Espaces vectoriels I Structure d`espace vectoriel

K=R K =C
E+
·K×E−→ E
(λ , −→ u)7−→ λ·−→ u
(E, +,·)K K
∀(−→ u , −→ v , −→ w)∈E3(−→ u+−→ v) + −→ w=
∃−→ 0E∈E;∀−→ u∈E−→ u+−→ 0E=−→ 0E+−→ u=
∀−→ u∈E∃−→ v∈E;−→ u+−→ v=−→ v+−→ u=−→ 0E
−→
v=
∀(−→ u , −→ v)∈E2−→ u+−→ v=
∀(λ, µ)∈K2∀−→ u∈E(λ+µ)·−→ u=
∀λ∈K∀(−→ u , −→ v)∈E2λ·(−→ u+−→ v) =
∀(λ, µ)∈K2∀−→ u∈E λ ·(µ·−→ u) =
∀−→ u∈E1·−→ u=
 λ−→ u λ ·−→ u
 E KEK
V
R
(R,+,×)R N Z Q
(C,+,·)R+λ·z
z λ

EK
λ−→ u−→ v E
λ−→ u=−→ 0E⇐⇒
λ(−−→ u) = (−λ)−→ u=
λ(−→ u−−→ v) =
•0·−→ u=
Kn
nKnn
K=R K =C Kn+·
(x1, x2, . . . , xn)+(y1, y2, . . . , yn) =
λ·(x1, x2, . . . , xn) =
x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn, λ K
Kn
(Kn,+,·)K
n p Mn,p(K)n p
K K
·
K[X]K

ΩF(Ω ,K)KΩ
ΩKF(Ω ,K) + ·
f g KΩλ
(f+g) : Ω −→ K(λ·f) : Ω −→ K
x7−→ x7−→
F(Ω ,K)K
IRF(I, R) = RI
IR
RN
EK−F E
F E
−→
0E∈F
−→
u−→ v F
λ−→ u F
n−→
0EoE E

(x, y, z)∈R3/3x+ 2y=R3
nKn[X]
IRD(I, R)I
R
FKE
F+·
E E
EK
−→
u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ upE
−→
V
−→
V=α1−→ u1+α2−→ u2+α3−→ u3+· · · +αp−→ up=
p
X
i=1
α1, α2, α3. . . αp
−→
V= (3 ,4) −→ u1= (1 ,0)
−→
u2= (−1,1)

−→
u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ upE−→
uiE
−→
u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ up
(−→ u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ up)
−→
u= (1 ,−2) R2
(−→ u) = {λ−→ u|λ∈R}=
F= (−→ u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ up)p E
FE
(−→ u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ up) = E
E−→ u1,−→ u2,−→ u3, . . . , −→ up
R2−→ u1= (1 ,1) −→ u2= (2 ,3)