Corr 5 - C. Holtzmann

FEUILLE
5
BCPST 2 - Lycée F1
Espaces vectoriels
6.
Espaces vectoriels
7.
8.
Exercice 1:
[Indications] [Correction] – Cours – Soit R∗+ muni de la loi interne définie par a b = ab, ∀a, b ∈ R∗+ et de la loi externe • telle que
λ • a = aλ , ∀a ∈ R∗+ , ∀λ ∈ R. Montrer que E = (R∗+ , , •) est un R-espace vectoriel.
9.
10.
Exercice 2: [Indications] [Correction] – Cours – On considère E = C2 muni
de la loi interne habituelle + et de la loi externe • définie par λ • (x, y) = (λx, 0).
(E, , •) est -il un C espace vectoriel ?
11.
12.
Exercice 3: [Indications] [Correction] – Cours – Déterminer si R2 , muni des
lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un R-espace vectoriel :
1. (a, b) (c, d) = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; λ • (a, b) = (λ2 a, λ2 b).
2. (a, b) (c, d) = (c, d) ; λ • (a, b) = (λa, λb).
13.
n
o
F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : |x1 | = |x2 | .
n
o
F = (x, y, z, t) ∈ R4 : x = 0, y = z ;
n
o
F = (x, y) ∈ R2 : x2 + xy ≥ 0 ;
n
o
F = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + a = 0, et x + 3az = 0
n
o
F = (x, y) ∈ R2 : x 6 y
n
o

F = (x, y) ∈ R2 : x + y = 1 .
 2x − y + z = 0
x − 4y + 7z = 0
L’ensemble des solutions (x, y, z) du système :

x + 3y − 6z = 0.
L’ensemble des vecteurs de R3 orthogonaux au vecteur (−1, 3, −2).
K
K
K
Exercice 6: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer –
Déterminer
si les ensembles
ci-dessous sont des espaces vectoriels sur C ? (sur R ?)
1. F = z ∈ C | z 2 = 1 .
2. F = (z1 , z2 , z3 ) ∈ C3 | z1 − 2z2 = 0 .
3. F = z ∈ C∗ | arg(z) = π3 (2π)
∪ {0}.
4. F = z ∈ C∗ | arg(z) = π3 (π) ∪ {0}.
Exercice 4: [Indications] [Correction] – Cours – complexifié de E
Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition
usuelle :
(~x, ~y ) + (~x0 , ~y 0 ) = (~x + ~x0 , ~y + ~y 0 )
et de la multiplication externe par les complexes définie par :
Exercice 7: [Indications] [Correction] – Cours – Registre – L’ensemble H est-il
un espace vectoriel pour :
1. H = {f ∈ F(C, C) : f (1) = 0}
2. H = {f ∈ F(R, C) : f (0) = 1}
3. H = {f ∈ F(R, R) : f est croissante}.
4. H = {f : R → C : f s’annule}
5. H = {f : R → R : f est impaire}
6. H = {f : I → C : f est bornée}
7. Pour M ∈ R fixé et I ⊂ C, H = {f : I → C : supI |f | 6 M }
8. H l’ensemble des primitives de x 7→ xex .
9. H l’ensemble des fonctions f telles que lim f (x) = +∞
x→+∞
10. H = f : I → C :
lim f (x) = 0 avec I = [a; +∞[ ; a ∈ R.
x→+∞
Z b
11. F = {f ∈ C 1 ([a, b], R) |
f (t)dt = 0} pour I = [a, b].
a
Z b
0
12. L’ensemble des fonctions sur [a, b] C , vérifiant f (a) = 7f (b) +
t3 f (t) dt.
(a + i.b).(~x, ~y ) = (a.~x − b.~y , a.~y + b.~x)
Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel.
Sous espaces vectoriels
Exercice 5: [Indications] [Correction] – Cours – Déterminer si les ensembles
F ci-dessous sont des espaces vectoriels sur R.
1. N, Z n, Q, R∗ .
o
2. F = (x, y, z) ∈ R3 : x = 1 .
n
o
3. F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0
n
o
4. F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 x3 = 0 .
n
o
5. F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 > 0
K
a
1
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
Exercice 8: [Indications] [Correction] – Cours – Registre – Sous-espaces vectoriels de polynômes.
Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels
de R[X].
1. F = {P ∈ Rn [X] : P 0 = 3} ;
2. F = {P ∈ Rn [X] : P 00 = 0} ;
3. F = {P ∈ Rn [X] : deg(P ) = n} ;
4. F = {P ∈ Rn [X] : P + XP 0 = 0} ;
5. L’ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré 7.
6.
4
Soient
F = {(x, y, z, t) ∈ R | x + y − 2z = x − y = 0} et G =
Vect (1, 0, 1, −2), (1, 0, 0, 1) .
Équation cartésienne, famille génératrice
Exercice 12: [Indications] [Correction] – Calculer – Déterminer une équation
(ou système d’équations)
cartésienneodécrivant :
n
1. A = Vect (1, 1, −1), (−1, −1, 3) .
n
o
2. A = Vect (−2, 1, 1); (−1, 1, 2) .
n
o
3. A = Vect (1, 1, 1) .
Exercice 9: [Indications] [Correction] – Cours – Registre – Espaces vectoriels
de suites
K
Pour tous les ensembles ci-dessous, dire si c’est un espace vectoriel.
1. L’ensemble des suites convergentes.
2. L’ensemble des suites constantes.
3. L’ensemble des suites convergeant vers 0.
4. L’ensemble des suites positives.
5. L’ensemble des suites monotones.
6. L’ensemble des suites bornées.
7. L’ensemble des suites arithmétiques / géométriques.
8. {(un ) | ∀n ∈ N, un+2 = nun+1 + un }
Exercice 13:
[Indications] [Correction] – Calculer – Trouver α et β scalaires pour que (α, β, 8, 3) appartienne au sev de R4 engendré par (3, −2, 1, 6) et
(4, 7, −2, 3).
Exercice 14: [Indications] [Correction] – Calculer –
1. Montrer que l’ensemble



