Equations cohomologiques de flots riemanniens et de

doi: 10.2969/jmsj/05941105
E
´quations cohomologiques de flots riemanniens
et de diffe
´omorphismes d’Anosov
By Akbar DEHGHAN-NEZHAD and Aziz ELKACIMI ALAOUI
(Received Oct. 18, 2006)
(Revised Jan. 22, 2007)
Abstract. In this paper: i) We compute the leafwise cohomology of a complete
Riemannian Diophantine flow. ii) We solve explicitly the discrete cohomological equation
for the Anosov diffeomorphism on the torus Tndefined by a hyperbolic and
diagonalizable matrix A2SLðn; ZÞwhose eigenvalues are all real positive numbers.
We use this to solve the continuous cohomological equation of the Anosov flow Fon the
hyperbolic torus Tnþ1
Aobtained from Aby suspension. This enables us to compute some
other geometrical objects associated to the diffeomorphism Aand the foliation Flike the
invariant distributions and the leafwise cohomology.
Introduction.
Un syste
`me dynamique discret (SDD en abre ´ge ´) est la donne ´e d’un couple ðM;Þou
`
Mest une varie
´te ´et un diffe ´omorphisme de M. On dira que deux SDD ðM;Þet ðN;Þ
sont conjugue
´ss’ilexisteundiffe ´omorphisme h:M! Ntel que ¼hh1.Un
syste
`me dynamique continu (SDC en abre ´ge ´) est la donne ´e d’un couple ðM;XÞou
`Mest
une varie
´te ´et Xun champ de vecteurs sur M. Deux SDC ðM;XÞet ðN;YÞsont dits
conjugue
´s s’il existe un diffe ´omorphisme h:M! Ntel que hðXÞ¼Y.
On se donne un SDD ðM;Þet un SDC ðM;XÞ.OnnoteC1ðMÞl’espace des
fonctions complexes de classe C1sur M. On s’inte
´resse aux proble `mes suivants. Soit
g2C1ðMÞ. (1) Existe-t-il f2C1ðMÞtelle que ff¼g? (2) Existe-t-il f2
C1ðMÞtelle que Xf¼g?L’e
´quation (1) est appele ´ee ´quation cohomologique discre `te
du SDD ðM;Þet l’e
´quation (2) e ´quation cohomologique continue du SDC ðM;XÞ.
La re
´solution de ces deux e ´quations est un proble `me important en the ´orie des
syste
`mes dynamiques. Mais il est tre `s difficile d’attaque dans la plupart des cas. On peut
de
´ja `remarquer (et ceci nous sera utile dans la suite) que si ðM;Þet ðN;Þsont deux
SDD conjugue
´sparh:M! N,alorsv2C1ðNÞest solution de l’e
´quation vv¼
gsi, et seulement si, u¼vhest solution de uu¼gh.Demeˆme si ðM;XÞet
ðN;Y Þsont deux SDC conjugue
´sparh:M! N,alorsv2C1ðNÞest solution de
l’e
´quation Yv¼gsi, et seulement si, u¼vhest solution de Xu¼gh.Pour
re
´soudre ce proble `me, on peut donc se donner la liberte ´de remplacer un syste `me
dynamique par tout autre qui lui est conjugue
´.
Les e
´quations cohomologiques (discre `tes ou continues) apparaissent de fac¸on plus
ou moins explicite dans pas mal de domaines mathe
´matiques. Dans [Li1] A. Livsic s’est
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 53C12; Secondary 37A05, 37C10, 58A30.
Key Words and Phrases. e
´quation cohomologique, distribution invariante, flot d’Anosov.
#2007 The Mathematical Society of Japan
J. Math. Soc. Japan
Vol. 59, No. 4 (2007) pp. 1105–1134

inte
´resse ´a `la re ´solution des ECD avec des conditions holde ´riennes sur les fonctions. En
classe C1, des conditions ne
´cessaires et suffisantes d’existence de solutions ont e ´te ´
donne
´es pour un flot d’Anosov dans [LMM, Theorem 2.1, p.566] en termes de
distributions invariantes. Il y a aussi les travaux de S. Greenfield et N. Wallach [GW],
ceux de L. Flaminio et G. Forni [FF1]et[FF2] ou encore l’article [Fo]deG.Forniou
`il
e
´tudie l’e ´quation cohomologique continue associe ´ea `un champ de vecteurs pre ´servant
un volume sur une surface compacte de genre supe
´rieur ou e ´gal a `2. Des re ´sultats
mettant un lien entre les e
´quations cohomologiques continues et la the ´orie des
repre
´sentations se trouvent dans [Mi].
