Scientifique (cours) - Les math. avec H. Rorthais

1e S - programme 2011 - mathématiques – ch.10 - cours Page 1 sur 4
(D’après Hachette - Déclic 2011 – ch.11)
H. Rorthais (Lycée-Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://rorthais.math.free.fr
Ch.10 : Probabilités
1 VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI DE PROBABILITÉ
On appelle  l'univers fini associé à une expérience aléatoire, c'est-à-dire l'ensemble de tous les résultats possibles
pour cette expérience.
1.1 Variable aléatoire discrète
DÉFINITION 1
Une variable aléatoire discrète sur  est une fonction X de  dans IR qui à tout élément de  fait
correspondre un réel.
Notation :
Si x1 , x2 , … , xk sont les images par X des éléments de , alors pour tout entier i tel que 1  i  k, on note
(X = xi) l'ensemble des éléments de  qui ont pour image xi par X.
Ainsi (X = xi) est l'événement formé de tous les résultats possibles dont l'image est xi .
Exemple :
Une urne contient neuf jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 9.
Un joueur participe à une loterie gratuite qui suit la règle suivante :
 il prélève au hasard un jeton de l'urne ;
 si le numéro est pair, il gagne 1 €, s'il prélève le jeton n°1 ou le jeton n°9,
il gagne 10 € ; dans tous les autres cas, il perd 3 €.
On définit une variable aléatoire X sur  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} égale
« au gain algébrique » (positif ou négatif) du joueur.
Les valeurs prises par cette variable aléatoire sont 1, 10 et –3. On a :
(X = 1) = {2 ; 4 ; 6 ; 8} ; (X = 10) = {1 ; 9} ; (X = –3) = {3 ; 5 ; 7}.
1.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
DÉFINITION 2
Soit  l'univers sur lequel a été définie une loi de probabilité P.
On considère une variable aléatoire discrète X sur , prenant les valeurs {x1 ; x2 ; … ; xk}.
Définir la loi de probabilité de X, c'est donner la valeur de P(X = xi), pour tout i, avec 1  i  k.
Remarques :
 On adopte souvent une présentation sous forme de tableau.
Valeur xi prise par X
x1
x2
…
xk
Probabilité pi
p1 = p(X = x1)
p2 = p(X = x2)
…
pk = p(X = xk)
 p1 + p2 + … + pk = 
i = 1
k pi = 
i = 1
k p(X = xi) = 1.
Pour info. :
En mathématiques, l'adjectif « discret » désigne les ensembles dont on pourrait énumérer les éléments.
Ici, la variable aléatoire est « discrète », car elle prend un nombre fini de valeurs.
Exemple :
Dans l'exemple du paragraphe précédent, la loi de probabilité de
la variable aléatoire X est égale au gain algébrique, en euros ;
elle est donnée par le tableau :
Valeur prise par X (€)
1
10
–3
Probabilité
4
9
2
9
3
9

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Exercice corrigé : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Un joueur lance deux dés tétraédriques équilibrés.
1) On définit la variable aléatoire X égale à la somme des deux
résultats.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de
probabilité de X.
Résultat : 1 (bleu) et 4 (vert)
2) On décide de jouer au jeu suivant : si le nombre obtenu est multiple de 3, le joueur gagne,
sinon il perd. En utilisant la variable aléatoire X, déterminer la probabilité que le joueur
gagne.
Solution :
Méthode :
1)
a) On va déterminer l'ensemble des sommes possibles, avec deux dés
tétraédriques :
L'ensemble des valeurs prises par X est {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
b) Ce tableau permet de se ramener à une situation d'équiprobabilité.
La variable aléatoire X suit donc la loi de probabilité donnée par le
tableau ci-dessous :
xi
2
3
4
5
6
7
8
p(X = xi)
1
16
2/16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16
Le tableau permet de se
ramener à une situation
d'équiprobabilité. En effet,
les 16 cases du tableau
correspondent à des
lancers équiprobables.
On a bien : 1
16 + 2 16 + 3 16 + 4 16 + 3 16 + 2 16 + 1 16 = 16 16 = 1.
On vérifie que la somme
des probabilités est bien
égale à 1.
2) Appelons G l'événement : « le joueur gagne ».
On a : p(G) = p(X = 3) + p(X = 6) = 2
16 + 3 16 = 5 16 .
La probabilité que le joueur soit gagnant est donc égale à 5
16 .
Les événements (X = 3)
et (X = 6) sont disjoints et
leur réunion est égale à
l'événement G.
2 ESPÉRANCE, VARIANCE, ÉCART TYPE
Dans toute cette page, on considère une variable aléatoire discrète X définie
sur un univers  et dont la loi de probabilité est donnée par :
Valeur
x1
x2
…
xn
Probabilité
p1
p2
…
pn
2.1 Définitions
DÉFINITIONS 3
 L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel noté E(X) défini par :
E(X) = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn = 
i = 1
n xi pi .
 La variance de la variable aléatoire X est le réel positif noté V(X) défini par :
V(X) = p1[x1 – E(X)]2 + p2[x2 – E(X)]2 + … + pn[xn – E(X)]2 ;
V(X) = 
i = 1
n pi [xi – E(X)]2.
 L'écart type  est défini comme la racine carrée de la variance :
 = V(X).
Remarque :
Le calcul de l'espérance est à rapprocher de celui de la moyenne d'une série statistique calculée avec les
fréquences. C'est l'un des outils de base de l'assureur, du banquier, mais aussi du joueur de poker averti.

