MAT 1200: Introduction à l`algèbre linéaire

MAT 1200:
Introduction à l’algèbre linéaire
Saïd EL MORCHID
Département de Mathématiques et de Statistique
Chapitre 4: Les espaces vectoriels (partie 3)

Références
Produit scalaire (Livre pages 159 et 216)
Définitions
Propriétés
Exemples
Projection orthogonale (Livre: page 364)
Définitions
Exemple
Bases orthogonales et bases orthonormées (Livre: section 6.2 ))
Définitions
Propriétés
Exemples
Orthonormalisation d’une base (Livre section 6.4)
Exemple
Proposition
Exemple
La méthode de Gram-Schmidt
Exemple

Références:
•Notes de cours chapitre 4 (4.6) page 88.
•Livre: Sections 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 , pages 354-386.

Produit scalaire (Livre: section 6.1)
Définitions
(i) Soient deux vecteurs ~ v,~ wet θl’angle entre ces deux vecteurs. On appelle
le produit scalaire de ~ vet ~ w, le nombre réel défini par
~
v·~ w=k~ vkk~ wkcos θ.
(ii) Soient ~ v= (v1,v2,· · · ,vn)et ~ w= (w1,w2,· · · ,wn)deux vecteurs de Rn
alors
~
v·~ w=v1w1+v2w2+· · · +vnwn.
Propriétés:
(a) ~ v·~ v=k~ vk2.
(b) ~ v⊥~ w⇔~ v·~ w=0.
(c) ~ v·~ w=~ w·~ v.
(d) (α~ v+~ w)·~ z=α(~ v·~ z) + ~ w·~ z.

Exemple
Trouver le réel kpour que les vecteurs suivants soient orthogonaux.
~
u= (1,k,−3)et ~ v= (2,−5,4).