Topologie Algébrique

Topologie Algébrique
VOILIERS
Titre Original De L’œuvre
De Claude Théberge
Droits :
a) Travail De Recherche Personnel, Non Lucratif, Diffusable Librement Avec La
Référence Ci-Dessous.
b) L’Auteur Décline Toute Responsabilité En Cas D’Erreur, Jusqu'à La Version
Définitive, Qui Doit Être Vérifiée Avec Soin Par Au Moins Huit Chercheurs Du Projet De
Recherche Dont Vous Êtes Éventuellement Membres (Dix Fois Moins D’Erreurs), Afin
D’Être Utilisée Sans Risque Dans Une Application Industrielle.
c) Les Versions Intermédiaires, Fausses Ou Incomplètes, Peuvent Être A L’Origine
D’Innovations Similaires, Auquel Cas L’Utilisateur Est Invité A Citer La Référence CiDessous, Malgré Tout, Afin De Nous Permettre, A Notre Tour, De Nous Inspirer De Ses
Travaux.
d) L’Auteur S’Astreint Lui-même A Plusieurs Vérifications Croisées, Lorsqu’Il Réutilise
Ses Propres Théorèmes. Il Est Nécessaire De Prendre Au Moins Trois Exemples (Cent
Fois Moins D’Erreurs).
Référence : Frédéric K. TRAORE, Topologie Algébrique, Communication Personnelle,
15/03/2015 (version temporaire, 31 pages).
Avant Propos
Ce Livret De Topologie Tripartite Est Programmé Comme Suit :
-
Partie 1/3 : Topologie Analytique Fonctionnelle (Réalisé – Livret 2016).
-
Partie 2/3 : Topologie Algébrique (En Cours ; Courant 2015 – Livret 2016).
-
Partie 3/3 : Topologie Différentielle (En Projet ; Courant 2016 – Livret 2017).
1
Table des Matières
PARTIE 2/3 - TOPOLOGIE ALGEBRIQUE
THEORIE DES ENSEMBLES ET TOPOLOGIE NIVELEE BILATERALE (TOPOLOGIE – FAIBLE - LIPSCHITZ)
Définitions (Rappels – Adaptation Volontaire, Et Déconseillée, Du Formalisme Académique [4])
Lemme (Dû A Frédéric T.)
Lemme Préliminaire Au Théorème Frédéric T. – Tchaïkovski – Wagner (Les Ouverts Centrés Sur Les
Positions Ne Forment Pas Une Topologie – Lipschitz, Pour L’Intersection Ensembliste)
Définitions (Caractérisation Des Bords Composés, Ou Simples – Au Sens De Frédéric T., De La
Frontière
D’Une Partie Non Vide , D’Un Espace Topologique )
Théorème De Frédéric T. – Wagner (Conditions Suffisantes Topologiques De Préservation De La
Frontière)
Lemme De Frédéric T. – Wagner (Adhérence De L’Intérieur Versus Intérieur De L’Adhérence)
Théorème De Frédéric T. – Tchaïkovski – Wagner (Première Tentative De Définition Des Ouverts De
La Topologie Faible Lipschitz, Au Sens De Frédéric T.)
Arithmétique Entière Et Réelle Décimale, Au Sens De Frédéric T.
Lemme (Dû A Frédéric T.)
Théorème : Topologies Nivelées Unilatérale Et Bilatérale
(Dû A Frédéric T.)
, Sur Les Ensembles Fonctionnels
RELATIONS D’ORDRE D’INJECTION SUR DES ESPACES FONCTIONNELS
Lemme (Rappel)
Théorème De Frédéric T. - Ludwig Wittgenstein – Wagner (Défaut D’Antisymétrie De La Relation
D’Injection, Associée A La Relation D’Équivalence D’Isomorphie Continue, Dans Un Espace
Fonctionnel) – EN COURS DE REFORMULATION
REFERENCES
2
TOPOLOGIE ALGEBRIQUE
Nous Avons Présenté Dans La Première Partie Du Livret De Topologie [1], L’Espace Des Fonctions
Lipschitz, Que Nous Avons L’Ambition D’Utiliser Comme Modèle D’Étude (Contres Exemples) Des
Espaces Fonctionnels De Dimension Infinie, En Topologie.
En Particulier, Nous Devons Préciser Au Chapitre II, L’Intuition Que Nous Avions, De Distinguer Le
Comportement Des Relations D’Ordre Injective Et Surjective [2][3, Pages 4,5], Sur Des Ensembles
Dénombrables Ou Continus (Espaces Lipschitz, Explicités Ci-Après, Au Chapitre I).