a+b
a−b+c
a−c


a
2a + b − c  a, b, c ∈ R
F :=  a − 2b − c


a + 3c
a+b+c
a−b
Exercice 10: [Indications] [Correction] – Cours – Registre – Espaces vectoriels
de matrices
On pose K = R ou C. Pour tout ensemble E ci-dessous, dire si c’est est un espace
vectoriel.
∗
1. E = M
n (K),où n ∈
N . 0 5
1 0
√
,λ ∈ R
2. E =
+λ
2 3
2 3
2a
pa
3. E =
| a, b ∈ C
2|b| a + b
a
2a
√
4. E =
| a, b ∈ C
2b a + b
5. E l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 telles que le coefficient "en haut
à gauche" est 1.
2.
est un sous espace de M3 (R) en exhibant trois matrices A, B, C telles que
F = V ect(A, B, C).
Former
une équation (ou systèmed’équations)cartésienne décrivant
a+b
a−b+c
G =
a, b, c ∈ R dans la base canonique de
a − 2b − c
a
M2 (R).
Exercice 15: [Indications] [Correction] – Chercher – Montrer que x 7→ cos(x +
π
4 ) appartient à l’espace vectoriel engendré par f1 : x 7→ sin x et f2 : x 7→ cos x.
Exercice 11:
[Indications] [Correction] – Calculer – Pour chacun des sousespaces F, G ci-dessous, déterminer, si possible, F ∩ G. (Si ce n’est pas possible,
justifier.)
1. F = {(x, y, z) ∈ C3 | x − y − z = 0} et G = {(a − b, a + b, a) | a, b ∈ C}.
3
2. F = {(x, y,
z) ∈ C | x− y − z = 0} et G = {(a − b, a + b, a) | a, b ∈ R}.
3. F = Vect (1, 0), (0, 1) et G = R.
4. Soient F = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0} et G = {(a, −b, −a + b) | a, b ∈ R}.
5. Soient F = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = 2z} et G = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y = 0}.
Exercice 16: [Indications] [Correction] – Chercher – Raisonner – Soient f1 , f2
des éléments de F(] − 1, 1[, R) définit par :
f1 : x 7→ 1 , f2 : x 7→ cos(x). On note E = V ect(f1 , f2 ).
1. Montrer que les deux applications g1 : x 7→ cos2 ( x2 ) et g2 : x 7→ sin2 ( x2 )
engendrent E.
2. la fonction x 7→ sin(x) appartient-elle à E ?
K
2
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
{P ∈ R4 [X] | P (π) =0}.
1 2
1 0
1 −1
7. Vect(A, B, C) où A=
B=
C=
.
0 1
0 0
1 1 3 2
3 −1
3 5
8. Vect(A, B, C) où A=
B=
C=
.
3 1
2 2
4 0
9. l’ensemble des fonctions deux fois dérivables et dont la dérivée seconde est
nulle.
10. L’ensemble des fonctions f ∈ C 2 (R) vérifiant af 00 +bf 0 +cf = 0, où a, b, c ∈ R
fixés non tous nuls.
11. Pour (a, b) ∈ R∗ fixés, l’ensemble engendré par les suites (un ) définies par
un+2 = aun+1 + bun .
6.
Familles libres
Exercice 17:
[Indications] [Correction] – Calculer – Vérifier, par deux méthodes différentes, si les vecteurs ~a, ~b, ~c sont linéairement indépendants dans les
cas suivants.
1. ~a = (2, 1, −1), ~b = (1, 1, 1), ~c = (2, 1, 2)
2. ~a = (−1, 2, −2), ~b = (1, 3, −1), ~c = (2, 1, 1)
Exercice 18: [Indications] [Correction] – Calculer – Raisonner – Dans F(R, R)
les applications suivantes sont-elles linéairement indépendantes ?
1. f : x 7→ cos x, g : x 7→ sin x, h : x 7→ 1
2. f : x 7→ sin(x), g : x 7→ cos(x), h : x 7→ sin(2x), k : x 7→ cos(2x)
x
3. f : x 7→ 1, g : x 7→ cos x, h : x 7→ cos2
2
4. f : x 7→ eax , g : x 7→ ebx , h : x 7→ ecx , a,b,c 2 à 2 distincts.
