Exercices de mathématiques, PTSI A Calculus A0 Révisions de début d’année . . . . . . . . . . . . . . . . . A1 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A2 Nombres entiers, suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . A3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5 Equations différentielles linéaires à coefficients constants A6 Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A7 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A8 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A9 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 5 7 9 12 13 14 16 17 B Analyse B1 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . B2 Limites de fonctions et continuité . . . . . . . . B3 Dérivation des fonctions d’une variable réelle B4 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . B5 Comparaisons locales . . . . . . . . . . . . . . . B6 Développements limités . . . . . . . . . . . . . B7 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B8 Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 22 24 27 29 30 31 33 C Algèbre C1 Logique, ensembles, relations . . . . . . C2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . C3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . C4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . C5 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . C6 Espaces vectoriels de dimension finie . C7 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . C8 Applications linéaires . . . . . . . . . . . C9 Rang d’une application linéaire . . . . . C10 Déterminant en dimension deux et trois C11 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 36 38 38 40 43 45 46 49 50 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Géométrie 55 D1 Géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 D2 Géométrie de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 D3 Isométries vectorielles du plan et de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 E Probabilités E1 Dénombrement . . . . . . . . . E2 Probabilités sur un univers fini E3 Variables aléatoires . . . . . . . E4 Familles de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 61 63 64 66 F Révisions 69 F1 Révisions de fin d’année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2 EXERCICES DE MATHÉMATIQUES, PTSI Chapitre A Calculus A0 Révisions de début d’année Exercice A0.1. Résoudre l’inéquation | x − 1| + | x + 2| < 5. Exercice A0.2. Résoudre les inéquations suivantes, d’inconnue x réelle : √ √ √ i) x − 2 > x − 4 ii ) 5x + 6 < 2 + x + 1. Exercice A0.3. Montrer que les droites du plan d’équation x − y = 2 et x + y = −1 sont orthogonales. Exercice A0.4. Dans cet exercice, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct. 1. Quelle est la nature de l’ensemble U défini par l’équation x + y + z = 0 ? Caractériser U géométriquement. 2. Quelle est la nature de l’ensemble V défini par les équations x + 2y − z = 1 et − x + y + z = 2 ? Caractériser V géométriquement. 3. Déterminer U ∩ V . Exercice A0.5. Dans cet exercice, on considère le plan P de l’espace passant par l’origine O du repère choisi, et dirigé par → → les vecteurs − u ,− v de coordonées respectives (1, 1, −1) et (1, 2, 1). −−→ 1. Soit U l’ensemble des points M de l’espace tels que OM est orthogonal à P . Quelle est la nature géométrique de U ? 2. Déterminer une équation de U . Exercice A0.6. Soit D la droite passant par l’origine et dirigée par (1, 1, 1). Donner une équation du plan orthogonal à D et passant par le point de coordonnées (1, 0, −1). Exercice A0.7. 1. Montrer que pour tout x positif on a ln(1 + x ) 6 x. Dans quel cas y a-t-il égalité ? 2. Représenter sur un même dessin la courbe représentative de x 7→ ln(1 + x ) ainsi que la droite d’équation y = x. Exercice A0.8. On considère les fonctions définies sur R par f ( x ) = x cos(2x ) et g( x ) = sin( x 2 ). 1. Étudier la parité de f et de g. 2. Calculer les dérivées de f et de g. 3. Étudier la parité de f ′ et de g′ . Qu’observez-vous ? e− x . x 1. Déterminer le domaine de définition de f , et calculer les limites de f aux bornes de celui-ci. Exercice A0.9. Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2. Donner le tableau de variations de f et tracer sa courbe représentative. Exercice A0.10. Soit f la fonction définie par f ( x ) = ln orthonormé. Ä√ ä x + 1 − 1 , et C sa courbe représentative dans un repère 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. Que peut-on en déduire ? 4 Calculus 2. En quel(s) point(s) la courbe C recoupe-t-elle l’axe des abscisses ? 3. Calculer la dérivée de f ′ , puis en déduire le tableau de variations de f . 4. En quel(s) point(s) la courbe C admet-elle une tangente parallèle à la droite d’équation y = x ? Exercice A0.11. Calculer les intégrales suivantes : i) ˆ iv) 2 1 ˆ 0 dx x2 1 e2x +1 dx ii ) ˆ v) ˆ 2 1 1 2 x1/3 dx iii ) ˆ x+1 dx x vi ) ˆ π 9 0 0 π 4 sin(3x )dx tan x dx Exercice A0.12. Un élève présente deux concours, notés C1 et C2 . Ces deux concours sont indépendants, et on suppose que la probabilité de réussir chacun d’eux est de 31 . Quelle est la probabilité que l’élève réussisse au moins un des deux concours ? Exercice A0.13. En France, pour l’année 2010, 4% des accidents mortels sur la route ont concernés des cyclistes. En particulier, 1,5% des victimes étaient des cyclistes âgées de 25 à 44 ans. Quelle est la probabilité qu’en 2010 une personne décédée par accident de la route en France en 2010 soit âgée de 25 à 44 ans, sachant que cette personne se déplaçait à bicyclette ? Exercice A0.14. On effectue deux tirages sans remise dans une urne contenant 5 boules rouges et 15 boules vertes. 1. Représenter la situation par un arbre pondéré. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ? Deux boules de couleur différentes ? A1 Trigonométrie Exercice A1.1. … 1 + cos 2θ ? 2 … 1 − cos 2θ ? 2. À quelle condition peut-on écrire sin θ = 2 π π 3. Calculer les valeurs exactes de cos π8 , sin π8 , puis cos 16 et sin 16 . 1. À quelle condition peut-on écrire cos θ = Exercice A1.2. Soient x, y des réels. Montrer que l’on a cos( x + y) cos( x − y) = cos2 x − sin2 y = cos2 y − sin2 x Et si tan( x ) et tan(y) sont bien définies, montrer cos( x + y) cos( x − y) = 1 − tan2 ( x ) tan2 (y) . (1 + tan2 x )(1 + tan2 y) Exercice A1.3. Résoudre dans R, puis dans ]−π, π ] les équations et inéquations suivantes : i ) cos 4x + sin 4x = 0 iii ) tan 2x = 3 tan x π π √ v) cos 2x + + 3 sin 2x + +1 6 0 4 4 vii ) cos x − cos 2x = sin 3x Exercice A1.4. Soit θ ∈ R. 1. Exprimer sin 5θ en fonction de sin θ. 3 =0 2 iv) sin x + cos x = sin 2x − cos 2x ii ) cos 2x − 2 cos x + vi ) cos x + cos 7x = cos 4x Ä √ ä √ viii ) 2 cos3 x + 1 + 2 cos2 x + cos x > 0 5 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE π . 5 2. En déduire la valeur exacte de sin Exercice A1.5. Soit (x1 , x2 ) ∈ [0, π ]2 . x1 + x2 . 2 2. Quelle condition doivent vérifier x1 et x2 pour qu’il y ait égalité ? 1. Montrer que sin x1 + sin x2 6 2 sin Exercice A1.6. Soit ( a, b, c) ∈ R3 . Montrer que : Å sin a + sin b + sin c − sin (a + b + c) = 4 sin ã Å ã Å ã a+b a+c b+c sin sin . 2 2 2 Exercice A1.7. Soit n ∈ N et θ ∈ R tel que θ 6≡ 0 [2π ]. Montrer que : ä Ä Å ã sin n+1 θ 1 − cos ((n + 1) θ ) − cos θ + cos nθ nθ Ä2 ä . = cos 2(1 − cos θ ) 2 sin θ 2 Exercice A1.8. Calculer S = tan2 A2 π 5π + tan2 12 12 Nombres entiers, suites usuelles Exercice A2.1. Montrer les assertions suivantes par récurrence : 1. ∀n ∈ N ∗ , n X k2 = k =1 n (n + 1) (2n + 1) . 6 2. ∀ a ∈ ]−1, +∞[ , ∀n ∈ N, (1 + a)n > 1 + na. n X √ 1 ∗ 6 2 n. 3. ∀n ∈ N , k k =1 Exercice A2.2. Soit ( Tn )n∈N la suite de fonctions définies sur R par, pour tout x ∈ R : T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = 2x et ∀n ∈ N, Tn+2 ( x ) = 2xTn+1 ( x ) − Tn ( x ). 1. Calculer T2 ( x ) et T3 ( x ) pour tout x ∈ R. 2. Montrer, en utilisant une récurrence double sur n : ∀n ∈ N, ∀ x ∈ R, sin((n + 1) x ) = sin( x ) Tn (cos( x )). Exercice A2.3. 1. Montrer que ∀n ∈ N∗ , n X k =1 3 k = n X k =1 k !2 . 2. Réciproquement, soit (un ) une suite d’éléments de R ∗+ telle que ∀n ∈ une récurrence forte, que ∀n ∈ N ∗ , un = n. Exercice A2.4. Exprimer un en fonction de n dans les cas suivants : i ) u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = λun + 3, où λ ∈ R. ii ) u1 = −1, u2 = 1 et ∀n ∈ N ∗ , un+2 = 6un+1 − 9un . n iii ) u1 = 5, et ∀n ∈ N ∗ , un+1 = un . 2 iv) u0 = 1, et ∀n ∈ N, un+1 = en−2 un . −n v) u1 = 1, et ∀n ∈ N, un+1 = un . n+1 vi ) u0 = 0, et ∀n ∈ N, un+1 = 2un + 2n . N∗ , n X k =1 u3k = n X k =1 uk !2 . Montrer, en utilisant 6 Calculus vii ) u0 = 3, et ∀n ∈ N, un+1 = (un )2 . Å ∗ viii ) u1 = 1, et ∀n ∈ N , un+1 = 1 − ã 1 un . 2n + 1 √ Exercice A2.5. Soit (un ) la suite définie par u0 = 1, u1 = 2 et ∀n ∈ N, un+2 vn = ln(un ), exprimer un en fonction de n. u 2 = n+1 . En utilisant la suite (vn ) définie par un Exercice A2.6. Soit (un )n∈N la suite telle que u0 = 4 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un − 3. 1. Exprimer un en fonction de n. n X 2. Soit n ∈ N. Calculer Sn = uk . k =0 Exercice A2.7. 1. Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que, pour tout entier k > 1, on ait 2. En déduire la valeur de n X k =1 1 a b = + . k ( k + 1) k k+1 1 . k ( k + 1) Exercice A2.8. 1. Déterminer les réels a, b, c tels que : ∀ x ∈ R \ {0, −1, 1}, 2. En déduire la valeur de Sn = n X k =2 k3 1 b c a + . = + x x−1 x+1 x3 − x 1 . −k Exercice A2.9. Soient n ∈ N, et x un réel. Calculer les sommes ci-dessous en utilisant la formule du binôme de Newton. Ç å Ç å n Ç å n Ç å n n X X X X n k n k n n−k 2 n i) 2 ii ) x (1 − x ) iii ) k iv) k k k k k k =0 n X v) n! k =0 k =0 k =0 k =0 1 (k + 1)! ( n − k ) ! Exercice A2.10. Soient n ∈ N, et x un réel. Calculer les sommes ci-dessous en utilisant la formule du binôme de Newton. ù ö n −1 n Ç å Ç å ⌊X 2 2⌋ X n n i) ii ) 2k 2k + 1 k =0 k =0 Exercice A2.11. Soit n > 2. Calculer les sommes et produits suivants : ã n Å Y 1 1− k k =2 Å ã n X 1 iv) ln 1 − 2 k i) k =2 ii ) v) n Å Y k =1 n Y k =1 1+ 4 4 + 2 k k 2k − 1 2k ã iii ) ã n Å Y 1 1− 3 k k =1 vi ) n X k =2 √ 1 √ ( k + 1) k + k k + 1 Exercice A2.12. Calculer les sommes suivantes, où x ∈ R : i) n X k =0 ekx ii ) n X k =0 kekx iii ) n X cos(kx ) k =0 2k 7 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice A2.13. Soit n ∈ N. Calculer (n + 1)! − n!. En déduire la valeur de n X k =0 k × k!. Exercice A2.14. x2 2 6 ln(1 + x ) 6 x. ã n Å Y k 2. En déduire la limite de la suite un = 1+ 2 . n 1. Montrer que pour tout x > 0, on a x − k =1 Exercice A2.15. Soit f : x 7→ −1 + x et (un )n∈N la suite définie par : 3+x u0 = 0, et ∀n ∈ N, un+1 = f (un ). 1. Déterminer la solution ℓ de l’équation f ( x ) = x. 2. Montrer que la suite (un )n∈N est bien définie, et que ∀n ∈ N, un > −1. Soit (v n )n∈N la suite définie par : ∀n ∈ N, v n = 1 . un − ℓ 4. Soit n ∈ N. Exprimer v n+1 en fonction de vn . 5. En déduire une expression de v n , puis de un en fonction de n. 6. Calculer lim un . n →+ ∞ A3 Fonctions usuelles Ä ä Ä ä √ √ Exercice A3.1. Étudier la fonction x 7→ ln x + 1 + x2 + ln − x + 1 + x2 . Exercice A3.2. Résoudre les équations suivantes : i ) 2 x − 6 × 2− x = 4 ii ) √ √ x x =x x Exercice A3.3. Soit a > 0. Résoudre le système suivant, d’inconnues ( x, y) ∈ R2 , avec x 6 y. ß e x ey = a xy = 1 Exercice A3.4. Déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes : » Äp ä √ f : x 7→ ln x2 + x − 2 g : x 7→ ln ( x2 − 1) h : x 7→ cos x ã Å Ä√ ä 2x j : x 7→ Arccos i : x 7→ Arcsin ln x 2 1+x Exercice A3.5. Soit α ∈ R. Donner le domaine de définition ainsi que les limites aux bornes de celui-ci de la fonction f : x 7→ (1 − x α ) ln x. Exercice A3.6. Étudier la fonction définie par f : x 7→ ln(1 + x ) − √ x . 1+x 1−x et C sa courbe représentative. 1+x 1. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Exercice A3.7. Soit f la fonction définie sur I =] − 1, 1[ par f ( x ) = x + ln 2. Étudier le sens de variation puis le signe de la fonction ϕ définie sur I par ϕ( x ) = f ( x ) + x. 3. En déduire la position de T par rapport à C . 8 Calculus Exercice A3.8. Montrer que la courbe représentative de x 7→ de symétrie. √ x2 + 3x − 4 admet la droite d’équation x = − 32 comme axe Å Exercice A3.9. Soit C la courbe représentative de la fonction f ( x ) = x + ln courbe C et préciser la position relative de C par rapport à celles-ci. x2 − 4x + 6 . Montrer que C admet deux asymptotes, x−1 Exercice A3.10. Soit C la courbe représentative de la fonction x 7→ et que l’intersection de celles-ci est un centre de symétrie de C . ß Exercice A3.11. Soit f : ã 2x . Étudier l’existence d’asymptotes à la x−2 ]1, +∞[ −→ R . x 7−→ ln x2 − 1 1. Montrer que f est dérivable sur ]1, +∞[ et calculer sa dérivée. 2. Montrer que f réalise une bijection de sur un intervalle J que l’on déterminera. 3. Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f −1 et calculer la dérivée de f −1 . 4. Déterminer la réciproque de f et retrouver le résultat de la question précédente. Exercice A3.12. Montrer que pour tout x ∈ R ∗ , on a Arctan x + Arctan π 1 =± . x 2 Exercice A3.13. Montrer que pour tout x > 0 on a Arctan (sh( x )) = Arccos 1 ch( x ) = 2 Arctan(e x ) − π . 2 Exercice A3.14. Étudier puis simplifier les fonctions suivantes : Ç i ) f : x 7→ cos(Arccos x ) ii ) g : x 7→ Arccos(cos x ) iii ) h : x 7→ Arcsin Exercice A3.15. ã a−b . 1 + ab Å ã n X 1 2. En déduire la limite lorsque n tend vers +∞ de Arctan . 1 + k ( k + 1) Å 1. Soient a, b positifs ou nuls. Vérifier Arctan( a) − Arctan(b) = Arctan k =0 Exercice A3.16. Résoudre les équations suivantes. i ) Arctan( x + 1) + Arctan( x − 1) = π 4. ii ) Arctan( x − 1) + Arctan( x ) + Arctan( x + 1) = iii ) Arccos( x ) + Arcsin( x 2 − x + 1) = π 2. π 2. Exercice A3.17. Résoudre l’équation Arcsin( x ) + Arcsin √ 1 − x2 = π 2. Exercice A3.18. 1. Montrer cos (Arctan x ) = √ 1 1 + x2 et sin (Arctan x ) = √ x 1 + x2 . 2. Retrouver ces formules à l’aide d’un dessin. 3. Établir des formules donnant tan(Arccos x ) et tan(Arcsin x ). Exercice A3.19. 1. Montrer que : ∀ x ∈ ]−1, 1[ , 2 Arctan x = Arctan 2x . 1 − x2 2. Montrer de même que : ∀ x, y > 0, Arctan x − Arctan y = Arctan x−y . 1 + xy x+ å √ 1 − x2 √ 2 9 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 3. En déduire la formule de Machin : 1 1 π = 4 Arctan − Arctan . 4 5 239 Grâce à cette formule, le mathématicien anglais John Machin obtint en 1706 la valeur des cent premières décimales de π. … Exercice A3.20. Soit f la fonction définie par f ( x ) = Arctan de f par deux méthodes. 1+x . Dans cet exercice, on cherche à simplifier l’expression 1−x 1. Déterminer le domaine de définition D de f . » x 2. Soit x ∈ D. Justifier qu’il existe un unique θ ∈ 0, π2 tel que tan θ = 11+ − x . Exprimer ensuite x en fonction des lignes trigonométriques de θ. 3. En déduire une expression simplifiée de f . 4. Retrouver le résultat ci-dessus en dérivant f . Exercice A3.21. Résoudre sur R l’équation : 2 sh x + ch x = 5. Exercice A3.22. 1. Vérifier que pour tout x ∈ R ∗ , e5x + e− x 4 ch2 x − 3 ch(3x ) = . = sh(2x ) 2 sh x e4x − 1 2. Étudier la fonction f définie par : f (x) = e5x + e− x e4x − 1 Exercice A3.23. 1. Déterminer une fonction g :]0, +∞[→ R telle que ∀ x ∈ R, g(e x ) = ch( x ). 2. Existe-t-il une fonction f : [1, +∞[→ R telle que ∀ x ∈ R, f (ch( x )) = e x ? 3. Existe-t-il une fonction f : [1, +∞[→ R telle que ∀ x > 0, f (ch( x )) = e x ? A4 Nombres complexes Å Exercice A4.1. Mettre 1+i 2−i ã2 + 1 + 2i sous forme algébrique. 1 − 2i Exercice A4.2. Soit (z1 , z2 ) ∈ U2 tels que 1 + z1 z2 6= 0. Montrer que Exercice A4.3. Soit z ∈ C \ {1}. Montrer z1 + z2 est réel. 1 + z1 z2 1+z ∈ iR ⇔ |z| = 1. 1−z Exercice A4.4. (Vrai/Faux) 1. Soit (u, v, x, y) ∈ C4 . Si u + iv = x + iy, alors u = x ou v = y. 2. Si les points d’affixes z21 , z22 et z23 sont alignés, il en va de même des points d’affixes z1 , z2 et z3 . 3. Si les points d’affixes z1 , z2 et z3 sont alignés, il en va de même des points d’affixes z21 , z22 et z23 . Exercice A4.5. Soient (z, z′ ) ∈ C2 tels que 1. Montrer que zz′ + zz′ = 0. z ∈ iR. z′ 2. Montrer que |z + z′ |2 = |z − z′ |2 = |z|2 + |z′ |2 . Exercice A4.6. 