Biostatistique. 1ère année Médecine TD
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Université de Sidi Bel Abbès Faculté de Médecine 1ère année Médecine 2015/2016 Module :Biostatistique. TD-No 05 : Lois de Probabilités Exercice 1 l’âge X d’apparition d’une maladie enfantine est distribuée selon une loi normale de moyenne 3 ans, et d’écart type 1 an. Calculer les probabilités d’avoir la maladie avant 6 mois, entre 1 an et 2 ans après 6 ans. Exercice 2 On estime que le temps nécessaire à un étudiant pour terminer une épreuve d’examen est une variable normale de moyenne N (90 ; 45). 240 candidats se présentent à cet examen 1. Combien d’étudiants termineront l’épreuve en moins de deux heures ? 2. Quelle devrait être la durée de l’épreuve si l’on souhaite que 200 étudiants puissent terminer l’épreuve ? Exercice 3 On a étudié la glycémie d’une population d’individus présentant certaines caractéristiques précises ; on a obtenu les résultats suivants : 20% des glycémies sont inférieures à 0,82 g/l et 30% des glycémies sont supérieures à 0,98 g/l. Si on suppose que la glycémie des individus présentant ces caractéristiques suit une loi normale, déterminer la moyenne et l’écart-type de cette loi. Exercice 4 A. Fatima part à la cueillette des champignons. Elle ne sait pas faire la différence entre un champignon comestible et un champignon toxique. On estime que la proportion de champignons toxiques se trouvant dans les bois s’élève à 0.7. – Fatima ramasse six champignons au hasard. Calculer la probabilité qu’elle ramasse exactement quatre champignons toxiques. – Fatima invite Ahmed à une cueillette. Ahmed connaît bien les champignons ; sur dix champignons qu’il ramasse, neuf sont comestibles. Ce jour-là, il ramasse quatre champignons et Fatima en ramasse trois. Calculer la probabilité que tous les champignons soient comestibles. B. Ahmed cueille en moyenne 12 champignons par heure. – Calculer la probabilité qu’il ramasse exactement 8 champignons en heure. – Calculer la probabilité qu’il ramasse au moins un champignon en 20 minutes. Exercice 5 Considérons un groupe de 4 individus choisis parmi une population des algériens âgés de 60 à 75 ans. Le nombre de personnes dans cet échantillon, souffrant d’hypertension, est une variable aléatoire binômiale de paramètres n = 4 et p = 0.15. (a) Quelles sont les probabilités que aucun, un, deux, trois puis quatre des personnes souffrent d’hypertension ? (b) Représenter la distribution de probabilté de la variable. (c) Représenter sa fonction de distribution cumulative. Exercice 6 On sait que la probabilité pour qu’une personne soit allergique à un certain médicament est égale à 10−3 . On s’intéresse à un échantillon de 1000 personnes. On appelle X la variable aléatoire dont la valeur est le nombre de personnes allergiques dans l’échantillon. 1. Déterminer, en la justifiant, la loi de probabilité de X. 1 2. En utilisant une approximation que l’on justifiera, calculer les probabilités des évènements suivants : a) Il y a exactement deux personnes allergiques dans l’échantillon. b) Il y a au moins deux personnes allergiques dans l’échantillon. Exercice 7 Les services d’urgences d’un hôpital sont sollicités deux fois tous les quarts d’heure. Calculer les probabilités que le nombre de cas d’urgence en une heure soit de 7, supérieurs à 7. Exercice 8 La probabilité qu’un individu ait une réaction allergique à un sérum donné est 0.001. Déterminer la probabilité que sur 2000 individus : – avoir exactement 3 personnes, – plus de 2 aient une réaction allergique. Vérifier les calculs à partir de la loi de Poisson et de la loi normale. Exercice 9 On suppose que le nombre de globules blancs par unité de volume d’une solution diluée de sang (ces globules étant comptés au moyen d’un microscope) suit une distribution de Poisson de moyenne 100. Calculer la probabilité d’en observer 90 au moins lors de la prochaine expérience. Exercice 10 On sait que la vaccination antivariolique peut entraîner une encéphalite 1 fois sur 50000 et que cette infection entraîne la mort une fois sur deux. Si un médecin effectue dans sa carrière 10000 vaccinations, quelle est la probabilité qu’il observe (a) au moins un cas d’encéphalite ? (b) au moins un décès dû à la vaccination ? Exercice 11 Le nombre de rhumes attrapé par un individus en l’espace d’un an est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ = 5. Un remède-miracle (basé sur l’effet de la vitamine C à haute dose) a été lancé sur le marché. Il abaisse le paramètre λ à 3 pour 75% de la population. Pour les 25 derniers pourcentage de la population le remède n’a pas d’effet appréciable. 1. Si 200 individus essaient le remède, quel est le nombre moyen de rhumes qu’ils attrapent durant une année ? 2. Sachant qu’un individu essaie ce médicament pendant un an et attrape deux rhumes, quelle est la probabilité que le remède ait eu un effet sur lui. Exercice 12 On évalue à 0,4 la probabilité qu’une personne en âge d’être vaccinée contre la grippe demande à être vaccinée . Pour une population de 20000 habitants en âge d’être vaccinés, de combien de vaccins doit-on disposer pour que la probabilité qu’on vienne à en manquer soit inférieure à 0,1 ? 2
