Espaces vectoriels I Structure d`espace vectoriel

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Espaces vectoriels
Dans tout ce chapitre, K = R ou K = C.
I Structure d'espace vectoriel
I.1 Règles de calcul dans un espace vectoriel
Dénition 1
Soit E un ensemble muni d'une opération interne (l'addition) notée + et d'une opération
externe notée · (la multiplication par les nombres) : K × E −→ E
−
−
(λ , →
u ) 7−→ λ · →
u
On dit que (E, +, ·) est un espace vectoriel sur K ou un K-e.v. ssi :
−
−
−
−
−
−
1) ∀ (→
u ,→
v ,→
w ) ∈ E 3 , (→
u +→
v)+→
w =
−
→
−
→
−
→
−
−
−
2) ∃ 0E ∈ E ; ∀ →
u ∈ E, →
u + 0E = 0E + →
u =
−
→
−
−
−
−
−
−
3) ∀ →
u ∈ E, ∃ →
v ∈E; →
u +→
v =→
v +→
u = 0E
−
On écrit →
v =
−
−
−
−
4) ∀ (→
u ,→
v ) ∈ E 2, →
u +→
v =
−
5) ∀ (λ, µ) ∈ K2 , ∀ →
u ∈ E,
−
−
6) ∀ λ ∈ K, ∀ (→
u ,→
v ) ∈ E 2,
−
7) ∀ (λ, µ) ∈ K2 , ∀ →
u ∈ E,
associativité de l'addition
élément neutre pour l'addition
opposé pour l'addition
commutativité de l'addition
−
(λ + µ) · →
u =
−
−
λ · (→
u +→
v)=
−
λ · (µ · →
u)=
−
−
8) ∀ →
u ∈ E, 1 · →
u =
distributivité
distributivité
associativité mixte
élément neutre pour
la multiplication externe
Remarques
:
−
−
. On écrit souvent λ→
u à la place de λ · →
u.
. Si E est un K-espace vectoriel, les éléments de E sont appelés
appelés scalaires.
vecteurs et ceux de K sont
Premiers exemples :
L'ensemble V des vecteurs géométriques du plan usuel (ou de l'espace usuel) est un espace
vectoriel sur R.
(R, +, ×) est un R-espace vectoriel, mais N, Z et Q n'en sont pas.
(C, +, ·) est un R-e.v. lorsque + désigne l'addition usuelle des complexes et λ · z le produit
externe d'un complexe z par un réel λ.
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Proposition 1
Soit E un K-espace vectoriel.
−
−
Pour tout scalaire λ et pour tous vecteurs →
u et →
v de E :
−
→
−
λ→
u = 0E ⇐⇒
−
−
λ(−→
u ) = (−λ)→
u =
−
−
λ(→
u −→
v)=
Preuve :
−
•0·→
u =
I.2 Exemples fondamentaux
I.2.1 L'espace Kn
Soit n est un entier supérieur ou égal à 2. On note Kn l'ensemble des listes ordonnées de n nombres
(réels si K = R ou complexes si K = C). On dénit sur Kn les lois + et · par :
(x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) =
λ · (x1 , x2 , . . . , xn ) =
où
x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn , λ
sont des éléments quelconques de K.
On peut identier Kn à
Théorème 2
(Kn , + , ·) est un espace vectoriel sur K.
I.2.2 Espace de matrices
Pour tous entiers naturels non nuls n et p, l'ensemble Mn,p (K) des matrices à n lignes et p colonnes,
à coecients dans K, est un K-espace vectoriel pour l'addition matricielle + et la multiplication
externe · d'une matrice par un scalaire.
I.2.3 Espace de polynômes
L'ensemble K[X] des polynômes à coecients dans K, muni de
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I.2.4 Espace de fonctions
Théorème 3
Soit Ω un ensemble non vide. On note F(Ω , K) ou encore KΩ l'ensemble des applications
de Ω à valeurs dans K. On dénit sur F(Ω , K) les lois + et · de la façon suivante :
pour toutes applications f et g de KΩ , pour tout scalaire λ,
(f + g) : Ω −→ K
x 7−→
et
(λ · f ) : Ω −→ K
x 7−→
Muni de ces deux lois, F(Ω , K) est un K-espace vectoriel dont le vecteur nul est
Preuve :
montrons par exemple, l'axiome n6 de la dénition 1.
Conséquences
:
Soit I un intervalle non vide de R. L'ensemble F(I, R) = RI des fonctions réelles dénies sur
I est, pour les opérations usuelles d'addition et de produit par un réel, un R-espace vectoriel.
L'ensemble RN des suites réelles, muni de l'addition des suites et du produit par un réel, est
un
I.3 Sous-espaces vectoriels
Dénition 2
Soit E un K−e.v. et F une partie de E .