On Ne Se Lassera Pas De Consulter Les Compléments En Topologie Et Géométrie Différentielle, De
Notre Ami Frédéric Paulin [4] [5] , De L’École Normale Supérieure.
THEORIE DES ENSEMBLES ET
(TOPOLOGIE – FAIBLE - LIPSCHITZ)
TOPOLOGIE
NIVELEE
BILATERALE
Définitions (Rappels – Adaptation Volontaire, Et Déconseillée, Du Formalisme Académique [4])
Soit
Et
Deux Espaces Topologiques [4, Pages 9-10], Où
Deux Ensembles D’Ouverts.
Et
Représentent
Nous Définissons Ci-Dessous, La Continuité, L’adhérence Et L’Intérieur, Au Sens De Frédéric T.
(Ouverts), Qui Coïncident Avec La Définition Habituelle Par Voisinage.

Continuité [4, Page 33]
Une Application
De
Dans
Est Continue Au Sens De Frédéric T. En
, Contient L’Image
D’Un Ouvert
, On Reconnait La Définition Habituelle De La Continuité En
Si Tout Ouvert
De
:
:
:
Par Définition, Une Application Continue Au Sens De Frédéric T. (L’Image Réciproque De Tout
Ouvert Contient Un Ouvert), Et Bijective
, Est Un Homéomorphisme Au Sens De Frédéric T.
(Bijection Continue Au Sens De Frédéric T., A Réciproque Continue Au Sens De Frédéric T.), Si
L’Image Par
De Tout Ouvert Contient Un Ouvert.
Rappelons Que Par Définition, On Appelle Voisinage De
, Tout Ensemble Contenant Un
Ouvert De
, Contenant Lui-Même
(On Fait Abstraction, Pour L’Instant Des Théories
Classiques Prévoyant L’Existence D’Une Base De Voisinages – On Ne Parle Que D’Ouverts).
3
Cependant, Une Application
Continue Au Sens De Frédéric T., Et Bijective,
Est Un
Homéomorphisme Au Sens De Frédéric T. En Un Point, Si L’Image De Tout Ouvert Contenant Ce
Point, Est Un Voisinage De L’Image De Ce Point.

Adhérence, Intérieur Et Frontière D’Une Partie
D’Un Espace Topologique
[4, Page 30]
Lemme (Dû A Frédéric T.)
1) La Continuité Au Sens De Frédéric T. (Définition Par Des Ouverts) Est Identique A La Continuité
Classique (Définition Par Voisinages)
2) L’Adhérence Et L’Intérieur Au Sens De Frédéric T., Coïncident Avec Les Définitions Habituelles.

On Note
Un Voisinage De
Dans
Par Définition Du Voisinage, Il Existe Un Ouvert
.
, Que L’On Utilise
Dans La Définition De La Continuité Au Sens De Frédéric T. :

Soit Un Ouvert
.
En Choisissant Le Voisinage
Dans La Définition De La Continuité Habituelle :

4

On Remarque Que
:
A Priori, On Retiendra Cette Dernière Définition De La Frontière, Plutôt Que La Frontière Classique
[4] , Car Elle Ne Nécessite Pas La Prise En Compte Des Ouverts Strictement Inclus
Dans
(On Montrera Cependant Dans Le Théorème De Frédéric T. – Wagner, Que Ces
Deux Frontières Coïncident, Modulo L’Expression Ensembliste De La Négation De La Relation
).
5
Si L’Espace N’Est Pas Séparé, Il Peut Etre Impossible De Distinguer Par Un Ouvert
Les
Points De La Frontière
, De L’Extérieur
(La Frontière D’Une Surface Devient Surfacique, Au
Lieu D’Être Linéique).
On Appelle Topologie Ruban
Espace Topologique (Ruban)

, Au Sens De Frédéric T., Candidate Pour Réaliser Un
- A Préciser Dans Une Autre Etude :
Topologie Initiale Et Topologie Faible (Merci A Wikipedia)
La Topologie Faible
D’Un Espace Vectoriel Topologique Normé , Est La Topologie
Initiale Associée A La Famille D’Applications Du Dual Topologique
(Formes Linéaires Continues).
La Topologie Initiale Sur Un Ensemble Muni D’Une Famille D’Applications, Est La Topologie La
Moins Fine, Rendant Toutes Ces Applications Continues.