1. Montrer que, pour tous complexes z et z′ , |z| ≤ 1 et z′ ≤ 1 ⇒ z + z′ ≤ 1 + zz′ . 10 Calculus 2. La réciproque est-elle vraie ? 3. Pour quelles valeurs de z et z′ , a-t’on | z + z′ | = 1 + zz′ ? Ç Exercice A4.7. Pour quelles valeurs de l’entier n le complexe √ ån (1 − i 3)5 est-il un réel positif ? (1 − i )3 Exercice A4.8. 1. Pouver, à l’aide des formules d’Euler, les formules d’addition de trigonométrie circulaire. 2. Démontrer que, ∀( p, q) ∈ R2 , eip + eiq ei p+q 2 ∈ R et eip − eiq ei p+q 2 ∈ iR. Exercice A4.9. Soit θ un réel. Mettre i − eiθ sous forme trigonométrique. Exercice A4.10. Soit α ∈ R. Déterminer le module et un argument des complexes suivants : i ) z1 = 1 + cos α + i sin α ii ) z2 = 1−i . z2 Exercice A4.11. Linéariser les fonctions suivantes : f : x 7→ sin3 ( x ) cos( x ) k : x 7→ 16 sin2 (2x ) cos3 (3x ) g : x 7→ sin5 ( x ) l : x 7→ cos7 ( x ) h : x 7→ 32 sin(2x ) cos5 ( x ) m : x 7→ sin(2x ) cos4 ( x ) Exercice A4.12. Soit θ ∈ R et n ∈ N. Calculer les sommes suivantes : n n X X 1. cn = cos kθ et sn = sin kθ ; k =0 2. puis en déduire Cn = k =0 n X cos2 kθ et Sn = k =0 n X sin2 kθ. k =0 Exercice A4.13. Soit x ∈ R. Exprimer f ( x ) et g( x ) en fonction de cos( x ), puis h( x ) et k( x ) en fonction de sin( x ). f ( x ) = cos(5x ) g( x ) = sin(6x ) sin( x ) h( x ) = sin(2x ) cos(5x ) k( x ) = sin(3x ) cos(2x ) Exercice A4.14. 1. Déterminer deux polynômes T et U tels que pour tout réel θ : cos 6θ = T (cos θ ) sin 6θ = sin θ · U (cos θ ). 2. Montrer que l’équation 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1 = 0 admet six racines réelles distinctes. 3. Déterminer, à l’aide de radicaux, une valeur exacte de ces racines. Exercice A4.15. Soit z ∈ C et A, B, C les points du plan d’affixes respectives z, z2 , z3 . 1. Pour quelles valeurs de z les points A, B, C sont-ils alignés ? 2. Pour les questions suivantes, on suppose que les points A, B, C ne sont pas alignés. (a) Pour quelles valeurs de z le triangle ABC est-il isocèle en A ? En B ? En C ? (b) Pour quelles valeurs de z le triangle ABC est-il rectangle en A ? En B ? En C ? (c) Pour quelles valeurs de z le triangle ABC est-il équilatéral ? Exercice A4.16. Soient A, B, M trois points deux à deux distincts du cercle trigonométrique, d’affixes respectives a, b, z. Montrer ã Å ã Å 1 b z−b = arg [ π ]. arg z−a 2 a Interpréter géométriquement cette égalité. 11 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Å Exercice A4.17. Quel est le lieu géométrique des points M (z) dont l’affixe z vérifie Re z−1 z+1 ã = 0? Exercice A4.18. Soit P un plan muni d’un repère orthonormé direct. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des parties suivantes de P. ™ ß z−2 ∈ iR A = { M ( z ) ∈ P | | z + i | = 2} B = { M (z) ∈ P | | z + 1| = |z + i |} C = M(z) ∈ P | 1+i ™ ß ™ ß ™ ß z−i z−i z+i ∈R E = M(z) ∈ P | ∈ iR F = M(z) ∈ P | ∈R D = M(z) ∈ P | 1−i z+1 z+1 Exercice A4.19. Soit f l’application définie sur C par f (z) = √1 2 √ (1 − i ) z − 1 + i ( 2 − 1 ) . 1. Résoudre l’équation f (z) = z. 2. Montrer que f correspond à une rotation, dont on précisera le centre et l’angle. Exercice A4.20. Soient Ω et M des points du plan, d’affixes respectives ω et z. Calculer l’affixe de l’image de M par : 1. l’homothétie h de centre Ω et de rapport a, où a ∈ R ∗ . 2. la symétrie orthogonale s par rapport à la droite parallèle à l’axe Ox et passant par Ω. Exercice A4.21. Soit ( a, b) ∈ R ∗ × R. On considère l’application f a,b qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ = f a,b ( M ) d’affixe z′ = az + ib. −1 1. Montrer que f a,b est bijective, et que f a,b = f c,d où c, d sont deux réels à calculer. 2. Discuter, selon les valeurs de a et de b l’ensemble des points fixes de f a,b . 3. On suppose désormais que f a,b possède un unique point fixe qui sera noté Ω. Montrer que f a,b = h ◦ s = s ◦ h où h, s sont les transformations géométriques de l’exercice précédent. 1−z . 1−z 1. Déterminer l’ensemble des points fixes de f , c’est-à-dire l’ensemble des solutions de l’équation f (z) = z. 2. Montrer que pour tout z 6= 1 on a f ◦ f (z) = z. On dira que f est une involution. 3. Soit D le disque ouvert de rayon 1 centré en l’origine. Montrer f ( D ) ⊂ D. Exercice A4.22. On définit une application f sur C − {1} en posant f (z) = −z Exercice A4.23. Représenter dans le plan complexe les ensembles : z ß ™ e + 1 A = z ∈ C z ∈R e −1 ß z ™ e + 1 B = z ∈ C z ∈ iR e −1 Exercice A4.24. Trouver trois complexes α, β et γ de module 1 dont la somme et le produit soient tous deux égaux à 1 (on pourra au préalable développer le polynôme ( X − α)( X − β)( X − γ)). → → Exercice A4.25. Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, − ı ,− ). Soient ( Ak )16k6n , n X n points de P et (αk )16k6n , n réels. On pose β = αk , et pour tout point M : k =1 n X − → −−→ f ( M) = αk MAk . k =1 − → − → 1. Calculer f ( M ) − f ( N ) pour tous points M et N du plan. − → 2. En déduire que si β = 0, alors f ( M ) ne dépend pas de M. 3. On suppose maintenant que β 6= 0 (a) Montrer qu’il existe un unique point G, appelé barycentre du système de points pondérés ( Ak , αk )16k6n , tel que pour tout point M : n X −−→ −−→ αk MAk = β MG k =1 (b) Soient z1 , . . . , zn les affixes des points A1 , . . . An . Déterminer l’affixe de G en fonction de z1 , . . . , zn . 12 Calculus A5 Equations différentielles linéaires à coefficients constants Exercice A5.1. Résoudre les équations différentielles suivantes. i ) y′′ − y = x2 − 5x ii ) y′′ + 10y′ + 25y = 4e−5x iii ) y′′ + y = cos x iv) y′′ − 6y′ + 9y = 4e x − 16e3x v) y′′ + y = x cos x vi ) y′′ + 2y′ + 5y = e− x cos 2x Exercice A5.2. Dans chaque cas, déterminer la solution ϕ vérifiant l’équation différentielle et la condition initiale. 1. y′ + 2y = 5, y(0) = 3. 2. y′ + 2y = e x , y(0) = 3. 3. y′ + 2y = e−2x , y(0) = 3. 4. y′′ + 5y′ + 4y = x2 , y(0) = 0 et y′ (0) = 0. 5. y′′ − 4y′ + 3y = e2x cos x, y(0) = 1 et y′ (0) = 0. 6. y′′ + 4y′ + 4y = 7, y(0) = −6 et y′ (0) = 0. 7. y′′ + 4y′ + 4y = x + sin x, y(0) = 0 et y′ (0) = 0. 8. y′′ + 4y′ + 4y = x2 e−2x , y(0) = 0 et y ′ (0) = 1. Exercice A5.3. Résoudre les équations différentielles suivantes, où m est un paramètre réel. i ) y′′ + (2m + 1)y′ + 2my = e−2x ii ) y′′ − 2y′ = emx . Exercice A5.4. On se donne des réels a, b. 1. Résoudre l’équation différentielle y′′ − 4y = ax + b. 2. En déduire les solutions sur R de l’équation différentielle ( E) : y′′ − 4y = a| x | + b. 3. Montrer que ( E) admet une unique solution dont la courbe représentative admet des droites asymptotes en −∞ et +∞. Exercice A5.5. Le but de cet exercice est de résoudre sur I =]0, +∞[ l’équation différentielle notée ( E) ci-dessous : y′′ − 2y′ + y = ex . x2 1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation ( E0 ) : y′′ − 2y′ + y = 0. 2. Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. Montrer que la fonction y1 définie par y1 ( x ) = e x f ( x ) est une solution de ( E) si et seulement si f vérifie une équation du second ordre à coefficients constants. 3. Déduire de la question précédente une solution particulière de ( E), puis donner l’ensemble des solutions de ( E) sur I. Exercice A5.6. On considère une particule ponctuelle de masse m et de charge qsoumise à un champ magnétique constant − → − → − → → → et uniforme orienté selon l’axe (Oz) : B = B k , dans un référentiel galiléen O, − ı ,− , k . À l’instant initial, t = 0, la → particule se trouve en O et son vecteur vitesse − v0 est dans le plan (Oxz). On admet que le mouvement de la particule chargé est régi par le système d’équations différentielles suivant : ′′ x = ωy′ qB y′′ = −ωx ′ , où ω = . ′′ m z =0 1. Résoudre ce système différentiel. On pourra éventuellement poser u = x ′ + iy′ . 2. Quelle est l’allure de la trajectoire ? Calculer ses éléments caractéristiques (rayon, pas. . . ). Exercice A5.7. (Oscillateur harmonique) Un solide de masse m est posé au sol et accroché au mur par un ressort de raideur k, et de longueur au repos l0 . On notera x (t) la distance du solide au mur à l’instant t. On suppose qu’à l’instant initial t = 0, le solide a une vitesse nulle et x (0) = x0 ∈ ]0, 2l0 [. 13 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE − → m − → ı O x (t) 1. On suppose que la seule force subbie par le solide est la force de rappel du ressort, qui est proportionnelle à l’allongement du ressort par rapport à sa longueur au repos : − → − → F = − k ( x ( t ) − l0 ) i … k . m (a) Montrer que pour tout t > 0 : mx ′′ (t) + kx (t) = kl0 . On pose ω = (b) En déduire l’expression de x (t) pour tout t > 0. 1 1 (c) Montrer que la quantité E = k (x (t) − l0 )2 + mx ′ (t)2 est constante. 2 2 2. On suppose maintenant que le solide subit aussi une force de frottement qui s’oppose au mouvement et proportio− → c → . nelle à sa vitesse : f = −cx ′ (t)− ı , avec c > 0. On pose α = 2m (a) Montrer que pour tout t > 0 : mx ′′ (t) + cx ′ (t) + kx (t) = kl0 . (b) En déduire l’expression de x (t). On distinguera trois cas. (c) Calculer lim x (t) et lim x ′ (t). t→∞ t→∞ (d) Que peut-on dire de la quantité E = 1 1 k ( x (t) − l0 )2 + mx ′ (t)2 ? 2 2 (e) Montrer que lim E(t) = 0. t→∞ Exercice A5.8. On considère le circuit RLC série suivant : uC i E C R uR L uL 1. Montrer que la tension uC vérifie l’équation différentielle suivante : y + RCy′ + LCy′′ = E. 2. On suppose que la tension E ne dépend pas du temps et qu’à l’instant initial, t = 0, on a uC = 0 et i = 0. Intégrer cette équation différentielle. On distinguera trois cas. 3. Que vaut lim uC (t) ? t→∞ A6 Racines de l’unité Exercice A6.1. 1. (Identité du parallélogramme) Montrer que, pour tous complexes z et z′ , Ä ä z + z ′ 2 + z − z ′ 2 = 2 | z | 2 + z ′ 2 . 2. Interpréter géométriquement cette identité. 14 Calculus 3. Montrer que, pour tous complexes z, z′ et u, si zz′ = u2 , alors z + z′ z + z′ ′ 2 + u + 2 − u = | z | + z . Exercice A6.2. Résoudre l’équation z3 + 8i = 0 dans C. Exercice A6.3. Résoudre l’équation z + 1 = 2 cos θ d’inconnue z, où θ ∈]0, π [. z Exercice A6.4. Soient n ∈ N ∗ et ( E) l’équation (z + i )n − (z − i )n = 0. Montrer que ( E) n’a que des racines réelles, puis résoudre ( E). Exercice A6.5. Résoudre les équations ci-dessous, d’inconnue z ∈ C. i ) z4 = z + z 1 ii ) z7 = 3 z Exercice A6.6. 1. Trouver les racines carrées complexes de 5 − 12i. 2. Résoudre dans C l’équation z3 − (1 + 2i )z2 + 3(1 + i )z − 10(1 + i ) = 0 sachant qu’elle admet une racine imaginaire pure. 3. Quelle sont les particularités géométriques du triangle dont les sommets ont pour affixes les trois racines de cette équation ? Exercice A6.7. 1. Résoudre dans C l’équation z + zz2 − z − zz2 = 0. 2. En déduire l’ensemble E de tous les points dont les affixes sont solutions des équations z2 − 2λz + 1 = 0, où λ ∈ R. 2π Exercice A6.8. Soit ε = ei 7 . On pose a = ε + ε2 + ε4 et b = ε3 + ε5 + ε6 . 1. Calculer a + b et ab. 2. En déduire la valeur de a et b. 2π 3π π π 2π 3π 3. Calculer la valeur de : A = cos − cos − cos et de B = − sin + sin + sin . 7 7 7 7 7 7 Exercice A6.9. Soient n ∈ N ∗ et p ∈ Z. Calculer : X ωp ω ∈U n A7 Calcul intégral Exercice A7.1. Déterminer, par un calcul d’intégrale, une primitive des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition. 1 x5 b : x 7→ tan x c : x 7→ (2x + 3) ln x d : x 7→ Arccos x e : x 7→ f : x 7→ g : x 7→ h : x 7→ a : x 7→ tan x cos2 x ex j : x 7→ x ex (1 − 3e x )2 k : x 7→ ( x3 − x )e x m : x 7→ sin5 x cos x 2 1 ch x x q : x 7→ ( x − 2x )e x+1 t : x 7→ 2 x − 4x + 3 p w : x 7→ x2 + 1 n : x 7→ 2x 7 p x2 − 1 r : x 7→ x ln x 2x − 3 u : x 7→ 2 x +x+1 1 Ä ä y : x 7→ 2 cos x 2 + sin2 x 1 sin x i : x 7→ cos3 x l : x 7→ sin4 x p : x 7→ √ x2 1 − x2 s : x 7→ x sin 2x 1 v : x 7→ √ 2 − x + 4x − 3 1 √ z : x 7→ √ x + x3 2 15 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice A7.2. Calculer les intégrales suivantes. i) ˆ iv) ˆ vii ) ˆ x) ˆ xiii ) ˆ 0 −1 1 −1 1 2 0 dt −3t + 4 2x + 1 dx x2 − x + 1 √ ds 4 s −1 −1 0 π 2 0 e 3h 2 sin (πh) dh sin α dα sin α + cos α ˆ v) ˆ viii ) ˆ xi ) ˆ xiv) ˆ xvii ) ˆ xx ) ˆ π dh √ xvi ) 2 0 1 + 2 sin h ˆ 1 1−h dh xix ) 1+h 0 ˆ ii ) 1 1+u du u2 + 3 −1 1 y dy y2 − 6y + 9 0 2 1 π 3 1 du 9 − u2 1 + sin θ dθ cos2 θ 0 2 1 2 1 0 1 2 ln t dt 1 + t2 2 q Arctan q dq 1+ √ 1 0 1 xxii ) 1» 0 −y2 − 2y + 3 dy xxiii ) ˆ 0 du ˆ vi ) ˆ ix ) ˆ xii ) ˆ xv) ˆ xviii ) ˆ xxi ) ˆ xxiv) ˆ u4 − 1 (On pourra poser h = cos 2θ pour xix ), v = u 4 pour xx ), et α = ˆ u iii ) 2p x2 √ 0 h2 −1 1 z−7 dz z2 − 2z − 3 0 3 cos(2πv)ev dv 2 π 2 0 3h dh +h−2 √ sin ϕ dϕ 1 + sin ϕ 3 2 0 1 2 0 1 0 Arctan Äp ä 1 − x2 dx Arccos t √ dt 1 − t2 √ z+2 dz z+1 z + 2 pour xxi ).) − 2x + 2 dx π 4 0 tan4 x dx Exercice A7.3. 1. Soit x ∈ R, linéariser les expressions cos4 x + sin4 x et cos8 x − sin8 x. ˆ π 4 cos8 x − sin8 x dx. 2. En déduire le calcul de l’intégrale 0 Exercice A7.4. 1. Soit x > 0. En posant u = 1t , calculer x ˆ Arctan(t) dt. 1 + t2 1/x 2. Retrouver le résultat précédent en dérivant la fonction définie sur R ∗+ par f (x) = x ˆ 1/x Arctan(t) dt. 1 + t2 Exercice A7.5. Soit f une fonction de classe C 1 sur [0, 1]. Montrer lim n,+ ∞ ˆ 1 0 f ( x ) cos(nx )dx = 0. Exercice A7.6. On considère la suite de terme général In = 1. Montrer 2x π ˆ π 2 1 sin n ( x )dx. 0 6 sin x 6 x pour tout x ∈ [0, π2 ]. 2. Montrer que ( In ) converge et déterminer sa limite. Exercice A7.7. Soit (un ) la suite définie par ∀n ∈ N, un = ˆ 1 e x (ln x )n dx. 1. Calculer u0 , u1 . 2. Soit n ∈ N. Donner une relation entre un+1 et un , puis exprimer un en fonction d’une somme. 16 Calculus Exercice A7.8. 1. Etablir successivement, pour tout x > 0, les inégalités suivantes : x2 6 cos x 6 1 2 x3 6 sin x 6 x x− 6 1− x2 x2 x4 6 cos x 6 1 − + 2 2 24 x3 x3 x5 x− 6 sin x 6 x − + 6 6 120 1− 2. Quels encadrements obtiendriez-vous pour x négatif ? Exercice A7.9. Soit n ∈ N∗ . On considère la fonction Fn définie sur R par Fn ( x ) = x ˆ 0 dt n. (t2 + 1) 1. Calculer F2 (x ) et F3 ( x ) en effectuant le changement de variable t = tan θ. x 2. (a) Montrer que ∀n ∈ N ∗ , ∀ x ∈ R, 2nFn+1 ( x ) = (2n − 1) Fn ( x ) + 2 n. ( x + 1) (b) En déduire les valeurs de F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ). 3. Les deux méthodes fournissent-elles le même résultat ? Exercice A7.10. (Intégrales de Wallis) Pour tout entier n ∈ N, on pose In = ˆ π 2 0 n sin x dx et Jn = ˆ 0 π 2 cosn x dx. 1. Montrer à l’aide d’un changement de variable que ∀n ∈ N, In = Jn . 2. Montrer que ( In )n∈N est décroissante, puis convergente. n+1 In . n+2 4. En déduire une expression de I2p et I2p+1 en fonction de p ∈ N. 3. Montrer que ∀n ∈ N, In+2 = 5. Soit n > 0. Calculer (n + 1) In In+1 , et en déduire la limite de ( In )n∈N . In + 2 I 6 n+1 6 1. In In … π 7. En déduire que In ∼ . n →+ ∞ 2n 6. Soit n ∈ N. Montrer que 1 et f : x 7→ Exercice A7.11. On considère les fonctions ϕ : t 7→ ln (1 + t2 ) ˆ 2x ϕ (t) dt. x 1. Quel est l’ensemble de définition de f ? Etudier sa parité. 2. Étudier les variations de f sur R ∗+ . 3. Montrer que ∀ x ∈ R ∗+ , xϕ(2x ) 6 f ( x ) 6 xϕ( x ). 4. Étudier les limites de f ( x ) lorsque x tend vers 0+ et vers +∞, ainsi que la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞. x 5. Donner l’allure de la courbe représentative de f . A8 Arithmétique Exercice A8.1. Montrer que, pour tout entier n, n5 − n est un multiple de 30. Exercice A8.2. Trouver a, b ∈ N tels que PGCD( a, b) = 50 et PPCM( a, b) = 600. Exercice A8.3. Soit n ∈ N. Montrer que 2n + 1 et 2n+1 + 1 sont premiers entre eux. Exercice A8.4. Soit n ∈ N, n > 2. On suppose que 2n − 1 est premier. Montrer que n est premier. 17 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE A9 Sommes doubles Exercice A9.1. Soient n ∈ N et f : N2 → C. Intervertir les symboles de sommation dans les sommes suivantes : An = n X n X f ( p, q) Bn = p =0 q = p −p n n X X f ( p, q) p =0 q =0 Exercice A9.2. Soit n ∈ N et z ∈ C. Calculer les sommes suivantes : An = X 16 j 6 i 6 n Dn = 1 i Bn = n X n X (i + j ) n X k X k i+n k =1 i =1 z i Cn = En = n X n X min(i, j) X 06i,j,k6n i+ j+k=n Exercice A9.3. Pour p ∈ N et n ∈ N, on pose S p (n) = n X Fn = n X n X Çå j i max(i, j) i =1 j =1 i =1 j =1 Hn = X 06 i 6 j 6 n 06 i 6 j 6 n i =1 j =1 Gn = X n! i j 2z i!j!k! kp. k =1 1. Rappeler sans démonstration les expressions de S1 (n) et S2 (n). n Ä ä X 2. Soit ( p, n) ∈ N2 . En calculant de deux manières la somme (k + 1) p+1 − k p+1 , montrer que : k =0 p X i =1 Ç å p+1 Si ( n ) = ( n + 1 ) p +1 − ( n + 1 ) . i 3. En déduire que pour tout n ∈ N : S3 (n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1) n2 ( n + 1 ) 2 et S4 (n) = . 