K
5. (fk )k=0,...,n où, pour k ∈ J0, nK, fk : x 7→ sink (x).
KK
Coordonnées dans une base
Exercice 23: [Indications]
[Correction] – Calculer
–
1. Montrer que B = (2, 1, 1), (1, 1, 0), (2, 0, 1) est une base de R3 .
2. Déterminer les coordonnées du vecteur (−4, 1, −3) dans la base B.
Exercice 19: [Indications] [Correction] – Calculer – Déterminer par au moins
deux méthodes différentes si les polynômes ci-dessous sont linéairement indépendants.
1. P (X) = X(X − 1) ; Q(X) = X 2 + 2 ; R(X) = (X − 1)(X − 2).
2. P (X) = X 2 − X + 3 ; Q = P 0 ; R = P 0 + P ; S(X) = (P 0 (X) + 1)2 .
3. P (X) = X 3 + X 2 + 1 ;
Q(X) = X 2 + X + 1, R(X) = X 3 − X
Exercice 24: [Indications] [Correction] – Calculer – On considère les vecteurs
~a = (1, 0, 1), ~b = (−1, −1, 2) et ~c = (−2, 1, −2)
1. Montrer que (~a, ~b, ~c) forme une base de R3 .
2. Calculer les coordonnées dans cette base d’un vecteur ~u = (x, y, z).
Exercice 20: [Indications] [Correction] – Registre – Raisonner – Soient (un ),
(vn ), (wn ) trois suites réelles définies pour tout n ∈ N par :
Exercice 25: [Indications] [Correction] – Calculer – Soit β = (~i, ~j, ~k) une base
d’un espace vectoriel E
1. Montrer que la famille de vecteurs ~j + ~k, ~i + ~k, ~i + ~j est une base de E.
2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur de E dans cette base.
un = 2n ,
vn = 3n ,
wn = 4n
∀n ∈ N
Exercice 26:
[Indications] [Correction] – Calculer – On se place dans E =
R3 [X]
1. Montrer que les polynômes f0 = 1, f1 = X , f2 = X(X − 1), f3 =
X(X − 1)(X − 2) forment une base de E.
2. Quelles sont en fonction de a, b, c, d les coordonnées dans cette base d’un élément de E s’écrivant aX 3 + bX 2 + cX + d ?
Montrer que {(un ), (vn ), (wn )} est une famille libre.
Rang, dimension et bases
Exercice 21:
[Indications] [Correction] – Calculer – Raisonner – On pose
a = (3, 1, 2), b = (1, 0, 1), u = (2, 1, 1), v = (0, 1, −1). Montrer que V ect(a, b) =
V ect(u, v).
Exercice 22: [Indications] [Correction] – Calculer – Raisonner – Déterminer
la dimension et une base des espaces vectoriels ci-dessous :
1. {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 3z = 0}.
2. {(x, y, z) ∈ R3 | x = 2y = 3z}.
3. {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = 0; y + z = 0; z + t = 0; t + x = 0}.
4. Vect{(1, 3, −3), (4, 2, −3), (−1, 7, 6)}
5. Vect{(4, −5, 3), (2, 3, −2), (4, −16, 10), (8, 1, −1)}
3
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
Lycée François 1er
Bcpst 2
FE 5
-
Espaces vectoriels
Indications
Exercice 5 [Correction]
On pourra éventuellement, en cas de doute, tenter si possible de représenter le
domaine (à la main, avec Python ou à la calculatrice) pour se donner une idée et
donner un contre exemple s’il le faut.
Exercice 19 [Correction]
Les deux méthodes au choix le plus pertinent : par spécialisation, par identification
des coefficients ou par calcul de rang en écrivant les polynômes comme des vecteurs
dans la base canonique 1, X, . . . , etc...
4
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
Lycée François 1er
Bcpst 2