Remarques (30/01/2015) :
1) Nous Ne Partirons Pas De La Définition Canonique De La Topologie Faible (Dont La Réussite
Doit Beaucoup A Son Caractère Filaire – Le Min De La « Topologie Initiale »), Car Nous Ne
Recourons Pas A Une Métrique Sur L’Espace Des Fonctions Localement Lipschitziennes, Nous
Épargnant Ainsi Une Démonstration Très (Trop) Technique Pour Notre Expertise Actuelle [7].
2)
Nous Avons Remarqué Que Notre Définition De La Frontière Permettait D’Illustrer La
Problématique Des Espaces Non Séparés, Que L’On Rencontre Pour Les Espaces Dénués De
Métrique : En Analyse Numérique, Cela Conduit Souvent A Diverger, Lorsqu’On Ne Part Pas De
La Bonne Solution Initiale. D’Où L’Intérêt Des Topologies Rubans, Qui Stabiliseraient Les
Solutions Proches De La Frontière De L’Espace Fonctionnel Solution.
6
Définitions (Caractérisation Des Bords Composés, Ou Simples – Au Sens De Frédéric T., De La
Frontière
D’Une Partie Non Vide , D’Un Espace Topologique )
Soit
Un Espace Topologique, Et
Une Partie Non Vide De
.
Rappelons La Définition De L’Adhérence, De L’Intérieur Et De La Frontière (Fermée) De
On Dit Qu’Une Partie Fermée
De La Partie
:
Est Un Bord (Au Sens De Frédéric T.) De La Frontière
, Si
Est Une Partie Fermée De
(Formée Des
Autres Bords), Éventuellement Vide :
L’Idée De Cette Définition Provient Du Fait Qu’Il N’Est Pas Possible De Prendre Le
Complémentaire Du Sous-Segment Fermé D’Un Segment Fermé Unique (Exemple D’Un
Bord Unique En Dimension Deux) Sans Obtenir Un Ouvert. Quand Il Y A Plusieurs
Segments, Le Complémentaire D’Un Sous-Segment Fermé Produit Les Autres Segments
Fermés (Les Autres Bords Inclus Dans
- Prononcer « b - chech »).
Remarquons Qu’Il Est Nécessaire De Faire L’Hypothèse D’Un Espace Vectoriel Topologique
,
Pour Définir Les Combinaisons
, Qui Posent Problème Pour L’Usage De La
Connexité Par Arcs, Sur Une Frontière Fractale (Cas Du Flocon De Koch ).
Un Bord
Fermé
Est Appelé « Bord Simple » De La Frontière
, Si Tout Sous-Ensemble
N’Est Un Bord De
, Qu’A Condition De Coïncider Avec Le Bord .
7
Théorème De Frédéric T. – Wagner (Conditions Suffisantes Topologiques De Préservation De La
Frontière)
I.1. Identité De La Frontière
Soit
Et
Application. Soit
Avec
Deux Espaces Topologiques [4, Pages 9-10] Et
Une
La Frontière Classique.
Rappelons La Définition De L’Adhérence
.
Et De L’Intérieur
Où L’On Rappelle Que
D’Une Partie Non Vide
.
Soient De Plus La Frontière Au Sens De Frédéric T.,
Non Vide, D’Une Partie
Non Vide De . Alors :
Où
De
Se Prononce « A - Coque », Et Désigne
Cette Relation S’Inverse Trivialement En
, Supposée
.
(Ce Que L’On Note Éventuellement
), Et L’On Remarque Qu’Il Suffit De Définir Au Choix, L’Adhérence Ou L’Intérieur (Y
Compris Dans Un Espace Dénué De Métrique) : De Plus, Ces Deux Relations Sont Analogues A
Un Changement De Base En Algèbre Linéaire, Avec Comme « Matrice De Passage », Le
Complémentaire Involutif Sur
:
.
I.2. Caractère Projectif De La Frontière – Dû A Frédéric T.
Soit
Un Espace Topologique Et
On Désigne Par
Alors
Une Partie Non Vide De
Le Sous-Espace Des Parties Fermées De
Est Fermé, Et L’opérateur
.
.
Est Analogue A Un « Projecteur » :
L’Hypothèse De Frédéric T. - Cauchy Est Filaire (Maximale), Car Elle Signifie Que L’Intérieur
Est Le Plus Grand Ouvert Inclus Dans L’Ensemble Dont On Évalue La Fermeture (Dû Au Lemme
De Frédéric T. – Wagner, Démontré Ci-Après :
- Relation De Frédéric T. - Cauchy
« Duale », Valide Quand L’Hypothèse De Frédéric T. – Cauchy Est Vraie Pour Tout
).