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E ssi
−
→
0E ∈ F
−
−
pour tous vecteurs →
u et →
v de F ,
−
pour tout scalaire λ, pour tout vecteur →
u de F ,
Exemples :
(i)
n−
→o
0E et E sont des sous-espaces vectoriels de E .
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(ii) (x, y, z) ∈ R3 / 3x + 2y =
est un sous-espace vectoriel de R3 .
(iii) Soit n un entier naturel. L'ensemble Kn [X] des
(iv) Soit I un intervalle non vide de R. L'ensemble D(I, R) des fonctions dérivables sur I à
valeurs dans R est un s.e.v. de l'espace
Proposition 4
Si F est un sous-espace vectoriel du K-e.v. E ,
alors l'ensemble F muni des lois induites + et · est lui-même un
Proposition 5
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un s.e.v. de E .
II Familles libres de vecteurs, familles génératrices
Dans ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel sur K.
II.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille
Dénition 3
−
−
−
−
On appelle combinaison linéaire des vecteurs →
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up de E tout vecteur
→
−
V de la forme :
p
X
→
−
−
−
−
−
V = α1 →
u1 + α2 →
u2 + α3 →
u3 + · · · + αp →
up =
i=1
où α1 , α2 , α3 . . . αp sont des scalaires quelconques.
→
−
−
Exemple : le vecteur V = (3 , 4) est combinaison linéaire des vecteurs →
u1 = (1 , 0) et
→
−
u2 = (−1 , 1).
En eet,
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Théorème 6
−
−
−
−
Soit →
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up des vecteurs de E .
−
L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des →
ui est un sous-espace vectoriel de E .
→
−
→
−
−
−
On l'appelle s.e.v. engendré par les vecteurs u1 , u2 , →
u3 , . . . , →
up et on le note
−
−
−
−
Vect(→
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up )
−
Exemple : soit →
u = (1 , −2) un vecteur de R2 .
−
−
Alors Vect(→
u ) = {λ →
u | λ ∈ R} =
II.2 Famille génératrice
Dénition 4
−
−
−
−
Soit F = (→
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up ) une famille nie de p vecteurs de E .
On dit que F est une famille génératrice de E
−
−
−
−
ssi
Vect(→
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up ) = E
−
−
−
−
ssi
tout vecteur de E est combinaison linéaire de →
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up
ssi
−
−
Exemple : montrer que dans R2 , les vecteurs →
u1 = (1 , 1) et →
u2 = (2 , 3) forment une famille
génératrice.
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II.3 Indépendance linéaire
Dénition 5
−
−
−
−
Soit F = (→
u1 , →
u2 , →
u3 , . . . , →
up ) une famille de p vecteurs de E .
- On dit que la famille F est liée
ssi l'un des vecteurs de F est combinaison linéaire des autres vecteurs de F .
- Une famille de vecteurs qui n'est pas liée est dite . . .
−
−
−
−
Exemples : (i) Une famille de deux vecteurs (→
u,→
v ) du plan usuel est liée ssi →
u et →
v sont
−
−
−
(ii) Dans l'espace R3 , les vecteurs →
u,→
v et →
w forment une famille liée ssi ces trois vecteurs
sont
Proposition 7
−
−
−
Une famille (→
u1 , →
u2 , . . . , →
up ) de vecteurs de E est libre ssi
∀ (α1 , α2 , . . . , αp ) ∈ Kp ,
−
→
−
−
−
α1 →
u1 +α2 →
u2 +· · ·+αp →
up = 0E =⇒
Exemple : dans F(R, R), on dénit les fonctions f1 , f2 et f3 par
∀ x ∈ R,
f1 (x) = 1 ,
f2 (x) = cos x ,
f3 (x) = sin x
Montrer que la famille (f1 , f2 , f3 ) est libre dans F(R, R).
II.4 Bases d'un espace vectoriel
Dénition 6
On appelle base de E toute famille
et
de E .
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Exemples :
−
(i) Tout vecteur →
u = (x1 , x2 , . . . , xn ) de Kn est combinaison linéaire des vecteurs
→
−
−
−
e1 , →
e2 , . . . , →
en dénis par :