4 30 18 Calculus Chapitre B Analyse B1 Limites de suites Exercice B1.1. (Vrai/Faux) 1. La somme de deux irrationnels est un irrationnel. 2. La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel. 3. Le produit de deux irrationnels est un irrationnel. 4. Le produit d’un rationnel non nul et d’un irrationnel est un irrationnel. 5. La racine carrée d’un irrationnel positif est un irrationnel. 6. L’inverse d’un irrationnel est un irrationnel. Exercice B1.2. Montrer que pour tout réel x, ⌊2x ⌋ − 2 ⌊ x ⌋ est égal à 0 ou à 1. Exercice B1.3. (Vrai/Faux) 1. ∀ x ∈ R, ∀ p ∈ Z, ⌊ x + p⌋ = ⌊ x ⌋ + p. 2. ∀( x, y) ∈ R2 , ⌊ x + y⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊y⌋. 3. ∀( x, y) ∈ R2 , ⌊ x − y⌋ = ⌊ x ⌋ − ⌊y⌋ ⇐⇒ x − ⌊ x ⌋ > y − ⌊y⌋. 4. ∀ x ∈ R, ∀n ∈ N, ⌊ nx ⌋ = n ⌊ x ⌋. õ û ⌊nx ⌋ 5. ∀ x ∈ R, ∀n ∈ N ∗ , = ⌊ x ⌋. n Exercice B1.4. Étudier les fonctions suivantes et tracer l’allure de leur représentation graphique. õ û x 1 ⌊x⌋ h : x 7→ f : x 7→ x − ⌊x ⌋ g : x 7→ k : x 7→ x x ⌊x ⌋ Exercice B1.5. Déterminer, lorsqu’elles existent, les bornes inférieures et supérieures, le maximum et le minumum des ensembles suivants : ß ™ ß ™ ß ™ ™ ß 1 1 1 1 1 ∗ ∗2 − 1 (m, n) ∈ N ∗2 + A= n ∈ N x ∈ 0, + ∞ ( m, n ) ∈ N D = B = C = x + ] [ m n n x m n Exercice B1.6. Soient a, b deux réels tels que a < b, et f une application croissante de [ a, b] dans lui-même. Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un élément c de [ a, b] tel que f (c) = c. 1. Montrer que l’ensemble E = { x ∈ [ a, b] | f ( x ) > x } possède une borne supérieure, notée c. 2. Montrer que c ∈ E. 3. Montrer que, si f (c) > c, alors f (c) ∈ E. En déduire que f (c) = c. Exercice B1.7. (Vrai/Faux) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites à valeurs dans R. 1. Si (un )n∈N converge et (vn )n∈N diverge, alors (un + vn )n∈N diverge. 2. Si (un )n∈N et (vn )n∈N divergent, alors (un + vn )n∈N diverge. 20 Analyse 3. Si ∀n ∈ N, un 6 vn alors lim un 6 lim vn . n→∞ n→∞ 4. Si (un )n∈N n’est pas majorée, alors (un )n∈N diverge vers +∞. 5. Si lim (un+1 − un ) = 0, alors (un )n∈N est convergente. n→∞ 6. Si (un )n∈N est convergente alors lim (un+1 − un ) = 0. n→∞ Exercice B1.8. Étudier la convergence des suites (un )n∈N ∗ définies pour tout n > 0 par : i ) un = n2 − 6n + 3 n4 + n 2 n +1 − 3 n +1 2n + 3n sin(n) v ) un = √ n+1 Å ã n2 1 viii ) un = 1 − n+2 iv) un = n2 − n cos(n) + 2 vii ) un = n + (−1)n n − (−1)n n+1 vi ) un = 1 + sin2 (n) iii ) un = ii ) un = n(−1)n + n2 √ 3n + 7 n Exercice B1.9. Soit x ∈ R. Déterminer, lorsqu’elles existent, les limites des suites de terme d’indice n ∈ N ∗ suivant : Å ã √ √ x n n−1 n sn = 1 + rn = n + 1 − n − 1 tn = n n+1 å Ç √ 1 n2 + 2n + 3 n 2 vn = n sin 2 un = n π wn = sin n+1 n Exercice B1.10. Montrer que la suite (un )n∈N ∗ définie pour tout n ∈ N ∗ par un = Exercice B1.11. (La série Harmonique) Soit ( Hn )n∈N la suite définie par ∀n ∈ N, Hn = n X 1 k =1 k n X k =1 1 converge. n+k . 1 . 2 2. En déduire la nature de la suite ( Hn )n∈N . 1 1 6 ln(n + 1) − ln n 6 . 3. Montrer que ∀n > 0, n+1 n 4. Montrer que ∀n > 0, ln(n + 1) 6 Hn 6 1 + ln n. 1. Montrer que ∀n > 0, H2n − Hn > 5. En déduire un équivalent simple de la suite ( Hn )n∈N . Pour tout n ∈ N ∗ , on pose un = Hn − ln n. 6. Montrer que la suite (un )n∈N ∗ est décroissante. 7. En déduire la nature de la suite (un )n∈N ∗ . Exercice B1.12. Soit (un )n∈N la suite définie pour tout n ∈ N ∗ par un = 1. Montrer que les suites (u2n )n∈N ∗ et (u2n+1 )n∈N ∗ sont adjacentes. n X (−1)k . k k =1 2. En déduire que la suite (un )n∈N ∗ converge. Exercice B1.13. 1. Soit n ∈ N ∗ . Montrer que l’équation x n + x n−1 + · · · + x = 1 admet une unique solution réelle positive αn . 2. Étudier le sens de variations de la suite (αn )n∈N et prouver qu’elle converge. 1 1 3. Montrer que ∀n ∈ N ∗ , αn − = αnn+1 et en déduire lim αn . n→∞ 2 2 Exercice B1.14. Soit n ∈ N ∗ . On note f n la fonction définie sur [0, +∞[ par f n ( x ) = e− x − x−n . x+n 1. Montrer que l’équation f n ( x ) = 0 possède une unique solution, notée un . 2. Montrer que, à partir d’un certain rang, n < un < n + 1. En déduire lim un et lim n →+ ∞ n →+ ∞ un . n 21 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 3. Montrer que ∀ε > 0, ∃ N ∈ N ∗ , ∀n > N, un 6 n + ε. En déduire lim (un − n). n →+ ∞ 4. Déterminer un équivalent simple de un − n. Exercice B1.15. On considère une suite (un )n∈N vérifiant u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 = un + 1 . un 1. Étudier la monotonie de (un )n∈N . 2. En raisonnant par l’absurde, montrer que (un )n∈N ne converge pas. Que peut-on en déduire ? Exercice B1.16. On considère la suite (un )n∈N définie par u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 = 2u2n . 1 + 5un 1. Montrer que la suite est bien définie et que pour tout entier n, un > 0. 2. Étudier la limite de (un )n∈N en +∞. Exercice B1.17. On considère la suite (un )n∈N définie par u0 ∈ ]0, 1[ et ∀n ∈ N, un+1 = 1. Vérifier que (un )n∈N est bien définie. √ 1 1 − 1 − un . 2 2. Étudier la convergence de (un )n∈N . √ 3. On pose θ0 = Arcsin u0 . Exprimer un en fonction de n et θ0 , puis retrouver le résultat précédent. Exercice B1.18. Étudier le comportement des suites réelles définies par la donnée de leur terme d’indice 0, et les relations de récurrence ci-dessous : p p 1 r n +1 = r n + 1 sn+1 = 3 3sn + 1 − 1 t n +1 = 2tn ä 1Ä 2 un + 1 vn+1 = 1 − v2n wn+1 = 1 + wn + sin wn u n +1 = 2 Exercice B1.19. Étudier la suite (zn )n∈N définie par z0 ∈ C et ∀n ∈ N, zn+1 = 2zn − zn . 3 zn + 6 . zn + 2 1. On suppose ∀n ∈ N, zn ∈ C \ {−3, −2}. Déterminer les limites possibles de (zn )n∈N . zn − 2 2. Montrer que la suite (un )n∈N définie par ∀n ∈ N, un = est géométrique. zn + 3 3. En déduire la nature de la suite (zn )n∈N . Exercice B1.20. On considère une suite (zn )n∈N de complexes telle que : ∀n ∈ N, zn+1 = Exercice B1.21. Soient a, b ∈ ]0, 1[ tels que a 6 b. On considère deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N définies par u0 = a, v0 = b et pour tout n ∈ N : un+1 = uvnn et vn+1 = vunn . 1. Montrer que (un )n∈N et (vn )n∈N sont bornées. 2. Montrer ∀n ∈ N, un 6 vn . 3. En déduire que (un )n∈N converge et que (v n )n∈N converge vers 1. Exercice B1.22. Soit (un )n∈N une suite de réels strictement positifs tels que lim n →+ ∞ 1. Démontrer qu’il existe un entier n0 tel que pour tout n > n0 , 2. En déduire que pour tout n > n0 on a 0 < un < u n +1 = 0. un u n +1 1 < . un 2 u n0 , puis la limite de (un )n∈N . 2 n − n0 Exercice B1.23. Soit a ∈ R ∗ , on considère deux suites réelles (un )n∈N et (v n )n∈N telles que u0 , v0 ∈ R et : ß un+1 = aun − vn ∀n ∈ N, (⋆) vn+1 = un + avn 1. Trouver deux complexes distincts α et β tels que les suites s et t définies sur N par : sn = un + αvn et tn = un + βvn soient géométriques. 2. Exprimer, pour tout n ∈ N, sn et tn , puis un et v n en fonction de n. 22 Analyse 3. On pose u0 = 1, v0 = 0 et a = 1. Montrer que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N divergent. Exercice B1.24. (Convergence au sens de Cesàro) Soit (un )n∈N une suite de nombres réels. On pose pour n ∈ N : n Mn = 1 X uk . n+1 k =0 1. Montrer que si (un )n∈N converge alors la suite ( Mn )n∈N converge aussi et déterminer sa limite. 2. Montrer que si (un )n∈N diverge vers +∞, alors la suite ( Mn )n∈N diverge aussi vers +∞. 3. Que pensez-vous des réciproques ? B2 Limites de fonctions et continuité Exercice B2.1. Calculer les limites suivantes. i ) lim x →0 1 1 − x ( x + 1) x ii ) lim ln 3x2 − 4 − ln 2x2 + 1 iii ) lim x (2 + cos x ) x →+ ∞ 2 e1/( x +1) − e x iv) lim √ 3 x →+ ∞ x+1−1 vii ) lim x x →0 ö ù 1 x v) lim x →+ ∞ x →+ ∞ p √ √ x+ x+ x √ x+1 Å vi ) lim x →+ ∞ ln x x ã1/x 1 ⌊ x ⌋. x →+ ∞ x viii ) lim Exercice B2.2. Soit ( a, b) ∈ (R ∗+ )2 . Déterminer (si elles existent) les limites suivantes : ã Å Äp Äp ä ä 2 3 − b) lim x2 + 2x − 1 − x c) lim x2 + 2x − 1 + x a) lim 3 2 x →+ ∞ x →− ∞ x −1 x →1 x − 1 p ä Ä 1 − cos x x sin x 3 e) lim f ) lim d) lim x + 1 − x3 + 1 2 x →+ ∞ x →0 x →0 1 − cos x x õ û 1 x ln(1 + x ) 1 g) lim ( a x + b x ) x i ) lim h) lim x x →+ ∞ x x →0 x →0 sin2 x Exercice B2.3. La fonction définie par f ( x ) = 1 x − ö ù 1 x admet-elle une limite en 0 ? Exercice B2.4. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. On suppose que f est dérivable sur ]0, 1[, et que f ′ ( x ) = 0 si x ∈]0, 1[. Montrer que f est constante. Exercice B2.5. 1. Montrer qu’une fonction périodique de R dans R ne peut admettre de limite infinie en +∞ 2. Trouver toutes les fonctions périodiques de R dans C admettant une limite finie en +∞. 3. En déduire que les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en +∞. Exercice B2.6. Etudier la continuité de la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ⌊ x ⌋ + p x − ⌊ x ⌋. Exercice B2.7. Montrer que la fonction caractéristique de Q est discontinue en tout point : R −→ R ß 1 si x ∈ Q 1Q : x 7−→ 0 sinon Exercice B2.8. La fonction définie par f ( x ) = x x peut-elle être prolongée par continuité aux bornes de son domaine de définition ? ® Exercice B2.9. Soit f la fonction définie par f ( x ) = (1 + x )e1/x 0 si x 6= 0 sinon 23 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Étudier la continuité de f . 3. Rechercher les asymptotes de f . Exercice B2.10. Peut-on prolonger par continuité les fonctions suivantes en 0 ? õ û 1 f : x 7→ x 1 g : x 7 → x 1 + x Exercice B2.11. Soit f la fonction : ( R∗ h : x 7→ x2 + |x | x2 − |x | −→ R 1 . x ∗ 1. Résoudre dans R les équations f ( x ) = 1 et f ( x ) = −1. 7−→ sin x 2. En déduire que la fonction f n’admet pas de limite en 0. ( ∗ R −→ R 3. Montrer que la fonction g : 1 est prolongeable par continuité en 0. x 7−→ x sin x Exercice B2.12. Le but de cet exercice est de construire, grâce à la fonction f : R ∗ → R définie par f ( x ) = x2 sin x1 , une fonction g qui est dérivable mais dont la dérivée n’est pas continue. 1. Montrer que f se prolonge en une fonction continue sur R, que l’on notera g dans la suite. 2. Montrer que g est dérivable sur R. 3. Montrer que g′ n’admet pas de limite en 0. Conclure. Exercice B2.13. Calculer les limites suivantes, où α, β ∈ R. Ä i ) lim x e x →+ ∞ 1/x −1 ä ln(1 + x + x2 ) ii ) lim x2 x →0 π v) lim t sin t →+ ∞ t α βx iv) lim 1+ x →+ ∞ x vii ) lim x →0 Ä ä viii ) lim h ln ln(e1/h + 1) − h1 ln (1 + sh x ) x iii ) lim h →0 vi ) lim x →0 √ 1 + 2h − 1 − h h 2x − 1 sin(2x ) h →0+ Exercice B2.14. Déterminer lorsqu’elles existent les limites suivantes en utilisant des développements limités. ln [(1 + x ) (1 + 2x )] x →0 x Å ã 1+x 1 d) lim ln 1−x x →0 x √ √ x + 4 − 3x + 4 g) lim x →0 x tan x x →0 1 + sin x − 1 sh tan x e) lim x x →0 a) lim b) lim √ ln x x →0 x x − 1 h) lim Exercice B2.15. Pour tout x ∈]0, 1[∪]1, +∞[ on pose f ( x ) = f peut se prolonger en une fonction C 0 en ces points. x ln x .Étudier les limites de f en 0 puis en 1, et montrer que x2 − 1 Exercice B2.16. Soit f la fonction définie par f ( x ) = xe x . 1. Montrer que f réalise une bijection de R + sur R + . 2. Soit g la bijection réciproque de f |R . Calculer lim g( x ). + 3. Montrer g( x ) ∼ ln x, c’est-à-dire lim +∞ x,+ ∞ x,+ ∞ g( x ) = 1. ln x 3x − 1 x →0 2 x − 1 ch x − 1 f ) lim x →0 sh2 x √ x ln 1 + x i ) lim x →0 ex − 1 c) lim 24 Analyse x réalise une bijection de R sur un intervalle que l’on 1 + |x| Exercice B2.17. Montrer que la fonction définie par f ( x ) = précisera, et définir sa bijection réciproque. Exercice B2.18. Montrer que l’équation sin x = ln x admet une unique solution sur ]0, +∞[. Exercice B2.19. Pour tout entier n > 0, on pose f n ( x ) = x + n ln x. 1. Soit n ∈ N ∗ . Montrer qu’il existe un unique réel positif un tel que f n (un ) = 0. 2. Montrer que pour tout entier n > 0, un ∈]0, 1[. 3. Déterminer le sens de variation de (un ). 4. Montrer que (un ) converge vers 1. Exercice B2.20. Un randonneur parcourt 10 km en 2 heures. Montrer qu’il existe un intervalle de temps de durée 1 heure pendant lequel il a parcouru exactement 5 km. Exercice B2.21. 1. Soit f : [0, 1] → [0, 1], une fonction continue. Montrer que f admet un point fixe. 2. Soit f : [0, 1] → [0, 1], une fonction continue. Montrer ∀n ∈ N ∗ , ∃ xn ∈ [0, 1] , f ( x n ) = ( xn )n . ó î Exercice B2.22. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue telle que f (0) = f (1). Montrer qu’il existe c ∈ 0, 12 tel que Ä ä f c + 12 = f (c). Exercice B2.23. Soient f : [ a, b] → R une fonction continue, et p, q deux réels positifs de somme non nulle. Montrer qu’il existe c ∈ [ a, b] tel que p f ( a) + q f (b) = ( p + q) f (c). Exercice B2.24. Soit f : R → R une fonction continue et convergente en −∞ et +∞. Montrer que f est bornée. Exercice B2.25. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. Montrer lim ˆ n,+ ∞ 0 1 tn f (t) dt = 0. Exercice B2.26.Soit f : R → R une fonction périodique de classe C 1 . On note Γ sa courbe représentative dans R2 . 1. Montrer que f admet un minimum et un maximum. Soient alors α, β tels que f (α) = min f et f ( β) = max f . R 2. Calculer f ′ (α) et R f ′ ( β ). 3. Donner l’équation de la tangente Tt à Γ au point de coordonnées (t, f (t)). 4. Soit a ∈ R. Montrer qu’il existe un réel t tel que Tt coupe Γ au point de coordonnées (t + a, f (t + a)). >Indication. On pourra utiliser la fonction g( x ) = a f ′ ( x ) − f ( x + a) + f ( x ). Exercice B2.27. ß 1. Tracer la courbe représentative C de la fonction f : → translation de vecteur − u (1, 1). R x −→ R 7−→ 2 ⌊x ⌋ − x et montrer qu’elle est invariante par 2. Montrer que lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = +∞, et que f n’est croissante sur aucun intervalle. x →− ∞ x →+ ∞ B3 Dérivation des fonctions d’une variable réelle Exercice B3.1. Soit a > 0. Préciser, pour chacune des fonctions ci-dessous, son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, et calculer sa dérivée là où elle est définie. » p p ä Ä xa h : x 7→ ln x + 1 + x2 f : x 7→ 1 + 1 + x2 g : x 7→ x a Ç… Exercice B3.2. Soit f : x 7→ 2 Arctan 1−x x å + Arcsin(2x − 1). Déterminer un expression simplifiée de f . Exercice B3.3. (Vrai/Faux) Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de R 25 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 1. La fonction f : x 7→ x3 est de classe C 2 sur R. 2. Supposons f dérivable sur I, partie de R symétrique par rapport à 0. (a) Si f est paire, alors f ′ est impaire, et si f est impaire, alors f ′ est paire. (b) Si f ′ est paire, alors f est impaire, et si f ′ est impaire, alors f est paire. 3. f ne peut pas présenter un maximum et un minimum local en un même point a de I. Exercice B3.4. Trouver tous les couples d’applications dérivables ( f , g), avec f : R → R et g : R ∗+ → R, telles que : ∀ x ∈ R ∗+ , f ( g( x )) = f ′ ( g( x )) = x. Exercice B3.5. Dans un disque en papier de rayon R, on découpe un secteur angulaire de x radians ( x ∈ ]0, 2π [), avec lequel on confectionne un cornet de frites conique. On demande quel est le volume maximal de ce cornet de frites et pour quelle valeur de l’angle x ce volume maximal est obtenu. Exercice B3.6. Montrer que la fonction définie par f ( x ) = x x se prolonge en une fonction continue sur R + . Ce prolongement est-il dérivable ? 1 . sin x hπ h hπ h 1. Montrer que la restriction g de f à l’intervalle , π réalise une bijection de , π sur un intervalle que l’on 2 2 précisera. Exercice B3.7. Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2. Donner l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité de g−1 et calculer ( g−1 )′ . Exercice B3.8. Montrer que la fonction x 7→ gement est dérivable en 0. Exercice B3.9. La fonction x 7→ cos √ √ 1+x− x √ 1−x peut être prolongée par continuité en 0, et que son prolon- x est-elle dérivable en 0 ? Si oui, est-elle de classe C 1 sur [0, +∞[ ? Exercice B3.10. Soit n ∈ N. Calculer la dérivée n-ièmes des fonctions suivantes, là où c’est possible : 1 1−x k : x 7→ e x sin x 1 1+x l : x 7 → ( x 2 + 1) e x f : x 7→ 1 1 − x2 m : x 7 → x 2 (1 + x ) n g : x 7→ h : x 7→ 2 Exercice B3.11. Soit f la fonction définie sur R par ∀ x ∈ R, f ( x ) = e− x . 