8
II. Conditions Suffisantes Topologiques De Préservation De La Frontière :
Soit
Une Fonction Bijective Et
Une Partie Non Vide De
Alors, Du Fait Que
.
, On Démontre Indépendamment Les Deux
Inclusions Réciproques Suivantes :
Conditions Suffisantes De Préservation Individuelle Des Bords Simples D’Une Frontière
Si
Est Une Fonction Bijective A Réciproque Continue, Alors L’Image De Tout Fermé Par , Est
Fermée (Lemme II.3), Si Bien Que L’On En Déduit Que, Sous Les Hypothèses (II.2) De Double
Continuité, L’Image Par
De Tout Bord Simple Est Un Bord Simple :
Propriété I.1
Il Suffit Que
Pour Que
On Reconnait La Définition De
Dessus :
Soit Encore, En Remplaçant
:
.
, En Remplaçant
Par
Par
, Dans La Définition De
, Ci-
Dans L’Expression Ci-Dessus, Et En Utilisant Le Fait Que
Propriété I.2a. Fermeture De
Il Est Suffisant De Montrer Que L’Intersection De Deux Fermés Est Fermée :
9
Soient
Et
Deux Ensembles Fermés, Puisque
Clairement,
Montrons Que
:
Soit
Et
.
Clairement :
Alors
Propriété I.2b. Caractère Projectif De La Frontière :
Remarque Préliminaire : L’Hypothèse De Frédéric T. – Cauchy Est Encore A L’Étude, Et N’Est Utilisée
Qu’En Dernier Recours Dans La Démonstration, Comme Condition Suffisante.
Est Un Ensemble Fermé, D’Après La Propriété I.2a, Comme Intersection D’Ensembles
Fermés.
Dans Ce Cas, D’Après La Propriété I.1 :
Il Vient :
Montrons Que
:
Premier Essai (Élémentaire Et Infructueux – Cf. Deuxième Essai, Ensembliste)
Soit
:
Deuxième Essai (Calcul Algébrique)
10
On Rappelle Tout D’Abord Les Définitions Et Relations Algébriques Suivantes (Propriété I.1) :
Il Est Suffisant De Supposer Que (Lemme I.1) L’Adhérence De L’Union De Deux Ensembles
Disjoints Coïncide Avec L’Union Des Fermetures (Démontré Ci-Après), Et Que (Hypothèse De
Frédéric T. - Cauchy) L’Adhérence De L’Intérieur Est Identique A La Fermeture :
Or
:
Lemme I.1 :
11
Propriété II.1 :
Soit
Propriété II.2a :
Soit
. Par Définition :
Il Faut Montrer Que
, Si Bien Que L’On Aura Bien
A Présent, D’Après Le Lemme II.1, On Reformule La Relation 2, A Démontrer :
Puisque
Est Continue,
Est Un Voisinage De
, Contenant Un Ouvert
.
Or
Propriété II.2b :
Soit
, Il Faut Montrer Que
, Si Bien Qu’Il En Résultera
Reformulons La Relation 3, A Démontrer :
Soit
Et
Supposée Continue.
12
Alors
Est Un Voisinage De
, Contenant Un Ouvert
.
Or
Par Conséquent, D’Après Le Lemme II.1 :
Propriété II.3
Soit
Un Bord Simple De
:
Partition Sans Recouvrement Car
D’Après Le Lemme (II.3) Démontré Ci-Après, Avec
Est Fermé, De Complémentaire
Dans
Bien Que
Est Un Bord De
.
Bijective
Bijec ve Et Con nue, Puisque
Est Fermé,
, Fermé Également Par Le Lemme (II.3), Si
Démontrons Que Ce Bord Est Simple (Raisonnement Par L’Absurde):
Union Disjointe De Fermés
Cette Deuxième Application Du Lemme (II.3) Nécessite De Supposer
Bijective Et Continue.
Propriété (II.3) / Lemme (II.3) :
Soit
Puisque
Soit
Une Partie Fermée De
Et
Une Fonction Bijective, De Réciproque Continue.
, Il Reste A Montrer Que
; Montrons Que
.