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Remarque :
Résultat admis
La variance peut s'écrire sous la forme : V(X) = 
i = 1
n pi xi2 – [E(X)]2 (théorème de König-Huygens).
2.2 Propriétés de l'espérance et de la variance
DÉFINITION ET PROPRIÉTÉ 1
 a et b sont deux réels quelconques.
La variable aléatoire Y, dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, est notée aX + b.
Valeur de Y
ax1 + b
ax2 + b
…
axn + b
Probabilité
p1
p2
…
pn
On note Y = aX + b.
 On a : E(aX + b) = aE(X) + b.
Démonstration :
E(aX + b) = p1(ax1 + b) + p2(ax2 + b) + … + pn(axn + b)
= a(p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn) + b(p1 + p2 + … + pn)
= aE(X) + b.
PROPRIÉTÉ 2
Soit X une variable aléatoire et a un réel quelconque :
V(aX) = a2 V(X).
Idée de démonstration :
V(aX) = i = 1;n;pi [axi – E(aX)]2.
Avec la propriété 1 : E(aX) = a E(X).
On factorise alors a2 dans chaque terme de la somme.
Exercice corrigé : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire, sa variance et son écart type
Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie
bien équilibrée.
Chaque sortie de pile P rapporte 3 points, chaque sortie
de face F fait perdre 2 points. On considère la variable
aléatoire X égale au nombre (positif ou négatif) de points
obtenus après les trois lancers.
1) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X et la
loi de probabilité de X.
2) Calculer l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart type .
Solution :
Méthode :
1) On construit un arbre qui décrit les trois lancers successifs :
Issue
Gain (points)
PPP
9
PPF
4
PFP
4
PFF
–1
FPP
4
FPF
–1
FFP
–1
FFF
–6

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 L'ensemble des valeurs prises par X est donc {9 ; 4 ; –1 ; –6}.
 Le tableau permet de compter le nombre d'issues correspondant à chaque valeur de X. Par exemple,
(X = 4) = {PPF ; PFP ; FPP}.
D'où la loi de probabilité donnée
par le tableau ci-contre :
Valeur
9
4
–1
–6
Probabilité
1
8
3
8
3
8
1
8
 Compte tenu de
l'hypothèse de « bon
équilibre » de la pièce,
toutes ces issues sont équiprobables. Comme elles sont au nombre de 8, chacune
d'elles a donc une probabilité égale à 1
8 .
 (X = 4) est l'événement formé des issues constituées de deux « pile » et un « face ».
2) E(X) = 9  1
8 + 4  3 8 + (–1)  3 8 + (–6)  1 8 = 12 8 = 1,5 ;
E(X) = 
i = 1
n xi pi ;
V(X) = 1
8  (9 – 1,5)2 + 3 8  (4 – 1,5)2 + 3 8  (–1 – 1,5)2 + 1 8  (–6 – 1,5)2
soit V(X) = 75
4 = 18,75.
V(X) = 
i = 1
n pi [xi – E(X)]2.
 = V(X) = 75
4 = 5 3 2 ( 4,33 à 10–2 près).