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Tasdawit mupamd V- Rba E
Tasviwant n tmusniwin
izrfanin,
agdal
Université Mohammed V- Rabat Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales - Agdal
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S2
Module : M 13 (Algèbre)
Professeure Salma DASSER Session printemps-été
1
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C
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ÉE
E
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L
L
I- Structure d’espace vectoriel réel ...................................................................................... 2
I-1 L’espace vectoriel IRn .............................................................................................................................. 2
I-2 Espace vectoriel réel ................................................................................................................................ 2
I-3 Propriétés ................................................................................................................................................. 3
II- Sous espaces vectoriels ................................................................................................... 3
II-1 Définition et propriétés ........................................................................................................................... 3
II-1-1 Définition ......................................................................................................................................... 3
II-1-2 Propriétés : ....................................................................................................................................... 3
II-2 Intersection de sous espaces vectoriels................................................................................................... 3
III- Combinaison linéaire - système générateur ................................................................. 4
III-1 Combinaison linéaire ............................................................................................................................ 4
III-2 Système générateur ................................................................................................................................ 4
IV- Système libre - système lié ............................................................................................. 5
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs .......................................................................... 5
VI- Base et dimension d’un espace vectoriel ....................................................................... 6

[S2, Module M13, Algèbre]
Chapitre 1 : espace vectoriel réel
Professeure Salma DASSER Session printemps-été
2
I
I
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I
I- -1 1 L L’ ’e es sp pa ac ce e v ve ec ct to or ri ie el l I IR Rn
n
Définition :
 Les éléments de  sont des n-uplets de n termes réels :
Définition :
 On peut définir sur  une loi de composition interne, l'addition, notée + par :
Propriétés de l'addition :
 Elle est associative :                   
 Elle est commutative :           
 Elle a un élément neutre :            
 Tout élément X a un opposé noté           
Définition :
 On peut aussi définir sur  une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "."
ou parfois sans signe, par :
Propriétés de la multiplication par un réel :
L'ensemble , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note (,+,.).
I
I- -2 2 E Es sp pa ac ce e v ve ec ct to or ri ie el l r ré ée el l
Définition :
 Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait
correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de  et à
un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés énoncées
précédemment est appelé espace vectoriel réel.
 Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).
Exemple :
,.),( 3IR
est un e.v.r., où les lois " " et "
.
" sont définies dans
3
IR
par :
),,(),,.(.),,(),,(),
:,),,(),,(
321321
332211321321
3
321321
xxxxxxx yxyxyxyyyxxxyx
IRIRyyyyxxxx

[S2, Module M13, Algèbre]
Chapitre 1 : espace vectoriel réel
Professeure Salma DASSER Session printemps-été
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I
I- -3 3 P Pr ro op pr ri ié ét té és s
 Soit l’espace vectoriel réel
,.),( 
n
IR
, alors
n
IRyxIR  ,,,
, on a :
1)
nn IRIR 00. 
2)
n
IR
IR x0.0 
3)
nn IRIR xoux000. 
4)
).().(xx
5)
).().().(xxx
6)
).().().( yxyx
I
I
II
I
I-
-
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S
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I
II I- -1 1 D Dé éf fi in ni it ti io on n e et t p pr ro op pr ri ié ét té és s
II-1-1 Définition
Définition :
Un sous ensemble
F
de
n
IR
est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de
n
IR
ssi :
1)
F
2)
F
est stable pour " " :
),( FyxFyx 
3)
F
est stable pour "
.
" :
).),(( FxFIRx
ssi : 1)
F
2)
FyxIRFyx  ..),(,),( 22
Exemple :
,.),0( IR
et
,.),0(  IR
sont des s.e.v. de
,.),( 2IR
.
II-1-2 Propriétés :
1) Tout sous espace vectoriel de
n
IR
est un espace vectoriel.
2)
,.),0( 
n
IR
est un sous espace vectoriel de
n
IR
.
3)
E
0
appartient à tous les sous espaces vectoriels de
n
IR
.
I
II I- -2 2 I In nt te er rs se ec ct ti io on n d de e s so ou us s e es sp pa ac ce es s v ve ec ct to or ri ie el ls s
Théorème :
L'intersection de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels de
n
IR
est un sous espace vectoriel de
n
IR
.
Remarque : La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.