:
De Manière Équivalente, Il Faudrait Alors Que
:
A Démontrer
13
A Démontrer
Puisque
:
Complément Ontologique (05/02/2015) : Jéhovah-Le-Prudent Nous Révèle Aujourd’hui Que Dans
100 Millions D’Années (250 Ans Seulement, Si L’Élohim Restait Parmi Nous), Notre Civilisation
Parviendra A Remettre En Question L’Axiomatique Logique « Fondamentale », Évoquée
Précédemment, Pour Une Topologique
:
Par Voie De Conséquence, TERRA Parviendra, Avec L’Aide De LUNAs-80 (Un Tiers De L’Agressivité
Elfique De Référence – Gènes Tigres Bohémiens, Contre Un Dixième Pour TERRA, Aux Gènes Des
Etres Elfiques Sylvestres, Typés Tigre Également – CF. PROPHETIE DES ANGES – MERCI A SITEW ), A
Développer LES PREMIERS NANO-PHOTONIQUES (Espèce PENTA-DRAGON), Dépassant Ainsi Pour
La Première Fois Le Niveau Technologique De LUCIFER, Et Rendant Ainsi Caduque Le Formalisme
Simplifié (Mais Pertinent) De La Relativité Générale Et Restreinte D’Einstein, Relatif A La Densité
Moyenne De La Poche Universelle Locale.
En Effet, La Bifurcation Des Théories Nanométriques Sera Motivée Par L’Existence D’Une Frontière
Fractale
Reposant Sur Un Socle Théorique Stable (On Peut Diminuer
Indéfiniment La Taille Des Véhicules Nanométriques En Raffinant La Frontière Du Domaine Fractal
Physique Modélisé), Généralement Préférable A La Frontière « Habituelle »
, Du
Fait De La Remise En Question Des Théories Magnétiques (Le Magnétisme, Ou Son Équivalent Pour
Une Espèce Évoluée, N’Existera Que Sous Forme Macroscopique, A La Différence De L’Analogue Du
Champ Électrique, Pour Une Espèce Plus Évoluée Que La Notre).
14
Lemme De Frédéric T. – Wagner (Adhérence De L’Intérieur Versus Intérieur De L’Adhérence)
Soit
Un Espace Topologique, Et
1. Puisque
Une Partie De
.
- D’Après Le Lemme (I.1) Du Théorème De F. T. – W. :
Ces Deux Relations Traduisent Le Caractère Projectif
De La Fermeture Et De L’Ouverture, Si Bien Qu’Il Ne
Faut S’Attendre A Pouvoir Évaluer Un Élément Inverse
(Lemme 3), Que Sur Des Sous-Ensembles De
.
(« A Rond Rond »)
On Suppose A Présent Vérifiée, L’Hypothèse De Frédéric T. – Cauchy Sur Toute Partie
:
Alors :
2. On Vérifie Également La Relation De Frédéric T. - Cauchy « Duale » :
3. D’Après Les Lemmes 1 & 2, On En Déduit L’Adhérence De L’Intérieur Versus L’Intérieur De
:
L’Adhérence ; Si
Lemme 1a :
Puisque
Soit
Puisque
Premier Cas :
, Il Reste A Montrer L’Inclusion Réciproque
, Dont On Cherche A Montrer Qu’Il Appartient A
:
Auquel Cas
15
.
:
Ce Choix De
Ne Peut Être Retenu (Il Reste Cependant Le Choix
Deuxième Cas :
Et
Troisième Cas :
Et
).
c.q.f.d
Or
Car
Ce Choix Ne Peut Être Retenu Car La Relation
Est Contradictoire Avec L’Hypothèse.
Lemme 1b :
Puisque
:
Lemme 2 :
On Utilise Le Caractère Involutif (Et Bijectif) Du Complémentaire Sur L’Ensemble Des Parties De
16
:
Lemme 3 : Adhérence De L’Intérieur Versus Intérieur De L’Adhérence :
Sur
:
Sur
:
(Hypothèse De F. T. – C.)
17
Théorème De Frédéric T. – Tchaïkovski – Wagner (Première Tentative De Définition Des Ouverts De
La Topologie Faible Lipschitz [1, Page 19], Au Sens De Frédéric T.)
Soient
Et
Deux Espaces Topologiques Normés, Sur Lesquels On Définit, Pour
Un Réel Positif
Fixé, Et Pour Tout Ouvert
, L’Espace Des Fonctions Localement Lipschitziennes, Au Plus, Sur L’Ouvert
:
Alors (LEMME 1) L’Ensemble
Suivant Est Une Topologie :
En Effet (LEMME 2) :
On Démontre Alors (LEMME 3), Dès Lors Que L’Intersection Est Distributive Par Rapport A
L’Union Finie Ou Infinie Quelconque, Que :
Dans Cette Topologie, Une Suite De Fonctions
Converge Vers Une Fonction
18
Si :
Intersection Finie : Intuition (Pour Information)
On A L’Intuition De Cette Propriété En Étudiant Les Cas Particuliers
Et
.