1. Calculer f ′ et f ′′ . 2. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un polynôme Hn tel que ∀ x ∈ R, f ( n) ( x ) = Hn ( x ) f ( x ) (on donnera au passage une relation de récurrence entre Hn+1 et Hn ). 3. Déterminer pour tout n ∈ N, le degré de Hn , ainsi que son terme de plus haut degré. Exercice B3.12. Soit h : x 7→ ( x 2 − x + 3)e− x . Expliciter la fonction h(32) . Exercice B3.13. 1. Soit n ∈ N. Calculer la dérivée n-ièmes de la fonction p : x 7→ x n (1 + x )n . n Ç å2 X n 2. En déduire la valeur de la somme (On pourra considérer le coefficient dominant de p). k k =0 Exercice B3.14. Soient a < b des réels et f ∈ C 1 ([ a, b] , R ) telle que f ( a) = f (b) = 0, f ′ ( a) > 0 et f ′ (b) > 0. Montrer qu’il existe trois réels c1 , c2 , c3 dans [ a, b] tels que c1 < c2 < c3 , f (c2 ) = 0, f ′ (c1 ) = 0 et f ′ (c3 ) = 0. Exercice B3.15. 1. Soit a un réel, f une fonction continue sur [ a, +∞[, dérivable sur ] a, +∞[, à valeurs réelles et telle que f ( a) = lim f ( x ). Montrer qu’il existe un réel c ∈ ] a, +∞[ tel que f ′ (c) = 0. x →+ ∞ 2. Montrer que si f : R → R est une fonction dérivable et a des limites égales en −∞ et +∞, alors sa fonction dérivée s’annule au moins en un point. 26 Analyse Exercice B3.16. Soit f une fonction à valeurs réelles, dérivable sur [0, 1] et telle que f (1) = f (0) = f ′ (0) = 0. f (x) est prolongeable par continuité sur [0, 1]. x 2. Montrer qu’il existe un point M de la courbe C f représentant f dans un repère d’origine O tel que (OM ) soit tangente à C f en M. 1. Montrer que la fonction g : x 7→ Exercice B3.17. Soient ( a, b) ∈ R2 tels que a < b, f et g : [ a, b] → R, deux fonctions continues sur [ a, b], dérivables sur ] a, b[, et telles que : ∀ x ∈ ] a, b[ , f ′ ( x ) 6 g′ ( x ). 1. Montrer que, soit g est constante sur [ a, b], soit g( a) < g(b). 2. Montrer que | f (b) − f ( a)| 6 g(b) − g( a). Å ã 1 . x 1. Montrer qu’on peut prolonger par continuité en 0 la fonction f . On note encore f son prolongement. Exercice B3.18. Soit n > 1 et f : x 7→ x n sin 2. f est-elle de classe C 1 sur R ? Å 1 Exercice B3.19. La fonction définie sur ]−1, 1[ par f ( x ) = exp x2 − 1 [−1, 1] ? ã se prolonge-t-elle en une fonction de classe C 1 sur Exercice B3.20. Soit f la fonction définie sur R ∗ par : ∀x ∈ R∗ , f (x) = ß √ cos(√ x ) ch( − x ) si x > 0 si x < 0 f se prolonge-t-elle en une fonction de classe C 1 sur R ? Exercice B3.21. 1. Montrer que pour tout entier k > 0, on a : 1 1 6 Arctan(k + 1) − Arctan k 6 2 . ( k + 1)2 + 1 k +1 2. En déduire que la suite définie par un = n X k =1 k2 1 converge, et majorer sa limite. +1 Exercice B3.22. √ √ 1 1 6 k+1− k 6 √ . 2 k+1 2 k 1 2. En déduire un encadrement de √ pour k > 2. k n X 1 √ . Déterminer la limite ainsi qu’un équivalent de un . 3. On pose un = k k =1 1. Montrer ∀k ∈ N ∗ , √ Exercice B3.23. Soit n ∈ N ∗ . Soit f la fonction polynomiale définie par f ( x ) = ( x 2 − 1)n . 1. Montrer que ∀ p ∈ J0, n − 1K, f ( p) (−1) = f ( p) (1) = 0. 2. En déduire que f ( n) a exactement n zéros dans ]−1, 1[. Exercice B3.24. 1. Soit a > 0. Démontrer que : 2. En déduire que : a4 a5 a2 − 6 . cos a − 1 + 2! 4! 5! Å ã 337 1 1 1 337 − 6 cos + . 6 384 3840 2 384 3840 27 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice B3.25. Soit (un )n∈N la suite définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = un + 1 2 − x2 . 4 (a) Étudier les variations de f et résoudre l’équation f ( x ) = x. 1 (b) Montrer ∀ x ∈ [1, 2] , | f ′ ( x )| 6 . 2 (c) Montrer que [1, 2] est stable par f . 1. Soit f : x 7→ x + 1 2 − u2n . 4 2. Étude de la convergence de la suite (un )n∈N . (a) Montrer ∀n ∈ N, 1 6 un 6 2. √ √ 1 (b) Montrer ∀n ∈ N, un+1 − 2 6 un − 2. 2 √ 1 (c) Montrer ∀n ∈ N, un − 2 6 n et conclure. 2 √ (d) Déterminer un entier n tel que un soit une approximation de 2 à 10−9 près. Exercice B3.26. (Théorème de Darboux) Soit f une fonction dérivable définie sur un intervalle I. Le but de cet exercice est de démontrer que f ′ ( I ) est un intervalle. 1. Énoncer formellement le résultat que l’on souhaite démontrer. 2. Démontrer le résultat dans le cas où f est de classe C 1 . 3. Soient ( a, b) ∈ I 2 tel que f ′ ( a) < f ′ (b), et α ∈ ] f ′ ( a), f ′ (b)[. On considère la fonction g : x 7→ f ( x ) − αx. (a) Supposons a < b (on raisonnerait de manière analogue dans le cas contraire). Justifier que g admet un minimum m sur l’intervalle [ a, b], puis montrer que m n’est atteint ni en a ni en b. (b) Conclure. B4 Équations différentielles Exercice B4.1. Résoudre les équations différentielles suivantes sur R. x i ) (1 + x2 )y′ − xy = (1 + x2 )5/2 ii ) y′ − cos6 ( x )y = 0 iii ) y ′ − e x y = ee iv) y′ + y = cos x + sin x v ) y ′ − y = x 2 ( e x − e− x ) vi ) y′ − 2xy = (1 − 2x )e x vii ) y′ + 2y = e x cos x viii ) y′ − 3y = cos2 ( x ) ix ) 2y′ − y = x2 − x3 + 1 x ) y′ + y = ( x 2 + 1) sin( x ) xi ) y′ + 2xy = 0 xiii ) ( x2 + 1)y′ − y = 0 2x y = x3 + x xvi ) y′ − 2 x +1 xiv) y′ − xy = xii ) y′ − (cos x ) y = 0 x2 e2 cos x xv) (ch x )y′ − (sh x )y = x ch2 x Exercice B4.2. Déterminer l’unique solution de y′ − sin4 ( x )y = 0 qui vérifie y(0) = 0. Exercice B4.3. Résoudre les équations différentielles suivantes sur l’intervalle I considéré. y y′ + = 0 sur I = 0, π2 cos x sin x i ) xy′ − y + ln x = 0 sur I = R ∗+ ii ) iii ) y′ − y ln x = x x sur I = R ∗+ iv) ( x ln x )y′ + y = 1 sur I =]1, +∞[ Exercice B4.4. Déterminer les solutions définies sur R des équations différentielles suivantes : 1. (1 + x2 )y′ − y = 1. 2. y′ − xy = 2x − x 3 . 3. ( x + i )y ′ − y = 0. 4. (1 + | x |)y′ − y = 0, avec la condition initiale y(−1) = 1. 28 Analyse Exercice B4.5. (Vrai/Faux) 1. L’équation ( x + 1)y′ − y = 1 a une infinité de solutions définies sur R. 2. L’équation ( x + 1)y′ + y = 1 a une infinité de solutions définies sur R. 3. Si b est continue sur R, toute fonction solution de l’équation y′ = b( x )y est constamment nulle ou jamais nulle. 4. Toute fonction solution à valeurs réelles de l’équation y′ = 1 + y2 est définie sur R ou est la restriction d’une fonction solution définie sur R. Exercice B4.6. Résoudre l’équation différentielle xy′ − 2y = 1 sur R. Exercice B4.7. On considère l’équation différentielle ( E) : x2 y′ − y = x2 − x + 1. 1. Soit y une solution de ( E) sur un intervalle I contenant 0. Que vaut nécessairement y(0) ? 2. Montrer que ( E) possède une solution particulière de la forme y( x ) = ax + b. 3. Résoudre ( E) pour x 6= 0. 4. Déterminer toutes les solutions de ( E) définies sur R. Exercice B4.8. 1. Trouver toutes les solutions sur R de l’équation x2 y′ − αy = 0, où α ∈ R. x3 . Étudier l’existence de solutions définies sur R. x2 + 1 2x . Étudier l’existence de solutions définies sur R. 3. Résoudre : xy′ + y = 2 x +1 2. Résoudre : xy′ − 2y = Exercice B4.9. Soit l’équation ( E) : y′ = |y − x |, où la fonction inconnue y est à valeurs réelles. 1. Montrer que toute fonction solution de ( E) est croissante sur son intervalle de définition et que, si sa courbe intégrale coupe la première bissectrice des axes ∆, elle possède au point d’intersection une tangente horizontale. 2. Trouver toutes les fonctions solutions de ( E) dont la courbe intégrale est toute entière au dessus de ∆, et toutes celles dont la courbe intégrale est toute entière au dessous de ∆. Préciser pour chaque fonction solution ainsi trouvée son intervalle maximal de définition. 3. Trouver toutes les fonctions solutions de (E) définies sur R. 4. Montrer que par tout point (x0 , y0 ) du plan R2 passe une courbe intégrale et une seule. Tracer en particulier les courbes intégrales passant par les points (0, 0) ; (0, 1) ; (0, −1) ; (0, 2) ; (0, −2) ; (0, 1/2) ; (0, −1/2). Exercice B4.10. On considère l’équation différentielle ( E) : xy′ + y = e x 1. Résoudre E sur R ∗+ , puis sur R ∗− . 2. L’équation E possède-t-elle des solutions sur R ? Exercice B4.11. Soit ( E) : (1 − x )y′′ + xy′ − y = 0. i ) Vérifier que la fonction ϕ : x 7→ x est une solution de ( E) sur R. ii ) En utilisant la méthode de variation de la constante déterminer les solutions de ( E) sur ]1, +∞[. Exercice B4.12. Soit f : R → R une fonction continue et non nulle, vérifiant ∀( x, y) ∈ R2 , f ( x ) f (y) = ˆ x +y f (t)dt x −y 1. Montrer f (0) = 0. 2. Vérifier que f est deux fois dérivable sur R. 3. Montrer ∀( x, y) ∈ R2 , f ( x ) f ′′ (y) − f ′′ ( x ) f (y) = 0. 4. En déduire l’existence d’un réel λ tel que ∀ x ∈ R, f ′′ ( x ) − λ f ( x ) = 0. 5. Trouver toutes les fonctions f qui satisfont les conditions données ci-dessus. 29 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE B5 Comparaisons locales Exercice B5.1. (Vrai/Faux) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites ne s’annulant pas à partir d’un certain rang. i ) un = o (vn ) ⇐⇒ ∃(ε n )n∈N , ∀n ∈ N, un = ε n vn et lim ε n = 0. n →+ ∞ +∞ ii ) un ∼ vn ⇐⇒ ∃(ε n )n∈N , ∀n ∈ N, un = (1 + ε n )vn et lim ε n = 0. +∞ iii ) un ∼ vn ⇐⇒ +∞ iv) un ∼ un+1 . n →+ ∞ lim (un − vn ) = 0. n →+ ∞ +∞ Exercice B5.2. Donner un équivalent de x 7→ ln ( x + cos( x )) au voisinage de 0. En déduire lim x →0 Exercice B5.3. Soient α ∈ R et β > 0. Donner un équivalent puis la limite de nα sin Exercice B5.4. Donner un équivalent puis la limite de x 7→ ln ( x + cos( x )) . x π lorsque n tend vers +∞. nβ ex + x2 en −∞, 0 et +∞. e− x + x 3 Exercice B5.5. Trouver des équivalents simples au voisinage de +∞ des expressions suivantes : » √ √ √ 1 1 − c) 1 + x b) a) x + 1 − x − 1 x+1 x−1 d) x1/x − 1 Soit a ∈ R. Trouver des équivalents simples au voisinage de 0 des expressions suivantes : e) cos(sin x ) π h) tan 2x + 1 f ) 1 − cos x i) g) ln (cos (ax )) 1 ( x + sin x ) 3 Exercice B5.6. Soit α > 0 et λ ∈ R. Déterminer les limites suivantes (on pourra utiliser des équivalents). (1 − e x ) sin x x →0 x2 + x3 ln(1 + x2 − x ) e) lim 2 x →1 x ( x − 1)( x + 2) √ 1 h) lim cos x sh x + x →0 ã Å x + 1 λx i ) lim x →+ ∞ x + 2 x ln x x →0 e x − 1 b) lim a) lim ln(cos x ) x →0 1 − cos 2x d) lim 1 g) lim (1 + x ) x x →0 xα − αx x →α x x − αα j) lim tan x 1 + sin x − 1 ln(1 + Arctan x ) f ) lim sh x x →0 √ √ x ln(1 + x ) i ) lim ex − 1 x →0 c) lim √ x →0 Exercice B5.7. Comparer au voisinage de +∞ les quantités (ln n)ln n et (ln n)n ln n . Exercice B5.8. Donner un équivalent de xx − 1 3 au voisinage de 0. x2 Exercice B5.9. Soit (un )n∈N ∗ la suite définie par u1 = 1 et ∀n ∈ N ∗ , un+1 = ln(n + un ). 1. Montrer que (un )n∈N ∗ possède une limite et la déterminer. 2. Montrer ∀ x > 0, ln x 6 x et en déduire ∀n > 2, un 6 ln(2n). 3. En déduire : un ∼ ln n. 4. Montrer : un − ln n ∼ Exercice B5.10. 1. Montrer que ⌊ x ⌋ 2. A-t-on e⌊ x ⌋ ∼ x →+ ∞ ∼ ln n . n x. x →+ ∞ e x ? Justifier. Äp √ ä 3. Montrer que lim ⌊x ⌋ − x = 0. x →+ ∞ √ √ 4. En déduire que e ⌊ x ⌋ ∼ e x . x →+ ∞ 30 Analyse B6 Développements limités Exercice B6.1. Donner un équivalent en 0 de √ 1 + x − 1 puis de (cos x − e x ) + (ln(1 + x ) − x ) √ 1+x−1 Exercice B6.2. Calculer les limites suivantes (a, b sont des réels strictements positifs) : sin x − sh x a) lim x →0 x (cos x − ch x ) (ln (cos x ))2 x →0 x (sin x − tan x ) p Äp ä 3 g) lim x2 + 1 − x3 + 1 d) lim x →+ ∞ Å ã 2 1 x c) lim x sin x →+ ∞ x √ √ x− 2 √ f ) lim √ x →2 3 x − 3 2 xx − x i ) lim x →1 1 − x + ln x sin (ln (1 + x )) − ln (1 + sin x ) b) lim x →0 x4 Å ã 1 1 1 2 e) lim 3 + − x →0 x sin x sh x x 1 h) lim ( a x + b x ) x x →0 Exercice B6.3. Calculer les développements limités à l’ordre n au voisinage de x0 des fonctions suivantes et en déduire la position relative de la courbe par rapport à sa tangente au point considéré. x cos x − sin x , n = 3, x0 = 0 a : x 7→ ch x sin x, n = 5, x0 = 0 b : x 7→ 1+x √ 1 + x2 c : x 7→ , n = 3, x0 = 0 d : x 7→ e 1+ x , n = 3, x0 = 0 3+x 1 1 e : x 7→ sin6 x, n = 9, x0 = 0 f : x 7→ − , n = 2, x0 = 0 ln (1 + x ) x 1 , n = 3, x0 = −2 h : x 7→ ln Arccos x, n = 5, x0 = 0 g : x 7→ 1 + x2 Exercice B6.4. Soit f : x 7→ sin x + a sh x + b tan x, avec ( a, b) ∈ R2 . 1. Déterminer a et b pour que f ( x ) = o ( x n ), avec n le plus grand possible. x →0 2. Déterminer alors un équivalent simple de f ( x ) en 0. Exercice B6.5. Comparer au voisinage de 0 les fonctions suivantes : x 7→ x, sin, tan, sh, Arcsin, Arctan. Exercice B6.6. Déterminer un équivalent simple de f en +∞ et de g et h en 0, avec : 1 1 f : x 7 → e x − e x +1 g : x 7→ sin3 x − x 3 h : x 7→ √ x− √ sin x 1 1 Exercice B6.7. Montrer que la fonction définie par f ( x ) = − si x ∈] − π, 0[∪]0, π [ se prolonge en une fonction f˜ sin x x dérivable sur ] − π, π [, puis préciser f˜(0) et f˜′ (0). Exercice B6.8. 1. Déterminer un développement asymptoptique en +∞ à la précision x 7→ p x4 + x + 1 − x p 1 , de : x2 x2 + 1. 2. Déterminer un développement généralisé en 0 à la précision x2 , de : x 7→ 1 1 − . x ( e x − 1) x 2 2 Exercice B6.9. Soit f : x 7→ xe x . 1. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle à préciser. 2. Justifier que f −1 admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0. 3. Déterminer le développement limité à l’ordre 3 de f −1 en 0. Exercice B6.10. 31 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 1. Démontrer qu’il existe une unique fonction f de classe C 1 sur R qui vérifie ∀ x ∈ R, x f ′ ( x ) + 2 f ( x ) = x x2 + 1 On précisera en particulier f ′ (0). ˆ 1 2. Calculer f (t)dt, où f est la fonction déterminée dans la question précédente. 0 B7 Séries Exercice B7.1. Étudier la nature de la série de terme général un dans chacun des cas suivants. a) un = 1 3n + 4 1 d ) un = n(n + 2)(n + 4) √ ÇÅ c) un = e−n sin n3 √ e) un = n(1 + n) 1 f ) un = √ n √ 2 n+1 h ) un = √ n−2 ln n g ) un = 2 n ã3 å 1 −1 j) un = n 1+ n Å Å ãã 1 m) un = 1 − cos ln n n √ ã Å ln n + n p) un = ln 1 + n 2 b) un = e−n Å 1 k) un = sin n 2 n7 ln(1 + 4n q) un = n X k k =1 n X k3 k =1 ã 2n − 1 3n − 1 n) un = i ) un = Ñ é Å ã3 1 1 2 1+ + en n ã 2 1 n l ) un = 1 − n ãn Å 1 o ) un = √ n Å ã n−1 n r ) un = 2n2 + 3 Å √ n) Exercice B7.2. Étudier la nature de la série de terme général un dans chacun des cas suivants, et si elle converge, calculer sa somme. a) un = 2 ( n − 1) ! (−1)n + 52n 3 n +1 (−1)n + 32n g ) un = 5n 1 n −1 √ j) un = n 2 ( 3) n 9 m ) un = (3n + 1)(3n + 4) d ) un = b) un = en − n + 3 2en + n2 + 1 ( n3 − 1 ) 2 n n! 3n − 2 n h ) un = 4 ( n + 2) ! (−1)n n k) un = 2 n +1 Å ã 1 n) un = ln 1 + 3n + 1 e) un = ( n( n − 1) − ( n + 2) ! )3n n! 5 f ) un = ( n + 1) ! Å ã 1 1 i ) un = n − n! (n + 1)! 2 ln n − 1 l ) un = ln n + 3 c) un = o ) un = cos(n) 2n Exercice B7.3. Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à x 7→ ln(1 + x ) sur l’intervalle [0, 1], et en déduire la somme d’une série remarquable. Exercice B7.4. 1. Déterminer la nature de la série de terme général 2. Démontrer qu’il existe trois réels α, β, γ tels que : ∀n > 2, 1 n ( n2 − 1 ) α β γ 1 = + + . n n−1 n+1 − 1) n ( n2 3. En déduire la somme de la série de terme général Exercice B7.5. Pour tout entier non nul n, on pose un = 1 si elle converge. n ( n2 − 1 ) n2 . ( n − 1) ! 32 Analyse 1. Déterminer trois réels a, b, c tels que ∀n > 3, un = b c a + + . ( n − 3) ! ( n − 2) ! ( n − 1) ! 2. En déduire que la série de terme général un converge, et donner sa somme. Exercice B7.6. 2 . n2 1 1 2 − Arctan . 2. Montrer que ∀n > 2, Arctan 2 = Arctan n−1 n+1 n +∞ X 2 Arctan 2 . 3. En déduire n 1. Déterminer la nature de la série de terme général Arctan n =1 Exercice B7.7. Montrer que n √ X k =0 k ∼ n →+ ∞ 2 3 n2 . 3 Exercice B7.8. (Convergence des séries alternées) Soit (un )n>0 une suite décroissante à termes positifs, qui converge vers 0. Pour tout entier n, on pose Sn = n X (−1)k uk . k =0 1. Montrer que les suites (S2n )n>0 et (S2n+1 )n>0 sont adjacentes. 