Terminale SSI 1 – Chapitre 2 : Nombres complexes 1 1

Terminale SSI 1 – Chapitre 2 : Nombres complexes 1
1 Définition, premières propriétés
1.1 Introduction
L’ensemble IR est complet au sens topologique, c'est-à-dire
Mais dans IR, tous les polynômes n’ont pas de racine. IR
Par exemple : le polynôme P x
→
x
2
+ 1
C’est dans le but que chaque polynôme ait une racine qu’on construit l’ensemble des nombres
complexes. L’ensemble est une extension de IR, dans le sens
Le « premier » nombre complexe est le nombre : racine du polynôme : P(x) = x
2
+ 1
On a alors :
1.2 les autres nombres complexes
Définition : L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble des nombres qui s’écrivent sous
la forme : où a et b sont des nombres réels.
a est appelée partie réelle du complexe z , b est appelé partie imaginaire du complexe z.
On note : a = b =
Exemples : Donner les parties réelles et imaginaires des complexes : z
1
= 1 + i et z
2
= 2 – 3i
1.3 Opérations sur les nombres complexes
Soient z et z’ deux nombres complexes de la forme: z = a + bi ; z’ = a’ +b’i avec
z + z’ = z – z’ =
z × z’ =
Exemple avec : z
1
= 1 + i et z
2
= 2 – 3i calculer : z
1
+ z
2
; z
1
+ z
2
et z
1
× z
2 .
1.4 conjugué d’un nombre complexe
Définition : le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi ( avec a et b dans IR ) est le nombre
Avec le conjugué d’un complexe, on peut diviser un nombre complexe par un autre :
Pour calculer le quotient : z
1
z
2
, on multiplie le numérateur et le dénominateur par z
2
.
Exemple :écrire le quotient 7 + 4i
1 – i sous la forme « a + bi » avec a et b deux nombres réels.

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1.5 Module d’un nombre complexe
Définition : Soit z = a + bi ( a et b dans IR ) un nombre complexe. On appelle module de z le
nombre réel |z| tel que : Le module est toujours un nombre réel
Exercice Donner le module des nombres complexes suivants : z = 3 + 4i , z’ = 5 – 2i
Propriétés : Pour tous complexes z et z’ avec z non nul et pour tout entier n : |z × z’| =
|z
n
| = | 1
z | =
Exercice : Calculer | (1+i)
6
| et | 1
(1+i)
6
|
Inégalité triangulaire | z + z’ | | z | + | z’ |
1.6 Argument d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul. On note |z| le module de z.
Un argument de z est un nombre réel θ vérifiant les deux égalités :
cos θ = Re(z)
|z|
sin θ = Im(z)
|z|
Exemple : Déterminer le module et l’argument des deux complexes : z = 1 + i ; z’ = 1 + 3 i
Pour tous nombres complexes z et z’, on a :
arg ( z × z’ ) = arg ( z
z’) = arg( 1 z ) = arg( z
n
) =
1.7 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Soit z = a + bi ( a et b dans IR ) un nombre complexe. Cette écriture usuelle est appelée forme
algébrique de z. On peut aussi écrire z sous la forme : z =
Où θ est un argument de z.
Pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique, on utilise la formule :
Exemple : Ecrire z = [ 4 ; – π
6 ] sous forme algébrique.

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2 Polynômes du second degré : racines complexes
Soit P un polynôme du second degré défini sur IR par : P(x) = ax
2
+ bx + c
On peut calculer son discriminant ∆. ∆ =
On a alors trois cas :
Si ∆ > 0, l’équation : P(x) = 0 admet
Si ∆ = 0, l’équation : P(x) = 0 admet
Si ∆ < 0, l’équation : P(x) = 0 admet
Exemple : Résoudre dans IR, puis dans IC, l’équation : z
2
+ 4z + 8 = 0
Théorème de D’Alembert
2 Nombres complexes et géométrie
2.1 Image d’un complexe
Le plan étant rapporté à un repère orthonormal ( O ;
→
u ;
→
v ) on représente, dans le nombre
complexe, le nombre: z = a + bi par le point M de coordonnées M
On dit que M est l’image de z dans le plan complexe, et réciproquement, on dit que z est
du point M dans le plan complexe.
Représenter, dans le plan complexe, les points A, B et C images des complexes :
z
A
= 1 – i
z
B
= 3 + i
z
C
= –2 + 2i
Autre définition : On dit que l’affixe du vecteur :
→
AB est le complexe
o
-2 2
-2
2

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2.2 Interprétation géométrique du module et de l’argument
Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe, ramené à un repère
orthonormal ( O ;
→
u ;
→
v ).
On suppose que z admet pour écriture
Trigonométrique :
z =
Si, ensuite, z
A
et z
B
sont deux complexes d’images A et B dans le plan complexe, alors :
la distance AB est égale à : AB = et l’angle : (
→
u ;
→
AB ) a pour mesure
Exercice Avec les données de l’exemple du paragraphe 2.1, calculer
OA , OB , OC ; (
→
u ;
→
OA ), (
→
u ;
→
OB ) ; AC ; AB et (
→
u ;
→
AC).
Propriétés
Soient trois points A ; B et C, deux à deux distincts, d’affixes respectives : z
A
; z
B
et z
C
.
On sait déjà que : AB = (
→
u ;
→
AB )
On a par ailleurs : z
B
– z
C
z
A
– z
C
= et arg ( z
B
– z
C
z
A
– z
C
)
Corollaires les points A, B et C sont alignés ssi
Les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires ssi
o2 4
-
1
1
2
3M