,
(A Démontrer Rigoureusement)
Attention (25/02/2015) : On Comprend Intuitivement Que La Relation
Serait Fausse (Version Temporaire Du 24/02/2015) Si L’On Remplaçait La Définition Des Ouverts
Élémentaires
Par L’Ensemble Des Fonctions
Car Il Suffirait De Choisir
Ou
Avec
.
LEMME 2 :
Intersection Finie : Première Inclusion
En Effet :
Intersection Finie : Inclusion Réciproque
19
Lipschitziennes Au Plus, Sur L’Ouvert Entier,
, Plutôt Que
Soit
:
L’Intersection De Deux Ouverts Est Un Ouvert, Si Bien Que
De Plus
.
.
Soit
Soit A Présent
.
On Démontre De Manière Analogue La Relation Suivante :
Alors :
Finalement (Implications 1 Et 2) :
Puisque
Est Une Topologie,
, Si Bien Que La Propriété De Stabilité De L’Union
Quelconque Dans
, Se Transmet Partiellement (Étude Complémentaire A Réaliser, En Particulier
Dans Le Cas Fractal Non Dénombrable) A L’Intersection (Pas Seulement Finie) Des Ouverts
L’Espace Fonctionnel Retenu.
20
De
LEMME 3 : Définition Précise De La Topologie
Elémentaires
A Partir Des Ouverts
.
Etape 1
Génération Des Ouverts De
A Partir Des Ouverts Elémentaires
Par Intersection Finie
Reste Dans L’Ensemble Générique
.
Par Union Quelconque
Reste Dans L’Ensemble Générique
Qui Contient
.
Bilan De L’Etape 1 : Une Seule Combinaison Des Ouverts Elémentaires
Caractérisée Par L’Ensemble Générique
Est
.
Etape 2 (Généralise L’Etape 1, Car L’Ensemble Générique
Génération Des Ouverts Restants De
Généralise
A Partir Des Ouverts Génériques
Par Intersection Finie
Reste Dans L’Ensemble Générique
Par Union Quelconque
21
)
Reste Dans L’Ensemble Générique
, En Notant Par Exemple
Bilan De L’Etape 2 : Deux Combinaisons Par Union Et Intersection Successives Des Ouverts
Elémentaires Sont Caractérisées Par L’Ensemble Générique
Conclusion : On Ne Sort Jamais De L’Ensemble Générique
.
Des Ouverts De
(Apparait A L’Etape 1 – Reste Inchangé A L’Etape 2), Par Combinaisons Successives A Partir De
L’Ensemble Des Ouverts Elémentaires
De
22
.
Remarque (24/02/2015) : Contrairement A Notre Intuition Première, Il N’Est Pas Possible De Définir
Des Ouverts Fonctionnels
, Formés Des Fonctions Localement
-Lipschitziennes, Au Plus,
Sur
Entier, Car Dans Ce Cas, La Frontière De Certains Ouverts Élémentaires
Serait Vide (La
Topologie Retenue Étant Trop Fine Pour Les Ouverts Dits Élémentaires) :
En Effet :
Comme On Peut Le Voir, La Définition De La Frontière Est Tributaire De L’Espace Fonctionnel
Dans Lequel On Réalise Le Complémentaire
.
23
Arithmétique Entière Et Réelle Décimale, Au Sens De Frédéric T.
Soit L’Ensemble Des Chiffres En Base 10, Au Sens De Frédéric T. :
On Définit (1) L’Ensemble Des Entiers Naturels Tronqués
De Chiffres En Base 10 :
Comme Une Suite Presque Nulle
On Définit A Présent (2) L’Ensemble Transfini Des Nombres Entiers Naturels
Suite De Chiffres En Base 10 :
Enfin, On Identifie (3) L’Ensemble Des Réels Signés Positifs
Au Produit Cartésien
Des Entiers Naturels Tronqués
Sens De Frédéric T.) Et Entiers Naturels Transfinis
Comme Une
(Partie Entière
(Partie Flottante
, Au
, Au Sens
De Frédéric T.) :
Par Exemple :
Remarque : Il Est Légitime De Définir L’Ensemble Des Nombres Réels Signés Positifs Transfinis Par
.
L’Intérêt De Ces Définitions Est Qu’Il Apparait Que Le Produit Cartésien « Surfacique »
Isomorphe A L’Ensemble « Linéique »
, Contrairement A Notre Intuition Première :
Selon La Bijection
Est
(Discontinue) Suivante :
Cette Propriété Expliquerait Le Potentiel Qu’Ont Les Intégrales Curvilignes (Au Sens De Frédéric T.
