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Tasdawit mupamd V- Rba E جامعة محمد الخامس – الرباط Tasviwant n tmusniwin كلية العلوم القانونية واالقتصادية izrfanin, واالجتماعية agdal اكدال Université Mohammed V- Rabat Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales - Agdal Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module : : S2 M 13 (Algèbre) C CH HA AP PIIT TR RE E 11 :: E ESSP PA AC CE EV VE EC CT TO OR RIIE EL LR RÉ ÉE EL L I- Structure d’espace vectoriel réel ...................................................................................... 2 I-1 L’espace vectoriel IRn .............................................................................................................................. 2 I-2 Espace vectoriel réel ................................................................................................................................ 2 I-3 Propriétés ................................................................................................................................................. 3 II- Sous espaces vectoriels ................................................................................................... 3 II-1 Définition et propriétés ........................................................................................................................... 3 II-1-1 Définition ......................................................................................................................................... 3 II-1-2 Propriétés : ....................................................................................................................................... 3 II-2 Intersection de sous espaces vectoriels................................................................................................... 3 III- Combinaison linéaire - système générateur ................................................................. 4 III-1 Combinaison linéaire ............................................................................................................................ 4 III-2 Système générateur ................................................................................................................................ 4 IV- Système libre - système lié ............................................................................................. 5 V- Ordre et rang d’un système de vecteurs.......................................................................... 5 VI- Base et dimension d’un espace vectoriel....................................................................... 6 Professeure Salma DASSER 1 Session printemps-été [S2, Module M13, Algèbre] Chapitre 1 : espace vectoriel réel II-- SSttrruuccttuurree dd’’eessppaaccee vveeccttoorriieell rrééeell I-1 L’espace vectoriel IRn Définition : Les éléments de sont des n-uplets de n termes réels : Définition : On peut définir sur une loi de composition interne, l'addition, notée + par : Propriétés de l'addition : Elle est associative : Elle est commutative : Elle a un élément neutre : Tout élément X a un opposé noté Définition : On peut aussi définir sur ou parfois sans signe, par : une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "." Propriétés de la multiplication par un réel : L'ensemble , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note ( ,+,.). I-2 Espace vectoriel réel Définition : Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel. Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.). Exemple : ( IR3 ,,.) est un e.v.r., où les lois " " et " . " sont définies dans IR3 par : x ( x1 , x2 x3 ), y ( y1 , y2 , y3 ) IR3 , IR : x y x1 , x2 x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) ( x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 ) .x .( x , x , x ) (x , x , x ) 1 2 3 1 2 3 Professeure Salma DASSER 2 Session printemps-été [S2, Module M13, Algèbre] Chapitre 1 : espace vectoriel réel I-3 Propriétés Soit l’espace vectoriel réel ( IRn ,,.) , alors , IR, x, y IRn , on a : 1) .0IR n 0IR n 2) 0IR.x 0IR n 3) .x 0IR n 0 ou x 0IR n 4) ( ). x (. x) 5) ( ). x (. x) ( . x) 6) .( x y ) (. x) (. y ) IIII-- SSoouuss eessppaacceess vveeccttoorriieellss II-1 Définition et propriétés II-1-1 Définition Définition : Un sous ensemble F de IR n est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de IR n ssi : 1) F 2) F est stable pour " " : (x, y F x y F) 3) F est stable pour " . " : (( , x) IR F . x F ) ssi : 1) F 2) ( x, y ) F 2 , ( , ) IR 2 . x . y F Exemple : ( IR 0,,.) et (0 IR,,.) sont des s.e.v. de ( IR 2 ,,.) . II-1-2 Propriétés : 1) Tout sous espace vectoriel de IR n est un espace vectoriel. 2) ( 0IR n ,,.) est un sous espace vectoriel de IR n . 