→
−
e1 = (1 , 0 , 0 , . . . , 0)
→
−
e2 = (0 , 1 , 0 , . . . , 0)
.
..



 →
−
en = (0 , 0 , . . . , 0 , 1)
→
−
−
u = x1 →
e1 +
Dénition 7
−
−
−
On dit que (→
e1 , →
e2 , . . . , →
en ) est la base canonique de Kn .
−
−
−
−
(ii) Posons E = R2 , →
u1 = (1 , 1) et →
u2 = (2 , 3). On a vu que Vect(→
u1 , →
u2 ) = E .
→
−
→
−
Montrons de plus que (u1 , u2 ) est une famille libre.
II.5 Coordonnées d'un vecteur dans une base nie
Proposition 8
−
−
−
Soit B = (→
u1 , →
u2 , . . . , →
up ) une famille de vecteurs de E .
−
−
−
La famille de vecteurs B = (→
u1 , →
u2 , . . . , →
up ) est une base de E
→
−
ssi tout vecteur V de E s'écrit de manière unique sous la forme
→
−
−
−
−
V = α1 →
u1 + α2 →
u2 + · · · + αp →
up
avec (α1 , α2 , . . . , αp ) ∈ Kp
→
−
On dit alors que (α1 , α2 , . . . , αp ) sont les coordonnées du vecteur V dans la base B et on écrit
simplement :
 