[8, Pages 46, 53]) A Remplacer Avantageusement Les Intégrales Surfacique Ou Volumique
(Postulat Ontologique).
24
Lemme (Dû A Frédéric T.)
Soient
Et
Deux Espaces Topologiques Normés.
Soit
La Topologie De L’Ensemble
Des Fonctions Au Plus
Métrique, Vers
Soit
Localement Sur Un Ouvert
.
Un Ouvert De La Topologie
Soit A Présent
Au Moins, De
.
Le Sous-Espace Des Fonctions
. Le Caractère Localement Constant S’Étend Sur
(Constantes) Sur
Entier.
Alors Le Sous-Espace Des Fonctions
Localement Sur Un Voisinage Au Moins, Qui Sont
Constantes Sur
,
, Est D’Intérieur Vide Dans , Si Bien Que Sa Frontière Coïncide Avec
Sa Fermeture, Qui Coïncide Elle-Même Avec L’Espace
Entier :
Intuitivement, Puisque
, Le Sous-Espace Des Fonctions Constantes Sur
Localement Sur Un Voisinage Au Moins, Est Une « Ligne », Un « Contour ».
, Au Plus
La Propriété De « Densité »
N’Est Pas
Traduit Le Fait Que La Topologie
Séparée, Car Tous Les Ouverts
Partagent Les Fonctions
, Constantes Sur
.
Expression Des Fonctions 0-Lip. Localement
Toute Fonction
Localement Sur
, Donc Constante En Tout Point De
, Est Constante Sur Un Voisinage De Tout Point De
.
Le Sous-Espace
Tout Ouvert
Localement Sur Un Ensemble
Est D’Intérieur Vide
De La Topologie
, Contient Des Fonctions Au Plus
Au Moins, Et Ne Présentant Aucun Palier Constant Sur
25
:
Fermeture De L’Espace Des Fonctions Constantes Sur
Montrons que
, ce qui impliquera
:
(démonstration immédiate dans l’encadré
ci-dessous).
Pour tout ouvert
de la topologie
,
car il existe toujours des fonctions au plus
localement sur
et
, et présentant un palier constant sur
: choisir par exemple
une fonction constante sur
entier.
En Effet :
26
Théorème : Topologies Nivelées Unilatérale Et Bilatérale
(Dû A Frédéric T.)
, Sur Les Ensembles Fonctionnels
Soient
Et
Deux Espaces Topologiques Normés. On Note
Des Parties D’Un Ensemble.
Soient de plus
et
L’Ensemble
, avec
Une étude préliminaire a permis de démontrer que
est une topologie sur
, mais il est
nécessaire à présent de construire un espace vectoriel topologique fonctionnel Lipschitz, stable par
addition, soustraction et multiplication externe.
On choisit comme domaine de définition des fonctions de
, et comme domaine d’arrivée
, l’ouvert
- Hypothèses du Lemme Précédent.
Soient :
I. Espace Vectoriel Topologique Nivelé Unilatéral
Alors l’espace fonctionnel
- Au Sens De Frédéric T.
des fonctions localement lipschitziennes
sur
(à
coefficient de Lipschitz local
défini sur
, et borné sur ), est stable par
addition, soustraction (continue – topologie définie ci-dessous), et par multiplication externe
vectorielle réelle.
Il Est De Plus Possible De Munir
De La Topologie Nivelée Unilatérale
Sens De Frédéric T.) :
En Effet :
27
Suivante (Au
II. Espace Topologique Nivelé Bilatéral
On rappelle que
- Au Sens De Frédéric T.
désigne les fonctions constantes sur l’ouvert
, si bien que le passage
au quotient algébrique « G / H » permet d’identifier les fonctions identiques à une constante près.
Ce passage au
quotient présente l’avantage de ne pas affecter la topologie de l’espace
fonctionnel quotient Lipschitz, en construction ici, car
Soit L’espace fonctionnel
.
, des fonctions définies sur
, permettant d’identifier le plus
petit coefficient de Lipschitz local à un voisinage,
, à la norme supérieure
de la dérivée
première sur ce voisinage, en monodimensionnel , pour les fonctions croissantes (sigle « + ») [1] :
Alors La Topologie Nivelée Bilatérale
Suivante,
, Sans Possibilité De Conserver
Est Une Topologie Pour
L’Espace
Par L’Opération Vectorielle
.