FE 5
-
Solutions
Espaces vectoriels
6.
Exercice 1
• (R∗+ , ) est un groupe commutatif :
- Loi interne : Soient a, b ∈ R∗+ . Alors a b = ab > 0.
- Associativité : Soient a, b, c ∈ R∗+ . Alors a (b c) = a(bc) = (ab)c = (a b) c.
- Élément neutre : 1 est l’émément neutre.
1
- Symétrique : Le symétrique de a est pour tout a > 0.
a
- Commutativité : la multiplication est commutative.
Non : pas de stabilité par loi interne. ex :
(1, 1, 0) + (−1, 1, 0) = (0, 2, 0)
| {z } | {z } | {z }
∈F
7.
8.
Oui.
non. ex :
∈F
10.
11.
12.
13.
Exercice 2
Réponse : Non.
• Groupe commutatif : La loi + est la loi habituelle, il n’y a donc rien à signaler
de ce coté là.
• Loi • :
- Loi externe, λ • (x, y) ∈ C2 .
- Élement neutre : 1 • (x, y) = (x, 0) 6= (x, y).
Exercice
1.
2.
3.
Exercice 3
1. Réponse : Non
2.
•
2
: (λ + µ) • (a, b) = ((λ + µ) a, (λ + µ) b) 6=
Réponse : Non
5.
6.
7.
- Commutativité de : Non.
Exercice
1.
2.
3.
4.
5.
5
Non.
Non : ~0 6∈ F .
Oui.
Non. Pas de stabilité par la loi extene.
Non : pas de symétrique.
8.
6∈F
6
F = z ∈ C | z 2 = 1 n’est pas un ev. 0 6∈ F .
F = (z1 , z2 , z3 ) ∈ C | z1 − 2z2 = 0 est un C-ev et donc R-ev.
F = z ∈ C∗ | arg(z) = π3 (2π) ∪ {0} n’est pas un ev. Pas de symétrique, ni
dans R, ni dans C..
F = z ∈ C∗ | arg(z) = π3 (2π) ∪ {0} est un R-ev, mais pas C-ev.
4.
Exercice
1.
2.
3.
4.
∈F
F est un sous-espace vectoriel de R3 si et seulement si a = 0.
F : non si a 6= 0 car alors 0 ∈
/ F ; oui, si a = 0 car alors F est l’intersection des
sous-espaces vectoriels {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0} et {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0}.
F n’est pas un espace vectoriel. F n’est même pas un sous-groupe de (R2 , +)
car (2, 0) ∈ F mais −(2, 0) = (−2, 0) ∈
/ F.
non
non. pas d’élément neutre.
Oui.
Oui (ce sont les solutions de −x + 3y − 2z = 0.)
9.
2
6∈F
(0, −2) + (1, 0) = (1, −2)
| {z } | {z } | {z }
• Loi • :
- Loi externe : Ok
- Élément neutre : ...
- Distributivité de + par raport à • : (λ + µ) • a = . . .
- Distributivité de • par-rapport à : λ • (a b) = (a b)λ = . . .
- Distributivité de . par rapport à • :. . .
• Groupe commutatif, RAS.
• Loi • :
- Distributivité de + par raport à
(λ2 a, λ2 b) + (µ2 a, µ2 b)
∈F
7
H est un sous-espace vectoriel de F(R, R).
H n’est pas un espace vectoriel car la fonction nulle n’appartient pas à H.
H = {f ∈ F(R, R) : f est croissante} n’est pas un ev : pas de symétrique.
H = {f : I → C :
f s’annule} n’est pas un ev : ex f (x) = x2 et
2
g(x) = (x − 1) . f + g ne s’annule pas.
oui
oui
non : si M < 0, H = ∅.
Si M > 0, λf 6∈ H en général.
H l’ensemble des primitives de x 7→ xex n’est pas un sous-espace vectoriel de
F(R, R) :
l’application nulle n’est pas une primitive de x 7→ xex .
9. Non : la fonction nulle n’y est pas.
10. oui
5
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
11. Oui
12. Oui
Exercice
1.
2.
3.
4.
5.
8
Exercice
2.
3.
4.
5.
10
Non : la matrice nulle n’y est pas.
non. Loi non externe.
oui.
Non, la matrice nulle n’y est pas.
Exercice 14
1. F = V ect(M1 , M2 , M3 ) où



