Terminale SSI 1 – Chapitre 2 : Nombres complexes 1 1

Terminale SSI 1 – Chapitre 2 : Nombres complexes
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1 Définition, premières propriétés
1.1 Introduction
L’ensemble IR est complet au sens topologique, c'est-à-dire
Mais dans IR, tous les polynômes n’ont pas de racine. IR
Par exemple : le polynôme P x
→

2
x +1
C’est dans le but que chaque polynôme ait une racine qu’on construit l’ensemble
complexes. L’ensemble est une extension de IR, dans le sens
Le « premier » nombre complexe est le nombre :
des nombres
2
racine du polynôme : P(x) = x + 1
On a alors :
1.2 les autres nombres complexes
Définition :
L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble des nombres qui s’écrivent sous
la forme :
où a et b sont des nombres réels.
a est appelée partie réelle du complexe z , b est appelé partie imaginaire du complexe z.
On note :
Exemples :
a=
b=
Donner les parties réelles et imaginaires des complexes :
z1 = 1 + i et
z2 = 2 – 3i
1.3 Opérations sur les nombres complexes
Soient z et z’ deux nombres complexes de la forme: z = a + bi ; z’ = a’ +b’i
z + z’ =
avec
z – z’ =
z × z’ =
Exemple
avec : z1 = 1 + i
et
z2 = 2 – 3i
calculer :
z1 + z2 ; z1 + z2
et
z1 × z2 .
1.4 conjugué d’un nombre complexe
Définition :
le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi ( avec a et b dans IR ) est le nombre
Avec le conjugué d’un complexe, on peut diviser un nombre complexe par un autre :
z
Pour calculer le quotient : 1 ,
on multiplie le numérateur et le dénominateur par z2.
z2
Exemple :écrire le quotient
7 + 4i
sous la forme « a + bi » avec a et b deux nombres réels.
1–i
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1.5 Module d’un nombre complexe
Définition :
Soit z = a + bi ( a et b dans IR ) un nombre complexe. On appelle module de z le
nombre réel |z| tel que :
Exercice
Le module est toujours un nombre réel
Donner le module des nombres complexes suivants : z = 3 + 4i , z’ = 5 – 2i
Propriétés : Pour tous complexes z et z’ avec z non nul et pour tout entier n :
n
|z | =
|
6
Exercice : Calculer | (1+i) | et |
Inégalité triangulaire
|z × z’| =
1
|=
z
1
6|
(1+i)
| z + z’ |
| z | + | z’ |
1.6 Argument d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul. On note |z| le module de z.
Un argument de z est un nombre réel θ vérifiant les deux égalités :
 cos θ = Re(z)
|z|

Im(z)
 sin θ = |z|
Exemple :
Déterminer le module et l’argument des deux complexes : z = 1 + i ; z’ = 1 +
Pour tous nombres complexes z et z’, on a :
z
arg ( z × z’ ) =
arg ( ) =
z’
arg(
1
)=
z
3i
1.7 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Soit z = a + bi ( a et b dans IR ) un nombre complexe. Cette écriture usuelle est appelée forme
algébrique de z. On peut aussi écrire z sous la forme : z =
Où θ est un argument de z.
Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on utilise la formule :
π
Ecrire z = [ 4 ; – ] sous forme algébrique.
Exemple :
6
n
arg( z ) =
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2 Polynômes du second degré : racines complexes
2
Soit P un polynôme du second degré défini sur IR par :
On peut calculer son discriminant ∆.
P(x) = ax + bx + c
∆=
On a alors trois cas :
Exemple :
Si ∆ > 0, l’équation :
P(x) = 0
admet
Si ∆ = 0, l’équation :
P(x) = 0
admet
Si ∆ < 0, l’équation :
P(x) = 0
admet
2
Résoudre dans IR, puis dans C,
I l’équation :
z + 4z + 8 = 0
Théorème de D’Alembert
2 Nombres complexes et géométrie
2.1 Image d’un complexe
→
→
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal ( O ; u ; v ) on représente, dans le nombre
complexe, le nombre: z = a + bi
par le point M de coordonnées M
On dit que M est l’image de z dans le plan complexe, et réciproquement, on dit que z est
du point M dans le plan complexe.
Représenter, dans le plan complexe, les points A, B et C images des complexes :
2
zA = 1 – i
zB =
3+i
o
-2
zC = –2 + 2i
-2
Autre définition :
→
On dit que l’affixe du vecteur : AB
est le complexe
2
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2.2 Interprétation géométrique du module et de l’argument
Soit z un nombre complexe
non nul d’image M dans le plan complexe, ramené à un repère
→
→
orthonormal ( O ; u ; v ).
On suppose que z admet pour écriture
Trigonométrique :
3
M
z=
2
1
o
2
4
-1
Si, ensuite, zA et zB sont deux complexes d’images A et B dans le plan complexe, alors :
la distance AB est égale à :
Exercice
→
AB =
→
et l’angle : ( u ; AB ) a pour mesure
Avec les données de l’exemple du paragraphe 2.1, calculer
→
→
→
→
→
→
OA , OB , OC ; ( u ; OA ), ( u ; OB ) ; AC ; AB et ( u ; AC ).
Propriétés
Soient trois points A ; B et C, deux à deux distincts, d’affixes respectives : zA ; zB et zC .
On sait déjà que :
On a par ailleurs :
Corollaires
AB =
zB – zC
=
zA – zC
→
→
( u ; AB )
et
arg (
zB – zC
)
zA – zC
les points A, B et C sont alignés ssi
Les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires ssi