3) 0 E appartient à tous les sous espaces vectoriels de IR n . II-2 Intersection de sous espaces vectoriels Théorème : L'intersection de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels de IR n est un sous espace vectoriel de IR n . Remarque : La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel. Professeure Salma DASSER 3 Session printemps-été [S2, Module M13, Algèbre] Chapitre 1 : espace vectoriel réel IIIIII-- C Coom mbbiinnaaiissoonn lliinnééaaiirree -- ssyyssttèèm mee ggéénnéérraatteeuurr III-1 Combinaison linéaire Définition : Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs u1 ,, un , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme : n u 1u1 nun i ui , avec (1,, n ) IR n i 1 Théorème : L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E . III-2 Système générateur Définition : Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs u1,, un est un système générateur de E (ou que les vecteurs u1 ,, un sont des vecteurs générateurs de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs u1 ,, un : n (u E ) (1 ,, n IR) / u 1u1 n un i ui i 1 Le système u1,, un s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E . On dit aussi que le système u1,, un engendre E ou que E est engendré par le système u1,, un . On note E u1,, un ou E Vect u1 ,, un Remarque : Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u1 ,, un est engendré par les vecteurs u1 ,, un : n En i ui , i IR, ui E u1 ,, un i 1 Exemple : IR 0 u1 , u2 , avec u1 (1,0) et u2 ( 1,0) : ( x,0) IR 0, , IR /( x,0) .(1,0) .(1,0) ( ,0) il suffit de prendre par exemple x et 0 Professeure Salma DASSER 4 Session printemps-été [S2, Module M13, Algèbre] Chapitre 1 : espace vectoriel réel IIV V-- SSyyssttèèm mee lliibbrree -- ssyyssttèèm mee lliiéé Définition : n vecteurs u1 ,, un d’un espace vectoriel E sont : linéairement indépendants ( u1,, un est un système libre) si 1u1 nun 0E 1 n 0 linéairement dépendants ( u1,, un est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants : (1 ,,n ) (0,,0) / 1u1 nun 0E Exemples : Les vecteurs u1 (1,0,1) , u2 ( 1,1,1) et u3 (0,1,0) de IR 3 sont linéairement indépendants. Les vecteurs u1 (1,0,1) , u2 ( 1,1,1) et u3 (0,1,2) de IR 3 sont linéairement dépendants. Théorème : Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Propriétés : 1) 2) 3) 4) Le vecteur 0 E n’appartient à aucun système libre de E . u E / u 0E , le système u est libre. Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre. Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié. V V-- O Orrddrree eett rraanngg dd’’uunn ssyyssttèèm mee ddee vveecctteeuurrss Définition : L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système. Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants que l’on peut extraire de ce système. S1 (2,1), (1,1), (0,1) Exemples : (L’ordre de S1 est égal à 3 .) Le rang de S1 est égal à 2 car : o Les vecteurs (2,1), (1,1) et (0,1) sont linéairement dépendants ((2,1) 2.(1,1) (0,1)) , ce qui implique que rang( S1 ) 3 . o Les vecteurs (2,1) et (1,1) sont linéairement indépendants, ce qui implique que rang( S1 ) 2 . Propriétés : 1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre. 2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des premiers. 3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces vecteurs. Professeure Salma DASSER 5 Session printemps-été [S2, Module M13, Algèbre] Chapitre 1 : espace vectoriel réel V VII-- B Baassee eett ddiim meennssiioonn dd’’uunn eessppaaccee vveeccttoorriieell Définition : Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E . Exemples : 1) 2) 3) 4) (1,0), (0,1) est une base de IR 2 1,0), (0,1), (1,1) n’est pas une base de IR 2 . (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) est une base de IR 3 : on l'appelle la base canonique de IR 3 . En général, (1,0,0),, (0,,1,,0),, (0,,0,1) est la base canonique de IR n . Théorème : Un système de vecteurs u1,, un est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1 ,, un : n (u E ) (!1 ,, n IR) / u 1u1 n un i ui i 1 Définition : Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un nombre fini n de vecteurs. Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dim E n . Exemple : IR n est un espace vectoriel réel de dimension n . Propriétés : Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors : 1) 2) 3) 4) 5) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n . L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n . L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n . Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base de E . Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension fini m , avec m n . Si de plus m n , alors F E . Professeure Salma DASSER 6 Session printemps-été