1 1 1
1
M1 = 1 1 2 M2 = −2
1 1 1
0
F n’est pas un espace vectoriel. le polynôme nul n’appartient pas à F .
oui : F est l’ensemble des polynômes de degré 1.
non : le polynôme nul n’y est pas !
Oui.
oui.
−1
0
1

0
1
−1

0
M3 = −1
3

1 −1
0 −1
1 0
Exercice 11
1. u ∈ F ∩ G ssi, avec les notations de la question, a = −2b, d’où
F ∩ G = {(−3b, −b, −2b) | b ∈ C} = Vect{(3, 1, 2)}
2.
u ∈ F ∩ G ssi, avec les notations de la question, a = −2b, d’où
F ∩ G = {(−3b, −b, −2b) | b ∈ R} = Vect{(3, 1, 2)}
3.
4.
5.
6.
impossible, F et G ne sont pas des sev d’un même espace.
F ∩ G = F = G.
F ∩ G = F = G.
F ∩ G = {0}.
Exercice 12
n
o
1. A = V ect (1, 1, −1), (−1, −1, 3) : x = y
n
o
2. A = V ect (−2, 1, 1); (−1, 1, 2) : x + 3y − z = 0
n
o
3. A = V ect (1, 1, 1) : x = y = z
Exercice 13
Pour α = −6 et β = −25 on a
(α, β, 8, 3) = 2(3, −2, 1, 6) − 3(4, 7, −2, 3).
6
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
2.
Dans la base canonique










