Chap 12 – Lois de probabilité à densité (partie 2)

Chap 12 - Loi Normale
I. Définition...............................................................................................................................................4
II. Courbe de la fonction densité de probabilité....................................................................................4
III. Espérance, variance et écart-type....................................................................................................4
IV. Calculs de probabilités.......................................................................................................................4
1) Loi normale et calculatrice.................................................................................................................4
2) Propriétés............................................................................................................................................5
3) Résolution d'équations avec une loi normale.....................................................................................5
V. Intervalles « un, deux, trois sigmas ».................................................................................................6
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Chap 12 – Lois de
probabilité à densité
(partie 2)
Terminale ES

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Activités :
TES.51 Chap 12 – Lois de probabilité à densité (partie 2) Exercices
TES.510 Calculer avec une loi normale N (m,s²). 16, 17 (corrigés), 18, 19 p 201 ; p 206 et 207
Feuille n°7, 41, 42, 43
TES.511 Résoudre des équations avec une loi normale. Feuille n°8, 47
AP : 23, 24, 25 p 202
Exercices bilan :
82, 85 p 212 ; 89 p 213 ; 94, 95, 96 p 215 ;
Feuille : n° 50 à 72
Algo :
p 210
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I. Définition
Soit
μ
un nombre réel et soit
σ
un nombre réel strictement positif.
La variable aléatoire
X
suit la loi normale ℵ
(μ ,σ2)
si, et seulement si, la variable aléatoire
X−μ
σ
suit
la loi normale centrée réduite ℵ(0,1).
Remarque : Une loi normale ℵ
(μ ,σ2)
est une loi à densité, par conséquent, il existe une fonction densité de
probabilité, c'est-à-dire une fonction
f
définie sur
ℝ
telle que pour tous réels
a
et
b
,
P(a≤X≤b)=∫
a
b
f(x)dx
. Mais l'expression de cette fonction
f(x)= 1
σ
√
2πe
−1
2
(
x−μ
σ
)
2
n'est pas au programme.
II. Courbe de la fonction densité de probabilité
Soit
f
la fonction densité de probabilité de la loi normale ℵ
(μ ,σ2)
. La courbe représentative
Cf
de la fonction
f
dans un repère orthogonal est une courbe « en cloche », symétrique par rapport à la
droite d'équation
x=μ
. Le nombre
σ
a un impact sur la forme de la cloche ; en effet, la courbe
Cf
est d'autant plus « resserrée » autour de son axe de symétrie que
σ
est petit.
Plus précisément,
Cf
est « pointue » si
0<σ<1
, elle est « étalée » si
σ>1
.
III. Espérance, variance et écart-type
Propriété admise : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale ℵ
(μ ,σ2)
, alors son espérance est
μ
sa variance est
σ2
, son écart-type
σ
.
IV. Calculs de probabilités
1) Loi normale et calculatrice
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2) Propriétés
Soit
X
une variable aléatoire suivant la loi normale ℵ
(μ ,σ2)
.
•Comme pour la loi normale centrée réduite, étant donné que la courbe
Cf
de la fonction densité de
probabilité est symétrique par rapport à la droite d'équation
x=μ
, on a :
P(X≤μ)=P(X≥μ)= 1
2
;
•Pour les calculs du type
P(X<a)
ou
P(X>a)
, on peut utiliser la méthode suivante :
Exercice 1 : Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit
X
la variable aléatoire qui donne le
poids en grammes des rations de viande. On suppose que
X
suit la loi normale ℵ(120,225). Les probabilités
seront arrondies au millième.
a. Quel est le poids moyen d'une ration de viande ?
b. Quelle est la probabilité pour que le poids d'une ration de viande soit compris entre 110g et 135g ?
c. Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont
le poids dépassait 130g ?
3) Résolution d'équations avec une loi normale
Exercice 2 : La variable aléatoire
X
suit la loi normale ℵ
(μ ,σ2)
, avec
μ=90
et
σ=20
.
a. Déterminer le réel
k1
tel que
P(X<k1)=0,98
.
b. Déterminer le réel
k2
tel que
P(X>k2)=0,60
.
c. On souhaite déterminer un intervalle
I
de centre
μ
tel que
P(X∈I)=0,85
.
Montrer que répondre à la question revient à déterminer le réel
a
positif tel que
P
(
−a
20 ≤Y≤a 20
)
=0,85
où
Y
est la variable aléatoire définie par
Y=X−90
20
.
Préciser la loi suivie par la variable aléatoire
Y
.
Répondre à la question posée (on pourra s'aider de la question c de l'exercice de cours n°6).
Les résultats seront arrondis au dixième.
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