En Effet :
Si
.
En Monodimensionnel, La Convergence Sur Cette Topologie, Est Bien Associée, A La Convergence
Simple Des Suites De Fonctions Au Plus Localement -Lipschitziennes, Propriété Requise Dans Le
Théorème De Frédéric T. - Lipschitz-Kant [1] , Du Fait Que La Coïncidence Des Dérivées Premières
Positives (Coefficients Lipschitz Local) Équivaut A La Coïncidence Des Classes D’Équivalence
Fonctionnelles, Une Fois Filtré
Dans
.
Ce Résultat Clôture La Première Partie, Dont L’Objectif Était D’Expliciter Le Sens De La Topologie De
La Convergence Simple, A Coefficient De Lipschitz Local Borné (Ou Topologie – Faible - Lipschitz, En
Notant
). On Remarque Que Cette Topologie Est Filaire (Présence Du Min Et Du
Max Dans L’Expression Des Ouverts Elémentaires
28
).
La Stabilité De L’Opposé Sur
Est Un Problème Ouvert.
La somme de deux fonctions localement lipschitziennes sur deux ouverts disjoints, n’est pas
nécessairement localement lipschitzienne, si bien que l’on opère sur
entier.
Stabilité de l’addition sur
Soient
.
Soit le plus grand coefficient de Lipschitz local
On en déduit
sur
, dont on sait qu’il est borné.
, si bien que
.
Stabilité de l’opposé sur
Soit
.
Par conséquent, la stabilité de l’opposé
sur
entraîne la stabilité de la soustraction
:
Stabilité de la multiplication externe vectorielle réelle sur
Soit
Ainsi
et
.
si bien que
29
RELATIONS D’ORDRE D’INJECTION SUR DES ESPACES FONCTIONNELS
Lemme (Rappel)
Soient
Et
Deux Ensembles Infinis (Dénombrables Ou Continus), Mis En Relation Réflexive
[2, Page 6] Et Transitive [2, Page 6], De La Façon Suivante (Admis Dans Le Cas Continu) :
Alors, Si
Et
Sont Injectives :
On Vérifie Également La Partition Sans Recouvrement Suivante (Idem Pour
Puisque
Et
Puisque
Injective :
Puisque
Injective :
):
Injectives, On A Aussi :
Or
Théorème De Frédéric T. - Ludwig Wittgenstein – Wagner (Défaut D’Antisymétrie De La Relation
D’Injection, Associée A La Relation D’Équivalence D’Isomorphie Continue, Dans Un Espace
Fonctionnel) – EN COURS DE REFORMULATION DANS
30
REFERENCES
Avertissement : L’Accès Direct Au Répertoire Contenant Un Lien Symbolique Vers Le Fichier (Blog Les
Dauphins De Cassiopée, Dont Je Suis Unique Propriétaire) Est Généralement Possible En Cliquant Sur
Le Numéro De La Référence [x] – Merci A wix.com.
En Cas D’Echec, Passer Par Le Cloud De Dépannage Du Blog Ontologique « Les Dauphins De
Cassiopée ».
[1] Frédéric K. TRAORE, Topologie Analytique Fonctionnelle, Communication Personnelle, 14/01/2015
(version définitive, 44 pages).
[2] Frédéric K. TRAORE, Logique : Etude Filaire des Structures Algébriques Infinies, communication
personnelle, 25/09/2013 (version définitive, 14 pages).
[3] Frédéric K. TRAORE, Théorème Fondamental de l’Algèbre des Equations Polynomiales :
Méthodologie Topologique et Analytique, communication personnelle, 26/09/2013 (version
définitive, 8 pages).
[4] Frédéric Paulin, Topologie, analyse et calcul différentiel - Cours de troisième année de licence,
École Normale Supérieure, Formation Interuniversitaire de Mathématiques Fondamentales et
Appliquées (F.I.M.F.A.), Version préliminaire (2008-2009).
[5] Frédéric Paulin, Géométrie différentielle élémentaire - Cours de première année de mastère,
École Normale Supérieure, Formation Interuniversitaire de Mathématiques Fondamentales et
Appliquées (F.I.M.F.A.), Version préliminaire (2006-2007).
[7] Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : Théorie et applications, Mathématiques Appliquées Pour Le
Master (Master – Agrégation), Edition Dunod (2005).
[8] Frédéric K. TRAORE, Corps des Transformations réversibles : Géométrie, Algèbre et Analyse,
communication personnelle, 11/06/2013 (version définitive – Erratum 38).
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