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Chapitre 1 : espace vectoriel réel
Professeure Salma DASSER Session printemps-été
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I
II II I- -1 1 C Co om mb bi in na ai is so on n l li in né éa ai ir re e
Définition :
Dans un espace vectoriel
E
, on appelle une combinaison linéaire de
n
vecteurs
n
uu ,,
1
, tout
vecteur
u
de
E
qui peut s’écrire sous la forme :
 n
iiinn uuuu 1
11
, avec
n
nIR),,( 1
Théorème :
L’ensemble des combinaisons linéaires de
n
vecteurs d’un espace vectoriel
E
est un sous
espace vectoriel de
E
.
I
II II I- -2 2 S Sy ys st tè èm me e g gé én né ér ra at te eu ur r
Définition :
 Dans un espace vectoriel
E
, on dit qu’un système de
n
vecteurs
n
uu ,,
1
est un système
générateur de
E
(ou que les vecteurs
n
uu ,,
1
sont des vecteurs générateurs de
E
) si tout
vecteur
u
de
E
peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs
n
uu ,,
1
:
 n
iiinnn uuuuIREu 1
111 /),,()(
 Le système
n
uu ,,
1
s’appelle aussi partie ou famille génératrice de
E
.
 On dit aussi que le système
n
uu ,,
1
engendre
E
ou que
E
est engendré par le système
n
uu ,,
1
.
 On note
 n uuE ,,
1
ou
n
uuVectE ,,
1
Remarque :
 Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs
n
uu ,,
1
est engendré par les vecteurs
n
uu ,,
1
:
nii
n
iiin uuEuIRuE ,,,, 1 1
Exemple :
21,0 uuIR
, avec
)0,1(
1u
et
)0,1(
2u
:
)0,()0,1.()0,1.()0,/(,,0)0,(  xIRIRx
il suffit de prendre par exemple
x
et
0

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Chapitre 1 : espace vectoriel réel
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é
é
Définition :
n
vecteurs
n
uu ,,
1
d’un espace vectoriel
E
sont :
 linéairement indépendants (
n
uu ,,
1
est un système libre) si
00 111  nEnnuu
 linéairement dépendants (
n
uu ,,
1
est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement
indépendants :
Ennn uu 0/)0,,0(),,( 111 
Exemples :
 Les vecteurs
)1,0,1(
1u
,
)1,1,1(
2u
et
)0,1,0(
3u
de
3
IR
sont linéairement indépendants.
 Les vecteurs
)1,0,1(
1u
,
)1,1,1(
2u
et
)2,1,0(
3u
de
3
IR
sont linéairement dépendants.
Théorème :
 Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire des autres
vecteurs du système.
 Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système alors
tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système.
Propriétés : 1) Le vecteur
E
0
n’appartient à aucun système libre de
E
.
2)
E
uEu 0/ 
, le système
u
est libre.
3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.
V
V
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-
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Définition :
 L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
 Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants que
l’on peut extraire de ce système.
Exemples :
)1,0(),1,1(),1,2(
1S
(L’ordre de
1
S
est égal à
3
.)
 Le rang de
1
S
est égal à
2
car :
o Les vecteurs
)1,0()1,1(),1,2( et
sont linéairement dépendants
))1,0()1,1.(2)1,2(( 
, ce qui implique
que
3)( 1Srang
.
o Les vecteurs
)1,1()1,2( et
sont linéairement indépendants, ce qui implique que
2)( 1Srang
.
Propriétés :
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang
r
, les vecteurs libres extraits en nombre
r
sont dits vecteurs
principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces vecteurs.