Topologie Algébrique

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Topologie Algébrique
Référence : Frédéric K. TRAORE, Topologie Algébrique, Communication Personnelle,
15/03/2015 (version temporaire, 31 pages).
Avant Propos
Ce Livret De Topologie Tripartite Est Programmé Comme Suit :
- Partie 1/3 : Topologie Analytique Fonctionnelle (Réalisé – Livret 2016).
- Partie 2/3 : Topologie Algébrique (En Cours ; Courant 2015 – Livret 2016).
- Partie 3/3 : Topologie Différentielle (En Projet ; Courant 2016 – Livret 2017).
VOILIERS
Titre Original De L’œuvre
De Claude Théberge
Droits :
a) Travail De Recherche Personnel, Non Lucratif, Diffusable Librement Avec La
Référence Ci-Dessous.
b)          Version
Définitive, Qui Doit Être Vérifiée Avec Soin Par Au Moins Huit Chercheurs Du Projet De
Recherche Dont , Afin
 Utilisée Sans Risque Dans Une Application Industrielle.
c) Les Versions Intermédiaires       
 , Auquel Cas  Est Invité A Citer La Référence Ci-
Dessous, Malgré Tout, Afin De Nous Permettre, A Notre Tour, De Nous Inspirer De Ses
Travaux.
d)  Lui-même A Plusieurs Vérifications 
Ses Propres Théorèmes. Il Est Nécessaire De Prendre Au Moins Trois Exemples (Cent
.

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Table des Matières
PARTIE 2/3 - TOPOLOGIE ALGEBRIQUE
THEORIE DES ENSEMBLES ET TOPOLOGIE NIVELEE BILATERALE (TOPOLOGIE – FAIBLE - LIPSCHITZ)
Définitions (Rappels – Adaptation Volontaire, Et Déconseillée, Du Formalisme Académique [4])
Lemme (Dû A Frédéric T.)
Lemme Préliminaire Au Théorème Frédéric T. – Tchaïkovski – Wagner (Les Ouverts Centrés Sur Les
Positions Ne Forment Pas Une Topologie – Lipschitz, Pour L’Intersection Ensembliste)
Définitions (Caractérisation Des Bords Composés, Ou Simples – Au Sens De Frédéric T., De La
Frontière  D’Une Partie Non Vide , D’Un Espace Topologique )
Théorème De Frédéric T. – Wagner (Conditions Suffisantes Topologiques De Préservation De La
Frontière)
Lemme De Frédéric T. – Wagner (Adhérence De L’Intérieur Versus Intérieur De L’Adhérence)
Théorème De Frédéric T. – Tchaïkovski – Wagner (Première Tentative De Définition Des Ouverts De
La Topologie Faible Lipschitz, Au Sens De Frédéric T.)
Arithmétique Entière Et Réelle Décimale, Au Sens De Frédéric T.
Lemme (Dû A Frédéric T.)
Théorème : Topologies Nivelées Unilatérale Et Bilatérale 
 , Sur Les Ensembles Fonctionnels
  (Dû A Frédéric T.)
RELATIONS D’ORDRE D’INJECTION SUR DES ESPACES FONCTIONNELS
Lemme (Rappel)
Théorème De Frédéric T. - Ludwig Wittgenstein – Wagner (Défaut D’Antisymétrie De La Relation
D’Injection, Associée A La Relation D’Équivalence D’Isomorphie Continue, Dans Un Espace
Fonctionnel) – EN COURS DE REFORMULATION
REFERENCES

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TOPOLOGIE ALGEBRIQUE
Nous Avons Présenté Dans La Première Partie Du Livret De Topologie [1], L’Espace Des Fonctions
Lipschitz        Étude (Contres Exemples) Des
Espaces Fonctionnels De Dimension Infinie, En Topologie.
En Particulier, Nous Devons Préciser Au Chapitre II,    , De Distinguer Le
Comportement Des Relations D’Ordre Injective Et Surjective [2][3, Pages 4,5], Sur Des Ensembles
Dénombrables Ou Continus (Espaces Lipschitz, Explicités Ci-Après, Au Chapitre I).
On Ne Se Lassera Pas De Consulter Les Compléments En Topologie Et Géométrie Différentielle, De
Notre Ami Frédéric Paulin [4] [5] , De L’École Normale Supérieure.
THEORIE DES ENSEMBLES ET TOPOLOGIE NIVELEE BILATERALE
(TOPOLOGIE – FAIBLE - LIPSCHITZ)
Définitions (Rappels – Adaptation Volontaire, Et Déconseillée, Du Formalisme Académique [4])
Soit  Et  Deux Espaces Topologiques [4, Pages 9-10], Où  Et  Représentent
Deux Ensembles 
Nous Définissons Ci-          T.
(Ouverts), Qui Coïncident Avec La Définition Habituelle Par Voisinage.
 Continuité [4, Page 33]
Une Application  Est Continue Au Sens De Frédéric T. En  Si Tout Ouvert
 De  ,  
 Un Ouvert  De  :   :
Dans , On Reconnait La Définition Habituelle De La Continuité En  :
Par Définition, Une Application Continue Au Sens De Frédéric T. (L’Image Réciproque De Tout
Ouvert Contient Un Ouvert), Et Bijective , Est Un Homéomorphisme Au Sens De Frédéric T.
(Bijection Continue Au Sens De Frédéric T., A Réciproque Continue Au Sens De Frédéric T.), Si
L’Image Par  De Tout Ouvert Contient Un Ouvert.
Rappelons Que Par Définition, On Appelle Voisinage De 
, Tout Ensemble Contenant Un
Ouvert De 
, Contenant Lui-Même  (On Fait Abstraction, Pour L’Instant Des Théories
Classiques Prévoyant L’Existence D’Une Base De Voisinages – On Ne Parle Que D’Ouverts).

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Cependant, Une Application Continue Au Sens De Frédéric T., Et Bijective, Est Un
Homéomorphisme Au Sens De Frédéric T. En Un Point, Si L’Image De Tout Ouvert Contenant Ce
Point, Est Un Voisinage De L’Image De Ce Point.
 Adhérence, Intérieur Et Frontière D’Une Partie  D’Un Espace Topologique  [4, Page 30]
Lemme (Dû A Frédéric T.)
1) La Continuité Au Sens De Frédéric T. (Définition Par Des Ouverts) Est Identique A La Continuité
Classique (Définition Par Voisinages)
2)  T., Coïncident Avec Les Définitions Habituelles.
On Note  Un Voisinage De  Dans 
 .
Par Définition Du Voisinage, Il Existe Un Ouvert 
Dans La Définition De La Continuité Au Sens De Frédéric T. :
Soit Un Ouvert .
En Choisissant Le Voisinage  Dans La Définition De La Continuité Habituelle :

5
On Remarque Que  :
A Priori, On Retiendra Cette Dernière Définition De La Frontière, Plutôt Que La Frontière Classique
 [4] , Car Elle Ne Nécessite Pas La Prise En Compte Des Ouverts Strictement Inclus
Dans  (On Montrera Cependant Dans Le Théorème De Frédéric T. – Wagner, Que Ces
Deux Frontières Coïncident,   Ensembliste De La Négation De La Relation
 ).