2. En déduire la nature de la série de terme général (−1)n un . (−1)n 3. Déterminer la nature de la série de terme général , en fonction de α ∈ R. nα X 4. On note Rn le reste à l’ordre n de (−1)n un . Donner le signe de Rn en fonction de n. En déduire ∀n ∈ N, | Rn | 6 un . n>0 X (−1)n converge. Déterminer un entier n0 tel que Sn0 soit une valeur approchée de la somme 5. Soit α ∈ R tel que nα n>1 de la série à 10−3 près. 1 pour tout n ∈ N. n2 + 1 ˆ n X dx , puis en déduire la nature de 1. Comparer un à l’intégrale un . 2 n −1 x + 1 Exercice B7.9. On pose un = n>0 p 2. Déduire de la question précédente un majorant de X uk . k = n +1 3. En déduire un majorant du reste à l’ordre n + 1 de la série, puis un équivalent. Exercice B7.10. √ √ 1. Montrer que pour tout entier n, (2 + 3)n + (2 − 3)n est un entier pair. Ä ä X √ sin (2 + 3)n π . 2. En déduire la nature de la série n>0 Exercice B7.11. Étant donné un réel u0 > 0, on définit une suite (un )n∈N en posant un+1 = un e−un pour tout n > 0. 1. Étudier la convergence de la suite (un )n∈N ∗ . Å ã X u n +1 2. Déterminer la nature de la série de terme général ln . En déduire la nature de la série un . un n>0 3. Étudier la convergence de la suite (vn )n∈N définie par : ∀n ∈ N, vn = 4. En déduire la nature de la série X n>0 u2n . 1 u n +1 − 1 . un 33 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE B8 Intégration sur un segment Exercice B8.1. Soit f une fonction continue sur [0, 1], et n ∈ N ∗ . On pose : 1 ˆ In = f (x) dx x+n 0 Jn = ˆ 1 0 n x f ( x ) dx Kn = ˆ n 0 n − nx x e dx Ln = ˆ 1 0 f (x) dx. 1 + nx À l’aide de majorations, montrer que les suites ainsi définies convergent vers 0. 1 xn dx et vn = 0 1+x 1. Montrer que lim un = lim vn = 0. Exercice B8.2. Soit n ∈ N, un = n →+ ∞ 2. En déduire que : ˆ ˆ 1 0 xn dx. 1 + x2 n →+ ∞ n X (−1)k = ln 2 et lim n →+ ∞ k+1 k =0 ˆ Exercice B8.3.[Lemme de Lebesgue] Démontrer que lim b Exercice B8.4. Calculer les limites suivantes : Å ã n n 1 X 3 kπ 1X ii ) lim 4 sin k i ) lim n →+ ∞ n n →+ ∞ n n k =1 iii ) k =1 Exercice B8.5. Montrer que ∀n ∈ N ∗ , 2n n X 1 1X 1 = p n 1+ p = n +1 k =1 k =0 f (t) sin(nt) dt = 0 lorsque f ∈ Esc ([ a, b] , R ), puis lorsque n →+ ∞ a f ∈ C 1 ([ a, b] , R ). n X π (−1)k lim = . n →+ ∞ 2k + 1 4 lim n →+ ∞ n X k =1 0 np X k =0 1 = ln(1 + p). n+k t dt. (1 + t )2 1 (1 − (−t)n )2 dt. Montrer Jn −→ I. n,+ ∞ (1 + t )2 0 n 1 − (−t) est une application polynomiale sur [0, 1]. 3. Montrer que t 7→ 1+t n X n X (−1)i+ j 4. On pose Sn = . Montrer Sn −→ I. n,+ ∞ i+j 2. On pose Jn = ˆ t i =1 j =1 n,+ ∞ n →+ ∞ Exercice B8.7. 1 (n + 2k)3 n n,+ ∞ 1. Calculer I = iv) lim . En déduire la valeur de lim k Exercice B8.6. Quel que soient l’entier non nul p, montrer lim ˆ n2 n X k =0 2n X 1 . p p = n +1 √ 3 k2 k 3 + n3 . 34 Analyse Chapitre C Algèbre C1 Logique, ensembles, relations Exercice C1.1. Soit A ⊂ R et f : A → R. Donner en français la signification des énoncés suivants et calculer leur négation. i ) ∀( x, y) ∈ A2 , ( x < y ⇒ f ( x ) < f (y)) iii ) ∃ a ∈ A, ∀ x ∈ A, x 6 a v) ∃y ∈ A, ∀ x ∈ A, x = y vii ) ∀( x, y, z) ∈ A3 , x = y ou y = z ou x = z. ii ) ∃ x ∈ R, ∀y ∈ A, y 6 x iv) ∀ x ∈ A, ∃y ∈ R, y < x vi ) ∀ x ∈ A, ∃y ∈ A, x 6= y Exercice C1.2. Soit E un ensemble non vide. Donner en français la signification des énoncés suivants et calculer leur négation. i ) ∀ x ∈ E, ∃y ∈ E, x 6= y iii ) ∃ x ∈ E, ∀y ∈ E, x = y ii ) ∃ x ∈ E, ∀y ∈ E, x 6= y iv) ∀ x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀z ∈ E, x = y ou y = z ou z = x Exercice C1.3. Soient P, Q, R trois assertions, les assertions A, B et C ci-dessous sont-elles équivalentes ? A : ( P ⇒ Q) ⇒ R; B : P ⇒ ( Q ⇒ R); C : P ⇒ Q et Q ⇒ R. Exercice C1.4. √ 1. Soient a > 0 et b ∈ R. Montrer que a = b ⇔ a = b2 et b > 0 . √ 2. Résoudre dans R l’équation : x2 − 2x = x − 3, d’abord en raisonnant par implication et réciproque, puis en raisonnant par équivalences. Exercice C1.5. (Vrai/Faux) Soit E un ensemble, P et Q des propriétés concernant les éléments de E. 1. [∀ x ∈ E, ( P( x ) et Q( x ))] ⇐⇒ [(∀ x ∈ E, P( x )) et (∀ x ∈ E, Q( x ))] 2. [∃ x ∈ E, ( P( x ) et Q( x ))] ⇐⇒ [(∃ x ∈ E, P( x )) et (∃ x ∈ E, Q( x ))] 3. [∀ x ∈ E, ( P( x ) ou Q( x ))] ⇐⇒ [(∀ x ∈ E, P( x )) ou (∀ x ∈ E, Q( x ))] 4. [∃ x ∈ E, ( P( x ) ou Q( x ))] ⇐⇒ [(∃ x ∈ E, P( x )) ou (∃ x ∈ E, Q( x ))] Exercice C1.6. (Vrai/Faux) Déterminer la valeur de vérité et la négation de chacune des assertions suivantes. √ 1. ∃ a ∈ R, ∀n ∈ N, n 6 a √ 2. ∀n ∈ N, ∃ a ∈ R, n 6 a 3. ∀ (a, b) ∈ R2 , ab 6= 0 ⇒ ( a 6= 0 ou b 6= 0) 4. ∀ (a, b, c) ∈ R3 , ( a 6= b et b 6= c) ⇒ a 6= c 5. ∀n ∈ N, ∀ p ∈ N, (n + p pair) ⇔ (n − p pair). Exercice C1.7. Écrire sans point d’exclamation l’assertion ∃!x ∈ E, P( x ), où E désigne un ensemble et P une propriété concernant les éléments de E. Ecrire la négation de cette assertion. Exercice C1.8. Soient A et B deux ensembles et P une propriété. 36 Algèbre 1. Démontrer l’implication : [∃ a ∈ A, ∀b ∈ B, P( a, b)] ⇒ [∀b ∈ B, ∃ a ∈ A, P( a, b)]. 2. La réciproque est-elle vraie ? 3. L’implication : [∃!a ∈ A, ∀b ∈ B, P( a, b)] ⇒ [∀b ∈ B, ∃!a ∈ A, P( a, b)] est-elle vraie ? Exercice C1.9. Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Pour toute partie X de E, on note X son complémentaire dans E. Montrer les résultats suivants. i) A ∩ B ⊂ B ii ) B ⊂ A ∪ B iii ) A ∪ B = B ⇐⇒ A ⊂ B iv) A ∩ B = B ⇐⇒ B ⊂ A v) A ⊂ B ⇐⇒ B ⊂ A vi ) A ∪ B ∩ C ∪ A = ∅ vii ) ( A \ B) ∩ ( A \ C ) = A \ ( B ∪ C ) viii ) A ∪ B = A ∩ C ⇐⇒ B ⊂ A ⊂ C Exercice C1.10. Écrire les ensembles suivants en extension : A = P (∅), B = P (P (∅)) et C = P (P (P (∅))). Exercice C1.11. (Vrai/Faux) Soient E un ensemble et A, B, C des parties de E. Alors : i ) non( A ⊂ B) ⇒ ( B ⊂ A) ii ) ( A ⊂ B) ⇔ ( B ⊂ A) iii ) ( A ∩ B = A ∩ C ) ⇔ ( A ∩ B = A ∩ C ) iv) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C ) Exercice C1.12. Soient E un ensemble et A, B des parties de E. 1. Écrire plus simplement les ensembles A ∩ ( A ∪ B) et A ∪ ( A ∩ B). 2. Application : démontrer que A et B sont égaux si, et seulement si, A ∩ B et A ∪ B sont égaux. Exercice C1.13. Soient E un ensemble et A, B, C des parties de E. 1. Montrer que les deux conditions ( A ∩ B = A) et ( A ∪ B = B) sont nécessaires et suffisantes pour que A soit inclus dans B. 2. Montrer que si A ∩ C ⊂ B ∩ C et A ∪ C ⊂ B ∪ C, alors A ⊂ B. Exercice C1.14. (Différence symétrique) Soient A et B deux parties de E, on appelle différence symétrique de A et B : A∆B = ( A \ B) ∪ ( B \ A) = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B). Justifier la seconde des égalités ci-dessus, puis caractériser les couples ( A, B) ∈ P ( E)2 vérifiant : i ) A∆B = A ∩ B ii ) A∆B = A ∪ B iii ) A∆B = A \ B iv) A∆B = ∅ Exercice C1.15. Soit n ∈ N et ( A0 , A1 , A2 , . . . , An ) des parties de E telles que ∅ = A0 A1 ⊂ · · · An = E. Pour tout entier k tel que 1 6 k 6 n, on note Bk = Ak \ Ak−1 . Démontrer que { B1 , B2 , . . . , Bn } est une partition de E. C2 Applications Exercice C2.1. (Vrai/Faux) 1. L’axe (Ox ) est stable par la projection : ( x, y) 7→ ( x, 0). 2. L’axe (Ox ) est stable par la symétrie ( x, y) 7→ ( x, −y). 3. Toute bijection de R sur R est strictement monotone. 4. Toute application strictement monotone de R dans R est bijective. ex − 1 . ex + 1 1. Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle J à préciser. Exercice C2.2. Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2. Soit y ∈ J. Résoudre l’équation y = f ( x ) d’inconnue x, et en déduire une expression de f −1 (y) en fonction de y. 37 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice C2.3. Montrer que l’application ß f : R2 (x, y) −→ R2 7−→ ( x + 2y, 3x − y) est une bijection de R2 sur R2 et calculer sa bijection réciproque. ß Exercice C2.4. L’application f : −→ C ∗ est-elle surjective ? Injective ? 7−→ ez C z Exercice C2.5. Étudier la surjectivité et l’injectivité des applications suivantes du plan euclidien : une rotation, une symétrie axiale, une symétrie centrale. Exercice C2.6. Pour chacunes des fonctions de R dans R suivantes, déterminer si elle est injective. ii ) g : x 7→ x2 + 1 i ) f : x 7→ e x − 1 iii ) h : x 7→ sin x iv) k : x 7→ x . x − |x| + 1 Exercice C2.7. Soient E, F des ensembles, ainsi que deux applications f : E → F et g : F → E telles que f ◦ g = id F . Montrer que f est surjective, et que g est injective. Exercice C2.8. Soient E, F et G des ensembles non vides, et f : E → F, g : F → G et h : G → E des applications. 1. Montrer que si g ◦ f est injective et f est surjective alors g est injective. 2. Montrer que si g ◦ f est surjective et g est injective alors f est surjective. 3. Donner un exemple d’applications f et g telles que g ◦ f soit bijective, g soit non injective et f soit non surjective. 4. Montrer que si, parmi les trois applications h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g, deux sont injectives et la troisième surjective, alors les trois applications f , g et h sont bijectives. Exercice C2.9. Soit f une application de E dans F, A, A′ (resp. B, B′ ) deux sous-ensembles de E (resp. F). Montrer les résultats suivants. −1 −1 i ) B ⊂ B ′ ⇒ f ( B ) ⊂ f ( B ′ ). å Ç ii ) f −1 f ( B) ⊂ B. iii ) Si f surjective, alors f Ç −1 f ( B) å = B. −1 iv) A ⊂ f ( f ( A)) . −1 v) Si f surjective, alors A = f ( f ( A)) . Exercice C2.10. Soient E et F des ensembles, et f une application de E vers F. On considère encore E1 et E2 deux parties de E, ainsi que deux parties de F notées F1 et F2 . Montrer les résultats suivants. i ) f ( E1 ∪ E2 ) = f ( E1 ) ∪ f ( E2 ). ii ) f ( E1 ∩ E2 ) ⊂ f ( E1 ) ∩ f ( E2 ). −1 −1 −1 −1 −1 −1 iii ) f ( F1 ∪ F2 ) = f ( F1 ) ∪ f ( F2 ) iv) f ( F1 ∩ F2 ) = f ( F1 ) ∩ f ( F2 ). Exercice C2.11. (Vrai/Faux) Soit E un ensemble. 1. ∀ f ∈ E E , ∃ g ∈ E E , f ◦ g = g ◦ f = IdE . 2. Si A ⊂ E est stable par f : E → E, alors toute partie de A est stable par f . 3. Il existe une unique injection f : E → E telle que f ◦ f = f . Exercice C2.12. (Vrai/Faux) Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans E. 38 Algèbre 1. Si g ◦ f = IdE , alors f et g sont bijectives et réciproques l’une de l’autre. 2. Si f est injective, il existe une partie B de F telle que f induise une bijection de E sur B. 3. Si f est surjective, il existe une partie A de E telle que f induise une bijection de A sur F. 4. ∀ A ∈ P ( E) , f −1 ( f ( A)) = A. 5. ∀ B ∈ P ( F ) , f ( f −1 ( B)) = B. Ä ä 6. f est bijective si, et seulement si, ∀ A ∈ P ( E) , f A = f ( A). Exercice C2.13. Pour chacune des fonctions ci-dessous, de R2 dans R2 , examiner l’injectivité et la surjectivité. Å ã Ä ä x+y x+y f : ( x, y) 7→ (y, x ) g : ( x, y) 7→ h : ( x, y) 7→ x, y2 + 1 . , 2 2 C3 Systèmes linéaires Exercice C3.1. Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la méthode du pivot de Gauss-Jordan. x + 2y − z = 0 x+y = 0 x + 2y = 0 2x + 7y − 2z = 0 2x + y = 1 −2x + y + z = 2 c) b) a) − x + 3y + z = 0 x + 2y = −1 − x − y + 2z = 3 ß x − 2y + z + t = −2 5x + 3y + 2z = 0 x + 2z + t = 0 2x − y − z − t = −1 x + y + 2z = 0 e) f) d) y − z − 2t = 1 x + y + z − 2t = −8 3x + 3y + z = 0 x−y+z+t = 0 x + 3y + 2z + t = −2 2x − y + 3z = 1 3x − 3y + 3z + 2t = 0 2x + 7y + 3z = −5 −4x + 2y + z = 3 i) h) g) x−y+z = 0 3x + 8y + 7z + 11t = 13 −2x + y + 4z = 4 5x − 5y + 5z + 7t = 0 −2x − 8y − 2z + 6t = 18 10x − 5y − 6z = −10 Exercice C3.2. Résoudre les systèmes linéaires suivants, de paramètre a ∈ R, en utilisant la méthode du pivot de GaussJordan. 2x + y − 3z = 1 x + ay + 2z = a x + 2y − 3z = 1 x + 3y − 2z = 2 −2x + y + ( a − 2)z = 1 x + 3y − 4z = 2 b) c) a) ax + y + 2z = 2a − 1 2x + 3y − 5z = a 7x − 4y − a2 z = a − 4 Exercice C3.3. Résoudre les systèmes d’équations suivants en utilisant la méthode du pivot de Gauss-Jordan. m est un paramètre réel. mx + y + z = 1 x+y−z−s+t = 0 x + my + z = m 2x + y − 4z + 4t = 0 b) a) x + y + mz = 1 x + 2y − 3z + s − t = 0 x+y+z = m C4 Matrices Dans tous les exercices, on considère n, p, q > 1 des entiers, K = R ou C, et In désigne la matrice unité d’ordre n. Exercice C4.1. Effectuer avec les matrices ci-dessous toutes les opérations licites (somme, produit, carré, inverse). Å ã Å ã 1 0 3 2 −1 A= B= C = −1 0 2 D = 2 tC 0 −2 2 −1 2 Ñ é Ñ é Ñ é Ñ é 1 −1 0 6 −2 1 −1 −1 0 1 2 −1 1 1 E= 0 0 F= 0 3 G= H= 1 2 3 0 −1 2 0 −1 −1 1 0 39 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice C4.2. Calculer l’inverse des matrices suivantes lorsque cela est possible et déterminer leur rang dans le cas contraire, en utilisant la méthode du pivot de Gauss-Jordan. Ñ é Ñ é Ñ é 1 2 −1 1 2 3 4 4 6 A= 2 1 3 B = −1 0 2 C = 1 −1 0 3 3 2 5 4 0 1 2 1 Ü ê Ü ê Ü ê 2 1 1 3 1 3 2 5 1 1 1 1 1 0 −1 0 −1 0 1 2 1 2 2 2 D= E= F= 0 2 1 1 −2 1 1 0 1 2 3 3 4 3 2 4 3 4 1 1 1 2 3 4 Ñ Exercice C4.3. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) du réel λ la matrice Ñ Exercice C4.4. Soit A = −1 0 −2 1 1 1 1 0 2 λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ é est inversible. é . 1. Montrer que tA + sI3 = O3 implique t = s = 0. 2. En déduire les solutions de l’équation (xI3 + yA)2 = I3 . Ñ 2 4 Exercice C4.5. Soit A = 0 2 0 0 é 6 3 et N = A − 2I3 . 2 1. Calculer N k , pour k ∈ N. 2. En déduire An , pour n ∈ N, puis pour n ∈ Z. Ñ Exercice C4.6. Soit N = 2 2 −1 é −2 1 −3 2 . 2 0 1. Montrer que N 2 + 2N − 3I3 = O3 . 2. Montrer qu’il existe deux suites (un ) et (vn ) telles que N n+1 = un N + vn I3 pour tout entier positif n. 3. Montrer que pour tout n ∈ N, un + vn = un+1 + vn+1 . 4. En déduire que pour tout n ∈ N, un+1 = −3un + 1. 5. Exprimer un et v n en fonction de n, puis en déduire la valeur de N n pour n ∈ N. Ñ 1 0 Exercice C4.7. Soit A = 0 1 1 0 é 0 1 . 1 1. Calculer A2 et A3 . 2. Montrer que : A3 − 3A2 + 3A − I3 = 0. 3. Montrer que pour tout k ∈ N : Ak = I3 + k( A − I3 ) + k ( k − 1) ( A − I3 ) 2 . 2 4. En déduire Ak , pour tout k ∈ N. 5. Montrer que A est inversible, puis exprimer A−1 en fonction de I3 , A et A2 . Calculer A−1 . 6. Montrer que la relation de la question 3 est en fait valable pour tout k ∈ Z. 1 1 7. Soit B = I3 + ( A − I3 ) − ( A − I3 )2 . Montrer que B2 = A. 2 8 Å Exercice C4.8. Soit A = 2 1 2 ã Å ã −3 3 2 et P = . 1 1 − 21 1. Montrer que P est inversible et calculer son inverse. 2. Calculer P−1 AP. 3. En déduire les puissances de A. 40 Algèbre Ñ 3 1 4. Mêmes questions avec A = 0 2 1 1 −2 0 0 é Ñ 1 et P = 1 1 0 1 2 0 1 1 é . Exercice C4.9. Montrer que le produit de deux matrices symétriques est symétrique si, et seulement si, ces deux matrices commutent. Exercice C4.10. (Vrai/Faux) Soient A, B, C des matrices carrées d’ordre n, à coefficients dans K. 1. Si C 6= 0 et CA = CB, alors A = B. 2. ∃ J ∈ M2n (K ) , J 2 = − I2n . 3. ∃ J ∈ M2n+1 (K ) , J 2 = − I2n+1 . 4. A2 inversible ⇔ A inversible ⇔ t A inversible. Exercice C4.11. Soient A, une matrice carrée d’ordre n, à coefficients dans K. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes. i ) A inversible ii ) A2 inversible iii ) t A inversible. Exercice C4.12. Soit n ∈ N ∗ et A ∈ Mn (K ) telle que A3 + A = A2 + A = On . Montrer que A ne peut pas être inversible. Exercice C4.13. Une matrice A ∈ Mn (K ) est dite nilpotente s’il existe un entier k tel que Ak = On . Le plus petit entier k tel que Ak = On est alors appelé « ordre de nilpotence de A. » Ñ é Å ã 0 1 1 0 1 1. Montrer que et 0 0 1 sont nilpotentes, et donner leur ordre de nilpotence. 0 0 0 0 0 2. Soient A, B deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que AB et A + B sont nilpotentes. C5 Espaces vectoriels Exercice C5.1. (Vrai/Faux) Les familles de R2 ci-dessous sont-elles libres ? génératrices ? F1 = ((1, 1) , (1, −1)) ä Ä √ ÄÄ√ ää 2 + 1, 1 , 1, 2 − 1 F4 = F2 = ((1, 1) , (1, −1) , (0, 1)) F3 = ((2, 0)) F5 = ((1, 0), (0, 1), (0, 0)) Exercice C5.2. (Vrai/Faux) Les familles de R3 ci-dessous sont-elles libres ? génératrices ? F1 = ((0, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0)) F3 = ((2, 0, 3) , (1, 1, 4)) F2 = ((1, 1, 2) , (1, −1, 3) , (1, 3, 1)) F4 = ((1, 1, 2) , (1, −1, 3) , (1, 3, 1) , (0, 1, 3)) Exercice C5.3. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m ∈ R, la famille (m, −1, 1), (2, m − 1, −2), (1, 2, m) est libre. Exercice C5.4. Soit E un K-espace vectoriel et F = (u, v, w) une famille libre de vecteurs de E. Indiquer si les familles suivantes sont libres ou pas. F1 = (u, v) F2 = (u + v, u − v) F3 = (u − w, v − u, w − v) Exercice C5.5. 