i+1)1 (u))| ≤ 1 ⇒ | sin( i1
|≤
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1/2, comme les arguments sont continus, leur diérence aussi, si par l'absurde
A(fi ) 6= A(fi+1 ), par continuité, la diérence des arguments passe par π mais
alors l'inégalité due à l'uniforme continuité de F n'est plus vériée, absurde.
Finalement, de proche en proche on montre que A(f0 ) = A(fn ) ou encore
A(γ1 ) = A(γ2 ).
Supposons maintenant que A(γ1 ) = A(γ2 ), si γ1 = (exp(iθ1 ), exp(iτ1 ))); γ2 =
(exp(iθ2 ), exp(iτ2 ))) alors: H(u, t) = (exp(i(tθ1 (u))+(1−t)θ2 (u)), exp(i(tτ1 (u))+
(1 − t)τ2 (u))) est une homotopie entre les lacets.
Dénition:
On appelle Ab l'application qui à [γ] associe A(γ).
b est un isomorphisme de groupe: elle est injective d'après
A
la propriété précédente ; elle est surjective car le lacet (exp(u∗2iπk1 ), exp(u∗
b 1 ][γ2 ]) = A([γ
b 1 γ2 ]) =
2iπk2 )) a pour image (k1 , k2 ). C'est un morphisme car A([γ
b 1 ]) + A([γ
b 2 ])
A(γ1 γ2 ) = A(γ1 ) + A(γ2 ) = A([γ
Remarque:
Propriété: Si pour tout lacet γ , f(γ ) et g(γ ) sont homotopes où f et g
sont des homéomorphismes, alors f et g sont homotopes entre elles.
Preuve:
???
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C.) La construction de l'isomorphisme entre M CG(Π2 ) et
GL2 (Z).
Si 2 lacets sont homotopes, leur image par un homéorphisme aussi, par
suite notons par f un élément de M CG(Π2 ) et l'application qui à une classe
de lacet par la relation d'homotopie associe la classe du lacet image par f
d'un représentant de la même classe. Cette application est bijective, en eet
il sut de constater que f −1 , en tant que fonction de l'ensemble des classes
d'homotopie dans lui-même est sa réciproque. Bien entendu, pour pouvoir les distinguer on fait attention à l'écriture de l'argument qu'elle prend.
Elle vérie en outre: f ([γ1 ][γ2 ]) = f ([γ1 γ2 ]) = [f (γ1 γ2 ] = [f (γ1 )f (γ2 )] =
[f (γ1 )][f (γ2 )].
Soit f un homéomorphisme, notons f l'application de Z2 dans Z2 déni
par f ((a, b)) = Ab ◦ f ◦ Ab−1 (a, b)
Dnition: On appelle Φ l'application qui à f associe f .
Propriété: f est un élément de L(Z2 )
comme Ab est bijective on peut écrire que f ((a1 , b1 )+(a2 , b2 )) =
b 1 )+A(γ
b 2 )) = f (A([γ
b 1 γ2 ])) = f ((a1 +a2 , b1 +b2 ))) d'après une remarque
f (A(γ
précédente sur les propriétés de calcul sur Ab. De plus, Ab est un isomorphisme
de groupe, donc f est bijective comme composition de fonctions bijectives.
Preuve:
b
b (g(γ))]) = f (A([g(γ)]))
b
On a aussi: f ◦ g(A([γ]))
= A([f
=
b
f ◦ g(A([γ]). De plus si f et g sont homotopes, les images par ces 2 homéomorphismes d'un même lacet sont homotopes, donc f = g .
Remaque:
Dénition:On appelle Φ l'application qui à un élément [f] de M CG(Π2 )
assoie f .
Propriété: Φ est un isomorphisme de groupe entre M CG(Π2 ) et GL2 (Z).
L'application est bien dénie et est un homomorphisme de
groupe par la dernière remarque.
Preuve:
a b
alors l'homéomorphisme f (exp(iτ ), exp(iθ)) =
c d
(exp(2iπ(aτ + bθ)), exp(2iπ(cτ + dθ))) convient. Elle est bien dénie car les
.La surjectivité: Si M =
a,b,c,d sont des entiers, continue et bijective car pour trouver son inverse, il
sut d'inverser la matrice M.
.L'injectivité: Si f = g , montrons que f et g sont homotopes. D'après
une propriété déjà démonntrée l'assertion à justier équivaut à montrer que
pour tout lacet γ , f (γ) est homotope à g(γ). Mais par dénition de Φ, f = g
implique que les images d'un lacet par f et g sont bien homotopes (car même
image par Ab qui est bijective.), ce qui prouve l'injectivité.
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On a ainsi montré que M CG(Π2 ) et GL2 (Z) sont isomophes en tant que groupes. Cependant il n'est pas dicile de constater
que les preuves sont preques toutes valables dans le cas d'un tore de dimension n, on peut annoncer que M CG(Πn ) et GLn (Z) sont isomorphes. Si on
regarde les homéomorphismes qui présevent l'orientation, l'automorphisme
intérieur associé à un homéomorphisme inversant l'orientation montre que les
ensembles d'homéomorphimes préservant l'orientation ou l'invesrsant sont en
bijection, et qu'en fait le mapping class group des homéomorphismes du tore
de dimenstion n présevant l'orientation (oui c'est un groupe) est isomorphe
à SLn (Z).
L'étude des propriétés du tore, par le biais de ses homéomorphismes,
est par conséquent simple en raison de la bonne connaissance du groupe
GL2 (Z). Il est par exemple possible detrouver un générateur
à2 éléments du
Conclusion:
1 1
0 1
M CG(Π2 ), éléménts correspondant à
et
1 0
−1 1
, le plus petit
générateur du tore, ce sont des "twist de Dehn" qui regorgent de propriétés
intéressantes.
Bibliographie: -A primer on mapping class group, by Benson Farb and
Dan Mazalit, Internet version 3.0 Déc 3 2008.
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