Le but de notre travail est de re
´soudre explicitement ces e ´quations cohomologiques
(cas continu et cas discret) dans des situations particulie
`res. Nous rappellerons le cas
d’un champ line
´aire sur le tore Tn,quiestde
´ja `connu mais qui nous sera utile. On
regardera ensuite le cas d’une fibration en tores avec un champ line
´aire diophantien
tangent. Cette situation contient en particulier le cas d’un champ invariant (a
`gauche ou
a
`droite) sur un groupe de Lie. De fac¸on plus ge ´ne ´rale, on e ´tudiera la situation d’un flot
riemannien complet. Nous traiterons ensuite le cas d’un diffe
´omorphismeetlechamp
qu’il de
´finit par suspension ; nous verrons que, dans cette situation ge ´ome ´trique, la
re
´solution de l’e ´quation cohomologique continue du champ est e ´quivalente a `celle de
l’e
´quation cohomologique discre `te du diffe ´omorphisme. Enfin, nous passerons a `
l’e
´quation cohomologique discre `te associe ´ea `un diffe ´omorphisme d’Anosov sur Tn
induit par une matrice hyperbolique A2SLðn; ZÞdiagonalisable et a
`valeurs propres
re
´elles positives ainsi que l’e ´quation cohomologique continue du flot d’Anosov qu’elle
de
´finit par suspension sur le tore hyperbolique Tnþ1
A.Nousende
´duisons d’autres
invariants ge
´ome ´triques associe ´sa `de tels flots et diffe ´omorphismes comme par exemple
les distributions invariantes et la cohomologie feuillete
´e.
Comme nous l’avons de
´ja `signale ´,leproble `me de l’existence des solutions pour un
flot d’Anosov sur une varie
´te ´compacte est re ´solu dans [LMM] mais notre travail donne
une de
´monstration directe, explicite et e ´le ´mentaire. En plus, les solutions sont
fabrique
´es par des ope ´rateurs compacts qui sont presque des ‘‘inverses a `gauche’’ de
l’ope
´rateur cobord (dans le cas discret) et l’ope ´rateur de de ´rivation le long du champ
(dans le cas continu).
Dans toute la suite le mot ‘‘varie
´te ´’’ si gnifiera varie ´te ´diffe ´rentiable de classe C1
connexe et orientable. Sauf mention expresse du contraire, les objets ge
´ome ´triques que
l’on conside
´rera (applications, diffe ´omorphismes, champs de vecteurs, formes diffe ´r-
entielles etc.)serontaussideclasseC1. On adoptera les notations suivantes :
–Si! Mest un fibre
´vectoriel au-dessus de M,C1ðÞde
´signera l’espace de
Fre
´chet de ses sections C1.
–Sif:M! Nest une application diffe
´rentiable, dxf:TxM! TfðxÞNsera la
diffe
´rentielle de fau point x2M.
–Si:M! Mest une bijection de M,pourtoutk2Z,ksera la compose
´ejkj
fois de ou de son inverse 1suivant que kest positif ou ne
´gatif.
1. Questions pre
´liminaires.
Nous exposons dans cette section diverses questions fortement lie
´es aux e ´quations
1106 A. DEHGHAN-NEZHAD and A. ELKACIMI ALAOUI

cohomologiques susmentionne
´es. Soit Mune varie ´te ´compacte. L’espace vectoriel
C1ðMÞdes fonctions complexes de classe C1sur Msera muni de sa topologie C1
usuelle;elleenfaitunespacedeFre
´chet.
1.1. Distributions invariantes.
Une distribution sur Mest une forme line
´aire continue ’2C1ðMÞ!
ThT;’i2C
i.e. un e
´le ´ment du dual topologique D0ðMÞde C1ðMÞ. L’espace vectoriel D0ðMÞsera
muni de la topologie faible i.e. la topologie la moins fine qui rend continues toutes les
e
´valuations line ´aires e’:T2D0ðMÞ 7! h T;’i2C. Toute forme volume sur M
permet de de
´finir une injection f2C1ðMÞ 7! Tf2D0ðMÞdonne
´epar:
hTf;’i¼ZM
ðf’Þ:
Toute distribution decetypeestditere
´gulie `re.
Soit M!