1. Soit n ∈ N et α1 , . . . , αn des réels deux à deux distincts. Montrer que la famille ( x 7→ eαi x )16i6n est libre. 2. Soit A ⊂ R. En déduire que la famille (x 7→ eαx )α∈ A est libre. 41 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice C5.6. Soient I un intervalle véritable de R et E = C ( I, R ), le R-espace vectoriel des fonctions continues sur I, à valeurs dans R. Les familles de fonctions suivantes sont-elles libres dans cet espace vectoriel ? F1 = ( f 1 , f 2 , f 3 ), avec f 1 : x 7→ cos x, f 2 : x 7→ sin x, f 3 : x 7→ 1. F2 = ( f 1 , f 2 , f 3 ), avec f 1 : x 7→ cos2 x, f 2 : x 7→ cos 2x, f 3 : x 7→ 1. ® ]1, +∞[ −→ R . F3 = ( f α,β )( α,β)∈(R )2 , avec f α,β : + x 7−→ x α (ln x ) β Exercice C5.7. On considère la famille F = ((1 − i, i, 1 + i ), (−1, 1, 3), (1 − i, i, i )) de C3 . 1. Montrer que F est une base de C3 . 2. Donner les coordonnées de (1 + i, 2, i ) dans F . Exercice C5.8.Parmi les ensembles suivants, déterminer lesquels sont des espaces vectoriels. i ) F1 = ( x, y, z, t) ∈ K4 ; x − y + 3z + t = 0 et x + z = 0 . ii ) F2 = ( x, y, z, t) ∈ K4 ; x − y + 3z + t = 0 et x + z = 1 . iii ) F3 = ( x, y, z, t) ∈ R4 ; x − y + 3z + t > 0 . iv) F4 = { f : [0, 1] → R; f (1) = 0}. v) F5 = { f : [0, 1] → R; f (1) = 1}. vi ) L’ensemble F6 des fonctions croissantes de la variable réelle. vii ) F7 = {(un ) ∈ RN ; u0 = u1 }. Exercice C5.9. Les parties suivantes de R2 sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2 ? Si oui, on en donnera une base. © ¶ A = {(3t, −t) | t ∈ R } B = {(3t + 1, −t) | t ∈ R } C = (x, y) ∈ R2 | 2x + y = 0 © © ¶ © ¶ ¶ F = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 0 E = ( x, y) ∈ R2 | x2 − y2 = 0 D = ( x, y) ∈ R2 | 2x + y = 3 Exercice C5.10. Les parties suivants de R3 sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3 ? Si oui, on en donnera une base. © © ¶ ¶ B = (3λ, −λ, µ) ∈ R3 | (λ, µ) ∈ R2 A = (3λ, −λ, λ) ∈ R3 | λ ∈ R © © ¶ ¶ D = ( x, y, z) ∈ R3 | 2y + z = x − 5z C = ( x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0 © © ¶ ¶ F = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y = y − z = 0 E = ( x, y, z) ∈ R3 | 2x − 3z = 1 © © ¶ ¶ H = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y = y + z = z + x = 0 G = ( x, y, z) ∈ R3 | xy = 0 © © ¶ ¶ J = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y = y + z = z − x = 0 I = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y + z > 0 Exercice C5.11. Donner une base des espaces vectoriels suivants. i ) E = {(2x, 3y, x + y, x ) ∈ K4 ; ( x, y) ∈ K2 }. ii ) F = { x 7→ λ + µx; (λ, µ) ∈ R2 }. iii ) G = Vect{(2, −2, 1), (2, 2, −1), (1, 0, 0)}. iv) H = {( x, y, z, t) ∈ K4 ; 2x + y − z + 2t = 0 et x + y + z = 0}. Exercice C5.12. Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels. Si oui, donnez-en une base. 1. L’ensemble des suites arithmétiques. 2. L’ensemble des suites géométriques. 3. L’ensemble des fonctions polynomiales s’annulant en a (a réel donné). 4. L’ensemble des fonctions solutions sur R de l’équation différentielle y ′′ + 4y′ + y = 0. Exercice C5.13. Les parties suivants de RR sont-ils des sous-espaces vectoriels de RR ? 1. L’ensemble A des fonctions polynomiales à coefficients réels. 2. L’ensemble Bn des fonctions polynomiales à coefficients réels de degré n, avec n > 0. 3. L’ensemble Cn des fonctions polynomiales à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. 4. L’ensemble Dα des fonctions de limite α en +∞, avec α ∈ R. 42 Algèbre 5. L’ensemble ET des fonctions continues de R dans R, T-périodiques avec T > 0. 6. E2 ∪ E3 ? S En ? 7. n ∈N ∗ Ñ é x + 3y y − x ; ( x, y) ∈ R2 . Exercice C5.14. On pose F = 2y 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3 . 2. Donner deux bases différentes de F. Exercice C5.15. Soit F le sous-espace de K4 admettant pour équations x + 2y − 3t + z = 0 et 2x − y − t − 3z = 0. Montrer que les vecteurs u = (2, 0, 1, 1) et v = (0, −2, 1, −1) forment une base de F. Exercice C5.16. Soient u1 = (−1, 1, 1, 3), u2 = (1, 3, −1, −1), u3 = (1, 1, −1, 1), v1 = (2, 1, 2, 1), v2 = (3, 3, 1, 1). On pose U = Vect (u1 , u2 , u3 ) et V = Vect (v1 , v2 ) . 1. Déterminer une équation de U, de V puis de U ∩ V. 2. En déduire une base de U ∩ V. Exercice C5.17. Démontrer que Vect ((1, 1, 2), (−1, 1, 3)) = Vect ((1, 3, 7), (−2, 0, 1)) . Exercice C5.18. Soit ( E) : a( x )y′′ + b( x )y′ + c( x )y = 0, où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle I de R. On note S l’ensemble des solutions de ( E) sur I à valeurs dans K = R ou C. 1. Montrer que S est un K-espace vectoriel. 2. On suppose ici que a, b, c sont constantes sur I = R et a 6= 0. Donner une base de S . Exercice C5.19. On pose u1 = (2, 1, −3), u2 = (1, 2, −3), u3 = (3, 3, −6), E = Vect (u1 , u2 , u3 ) et F = {( x, 2x, x ) ; x ∈ R }. 1. Donner une base de E, puis une base de F. 2. Montrer que E et F sont supplémentaires dans R3 . Exercice C5.20. Soient E = ( x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z + t = 0 et F = {(λ, λ, λ, λ) | λ ∈ R }. E et F sont-ils des sousespaces vectoriels supplémentaires de R4 ? Exercice C5.21. Soit F = ( x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0 . 1. G = ( x, y, z) ∈ R3 | x = 2y = z est-il un supplémentaire de F dans R3 ? 2. H = ( x, y, z) ∈ R3 | x + y = y + z = z + x = 0 est-il un supplémentaire de F dans R3 ? 3. K = ( x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y = y − 4z = 0 est-il un supplémentaire de F dans R3 ? Exercice C5.22. Soit E = C 0 (R, R ). Pour tout réel a, on pose Ea = { f ∈ E, f ( a) = 0}. 1. Montrer que Ea est un sous-espace vectoriel de E. 2. Montrer que l’ensemble C des fonctions constantes est une droite vectorielle de E. 3. Montrer E = Ea ⊕ C. Exercice C5.23. (Vrai/Faux) Soient E un K-espace vectoriel, X, Y des parties de E, et F un sous-espace vectoriel de E. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 1. Une famille de vecteurs de E est liée si, et seulement si, chacun de ses éléments est combinaison linéaire des autres. 2. X ⊂ Y ⇐⇒ Vect X ⊂ Vect Y 3. Vect X ∪ Y = Vect X ∪ Vect Y 4. Vect X ∩ Y = Vect X ∩ Vect Y 5. Vect X ∪ Y = Vect X + Vect Y 6. X ⊂ F ⇐⇒ Vect X ⊂ F. 7. Vect X = X si et seulement si X est un sous-espace vectoriel de E. 43 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice C5.24. Soit E = RR . On appelle alors F1 l’ensemble des fonctions bornées de E, et F2 = { f ∈ E; f (0) = 0}. 1. Montrer que F1 et F2 sont des sous-espaces vectoriels de E. 2. Montrer E = F1 + F2 . 3. Montrer que tout élement de E se décompose d’au moins deux façons dans la somme F1 + F2 . Exercice C5.25. Soient L1 et L2 deux familles libres finies d’un K-espace vectoriel E. Montrer que la réunion de ces deux familles, L1 ⊔ L2 , est libre si, et seulement si, Vect L1 ∩ Vect L2 = {0E }. Exercice C5.26. (Vrai/Faux) Soient E un espace vectoriel et F, G et H des sous-espaces vectoriels de E. 1. Le complémentaire de F est un sous-espace vectoriel de E. 2. On note − F = {− x | x ∈ F }. Alors F + (− F ) = {0E }. 3. F + G ⊂ H ⇔ ( F ⊂ H et G ⊂ H ). 4. F + (G ∩ H ) = ( F + G ) ∩ ( F + H ). 5. F ∩ ( G + H ) = ( F ∩ G ) + ( F ∩ H ). Exercice C5.27. Soit E un espace vectoriel et F, G, H trois sous-espaces vectoriels de E tels que F ⊂ H. 1. Montrer ( F + G ) ∩ H = F + ( G ∩ H ). 2. Donner un contre-exemple lorsque F n’est pas inclus dans H. C6 Espaces vectoriels de dimension finie Exercice C6.1. Montrer que l’application f : R3 → R2 définie par f ( x, y, z) = (2x + y, −z + x ) est linéaire. Déterminer la dimension de son noyau et de son image. Exercice C6.2. Pour chacune des applications suivantes, montrer qu’elle est linéaire, donner une base de son noyau et une base de son image. ß ß R2 −→ R2 R2 −→ R2 f : g: ( x, y) 7−→ ( x + y, x + y) ( x, y) 7−→ ( x + y, x − y) ß ß 2 3 R −→ R R3 −→ R h: k: ( x, y) 7−→ ( x − y, x + y, x ) ( x, y, z) 7−→ x − 2y + 3z ß 1 C (R, R ) −→ C 0 (R, R ) θ: f 7−→ f ′ Exercice C6.3. Montrer que l’application shi f t1 : Est-elle injective ? Surjective ? RN (un )n>0 est linéaire. → RN 7→ (un+1 )n>0 Exercice C6.4. On définit une application T : C 0 (R ) → RR , en posant pour tout f ∈ C 0 (R ) : ˆ x 2 f (t)e−t dt T ( f ) : x 7→ 0 1. Montrer T ∈ L C 0 (R ) . 2. Déterminer Ker ( T ) et Im( T ). Exercice C6.5. Soient E, F des K-espaces vectoriels et f ∈ L ( E, F ). On se donne une famille génératrice e1 , . . . , e p de E. Montrer que f (e1 ) , . . . , f e p génère Im( f ). Exercice C6.6. Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L ( E). Pour tout entier p, on note f p l’application linéaire définie par f p = f ◦ f ◦ · · · ◦ f. | {z } p fois On suppose qu’il existe un entier p > 0 et x ∈ E tels que f p (x ) = 0 et f p−1 ( x ) 6= 0 1. Montrer que x, f ( x ) , . . . , f p−1 ( x ) forment une famille libre. 44 Algèbre 2. On suppose E de dimension finie. Que peut-on en déduire ? Ñ a−b Exercice C6.7. Soit M l’ensemble des matrices de la forme Ma,b,c = 2a b que M est un espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension. b 0 a+b−c 2c a+c a é avec ( a, b, c) ∈ R3 . Montrer Exercice C6.8. Déterminer une base et la dimension de Sn (K ) et An (K ), pour n = 2 puis n = 3. ÑÑ Exercice C6.9. Donner une base et la dimension de Vect 1 −1 1 é Ñ é Ñ é Ñ éé 0 1 2 , 1 , −2 , −2 . 2 −1 2 Exercice C6.10. Déterminer la dimension et une base de chacun des espaces vectoriels ci-dessous. 1. ( x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0 . 2. ( x, y, z) ∈ R3 | x = 2y = z . 3. ( x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = y + z = z + t = t + x = 0 . 4. Vect{(1, 0, 1, 2), (0, 1, 3, 1), (1, 1, 0, 4), (2, 0, −2, 5)}. 5. L’ensemble des suites arithmétiques. 6. L’ensemble des fonctions de classe C 2 sur R et de dérivée seconde nulle. 7. f ∈ C 2 (R, R ) | f ′′ − 3 f ′ + 2 f = 0 . Exercice C6.11. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R4 respectivement définis par les systèmes d’équations suivants : ® ® x−z+t = 0 x − y − 2t = 0 y+z =0 x+t =0 1. Déterminer les dimensions de F et de G. 2. Déterminer la dimension de F ∩ G. 3. Que peut-on en déduire au sujet de la somme F + G ? Exercice C6.12. Soit E = R5 . On considère les vecteurs suivants de R5 : f 1 = (1, 0, 1, 0, 1), f 2 = (2, 1, 1, −1, 0) et f 3 = (5, 4, 1, −4, −3). Soit F = {( x, y, z, t, u) ∈ E | x + y + z = 0 et x + 4y + z − t + 2u = 0} et G = Vect ( f 1 , f 2 , f 3 ). 1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E. 2. Déterminer une base et la dimension de F, G et F ∩ G. 3. Montrer que F + G est un hyperplan de E. 4. Déterminer une équation et une base de F + G. Exercice C6.13. Déterminer dans chaque cas si F et G sont supplémentaires dans R4 . 1. F = ( x, y, z, t) ∈ R4 | x = 0 et G = Vect {(1, 2, 3, 4)}. 2. F = Vect {(1, 0, 2, 3), (1, 0, 2, 0), (0, 0, 0, 1)} et G = Vect {(0, 7, 0, 0), (1, 3, 1, 0)}. 3. F = ( x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z + t = 0 et G = ( x, y, z, t) ∈ R4 | x = 2y = 3z = 4t . 4. F = {( x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y + z + t = 0 et x − y + t = 0} et G = Vect (1, −4, 4, −1). Exercice C6.14. Soit ω > 0 et Fω = (un ) ∈ RN | ∀n ∈ N, un+2 = ω 2 un . 1. Montrer que Fω est un espace vectoriel. 2. Montrer que Fω contient deux suites géométriques non nulles u et v de raisons différentes. 3. Montrer que si deux suites ( an )n∈N et (bn )n∈N de Fω sont telles que a0 = b0 et a1 = b1 , alors elles sont égales. 4. Montrer que (u, v) est une base de Fω . En déduire dim Fω . Exercice C6.15. Soit n > 2, et E un espace vectoriel de dimension n, E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de dimension n − 1 de celui-ci. On suppose E1 6= E2 . 45 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 1. Soit une base (u1 , . . . , un−1 ) de E1 . Montrer que si x est un vecteur non nul n’appartenant pas à E1 , alors (u1 , . . . , un−1 , x ) est une base de E. 2. Déterminer E1 + E2 . 3. Quelle est la dimension de E1 ∩ E2 ? Exercice C6.16. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 2 et H1 , H2 deux hyperplans distincts de E. 1. Déterminer H1 + H2 . 2. Quelle est la dimension de H1 ∩ H2 ? Exercice C6.17. Soit E un espace vectoriel et F, G deux sous-espaces vectoriels de E. On considère un supplémentaire H de F ∩ G dans G. Montrer que F + G = F ⊕ H. Exercice C6.18. Déterminer le rang des familles ( x1 , x2 , x3 , x4 ) suivantes de R4 : 1. x1 = (1, 1, 0, 1), x2 = (1, −1, 1, 0), x3 = (2, 0, 1, 1), x4 = (0, −2, 1, −1). 2. x1 = (0, 1, 1, 1), x2 = (1, 0, 1, 1), x3 = (1, 1, 0, 1), x4 = (1, 1, 1, 0). 3. x1 = (0, 1, 0, 1), x2 = (1, −1, 1, −1), x3 = (1, −1, −1, 1), x4 = (1, 1, 1, 1). 4. x1 = (1, 1, 0, 1), x2 = (1, −1, 1, 0), x3 = (2, 0, 1, 1) , x4 = (0, −2, 1, −1). Exercice C6.19. Soient E un K-espaces vectoriel de dimension finie, et F , F ′ des familles de vecteurs de E. 1. Montrer F ⊂ F ′ ⇒ rg F 6 rg F ′ . 2. Montrer max (rg F , rg F ′ ) 6 rg F ⊔ F ′ 6 rg F + rg F ′ . C7 Polynômes Exercice C7.1. Soit Φ définie par Φ( P) = XP′′ − XP′ + 2P pour tout P ∈ R2 [ X ]. 1. Montrer que Φ est un endomorphisme de R2 [ X ]. 2. Déterminer Ker(Φ) et Im(Φ). Exercice C7.2. Soit n > 0. Est-ce que l’ensemble des polynômes de degré strictement supérieur à n est un supplémentaire de K n [ X ] dans K [ X ] ? Exercice C7.3. Soit E = aX 2 + (3b + a) X + b; ( a, b) ∈ C2 . 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C3 [ X ]. 2. Déterminer un supplémentaire de E dans C3 [ X ]. Exercice C7.4. Déterminer la dimension et une base de chacun des espaces vectoriels ci-dessous. 1. L’ensemble K n [ X ] des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à n, (n ∈ N ). 2. { P ∈ R3 [ X ] | P(1) = 0}. 3. { P ∈ R3 [ X ] | P(1) = P ′ (1) = 0 }. 4. { P ∈ R3 [ X ] | P(1) = P(2) = 0}. 5. { P ∈ R3 [ X ] | P( X ) = P(1 − X )}. Exercice C7.5. Dans chacun des cas suivants, montrer que F ⊕ G = R4 [ X ]. 1. F = { P ∈ R4 [ X ] | P(1) = 0} et G = R0 [ X ]. 2. F = { P ∈ R4 [ X ] | P(1) = P′ (1) = 0} et G = R1 [ X ]. 3. F = { P ∈ R4 [ X ] | P(1) = P(2) = 0} et G = { P ∈ R4 [ X ] | P(3) = P(4) = P(5) = 0}. Exercice C7.6. (Polynômes interpolateurs de Lagrange) Soient ( a0 , . . . , an ), des éléments de K deux à deux distincts et ( P0, . . . , Pn ) les polynômes de K [ X ] définis pour tout k ∈ J0, nK, par : n Y X − aj . Pk ( X ) = ak − a j j =0 j6=k 1. Quel est le degré du polynôme Pk ? 46 Algèbre 2. Quelle est la dimension de K n [ X ] ? 3. Calculer Pk ( ai ) pour (k, i ) ∈ J0, nK2 . 4. En déduire que ( P0 , . . . , Pn ) est une famille libre, puis que c’est une base de K n [ X ]. 5. Calculer les coordonnées d’un polynôme Q de K n [ X ] dans cette base. 6. Trouver un polynôme Q ∈ R3 [ X ] tel que Q(0) = 1, Q(1) = 2, Q(2) = −1 et Q(3) = −2. C8 Applications linéaires Dans cette section, E désignera un K-espace vectoriel quelconque. Exercice C8.1. Soit E un espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E qui commutent. Montrer f (Ker( g)) ⊂ Ker( g) et f (Im( g)) ⊂ Im( g). Exercice C8.2. Soient E, F, G des K-espaces vectoriels, et f : E → F et g : F → G des applications linéaires. Montrer que f (Ker( g ◦ f )) = Ker g ∩ Im f . Exercice C8.3. Soit f un endomorphisme non nul de E. 1. On suppose que f est injective. Montrer que si U et V sont des sous-espaces vectoriels de E en somme directe, alors f (U ) et f (V ) le sont également. 2. Réciproquement, on suppose que, pour tous sous-espaces vectoriels de E en somme directe U et V, f (U ) et f (V ) sont en somme directe. Nous allons démontrer que f est injective, et pour cela nous raisonnons par l’absurde : on suppose dans la suite que f n’est pas injective. (a) Justifier qu’il existe deux vecteurs x, y non nuls de E tels que f ( x ) = 0 et f (y) 6= 0. (b) Montrer que ( x, y) est une famille libre. (c) On pose U = Vect { x + y } et V = Vect { y}. Montrer que U et V sont en somme directe, puis conclure. Exercice C8.4. Soit f ∈ L (E) tel que ∀ x ∈ E, ( x, f ( x )) est une famille liée. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Exercice C8.5. Soit f ∈ L R3 l’application définie par f ( x, y, z) = (z, y, x ). 1. Donner la matrice de f dans la base canonique. 