0 1
0 0
0 0
1 0
,
,
,
B=
0 0
1 0
0 1 
0 0





| {z } | {z } | {z } | {z }
e1
e2
e3
Exercice 15
On note f : x 7→ cos(x + π4 ). Pour tout x ∈ R, on a
√
√
π
π
π
2
2
= cos x cos − sin x sin =
cos x +
cos x −
sin x
4
4
4
2
2
e4
i.e. f = −
On peut se ramener à un problème du même type que dans R4 car
      
0
1
1
1 −1  1  
      
G = V ect 
1 , −2 , −1 
0 B
0 B
1 B
a+b
a−b+c
a − 2b − c
a

1
1
M =
1
1
∼
C4 −(x−t)C2
=a
1
1
1
1
On peut donc par exemple utiliser la


1 1
0
1
0 x
1 −1 1
−1 1 y 
 ∼ 
−2 −1 z  C4 −tC1 1 −2 −1
1 0
0
0
0 t

1
1

1
1
−2
−1
1
0
−1
1
0
0
+b
1
−2
−1
0
+c
méthode du rang :


1
x−t
1
y − t
 ∼ 
z − t  L1 ↔L3 1
1
0

2x + z − 3t
x + y − 2t 

∼
 C4 −(x+y−2t)C
0
3
0

1
1

1
1
−2
−1
1
0
−1
1
0
0
−2
−1
1
0
0
−1
−1
1
0
0
1
0
√
+
2
2 f2 .
Exercice 16
x
1. 1 = cos2 ( x2 ) + sin2 ( x2 )
et
cos x = 2 cos2 − 1.
2
2. Analyse : supposons que x 7→ sin x ∈ E. Alors il existe a, b ∈ R tels que
sin x = a + b cos x ∀x ∈ R. Cherchons a, b :
π
pour x = , on trouve 1 = a.
2
π
pour x = − , on trouve −1 = a. C’est contradictoire. On en déduit que
2
sin 6∈ E.
car
√
2
2 f1
Exercice 17
1. indépendant.
2. non indépendant.

z−t
y − t

x − t
0
Exercice
1.
2.
3.
4.

3x + y + z − 5t

0


0
0
18
indépendants.
indépendants.
Non indépendant. g = 2h − f .
indépendant :
λeax +µebx +γecx = 0
⇔
eax (λ+µe(b−a)x +γe(c−a)x = 0
⇔
λ+µe(b−a)x +γe(c−a)x = 0
puis limite en −∞.
On en déduit d’une part que
dim G > 3
et comme dim G 6 3 par cardinal d’une famille génératrice, on a
dim G = 3
et (x, y, z, t) ∈ G ssi rgM = 3 i.e.
3x + y + z − 5t = 0
7
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
5.
On peut démontrer la liberté par récurrence sur n ∈ N.
•
Exercice 19
1. indépendants.
Initialisation :
•
La famille a un unique élément (fk )k=0,...,n = (x ∈ R 7→ 1) est libre car la
fonction est non nulle.
Méthode 1 :
On pose a, b, c ∈ R tels que
•
Hérédité :
aP + bQ + cR = 0
Supposons que la famille (fk )k=0,...,n soit libre et montrons que la famille
(fk )k=0,...,n+1 est libre.
Soient λ0 , . . . , λn+1 ∈ R tels que
On spécialise en X = 1 :
3b = 0
d’où
b=0
λ0 f0 + . . . + λn+1 fn+1 = 0
Puis, en spécialisant en X = 2 :
En spécialisant en x = 0, on obtient
2a = 0
λ0 = 0
car f0 (x) = 1
donne
∀x ∈ R. On a donc
a=0
λ1 f1 + . . . + λn+1 fn+1 = 0
Comme Q 6= 0, on en déduit pour finir
i.e.
c=0
λ1 sin + . . . + λn+1 sinn+1 = 0
On simplifie par sin pour tout x 6= 0 (π). On obtient, pour tout x 6= 0
•
(π),
λ1 f0 (x) + . . . + λn+1 fn (x) = 0
Méthode 2 :
Dans la base canonique (X 2 , X, 1) :
Les fonctions étant toutes continues sur R, on peut prolonger cette égalité en
tous les x = 0 (π). On obtient donc
P = X2 − X
;
Or
Q(X) = X 2 + 2