Mun diffe
´omorphisme. Une distribution T2D0ðMÞest dite invariante
par (ou simplement -invariante) si elle ve
´rifie hT;’i¼hT;’ipour toute fonction
’2C1ðMÞ.OndiraqueTest invariante par un groupe de diffe
´omorphismes de M
(ou -invariante) si elle est invariante par chacun de ses e
´le ´ments. (Il suffit en fait de
ve
´rifier la proprie ´te ´sur les e ´le ´ments d’un syste `me ge ´ne ´rateur de .) Les distributions -
invariantes forment un sous-espace vectoriel D0
ðMÞferme
´(pour la topologie faible) de
D0ðMÞ.Lecalculdel’espaceD0
ðMÞest loin d’eˆtre trivial meˆme pour des donne
´es ðM;Þ
simples et explicites. Quelques travaux cependant ont e
´te ´entrepris dans cette direction
(cf. par exemple [AE], [EMM]).
Notons Cle sous-espace vectoriel de C1ðMÞengendre
´alge ´briquement par les
e
´le ´ments de la forme ’’ou
`’2C1ðMÞet 2.Parde
´finition meˆme, une
distribution est -invariante si, et seulement si, elle est nulle sur C; elle induit donc une
forme line
´aire continue sur l’espace quotient C1ðMÞ=C(ou sur le se
´pare ´associe ´
C1ðMÞ=Cou
`Cde
´signe l’adhe ´rence de C). Dans le cas ou
`est engendre
´par un seul
e
´le ´ment ,C1ðMÞ=Cn’est rien d’autre que le premier espace de cohomologie
H1ðZ;C1ðMÞÞ du groupe Za
`valeursdansleZ-module C1ðMÞ(l’action e ´tant
ðk; fÞ2ZC1ðMÞ!fk2C1ðMÞ). Son calcul se rame
`ne a `celui de Cet donc a `la
re
´solution de l’e ´quation cohomologique discre `te (le terme ‘‘cohomologique’’ s’introduit
de fac¸on naturelle) :
ff¼g: ð1Þ
1.2. E
´quation cohomologique continue.
Soit Xun champ de vecteurs sur M.AlorsXde
´finit un ope ´rateur diffe ´rentiel
du premier ordre X:C1ðMÞ!C1ðMÞpar ðXfÞðxÞ¼dxfðXxÞ.Ilestnaturelde
s’inte
´resser aux solutions de l’e ´quation cohomologique continue :
Xf¼g: ð2Þ
E
´quations cohomologiques de flots riemanniens et de diffe
´omorphismes d’Anosov 1107

L’ope
´rateur X:C1ðMÞ!C1ðMÞadmet une extension naturelle aux distribu-
tions X:T2D0ðMÞ!XT2D0ðMÞavec hXT;’i¼hT;X ’i. On pourrait
donc s’inte
´resser a `la re ´solution de l’e ´quation cohomologique continue au niveau des
distributions:
XT¼S: ð3Þ
Une distribution Test dite invariante par Xou X-invariante si elle ve
´rifie XT¼0
i.e. elle est nulle sur l’image de X:C1ðMÞ!C1ðMÞqui est l’espace des divergences
de X. Une condition ne
´cessaire (et non suffisante en ge ´ne ´ral) pour que l’e ´quation (2)
admette une solution fest donc hT;gi¼0pour toute distribution Tinvariante par X.
Le proble
`me de la re ´gularite ´des solutions a une grande importance. On dira que X
est globalement hypoelliptique si, pour toute distribution T2D0ðMÞ:
XT2C1ðMÞ¼)T2C1ðMÞ:
Le seul exemple connu d’un tel champ est celui d’un champ line
´aire diophantien (cf. 2.3)
sur le tore Tn. Ce qui a amene
´S. Greenfield et N. Wallach a `e ´mettre dans [GW]la:
CONJECTURE.Soient Mune varie
´te ´compacte orientable de dimension net Xun
champ de vecteurs partout non nul pre
´servant un volume C1sur M. On suppose que X
est globalement hypoelliptique. Alors Mest diffe
´omorphe au tore Tnet Xest conjugue
´a `
un champ line
´aire diophantien.
1.3. Cohomologie feuillete
´e.
On rappelle qu’un feuilletage Fde dimension msur une varie
´te ´Mest la donne ´e
d’un sous-fibre
´de rang mdu fibre ´tangent TM comple `tement inte ´grable, c’est-a `-dire
que pour toutes sections X; Y 2C1ðÞde (i.e. des champs de vecteurs sur Mtangents
a
`), le crochet ½X; Y est encore une section de .Lessous-varie ´te ´s connexes tangentes a `
sont appele
´es feuilles de F.
