Scientifique (cours) - Les math. avec H. Rorthais

1e S - programme 2011 - mathématiques – ch.10 - cours
(D’après Hachette - Déclic 2011 – ch.11)
Page 1 sur 4
Ch.10 : Probabilités
1 VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI DE PROBABILITÉ
On appelle  l'univers fini associé à une expérience aléatoire, c'est-à-dire l'ensemble de tous les résultats possibles
pour cette expérience.
1.1 Variable aléatoire discrète
DÉFINITION 1
Une variable aléatoire discrète sur  est une fonction X de  dans IR qui à tout élément de  fait
correspondre un réel.
Notation :
Si x1 , x2 , … , xk sont les images par X des éléments de , alors pour tout entier i tel que 1  i  k, on note
(X = xi) l'ensemble des éléments de  qui ont pour image xi par X.
Ainsi (X = xi) est l'événement formé de tous les résultats possibles dont l'image est xi .
Exemple :
Une urne contient neuf jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 9.
Un joueur participe à une loterie gratuite qui suit la règle suivante :
 il prélève au hasard un jeton de l'urne ;
 si le numéro est pair, il gagne 1 €, s'il prélève le jeton n°1 ou le jeton n°9,
il gagne 10 € ; dans tous les autres cas, il perd 3 €.
On définit une variable aléatoire X sur  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} égale
« au gain algébrique » (positif ou négatif) du joueur.
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 1, 10 et –3. On a :
(X = 1) = {2 ; 4 ; 6 ; 8} ; (X = 10) = {1 ; 9} ; (X = –3) = {3 ; 5 ; 7}.
1.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
DÉFINITION 2
Soit  l'univers sur lequel a été définie une loi de probabilité P.
On considère une variable aléatoire discrète X sur , prenant les valeurs {x1 ; x2 ; … ; xk}.
Définir la loi de probabilité de X, c'est donner la valeur de P(X = xi), pour tout i, avec 1  i  k.
Remarques :

On adopte souvent une présentation sous forme de tableau.
Valeur xi prise par X
Probabilité pi

p1 + p2 + … + pk =
k
x1
x2
xk
…
p1 = p(X = x1) p2 = p(X = x2) … pk = p(X = xk)
k
 pi =
 p(X = xi) = 1.
i=1
i=1
Pour info. :
En mathématiques, l'adjectif « discret » désigne les ensembles dont on pourrait énumérer les éléments.
Ici, la variable aléatoire est « discrète », car elle prend un nombre fini de valeurs.
Exemple :
Dans l'exemple du paragraphe précédent, la loi de probabilité de
la variable aléatoire X est égale au gain algébrique, en euros ;
elle est donnée par le tableau :
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
Valeur prise par X (€)
Probabilité
1 10 –3
4 2 3
9 9 9
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 - mathématiques – ch.10 - cours
(D’après Hachette - Déclic 2011 – ch.11)
Page 2 sur 4
Exercice corrigé : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Un joueur lance deux dés tétraédriques équilibrés.
1) On définit la variable aléatoire X égale à la somme des deux
résultats.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de
probabilité de X.
Résultat : 1 (bleu) et 4 (vert)
2) On décide de jouer au jeu suivant : si le nombre obtenu est multiple de 3, le joueur gagne,
sinon il perd. En utilisant la variable aléatoire X, déterminer la probabilité que le joueur
gagne.
Solution :
1)
Méthode :
a) On va déterminer l'ensemble des sommes possibles, avec deux dés
tétraédriques :
L'ensemble des valeurs prises par X est {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.
1
2
3
4
b) Ce tableau permet de se ramener à une situation d'équiprobabilité.
La variable aléatoire X suit donc la loi de probabilité donnée par le
tableau ci-dessous :
2
3
4 5 6 7 8
1
3 4 3 2 1
p(X = xi)
2/16
16
16 16 16 16 16
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
On vérifie que la somme
des probabilités est bien
égale à 1.
1
2
3
4
3
2
1 16
+
+
+ +
+
+
= = 1.
16 16 16 16 16 16 16 16
2) Appelons G l'événement : « le joueur gagne ».
Les événements (X = 3)
et (X = 6) sont disjoints et
leur réunion est égale à
l'événement G.
2
3
5
On a : p(G) = p(X = 3) + p(X = 6) =
+ =
.
16 16 16
La probabilité que le joueur soit gagnant est donc égale à
2
3
4
5
6
Le tableau permet de se
ramener à une situation
d'équiprobabilité. En effet,
les 16 cases du tableau
correspondent à des
lancers équiprobables.
xi
On a bien :
1
2
3
4
5
5
.
16
2 ESPÉRANCE, VARIANCE, ÉCART TYPE
Dans toute cette page, on considère une variable aléatoire discrète X définie
sur un univers  et dont la loi de probabilité est donnée par :
Valeur
x1 x2 … xn
Probabilité p1 p2 … pn
2.1 Définitions
DÉFINITIONS 3