α1

→
−  α2 

V  .. 
.
αp
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→, −
→
−
→
Preuve : ⇒ On suppose que B = (−
u
1 u2 , . . . , up ) est une base de E .
III Somme de deux sous-espaces vectoriels
III.1 Sous-espace engendré par la réunion de deux s.e.v
Dénition 8
Soit E un K-espace vectoriel. Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E .
On appelle somme de F et G le sous-ensemble de E noté F + G déni par
F +G=
Proposition 9
Si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E , alors
(i) F + G est un sous-espace vectoriel de E .
(ii) F + G est le sous-espace vectoriel de E engendré par
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Preuve :
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(i) F + G 6= ∅ car
III.2 Somme directe
Dénition 9
Soit F et G deux s.e.v. d'un espace vectoriel E .
On dit que la somme F + G est directe lorsque F ∩ G =
On la note alors F ⊕ G.
Proposition 10
−
−
−
F + G = F ⊕ G ⇐⇒ ∀ →
x ∈ F + G, ∃ !(→
x1 , →
x2 ) ∈ F × G ;
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Preuve : "⇒" On suppose que F
et G sont en somme directe. Alors
III.3 Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Dénition 10
Soit F et G deux s.e.v. d'un espace vectoriel E .
On dit que F et G sont supplémentaires dans E ssi E = F ⊕ G c'est-à-dire
E =F +G
et
F ∩G=
On déduit de la proposition précédente que
−
−
−
E = F ⊕ G ⇐⇒ ∀ →
x ∈ E, ∃ !(→
x1 , →
x2 ) ∈ F × G ;
IV Espaces vectoriels de dimension nie
IV.1 Existence de bases
Dénition 11
On appelle espace vectoriel de dimension nie, tout espace vectoriel admettant au moins
une famille . . .
Exemples :
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Proposition 11 (admise, appelée théorème de la base incomplète)
n−
→o
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie, non réduit à 0E .
Toute famille libre de E peut être complétée en une base.
n−
→o
Tout espace vectoriel de dimension nie non réduit à 0E admet au moins une base.
IV.2 Dimension d'un espace vectoriel
Proposition 12 (admise)
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie.
Alors toutes les bases de E comportent le même nombre d'éléments.
Dénition 12
n−
→o
Si E est un K-espace vectoriel de dimension nie non réduit à 0E , on appelle dimension denE leonombre de vecteurs constituant une base de E . Elle est notée dim(E).
−
→
Si E = 0E , on convient que
Exemples : (i)
Rn est de dimension
(ii) Soit n ∈ N. Alors l'ensemble Kn [X] = {P ∈ K[X] | deg(P ) 6 n} est un
IV.3 Caractérisation des bases
Théorème 13
Dans un espace vectoriel E de dimension nie n (n ∈ N∗ ),
toute famille libre comporte au plus
une famille libre comportant n vecteurs est une
toute famille génératrice de E comporte
une famille génératrice de E comportant n vecteurs est une
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Pour montrer qu'une famille B de p vecteurs est une base de E (avec dim(E) = n),
il sut donc de vérier que p = n et que B est
IV.4 Sous-espaces en dimension nie
Théorème 14
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie n
et F un sous-espace vectoriel de E. Alors
F est de dimension nie et
dim(F )
dim(E)
Si de plus dim(F ) =dim(E) alors
Preuve :
Soit F un sous-espace vectoriel de E .
Exemples :
(i) Si dim(F ) = 0 alors
(ii) Si dim(F ) = 1 , on dit alors que F est une
(iii) Si dim(F ) = 2 , on dit alors que F est un
(iv) Si dim(F ) = dim(E) − 1 , on dit alors que F est un
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Proposition 15 (existence de supplémentaires en dimension nie)
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie n (n ∈ N∗ ).
et F un sous espace vectoriel de E . Alors
(i) F possède au moins un supplémentaire dans E
c.à.d
(ii) Dans ce cas,
dim(E) =
Théorème 16 (formule de Grassman)
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie. Si F et G sont deux sous-espaces
vectoriels de E , alors
dim(F + G) =
Preuve :
supposons F 6=
n−
→o
0E .
: Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie.
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E .
Alors F et G sont supplémentaires dans E :
si et seulement si deux des trois propriétés suivantes sont satisfaites :
Corollaire
(i)
(ii)
(iii)
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IV.5 Rang d'une famille nie de vecteurs
Dénition 13
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie n (n ∈ N∗ ). On appelle rang de la
famille F , noté rg(F ), la dimension de l'espace vectoriel engendré par cette famille.
Autrement dit
−
−
−
rg →
u1 , →
u2 , . . . , →
up =
Exemple :
−
−
rg →
u1 , →
u2 =











Remarque
:
−
−
−
rg →
u1 , →
u2 , . . . , →
up = p ssi
Comment calcule-t-on le rang d'une famille de vecteurs ?
On ne modie pas le rang d'une famille de vecteur lorsque :
on retire le vecteur nul de la famille si celui-ci y apparaît,
on permute les vecteurs de la famille,
on multiplie un vecteur par un scalaire λ non nul,
on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs.
1. L'ensemble des suites réelles convergentes constitue-t-il un R-espace
vectoriel ?
2. L'ensemble des suites réelles divergentes constitue-t-il un R-espace
vectoriel ?
3. Soit ` un nombre réel. L'ensemble des suites réelles convergeant vers
`, est-il un R-espace vectoriel ?
Exercice 4
1. l'ensemble des fonctions positives sur R,
2. l'ensemble des fonctions croissantes sur R,
3. l'ensemble des fonctions solutions sur R de l'équation diérentielle :
y0 = 2 y.
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de l'ensemble des
fonctions de R dans R ?
Exercice 3
(f, g, h)
est-elle une famille libre de RR ?
 f (x) = sin x
g(x) = cos x