Soit Fun feuilletage de dimension msur M.Pourtoutr2N,onnoterðTFÞle
fibre
´coalge `bre exte ´rieure de degre ´rsur TF(le fibre ´tangent a `F). Ses sections sont les
formes diffe
´rentielles feuillete ´es de degre ´r; elles forment un espace vectoriel qu’on
notera r
FðMÞ.Onaunope
´rateur de diffe ´rentiation exte ´rieure le long des feuilles de F
dF:
r
FðMÞ!rþ1
FðMÞde
´fini (comme dans le cas classique) par la formule :
dFðX1;;X
rþ1Þ¼X
rþ1
i¼1
ð1ÞiXiðX1;;b XXi;;X
rþ1Þ
þX
i<j
ð1Þiþjð½Xi;X
j;X 1;;b
XXi;;b XXj;;X
rþ1Þ
ou
`b
XXisignifie qu’on a omis l’argument Xi.Onve
´rifie facilement que l’ope ´rateur dFest
de carre
´nul. On obtient ainsi un complexe diffe ´rentiel (dit complexe feuillete ´):
1108 A. DEHGHAN-NEZHAD and A. ELKACIMI ALAOUI

0! 0
FðMÞ!
dF1
FðMÞ!
dF! dFm1
FðMÞ!
dFm
FðMÞ!0:ðCFÞ
On note Zr
FðMÞle noyau de dF:
r
FðMÞ!rþ1
FðMÞet Br
FðMÞl’image de
dF:
r1
FðMÞ!r FðMÞ.LequotientHr FðMÞ¼Zr FðMÞ=Br FðMÞest le r
eeme espace
vectoriel de cohomologie feuillete
´edeðM;FÞ. C’est un invariant important du
feuilletage. Par exemple le dual topologique de Hm
FðMÞcontient les cycles feuillete
´sau
sens de [Su] et donc, en particulier, les mesures transverses invariantes (cf. [Ek]).
Le calcul de H
FðMÞest souvent tre
`s ardu ! Pour une utilisation inte ´ressante de la
cohomologie feuillete
´edansl’e ´tude de la rigidite ´de certaines actions de groupes de Lie
voir [MM].
Il arrive que l’espace vectoriel topologique Hr
FðMÞ(les espaces de formes feuillete
´es
sont munis de la topologie C1)nesoitpasse
´pare ´! On appelle alors cohomologie
feuillete
´ere ´duite le quotient 
HHr
FðMÞ¼Zr FðMÞ=Br
FðMÞou
`Br
FðMÞest l’adhe
´rence de
Br
FðMÞ.
Si Xest un champ non singulier sur M, il induit un feuilletage (ou flot) F.Onpeut
de
´finir sa cohomologie feuillete ´edefac¸on plus simple. Notons le fibre ´tangent a `Fet 
un sous-fibre
´supple ´mentaire a `dans TM.Soitla 1-forme diffe ´rentielle telle que
ðXÞ¼1et j¼0. Il est facile de voir que, pour tout r2N,ona:
r
FðMÞ¼
C1ðMÞsi r¼0
C1ðMÞsi r¼1
0sir2
8
>
<
>
:
et que le complexe feuillete
´se re ´duit a `:
0! 0
FðMÞ!
dX1
FðMÞ!0
ou
`dXest l’ope
´rateur de ´fini par dXf¼ðXfÞ.Sonconoyau1
FðMÞ=Im dXest
exactement le premier espace de cohomologie feuillete
´eH1
FðMÞde F.Ilnede
´pend pas
du champ qui le de
´finit : on ve ´rifie aise ´ment, en exhibant explicitement un isomor-
phisme de complexes feuillete
´s, qu’on obtiendrait la meˆme cohomologie si on remplac¸ait
le champ Xpar un champ Z¼hX avec hfonction partout non nulle. On montre qu’il ne
de
´pend pas non plus du choix du fibre ´supple ´mentaire .
Le calcul de l’espace H1
FðMÞrevient exactement a
`la re ´solution de l’e ´quation
cohomologique continue pour le champ X.
Revenons maintenant aux e
´quations(1)et(2).Leurre ´solution sera l’une des
questions que nous aborderons dans ce travail pour des donne
´es particulie `res ðM;Þet
ðM;XÞ.
2. Fibrations en tores.
Soit n2un entier. L’espace vectoriel Rnsera e
´quipe ´de son produit scalaire
habituel h;i;lanormeassocie
´eseranote ´ejj.LetoreTnest obtenu comme le quotient
de Rnpar son re
´seau standard Zn.Pourm2Zn,onnotemla fonction mðxÞ¼
E
´quations cohomologiques de flots riemanniens et de diffe
´omorphismes d’Anosov 1109