L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel noté E(X) défini par :
E(X) = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn =
n
 xi pi .
i=1

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté V(X) défini par :
V(X) = p1[x1 – E(X)]2 + p2[x2 – E(X)]2 + … + pn[xn – E(X)]2 ;
n
V(X) =
 pi [xi – E(X)]2.
i=1

L'écart type  est défini comme la racine carrée de la variance :
 = V(X).
Remarque :
Le calcul de l'espérance est à rapprocher de celui de la moyenne d'une série statistique calculée avec les
fréquences. C'est l'un des outils de base de l'assureur, du banquier, mais aussi du joueur de poker averti.
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 - mathématiques – ch.10 - cours
(D’après Hachette - Déclic 2011 – ch.11)
Page 3 sur 4
Remarque :
Résultat admis
n
La variance peut s'écrire sous la forme : V(X) =
 pi xi2 – [E(X)]2 (théorème de König-Huygens).
i=1
2.2 Propriétés de l'espérance et de la variance
DÉFINITION ET PROPRIÉTÉ 1

a et b sont deux réels quelconques.
La variable aléatoire Y, dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, est notée aX + b.
Valeur de Y
Probabilité
ax1 + b ax2 + b … axn + b
p1
p2
pn
…
On note Y = aX + b.

On a : E(aX + b) = aE(X) + b.
Démonstration :
E(aX + b) = p1(ax1 + b) + p2(ax2 + b) + … + pn(axn + b)
= a(p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn) + b(p1 + p2 + … + pn)
= aE(X) + b.
PROPRIÉTÉ 2
Soit X une variable aléatoire et a un réel quelconque :
V(aX) = a2 V(X).
Idée de démonstration :
V(aX) = i = 1;n;pi [axi – E(aX)]2.
Avec la propriété 1 : E(aX) = a E(X).
On factorise alors a2 dans chaque terme de la somme.
Exercice corrigé : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire, sa variance et son écart type
Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie
bien équilibrée.
Chaque sortie de pile P rapporte 3 points, chaque sortie
de face F fait perdre 2 points. On considère la variable
aléatoire X égale au nombre (positif ou négatif) de points
obtenus après les trois lancers.
1) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X et la
loi de probabilité de X.
2) Calculer l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart type .
Solution :
Méthode :
1) On construit un arbre qui décrit les trois lancers successifs :
Issue Gain (points)
PPP
PPF
PFP
PFF
FPP
FPF
FFP
FFF
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
9
4
4
–1
4
–1
–1
–6
http://rorthais.math.free.fr
1e S - programme 2011 - mathématiques – ch.10 - cours
(D’après Hachette - Déclic 2011 – ch.11)


Page 4 sur 4
L'ensemble des valeurs prises par X est donc {9 ; 4 ; –1 ; –6}.
Le tableau permet de compter le nombre d'issues correspondant à chaque
(X = 4) = {PPF ; PFP ; FPP}.

9 4 –1 –6
Valeur
D'où la loi de probabilité donnée
1 3 3 1
Probabilité
par le tableau ci-contre :
8 8 8 8
valeur de X. Par exemple,
Compte tenu de
l'hypothèse de « bon
équilibre » de la pièce,
toutes ces issues sont équiprobables. Comme elles sont au nombre de 8, chacune
d'elles a donc une probabilité égale à

2) E(X) = 9 
1
.
8
(X = 4) est l'événement formé des issues constituées de deux « pile » et un « face ».
1
3
3
1 12
+ 4  + (–1)  + (–6)  =
= 1,5 ;
8
8
8
8 8
n
E(X) =
 xi pi ;
i=1
1
3
3
1
 (9 – 1,5)2 +  (4 – 1,5)2 +  (–1 – 1,5)2 +  (–6 – 1,5)2
8
8
8
8
75
soit V(X) =
= 18,75.
4
75 5 3
 = V(X) =
=
( 4,33 à 10–2 près).
4
2
V(X) =
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
n
V(X) =
 pi [xi – E(X)]2.
i=1
http://rorthais.math.free.fr