λ1 f0 + . . . + λn+1 fn = 0
1

−1
rg
0
et par hypothèse de récurrence, tous les λi sont bien nuls.
2.
Remarque : une autre solution aurait été de dériver l’égalité et de simplifier
par cos puis reprolonger de la même manière.
;
R(X) = X 2 − 3X + 2

1 1
0 −3 = 3
2 2
non indépendant :
•
Méthode 1 :
dim R2 [X] = 3 < card(P, Q, R, S).
•
Méthode 2 :
R = P 0 + P = Q + P est une relation sur la famille !
8
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
3.
9.
dépendants :
•
Méthode 1 :
Il s’agit de l’ensemble des fonctions x 7→ ax + b où a, b ∈ R. C’est donc la
famille
A = {f ∈ F(R) | il existe a, b ∈ R tels que f (x) = ax + b}
On cherche a, b, c tels que aP + bQ + cR = 0. On trouve :
Autrement dit,
P −R=Q
•
A = Vect {h, id}
Méthode 2 :
où h(x) = 1 et id(x) = x.
De plus, les fonctions h et id sont non colinéaires, elles forment donc une base
de A.

1
1
rg 
0
1
0
1
1
1
11.

1
0
=2
−1
0
? Si r2 − ar − b = 0 admet deux racines réelles distinctes r1 , r2
l’ensemble des suites possibles sont les
α(r1n ) + β(r2n )
Exercice 20
Soient a, b, c ∈ R tels que
une base de A = {suites réelles u | un+2 = aun+1 + bun } sera
{(r1n ); (r2n )}
a(un ) + b(vn ) = c(wn ) = (0)
? Si r2 − ar − b = 0 admet une seule racine r
l’ensemble des suites possibles sont les
On prend n = 0, 1, 2 et on obtient le système


a + b + c = 0
2a + 3b + 4c = 0


4a + 9b + 16c = 0
(α + nβ)(rn ) = α(rn ) + nβ(rn )
une base de A = {suites réelles u | un+2 = aun+1 + bun } sera
{(rn ); (nrn )}
Que l’on peut résoudre facilement et pour lequel on obtient comme seule solution
? Si r2 − ar − b = 0 admet deux racines complexes r1 = ρeiθ et r2 = ρe−iθ
l’ensemble des suites possibles sont les
ρn α cos(nθ) + β sin(nθ)
a=b=c=0
La famille est donc libre.
Exercice 21
rg(a, b, c, d) = 2 et rg(a, b) = rg(c, d) = 2 car les vecteurs sont non colinéaires à
chaque fois.
une base de A = {suites réelles u | un+2 = aun+1 + bun } sera
{(ρn cos(nθ)); (ρn sin(nθ))}
Exercice 22
7. A, B, C libre, c’est donc une base de l’espace qu’elle engendre.
8. C=2A-B, et les matrices sont deux à deux non colinéaires, donc rg(A, B, C) =
2 et une base est donc n’importe quelle famille de deux matrices parmi les 3.
Exercice 23
2. (−4, 1, −3) = −(2, 1, 1) + 2(1, 1, 0) − 2(2, 0, 1)
Exercice 24
9
— Feuille 5: Espaces vectoriels —
2.
Si P est la matrice colonne des coordonnées de (~a, ~b, ~c), i.e.


1 −1 −2
P = 0 −1 1 
1 2 −2

P −1
Exercice 25
1.
1
0
1
0
1
= −1
3
−1
p−1
1
−1
1

1
1
−1
Exercice 26
1.
alors

0
La matrice P = 1
1
2.

−1
= 12  1
1

6 3
0 1
3 1

1
1 est inversible.
0
2.
10
C’est une famille à degrés échelonnés


1 0 0
0
0 1 −1 2 

ou alors La matrice P = 
0 0 1 −3 est inversible.
0 0 0
1


1 0 0 0

0 1 1 1

P −1 = 
0 0 1 3
0 0 0 1
— Feuille 5: Espaces vectoriels —