Chap 12 – Lois de probabilité à densité (partie 2)

Chap 12 – Lois de
probabilité à densité
(partie 2)
Terminale ES
Chap 12 - Loi Normale
I. Définition...............................................................................................................................................4
II. Courbe de la fonction densité de probabilité....................................................................................4
III. Espérance, variance et écart-type....................................................................................................4
IV. Calculs de probabilités.......................................................................................................................4
1) Loi normale et calculatrice.................................................................................................................4
2) Propriétés............................................................................................................................................5
3) Résolution d'équations avec une loi normale.....................................................................................5
V. Intervalles « un, deux, trois sigmas ».................................................................................................6
A. Gniady – 2015-2016
Chap 12 – Loi Normale 1 / 6
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Chap 12 – Loi Normale 2 / 6
Activités :
TES.51
Chap 12 – Lois de probabilité à densité (partie 2)
Exercices
TES.510
Calculer avec une loi normale N (m,s²).
16, 17 (corrigés), 18, 19 p 201 ; p 206 et 207
Feuille n°7, 41, 42, 43
TES.511
Résoudre des équations avec une loi normale.
Feuille n°8, 47
AP : 23, 24, 25 p 202
Exercices bilan :
82, 85 p 212 ; 89 p 213 ; 94, 95, 96 p 215 ;
Feuille : n° 50 à 72
Algo :
p 210
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Chap 12 – Loi Normale 3 / 6
I. Définition
Soit μ un nombre réel et soit σ un nombre réel strictement positif.
La variable aléatoire X suit la loi normale ℵ (μ , σ2 ) si, et seulement si, la variable aléatoire
la loi normale centrée réduite ℵ(0,1).
X −μ
suit
σ
Remarque : Une loi normale ℵ (μ , σ2 ) est une loi à densité, par conséquent, il existe une fonction densité de
probabilité, c'est-à-dire une fonction f définie sur ℝ telle que pour tous réels a et b ,
b
P (a≤ X ≤ b )=∫
a
− (
1
f ( x )dx . Mais l'expression de cette fonction f (x )=
e 2
σ √2 π
1 x− μ
σ
)
2
n'est pas au programme.
II. Courbe de la fonction densité de probabilité
Soit f la fonction densité de probabilité de la loi normale ℵ (μ , σ2 ) . La courbe représentative C f
de la fonction f dans un repère orthogonal est une courbe « en cloche », symétrique par rapport à la
droite d'équation x=μ . Le nombre σ a un impact sur la forme de la cloche ; en effet, la courbe C f
est d'autant plus « resserrée » autour de son axe de symétrie que σ est petit.
Plus précisément, C f est « pointue » si 0<σ<1 , elle est « étalée » si σ>1 .
III. Espérance, variance et écart-type
Propriété admise : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale ℵ (μ , σ2 ) , alors son espérance est
μ sa variance est σ 2 , son écart-type
σ .
IV. Calculs de probabilités
1) Loi normale et calculatrice
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2) Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale ℵ (μ , σ2 ) .
•
•
Comme pour la loi normale centrée réduite, étant donné que la courbe C f de la fonction densité de
1
probabilité est symétrique par rapport à la droite d'équation x=μ , on a : P ( X ≤μ )= P( X ≥ μ)=
2
;
Pour les calculs du type P ( X <a ) ou P ( X >a ) , on peut utiliser la méthode suivante :
Exercice 1 : Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le
poids en grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale ℵ(120,225). Les probabilités
seront arrondies au millième.
a. Quel est le poids moyen d'une ration de viande ?
b. Quelle est la probabilité pour que le poids d'une ration de viande soit compris entre 110g et 135g ?
c. Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont
le poids dépassait 130g ?
3) Résolution d'équations avec une loi normale
Exercice 2 : La variable aléatoire X suit la loi normale ℵ (μ , σ2 ) , avec μ=90 et σ=20 .
a. Déterminer le réel k 1 tel que P ( X <k 1 )=0,98 .
b. Déterminer le réel k 2 tel que P ( X >k 2 )=0,60 .
c. On souhaite déterminer un intervalle I de centre μ tel que P ( X ∈ I )=0,85 .
a
a
≤Y≤
=0,85
Montrer que répondre à la question revient à déterminer le réel a positif tel que P −
20
20
X − 90
où Y est la variable aléatoire définie par Y =
.
20
Préciser la loi suivie par la variable aléatoire Y .
Répondre à la question posée (on pourra s'aider de la question c de l'exercice de cours n°6).
Les résultats seront arrondis au dixième.
(
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V. Intervalles « un, deux, trois sigmas »
Propriété : Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale ℵ (μ , σ2 ) .
La probabilité de l'événement { X ∈[μ− σ ;μ+σ] } est approximativement égal à 0,683 ;
La probabilité de l'événement { X ∈[μ− 2 σ ;μ +2 σ] } est approximativement égal à 0,954 ;
La probabilité de l'événement { X ∈[μ− 3 σ ;μ+3 σ] } est approximativement égal à 0,997.
Preuve :
P ( X ∈[μ− σ ;μ +σ])=P(μ− σ≤ X ≤ μ+σ)
(événement écrit autrement)
P ( X ∈[μ− σ ;μ+σ])=P(− σ≤ X − μ≤ σ) (opération sur les inégalités)
X−μ σ
D'où :
P ( X ∈[μ− σ ;μ+σ])=P( −σ
(opération sur les inégalités)
σ ≤ σ ≤σ)
X −μ
Ou encore : P ( X ∈[μ− σ ;μ+σ])=P(− 1≤ σ ≤ 1)
X −μ
Or X suit la loi normale ℵ (μ , σ2 ) , alors par définition, la variable aléatoire
suit la loi normale
σ
centrée réduite.
X −μ
Et donc, la probabilité de l'événement −1≤ σ ≤ 1 est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative
de la fonction densité associée à la loi normale centrée réduite, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=−1
et x=1 .
1
x
X −μ
1 −2
e dx .
C'est-à-dire : P −1≤ σ ≤ 1 =∫
−1 √ 2 π
Or, on ne sait pas expliciter une primitive de la fonction densité de probabilité de la loi normale centrée réduite. Il
n'est donc pas possible de déterminer la valeur exacte de cette probabilité.
X −μ
Par contre, la calculatrice nous en fournit une valeur approchée : P −1≤ σ ≤ 1 ≈ 0,682689 .
Conclusion, quelque soit les valeurs de μ et σ , on a : P ( X ∈[μ− σ ;μ +σ])≈ 0,683
On a :
Donc :
{
(
)
}
2
(
)
Preuve similaire pour les deux autres approximations.
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