h(x) = x
2. Justier que la fonction ϕ : x 7−→ 2 x − cos x − π3 est combinaison
linéaire des fonctions f , g et h.
3. Que dire de l'ensemble des solutions sur R de l'équation diérentielle
y 00 + y = 0 ?
1.
On pose, pour tout réel x,
Dans l'espace vectoriel R3 , les sous-ensembles suivants sont-ils des sousExercice 5
espaces vectoriels ?
On se place dans R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur
1. A = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y − 4z = 0}
ou égal à 2.
2. B = {(x, y, z) ∈ R3 / x − 2y + z = 1}
1. L'ensemble A = {P ∈ R2 [X] / P (1) = P (2)} est-il un sous-espace
vectoriel de R2 [X] ?
3. C = {(x, y, z) ∈ R3 / xy − z = 0}
2. En écrivant P sous la forme P (X) = a X 2 + b X + c , quelle relation
4. D = {(x, y, z) ∈ R3 / x − 2y = 0 et z − x = 0}
liant a et b caractérise les éléments de A ?
5. E = {(α, β, 3α) / α ∈ R et β ∈ R}
Déterminer (s'il y a lieu) une base pour chacun de ces sous-espaces vecto- Exercice 6
riels.

Exercice 2
→
−
→
−
−c = (10, −4, 11)
a = (3, 1, 0) , b = (4, 1, 0) , →
→
−
→
−
d = (−1, −3, 4) , f = (1, −5, 8)
→ = (1, −1, 2) et −
→ = (1, 1, −1).
On pose −
u
u
1
2
Parmi les vecteurs suivants, repérer ceux qui sont combinaisons linéaires de
−
→ et −
→ puis expliciter la combinaison linéaire correspondante.
u
u
1
2
Exercice 1
V Exercices
MTB - ch2
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
 P = 1
Q = X +i

R = (X + i)2
Q


0 1 0
A = 1 0 1
0 1 0
et
On considère les matrices de M3 (R) :
Exercice 11

0 0 1
B = 0 1 0 
1 0 0

 
1
1

b=
1
3
 
0
1

c=
2
2

1
0

d=
−1
2

 
2
3

e=
0
1
avec a, b, c réels.
Soit
E = {(un )n∈N ∈ RN | (un )n
Exercice 13
converge }.
−
1. On considère les vecteurs de R4 : →
u = (1, 2, −1, −1)
→
−
−
−
et v = (2, 3, 0, −1). Calculer le rang de la famille de vecteurs (→
u,→
v ).
−
−
−
2. On se donne →
u = (−2, 1, 1, 1) ; →
v = (0, 3, 1, −1) ; →
w = (−6, 9, 5, 1)
−
−
−
Calculer le rang de la famille de vecteurs (→
u,→
v ,→
w ).
Exercice 12
(b) En déduire que toute matrice de E est combinaison linéaire des
matrices I3 , A et B puis que E est un sous-espace vectoriel de
M3 (R).
4. À l'aide des résultats précédents, montrer que B = (I3 , A, B) est une
base de E .
a
b
c
b a + c b
c
b
a
Montrer que l'ensemble des solutions de (Σ) forme un sous-espace vectoriel Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites converF de R4 . Déterminer la dimension et une base de F .
geant vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires de E.

 x + 3y + 2z = 0
x+y+z+t=0

x−t=0
Soit (Σ) le système d'équations linéaires :
Exercice 10
1. Déterminer les dimensions de F, G, F + G et F ∩ G.
2. Donner une base de F ∩ G.
 
1
2

a=
3
4
Dans E = M4,1 (R), on considère les sous-espaces vectoriels F = Vect(a, b, c)
et G = Vect(d, e) avec :
Exercice 9
Déterminer les dimensions de F, G, F ∩ G et de F + G.
3
Soit E l'ensemble des matrices M de M3 (R) telles que AM = M A.
1. (a) Vérier que B appartient à E .
(b) Soit n un entier naturel, montrer que An appartient à E .
2. Déterminer tous les réels x, y, z tels que xI3 + yA + zB = O3 .
Exercice 8 Dans R3 [X], on considère les sous-espaces vectoriels suivants :
3. (a) 
Montrer que E est l'ensemble des matrices de la forme
F = {P ∈ R [X] | P (0) = 0} et G = Vect 1 + X , X + X 2 , X 2 + X 3
1. Montrer que (P, Q, R) est une famille libre de C[X].
2. Justier que le polynôme T = X 2 est combinaison linéaire de P ,
et R.
Dans C[X], on se donne les polynômes :
Exercice 7
MTB - ch2
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