2. Montrer que B = ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, −1)) est une base de R3 puis déterminer la matrice de f dans la base B. Exercice C8.6. Soit u ∈ L R3 définie par ∀( x, y, z) ∈ R3 , u( x, y, z) = (z − y, x − z, y − x ). 1. Écrire la matrice de u dans la base canonique. 2. Soient a = (1, 1, 1), b = (1, −1, 0) et c = (1, 0, −1), et B ′ = ( a, b, c). Vérifier que B ′ est une base de R3 . 3. Écrire la matrice de u dans la base B ′ . 4. En déduire une base de Ker u et une base de Im u. Exercice C8.7. Soit f ∈ L R3 définie par ∀( x, y, z) ∈ R3 , f ( x, y, z) = (−2y − 2z, y + z, x + y − z). 1. Donner la matrice de f dans la base canonique. 2. Donner des bases de Im f et Ker f en effectuant le moins de calcul possibles. 3. Soit P le plan d’équation y + z = 0. Déterminer une base de f ( P). Exercice C8.8. Soit B la base canonique de R3 et f ∈ L R3 Ñ 1 A= 2 1 dont la matrice dans la base B est : é 0 1 1 1 . 0 1 1. Déterminer Ker f . Est-ce que f est injective ? Surjective ? 2. Déterminer Im f . Exercice C8.9. Soit n ∈ N et Φ l’endomorphisme de R n [ X ] défini par ∀ P ∈ R n [ X ] , Φ( P( X )) = P( X + 1). 1. Écrire la matrice de Φ dans la base canonique (pour n = 1, 2, 3 puis pour n quelconque). 47 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 2. Montrer que Φ est un isomorphisme et écrire la matrice de Φ−1 dans la base canonique. Exercice C8.10. Soit j = e canonique est : 2iπ 3 . Déterminer le noyau et l’image de u, l’endomorphisme de C3 dont la matrice dans la base Ñ A= Exercice C8.11. Soit u ∈ L R 3 1 j j2 j j2 1 j2 1 j é Ñ 0 dont la matrice dans la base canonique B est A = 1 1 1. Déterminer les sous-espaces vectoriels Ker u, Ker (u − Id ) et Ker (u + Id ). −1 1 2 −3 1 −2 é . 2. u est-il un automorphisme ? 3. En déduire une base B ′ de R3 dans laquelle la matrice D représentant u soit diagonale. 4. Exprimer A en fonction de D. 5. En déduire An pour tout n ∈ N. Exercice C8.12. Soit f ∈ L R 3 Ñ 5 l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est M = 2 4 −2 −3 0 −2 −2 −2 é . 1. Montrer que Ker f , Ker ( f − IdE ) et Ker ( f − 2IdE ) sont des droites vectorielles dont on donnera des vecteurs directeurs respectifs u, v et w. 2. Montrer que B = (u, v, w) est une base de R3 . 3. Montrer que la matrice D de f dans la base B est diagonale. 4. Écrire la matrice de passage P de la base canonique à B. 5. Donner une relation entre P, P−1 , D et M. Exercice C8.13. Soit Φ l’application définie sur K2 [ X ] par Φ( P) = 2P + (1 − X ) P′ . 1. Montrer Φ ∈ L (K2 [ X ]). 2. Donner la matrice M de Φ dans la base canonique. 3. Montrer que Φ n’est pas injective. Que peut-on en déduire ? 4. On pose P0 = 1, P1 = 1 − X et P2 = 1 − 2X + X 2 . Montrer que ces vecteurs forment une base B de K2 [ X ]. 5. Donner la matrice N de Φ dans la base B. 6. En déduire qu’il existe une matrice inversible Q telle que Q−1 MQ soit diagonale. Exercice C8.14. Soit A = ( ai,j )16i,j6n une matrice carrée de taille n. On appele trace de A, le scalaire Tr A = n X ai,i . i =1 1. Montrer que ∀ A, B ∈ Mn (K ) , Tr ( AB) = Tr ( BA) (on pourra considérer n = 2 puis n = 3 et enfin n quelconque). 2. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace. 3. La réciproque est-elle vraie ? 4. Soit E un espace vectoriel non réduit à {0}. On suppose qu’il existe deux endomorphismes u et v de E tels que u ◦ v − v ◦ u = IdE . Montrer que E n’est pas de dimension finie. Donner un exemple. Exercice C8.15. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de celui-ci. On considère l’endomorphisme f de E dont la matrice dans B est : Ñ é 1 0 0 A= 1 0 0 . 1 0 0 1. Déterminer dim Ker f . 2. Montrer qu’il existe un vecteur x0 ∈ E non nul tel que f ( x0 ) = x0 . 3. Construire alors une base B ′ = (e1′ , e2′ , e3′ ) de E formée de vecteurs vérifiant f (e1′ ) = f (e2′ ) = f (e3′ ) = x0 . Ñ é 1 1 1 4. En déduire qu’il existe une matrice inversible P telle que A = P 0 0 0 P−1 . 0 0 0 48 Algèbre Exercice C8.16. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L (E) vérifiant f 3 = f . Montrer alors que l’on a E = Ker f ⊕ Im f . Exercice C8.17. Montrer que les applications suivantes sont des projecteurs ou des symétries. Préciser leurs sous-espaces caractéristiques. ß f1 : ß f3 : R3 ( x, y, z) −→ R3 7−→ ( x, y, 0) R3 R3 −→ ( x, y, z) 7−→ (0, x + y, z) R3 Ñ é x f5 : y z −→ R3Ñ é 8x − y − 4z 1 − x + 8y − 4z 7−→ 9 −4x − 4y − 7z ß f2 : R3 −→ R3 ( x, y, z) 7−→ (− x, y, −z) 2 −→ R ã Å 4x + 2y 2x + y , ( x, y) 7−→ 5 5 R2 [ X ] −→ R2 [ XÅ] ã 1 f6 : P( X ) 7−→ X 2 P X f4 : R2 Exercice C8.18. On considère les vecteurs suivants de R3 : Ñ é Ñ é Ñ é Ñ é Ñ é 1 1 1 1 1 a = 1 , b = −5 , c = 13 , d = 0 et e = 3 , 3 4 1 1 0 1. Les vecteurs a, b, c appartiennent-ils à un même plan vectoriel de R3 ? 2. Déterminer une équation cartésienne du plan vectoriel Π de R3 engendré par les vecteurs d et e. 3. Déterminer un système d’équations cartésiennes pour chacune des deux droites vectorielles ∆ a et ∆b de R3 engendrées respectivement par a et b. 4. Quelle est l’image d’un vecteur quelconque par la projection sur Π parallèlement à ∆ a ? Même question pour la projection sur ∆b parallèlement à Π. Exercice C8.19. Soient p, q deux projecteurs de E. 1. On suppose p ◦ q = q ◦ p = 0. Montrer que p + q est un projecteur. 2. Réciproquement, on suppose que p + q est un projecteur. (a) Montrer p ◦ q = −q ◦ p. (b) En déduire p ◦ q ◦ p = 0 puis p ◦ q = q ◦ p = 0. 3. Montrer que si p + q est un projecteur alors Im( p + q) = Im( p) + Im(q) et Ker( p + q) = Ker( p) ∩ Ker(q). Exercice C8.20. On suppose E de dimension 3 et de base B. Soit Ñ 2 0 A= 0 1 0 1 f ∈ L ( E) dont la matrice dans la base B est : é 0 0 . 2 1. Déterminer F = Ker ( f − 2IdE ) et G = Ker ( f − IdE ). Justifier F ⊕ G = E. 2. Soit p le projecteur sur F parallèlement à G. Déterminer la matrice P de p dans la base B. 3. Soit q le projecteur sur G parallèlement à F. Déterminer p + q, pq, qp et la matrice Q de q dans la base B. 4. Montrer A = 2P + Q et en déduire les puissances de A. Ñ 1 Exercice C8.21. Soit u l’endomorphisme de K3 dont la matrice dans la base canonique est A = 2 1. Déterminer Ker(u − Id ) et Ker(u + 2Id ). 2. En déduire une base B telle la matrice B de u dans la base B est diagonale. 3. Calculer Bn , pour tout n ∈ N. En déduire An , pour tout n ∈ N. 2xn+1 = − xn − 3yn + 6zn 2yn+1 = 3xn + 5yn − 6zn 4. Déterminer des suites ( x n ), (yn ), (zn ) vérifiant : ∀n ∈ N, 2zn+1 = 3xn + 3yn − 4zn é −1 −3 6 3 5 −6 . 3 3 −4 49 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE C9 Rang d’une application linéaire Ñ Exercice C9.1. Soit f ∈ L (K3 ) l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est M = 1 3 1. Déterminer rg( f ). 4 2 −2 2 4 2 −2 2 4 é . 2. En déduire Im( f ) et Ker( f ). Montrer qu’ils sont en somme directe. Exercice C9.2. Déterminer le rang des matrices suivantes en utilisant la méthode du pivot de Gauss. a, b et c sont des paramètres complexes. Ñ é Ñ é Ñ é 1 3 2 1 0 0 1 1 1 4 −3 −2 A = 2 −1 −2 B= C = b+c c+a a+b 0 1 1 −4 4 2 bc ca ab à í Ü ê a b 0 0 0 Ñ é 2 1 1 3 1 a a2 0 a b 0 0 1 0 −1 0 2 0 0 a b 0 D= 1 b b E= F= a 2 1 1 0 0 0 a b 1 c c2 0 3 2 4 a 0 0 0 a Exercice C9.3. On définit f ∈ L (R3 ) en posant f ( x, y, z) = (−2y − 2z, y + z, x + y − z). 1. Donner la matrice de f dans la base canonique. 2. Donner des bases de Im( f ) et Ker( f ) en effectuant le moins de calcul possibles. 3. Soit P le plan d’équation y + z = 0. Déterminer une base de f ( P). Ñ 1 Exercice C9.4. Soit t ∈ R. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, déterminer le rang de M = 3 2 de t. Calculer alors l’inverse de M lorsque celui-ci existe. 2 4 3 t 2 −1 é en fonction Exercice C9.5. Soit n ∈ N ∗ et f ∈ L (R n [ X ]) défini par f ( P) = XP′ − P. 1. Déterminer la matrice de f dans la base canonique de R n [ X ]. 2. En déduire rg( f ), puis des bases de Im( f ) et Ker( f ). Exercice C9.6. Soit M ∈ M3 (R ) telle que M 6= 0 et M2 = 0. 1. Soit f l’endomorphisme canoniquement associé à M. Montrer Im( f ) ⊂ Ker( f ). 2. En déduire rg( M ). Ñ 3. Montrer qu’il existe une matrice inversible P telle que M = P 0 0 0 0 0 0 é 1 0 P −1 . 0 2 R3 ) et g ∈ L (R3 , R2 ). On suppose que, dans la base canonique de R3 , la matrice de Exercice C9.7. Soient Ñ f ∈ L (R , é 1 −1 1 h = f ◦ g est A = 12 −1 1 1 . 0 0 2 1. Montrer que h2 = h et que h est de rang égal à 2. 2. En déduire que f et g sont de rang égal à 2. 3. (a) Montrer que f est injective, et que g est surjective. (b) En déduire g ◦ f = IdR2 . Exercice C9.8. Soit E un espace vectoriel de dimension n > 1 et f ∈ L ( E). Montrer Im( f ) = Ker( f ) ⇐⇒ ( f ◦ f = 0 et n = 2 rg( f )) Exercice C9.9. Soient E un espace vectoriel de dimension n > 1, f et g deux endomorphismes de E vérifiant f + g = IdE et rg f + rg g 6 n. Montrer que f et g sont deux projecteurs associés. Exercice C9.10. Soit A ∈ Mn (K ), de rang 1. On note u l’endomorphisme de K n canoniquement associé à A. 50 Algèbre 1. Montrer que Im u ⊂ Ker u ou Im u ⊕ Ker u = K n . 2. Montrer que A2 = (Tr A) A, où Tr A désigne la trace de A (c’est-à-dire la somme des coefficients diagonaux de A). 3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que A soit la matrice d’un projecteur. C10 Déterminant en dimension deux et trois Exercice C10.1. Soit ( a, b, c, d) ∈ K4 . Calculer le déterminant des matrices suivantes. Sont-elles inversibles ? Si oui, calculer la matrice inverse. Ñ é Ñ é Å ã Å ã Å ã 1 2 −1 3 2 3 1 1 1 −i a c A= B= C= D= 3 0 9 E= 1 1 1 2 −1 i 1 b d 1 5 −7 2 5 7 Exercice C10.2. Soient j = e 1 j j2 A = j j2 1 j2 1 j 2iπ 3 , et a, b, 1 B = 1 1 c des réels. Calculer les déterminants suivants. 1 1 1 cos a sin a cos b sin b C = cos a cos b cos c cos2 a cos2 b cos2 c cos c sin c 0 D = − a b a 0 −c Exercice C10.3. Soit ( a, b, c) ∈ C3 . Déterminer une expression factorisée des déterminants suivants. 1 a a2 1 ab 1 2a a+b b+c a−b−c 2a 2 2b 2b E=a a a F = 1 b a G = b − c − a H = a2 + b2 b2 + c2 a2 a2 a2 a b 1 2c a 3 + b3 b3 + c 3 2c c − a − b Ñ é λ 1 1 Exercice C10.4. Déterminer pour quelles valeurs de λ ∈ C, la matrice 1 λ 1 est inversible. 1 1 λ −b c 0 c + a c2 + a2 c3 + a3 Exercice C10.5. Soient a, b, c, d, m ∈ K. Résoudre les systèmes suivants d’inconnues ( x, y, z) en utilisant les formules de Cramer. x+y+z = 1 (m − 2) x + 2y − z = a ax + by + cz = d 2x + my + 2z = b 2 2mx + 2 (m + 1) y + (m + 1) z = c ( a − a ) x + ( b2 − b ) y + ( c 2 − c ) z = ( d 2 − d ) C11 Factorisation de polynômes Exercice C11.1. Développer en puissances de X les polynômes suivants. ! 2n ! n n X X X k ( k + 1) k k k X ii ) kX X i ) ( X − 1) 2 k =0 k =0 k =0 Exercice C11.2. Donner un polynôme P de degré n tel que P + P′ = iii ) (1 + X + · · · + X n )2 . Xn . n! Exercice C11.3. Déterminer tous les polynômes P ∈ C [ X ] vérifiant ( X 2 + 1) P( X ) = P( X 2 ). Exercice C11.4. Déterminer sans effectuer aucun calcul des polynômes ( P, Q) ∈ Q [ X ]2 tels que 1. Q(1) = 1, Q(2) = 0 et Q(3) = 2. 2. P(1) = 1, P′ (1) = 2 et P′′ (1) = 3. Exercice C11.5.[Le Schéma de Hörner] n X Soient n ∈ N ∗ et P( X ) = ak X k ∈ K [ X ]. Le Schéma de Hörner est un algorithme permettant de calculer l’image d’un k =0 élément x ∈ K par la fonction polynomiale x 7→ P( x ). On calcule successivement les éléments (bk )06k6n définis par : bn = an et : ∀k ∈ J0, n − 1K, bk = ak + bk+1 x. 51 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 1. Montrer que b0 = P( x ). 2. En considérant, chaque produit et chaque somme comme une opération (et donc chaque puissance x k comme k opérations), combien d’opérations doit-on effectuer pour calculer P( x ) par le calcul direct et par le schéma de Hörner ? ã Å −1 . 3. Soit P( X ) = X 4 − 2X 3 + 4X + 5. En utilisant le schéma de Hörner, calculer P(4) et P 2 4. Soit P( X ) = iX 3 − (1 + i ) X 2 + 2X − i. En utilisant le schéma de Hörner, calculer P(2), P(i ) et P(1 − i ). Exercice C11.6. (Vrai/Faux) Soient P, A, B ∈ K [ X ], avec B 6= 0, L ∈ R [ X ] et α ∈ R. 1. Il existe plusieurs couples ( Q, R) de polynômes tels que A = BQ + R. 2. Si P′ a une racine multiple, alors P a une racine multiple. 3. Si P a une racine multiple, alors P′ a une racine multiple. 4. Si L n’est pas constant et n’a pas de racine réelle alors L est irréductible. Ä ä 5. X 2 − 2(cos α) X + 1 divise L si, et seulement si, L eiα = 0. 6. Toute fonction f : R → R polynomiale périodique est constante. 7. La moyenne des racines complexes (comptées avec multiplicité) de P est égale à la moyenne des racines complexes (comptées avec multiplicités) de P′ . Exercice C11.7.[Polynômes de Tchebychev] On définit par récurrence une suite ( Pn ) de polynômes à coefficients réels en posant P0 = 1, ∀n ∈ N, Pn+2 = 2XPn+1 − Pn . P1 = X, 1. Calculer P1 , P2, P3 . 2. Donner le degré et le coefficient dominant de Pn en fonction de n. 3. Montrer que pour tout réel x et tout entier n on a cos(nx ) = Pn (cos x ). 4. En déduire les racines de Pn pour tout entier n. Exercice C11.8. i ) Existe-t-il P ∈ C [ X ] tel que ∀( x, y) ∈ C2 , P( x + y) = P( x ) P(y) ? ii ) Existe-t-il P ∈ C [ X ] tel que ∀( x, y) ∈ C2 , P( x · y) = P( x ) + P(y) ? Exercice C11.9. Soient A ∈ K [ X ] un polynôme non nul et F = { P ∈ K [ X ] ; A| P}. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de K [ X ]. 2. Soit n ∈ N tel que n > Deg A. Déterminer une base et la dimension de G = F ∩ K n [ X ]. 3. Déterminer un supplémentaire de G dans K n [ X ]. Exercice C11.10. Montrer que le polynôme P divise Q dans chacun des cas suivants. i ) Q = nX n+2 − (n + 2) X n+1 + (n + 2) X − n et P = ( X − 1)3 , avec n ∈ N ∗ . ii ) Q = ( X − 1)n+2 + X 2n+1 et P = X 2 − X + 1, avec n ∈ N. iii ) Q = X 3n+2 + X 3p+1 + X 3q et P = X 2 + X + 1, avec (n, p, q) ∈ N3 . Exercice C11.11. Soient A( X ) = X 2n − 1, B( X ) = X 2n+1 − 1 et C ( X ) = X 2n+1 + 1. 1. Décomposer en facteurs irréductibles les polynômes A, B, C dans C [ X ], puis dans R [ X ]. 2. En déduire la factorisation, dans R [ X ] du polynôme P( X ) = 3. Déduire des questions précédentes la valeur de cos π 7 Å cos 2n X (−1)k X k . k =0 ã Å ã Å ã Å ã π 3π 2π 2π 3π cos et de cos − cos . − cos 7 7 7 7 7 Exercice C11.12. Soit ( a, b) ∈ R2 et n ∈ N ∗ . On pose Pn = aX n+1 + bX n + 1 et Q = ( X − 1)2 . 1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur ( a, b) pour que Q divise Pn dans R n [ X ]. 2. Dans le cas où Q| Pn , déterminer le quotient dans la division euclidienne de Pn par Q. 52 Algèbre Exercice C11.13. Soient P ∈ K [ X ], ( a, b) ∈ K2 avec a 6= b et n > 2. 1. Soient λ ∈ K et µ ∈ K les restes des divisions euclidiennes de P par X − a et X − b. Déterminer le reste de la division euclidienne de P par ( X − a)( X − b). 2. Calculer le reste de la division euclidienne de ( X sin θ + cos θ )n par X 2 + 1. 3. Calculer le reste de la division euclidienne de ( X − 3)2n + ( X − 2)n − 2 par les polynômes suivants : i) X − 3 iii ) ( X − 2)2 ii ) X − 2 iv) (X − 3)2 (X − 2)2 Exercice C11.14. Soit n ∈ N et θ ∈ R. Montrer que le polynôme Pn ( X ) = X n sin θ − X sin nθ + sin[(n − 1)θ ] est divisible par X 2 − 2X cos θ + 1 dans R [ X ] : 1. sans effectuer de division euclidienne ; 2. en effectuant la division euclidienne. En déduire la factorisation de P4 ( X ) dans R [ X ]. Exercice C11.15. 1. Déterminer tous les entiers n ∈ N tels que X 2 + X + 1 divise X 2n + X n + 1. ä Ä 2. Montrer que ∀( a, b, c, d) ∈ N4 , X 3 + X 2 + X + 1 | X 4a+3 + X 4b+2 + X 4c+1 + X 4d . 3. Soit n ∈ N ∗ . Déterminer tous les couples ( a, b) ∈ R2 tels que ( X − 1)2 divise aX n+1 + bX n + 1. Déterminer alors le quotient. 4. Trouver un polynôme P de degré 7 tel que ( X − 1)4 divise P( X ) + 1 et ( X + 1)4 divise P( X ) − 1 (on pourra rechercher les racines du polynôme dérivé d’un tel polynôme P). Exercice C11.16. Soit P = X 5 + X 4 − X − 1. 1. Montrer que −1 et 1 sont des racines de P, dont on donnera la multiplicité. 2. Achever la recherche des racines de P, et factoriser celui-ci dans R [ X ] puis C [ X ]. Exercice C11.17. Factoriser le polynôme P = X 3 − (1 + 2i ) X 2 + (9i − 1) X − 2(1 + 5i ) sachant qu’il possède une racine réelle. Exercice C11.18.Soit n ∈ N ∗ et k ∈ Z. 1. Résoudre dans C l’équation z2 − 2z cos 2kπ n + 1 = 0. Å ã n Y 2kπ 2. En déduire ( X n − 1)2 = X 2 − 2X cos +1 . n k =1 Exercice C11.19. Factoriser dans C [ X ] les polynômes suivants. i ) X 3 − 6X 2 + 11X − 6 ii ) X 4 + X 2 + 1 iv) (3X − 1)5 − ( X + 2)5 v) X 3 + 8i iii ) X 6 + X 3 + 1 √ √ vi ) X 4 − 2 + i 2 Exercice C11.20. Soit P( X ) = aX 3 + bX 2 + cX + d ∈ K [ X ], et (α, β, γ) ∈ K3 . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i ) α, β, γ sont les racines de P ; ii ) P( X ) = a( X − α)( X − β)( X − γ) ; −b α+β+γ = a c αβ + αγ + βγ = . iii ) a − d αβγ = a Exercice C11.21. Résoudre dans C3 les systèmes suivants (on pourra utiliser le résultat de l’exercice C11.20.). x + y + z = −2 x+y+z = 0 xy + yz + zx = −13 x 2 + y 2 + z2 = 0 (S2 ) : (S1 ) : 3 xyz = −12 x + y 3 + z3 = 1 Exercice C11.22. Soit P le polynôme P( X ) = X 3 + pX + q ∈ C [ X ] et α, β, γ ∈ C les racines de P. Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 53 1. Exprimer ∆ = P′ (α) P′ ( β) P′ (γ) en fonction de p et q. (On pourra utiliser le résultat de l’exercice C11.20.) 2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur p et q pour que P admette une racine au moins double. 3. On suppose maintenant p, q réels. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les trois racines de P soient réelles. 27 27 4. Soit P( X ) = X 3 − X + . Calculer ∆, puis déterminer les racines de P. 4 4 54 Algèbre Chapitre D Géométrie D1 Géométrie du plan Exercice D1.1. Soient A et B deux points distincts. Montrer que l’ensemble des points M du plan tels que MA = MB est la médiatrice du segment [ AB]. Exercice D1.2. Soient A, B, C trois points non alignés. 1. Montrer que les médiatrices du triangle ABC sont concourantes. En déduire qu’il existe un unique cercle passant par les points A, B et C. 2. Montrer que les hauteurs d’un triangle sont concourantes (on utilisera le produit scalaire). Exercice D1.3. Soient A, B, C trois points non alignés, A′ , B′ et C ′ respectivement les milieux des segments [ BC ], [ AC ] et [ AB], et G le point d’intersection des droites ( BB′ ) et (CC ′ ). −−→ − → 1. Montrer que BC = −2 B′ C ′ . −−→ −→ −→ −→ − −→ → 2. En déduire que GC = −2GC ′ et GA + GB + GC = 0 . 3. En déduire que les médianes du triangle ABC sont concourrantes en G. −1 . Déterminer l’image par h des points A, B et C. 4. Soit h l’homothétie de centre G et de rapport 2 5. Déterminer l’image par h des hauteurs du triangle ABC. 6. En déduire que le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre sont alignés. À quelle condition sont-ils confondus ? Dans le cas contraire, la droite qui passe par ces trois points s’appelle la droite d’Euler. Exercice D1.4. Soit ABC un du plan non aplati et G son centre de gravité. On considère les repères du plan Ä − Ä triangle → −→ä −→ −→ä ′ R = A; AB, AC et R = G; GB, GC . −→ −→ 1. Exprimer les coordonnées de GB et GC dans R. En déduire que R′ est bien un repère du plan. 2. Quels sont les points ayant mêmes coordonnées dans les deux repères ? Exercice D1.5. Soit ABCD un carré direct. On construit deux points P ∈ [ AB] et Q ∈ [ BC ] tels que BP = BQ. Soit H le orthogonal de B sur ( PC ). Montrer que ( QH ) et ( HD ) sont orthogonales (on pourra se placer dans le repère Ä projeté − → −→ä B; BC, BA ). −→ −→ Exercice D1.6. Dans le plan, on considère un parallélogramme ABCD non plat tel que AB = DC ainsi qu’un point P différent de B et D. La parallèle à ( AB) passant par P Äcoupe ( AD )ä en E et ( BC ) en F, et que la parallèle à ( AD ) passant −→ −→ par P coupe ( AB) en G et (CD ) en H. Soit R le repère A; AB, AD . On appelle (λ, µ) les coordonnées de P dans celui-ci. 1. Faire une figure, et donner les équations des droites ( EH ), ( FG ) et ( AC ) dans R. 2. Montrez que ces trois droites sont concourantes ou parallèles. Exercice D1.7. (Formule de Héron) Soit ABC un triangle non aplati. On note a, b, c les longueurs respectives de ses trois côtés [ BC ] , [CA] et [ AB], et α, β, γ les −→ −→ Ÿ − → −→ −→ − → Ÿ Ÿ mesures en radians respectives de ses trois angles non orientés ( AB, AC ), ( BC, BA) et (CA, CB) (on a donc α, β et γ dans l’intervalle ]0, π [). On note S l’aire du triangle et p son demi-périmètre. 1. Démontrer que : a2 = b2 + c2 − 2bc cos α. (Formule d’Al-Kashi) 56 Géométrie 2. Démontrer que : 2S = bc sin α. (Loi des sinus) sin β sin γ sin α = = . 3. En déduire que : a b c p 4. Déduire des questions précédentes la formule de Héron : S = p( p − a)( p − b)( p − c). Exercice D1.8. (Bissectrices d’un angle) → → → → Soient − u,− u ′ deux vecteurs unitaires et A un point du plan. On considère les droites D = A + R − u et D ′ = A + R − u ′. ′ Montrer que l’ensemble des points équidistants de D et de D est la réunion de deux droites orthogonales dont l’une est − →′ − → − → − → − → − → de la forme A + R w , où w est un vecteur unitaire tel que u , w ≡ w , u [2π ]. → → Exercice D1.9. Soit R = O, − ı ,− un repère du plan. Déterminer, en fonction du paramètre réel m, si les droites suivantes sont confondues, parallèles ou sécantes : Dm : y − (2m + 1) x + 1 = 0 et Dm′ : y + 3mx + m = 0. → → Exercice D1.10. Soit R = O, − ı ,− un repère orthonormé direct du plan. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel m les droites suivantes sont orthogonales. Dm : m2 x + y + 36 = 0 et Dm′ : (2m + 4) x + (5m + 3)y − m2 = 0. → → Exercice D1.11. Soit un repère R = O, − ı ,− du plan P . Ä − √ → − → √ → − − → → − →ä → 1. Soit I = 3− ı +→ et J = − 3− ı + 3− . Montrer que R′ = O, I , J est un repère de P et écrire les formules de changement de repère. √ 2. On considère l’ensemble C des points du plan dont les coordonnées ( x, y) dans R vérifient : 3x2 + 2 3xy + y2 + 4√ 3x − 4y = 0. Écrire une équation de C dans R′ et tracer C . 3 → → Exercice D1.12. On considère un repère orthonormé R = O, − ı ,− du plan. Soient M (−1, 2), D1 : 3x + y − 5 = 0, D2 : x − 2y + 3 = 0, D3 : 4x − y − 9 = 0. Calculer la distance de M à chacune de ces trois droites. Exercice D1.13. Soient A et B deux points distincts. Montrer que pour tout réel λ, l’ensemble des points M du plan tels −−→ −→ que MA · MB = λ est soit vide, soit un cercle. Exercice D1.14. Soient A et B deux points distincts d’un plan P et k ∈ R + . On pose : Lk = { M ∈ P | MA = kMB} . 1. Déterminer L0 et L1 . −−→ On suppose maintenant que k ∈ R ∗+ \ {1}. Soient Gk le point tel que AGk = −−→ −−→ 2. Montrer que M ∈ Lk ⇔ MGk · MGk′ = 0. En déduire la nature de Lk . −−→ k −→ −k −→ AB et Gk′ le point tel que AGk′ = AB. k+1 1−k Exercice D1.15. Montrer que la tangente en A au cercle C de centre Ω et de rayon R > 0 est la droite passant par A et −→ admettant ΩA pour vecteur normal. → → Exercice D1.16. Le plan est rapporté à un repère quelconque O, − ı ,− . On considère l’ensemble U des points de coordonnées (x, y) tels que : x 2 − xy − 2y2 + 4x − 2y + 4 = 0. 1. Montrer que U coupe l’axe (Ox ) en un point P, et l’axe (Oy) en deux points distincts Q et R. Ä −→ − →ä 2. Soit R′ = P, PQ, PR . Déterminer une équation de U dans le repère R′ . En déduire la nature de U . → → Exercice D1.17. Dans un repère orthonormé O, − ı ,− , soit C le cercle de centre O et de rayon r. Soient A et B les points d’intersections de C avec l’axe des abscisses (A, d’abscisse négative). Soit C le symétrique de A par rapport à B, ∆ la tangente à C en A et D la parallèle à ∆ qui passe par C. 1. Soit P un point de D, et M un point de ∆. Déterminer une équation de la droite ( PM ). 2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que ( PM ) soit tangente à C . 3. D’un point quelconque P de D, on mène les tangentes à C , qui coupent ∆ en R et Q. Montrer que le centre de gravité du triangle PQR reste fixe lorsque P décrit D. Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 57 Exercice D1.18. On considère les cercles C , C ′ admettant pour équations respectives x2 + y2 − 4 = 0 et x2 + y2 − 8x + 15 = 0 dans un repère orthonormé direct quelconque. 1. Déterminer les centres Ω, Ω′ et les rayons R, R′ de C et C ′ . R′ . Déterminer les coordonnées du centre I de l’homothétie de rapport k qui envoie Ω sur Ω′ . R 3. Déterminer le point A de C d’ordonnée positive tel que la tangente à C en A passe par I. 2. Soit k = 4. Montrer que la droite ( AI ) est aussi tangente à C ′ . Exercice D1.19. On se donne un repère orthonormé direct du plan, et quatre points A, B, C, D deux à deux distincts d’affixes respectives a, b, c, d. Montrer que les conditions ci-dessous sont équivalentes : i ) A, B, C, D sont alignés ou cocylciques (c’est-à-dire sur un même cercle) ; −→ − → −→ −→ ii ) (CA, CB) ≡ ( DA, DB) [π ] ; a−c b−d · ∈ R. iii ) b−c a−d Exercice D1.20. Soient ABC un triangle non aplati et M un point du plan. On appelle H, K, et L les projetés respectifs de M sur les droites ( AB), ( AC ) et ( BC ). Le but de cet exercice est de démontrer que H, K et L sont alignés si et seulement si M est sur le cercle circonscrit à ABC. 1. Justifier que l’on peut choisir un repère orthormé direct dans lequel les affixes a, b et c de A, B et C sont de même module. 2. On suppose que M est différent de A, B et C. Exprimer les affixes h, k et l de H, K et L en fonction de a, b, c et de l’affixe m de M. 3. Conclure (on utilisera le critère de cocyclicité de l’exercice D1.19.). Exercice ÄD1.21. Soient A, B deux points distincts du plan, et α un réel. Montrer que l’ensemble des points M du plan −−→ −→ä vérifiant MA, MB ≡ α [π ] est soit la droite ( AB) privée des points A et B, soit un cercle passant par A et B, privé de A et B. D2 Géométrie de l’espace E. − → → → Dans la suite, on se place (sauf mention contraire) dans un repère orthonormé direct R = O, − ı ,− , k de l’espace Exercice D2.1. Déterminer des équations et représentations paramétriques des plans de l’espace suivant. → → 1. P passant par A(−1, 2, 3) et dirigé par − u (1, 1, 1) et − v (0, 1, 4) . 2. Q passant par A(−1, 2, 3), B(2, −1, 4) et C (2, 1, −1). 3. R passant par A(−1, 2, 3) et parallèle au plan Π d’équation 3x + y − z = 0. ® 3x + y − z + 2 = 0 4. S passant par A(−1, 2, 3) et contenant la droite D d’équation x−y+z−4 = 0 Exercice D2.2. Déterminer des équations et représentations paramétriques des droites de l’espace suivant. → 1. D1 passant par A(−1, 2, 3) et dirigé par − u (1, 1, 1) . 2. D2 passant par B(−1, 2, 3) et C (2, −1, 4). 3. D3 passant par B(−1, 2, 3) et orthogonale au plan d’équation 3x + y − z + 2 = 0. Exercice D2.3. Soit R un repère orthonormé direct de l’espace, Ω le point de coordonnées (1, 0, 0)R et trois vecteurs − → − → − → 1 1 − 1 1 u √ , 0, √ , v (0, 1, 0)R , w √ , 0, √ . 2 2 R 2 2 R → → → 1. Est-ce que R′ = Ω; − u ,− v ,− w est un repère orthonormé direct ? 2. Écrire les formules de changement de repère entre R et R′ . √ √ 3. Quelle est l’équation dans R′ du plan P d’équation 2x + 2y + 2z = 0 dans R ? 58 Géométrie Exercice D2.4. Les droites D et D ′ d’équations respectives ® 2x + 3y − 4z + 1 = 0 x − 2y + z − 3 = 0 ® 3x + y − 2z − 2 = 0 x+y+z−1 = 0 sont-elles sécantes ? Parallèles ? Ni l’un ni l’autre ? Exercice D2.5. Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite D ′ projetée orthogonale sur le plan P d’équation x + 2y − 3z − 1 = 0 de la droite D d’équation ® x = z+1 y = z−1 ß ß ß z=0 x=y x = z+1 Exercice D2.6. Soient D1 d’équations , D2 d’équations , D3 d’équations , et P d’équation y=1 y=1 y = 2z + 3 x + y + 2z = 0. Trouver toutes les droites de l’espace qui sont parallèles au plan P et sécantes avec chacune des trois droites D1 , D2 et D3 . ® Exercice D2.7. Déterminer une équation du plan parallèle aux droites ( D ) : par A(2, −1, 4). Exercice D2.8. Soient ® D, D ′ les droites d’équations respectives x − z = −1 y − 2z = 1 x − 1 = 2y y = z−1 ® et ® et ( D′) y − 3x = 0 z=1 : 6 − 2x = y z = y−2 passant . 1. Montrer qu’il existe un unique couple de plans ( P, P′ ) tels que : D ⊂ P, D ′ ⊂ P′ et P P′ . 2. Donner une équation cartésienne de P et de P′ . Exercice D2.9. Déterminer la perpendiculaire commune aux droites ® ® 2x + 5y + z = 9 2x + 3y − 3z = 7 ′ ( D) : et (D ) : x + 3y + 2z = 5 x + 2y − z = 5 Exercice D2.10. Soient S le point de coordonnées (−1, 1, 3), les plans P1 : x − y − z − 2 = 0 et P2 : x − 2y + 3z + 1 = 0 et les droites D1 et D2 d’équations : ß x = 1 + 2λ x + y − 2z = 1 y = 2 − λ (λ ∈ R ) . D1 : et D2 : 2x − y + z = −1 z = 2 + 2λ Calculer les distances d (S, P1 ), d (S, P2 ), d (S, D1 ), d (S, D2 ), d (D1 , D2 ), d (D1 , P1 ) et d (D1 , P2 ). ® Exercice D2.11. On considère les droites ( D ) : y−1 = 0 2x − z − 7 = 0 x = 2λ ′ et ( D ) : y = 1 − λ z = 2 + 2λ . 1. Soit M (λ) le point de D ′ de paramètre λ. Déterminer la distance g(λ) du point M (λ) à D. 2. Déterminer le minimum de la fonction g sur R. En déduire des équations de la perpendiculaire commune à D et D ′ . Exercice D2.12. Déterminer une équation des sphères suivantes. 1. S la sphère de diamètre [ PQ] avec P(2, −1, 0) et Q(−1, 5, 2). 2. S′ la sphère de centre T (2, −1, 0) et tangente au plan P d’équation x + y − z − 2 = 0. ® x=0 ′′ 3. S la sphère tangente en A(0, 2, 0) à la droite ( D ) : et tangente en A′ (4, 1, 3) à la droite ( D ′ ) : 3y + 4z = 6 ® 3x − 4y − 2z = 2 . z=3 Exercice D2.13. Déterminer une équation du cercle circonscrit à ABC, avec : A( a, 0, 0), B(0, b, 0) et C (0, 0, c). → → Exercice D2.14. Soient − u ,− v deux vecteurs de l’espace. 59 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE → → → → 1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation − u ∧− x =− v admette une solution − x. → → → 2. Résoudre l’équation − u ∧− x =− v. Exercice D2.15. La ville de Paris (49°N,2°E) est-elle plus proche de Kaboul (35°N,69°E) que de New-York (41°N,74°W) ? D3 Isométries vectorielles du plan et de l’espace Exercice D3.1. On se place dans le plan orienté R2 muni du produit scalaire usuel. On considère la réflexion s par rapport à Vect (−1, 1). Å ã 1 0 2 1. Déterminer une base orthonormée de R dans laquelle la matrice de s est . 0 −1 2. En déduire la matrice de s dans la base canonique. 3. Calculer s ◦ s′ , où s′ est la réflexion par rapport à Vect (1, 0). 4. Déterminer sans calcul (s ◦ s′ )−1 . Exercice D3.2. Soient r et s une rotation et une réflexion du plan euclidien orienté. Calculer s ◦ r ◦ s et r ◦ s ◦ r. Exercice D3.3. Soit r1 et r2 deux rotations du plan euclidien orienté. Montrer que r = r1 ◦ r2 ◦ r1−1 est une rotation dont on précisera l’angle en fonction des angles de r1 et de r2 . Exercice D3.4. Soit s une symétrie d’un espace euclidien E de dimension 2 ou 3. Montrer que s est une isométrie si et seulement si s est une symétrie orthogonale. Exercice D3.5. Soit E l’espace vectoriel euclidien orienté usuel de dimension 3. Soit r la rotation d’anlge θ ∈ R et d’axe → → dirigé et orienté par un vecteur unitaire − u . Montrer que pour tout − x ∈ E on a : → → → → → → → r(− x ) = cos θ − x + sin θ (− u ∧− x ) + (1 − cos θ )(− x ·− u )− u. − → → → ı ,− , k , la matrice de la Exercice D3.6. On munit R3 du produit scalaire usuel. Déterminer, dans la base canonique − π → → → rotation d’angle et d’axe orienté et dirigé par − u =− ı −− . 4 − → π → → ı ,− , k de R3 , la matrice de la rotation d’angle Exercice D3.7. Déterminer, dans la base canonique − et d’axe orienté 3 − → − → et dirigé par + k . Exercice D3.8. On se place dans R3 muni du produit scalaire usuel, et on considère la réflexion s par rapport au plan F d’équation x + y + z = 0. 1. Déterminer une base de F, puis un vecteur non nul normal à F. 2. En déduire une base dans laquelle la matrice de s est particulièrement simple. 3. Déterminer la matrice de s dans la base canonique. Exercice D3.9. On considère l’espace R3 muni du produit scalaire usuel, et f l’endomorphisme dont la matrice Ñ vectoriel é 0 0 1 dans la base canonique est M = −1 0 0 . 0 −1 0 1. Montrer que f est une isométrie vectorielle de R3 . 2. Calculer Ker( f − IdR3 ). 3. Montrer que f est une rotation dont on précisera les éléments caractéristiques. 3 Exercice D3.10. On considère l’espace Ñ vectoriel Ré muni du produit scalaire usuel, et f l’endomorphisme dont la matrice 7 4 4 dans la base canonique est M = 19 4 1 −8 . 4 −8 1 1. Montrer que f est une isométrie vectorielle de R3 . 60 Géométrie 2. Calculer Ker( f − IdR3 ) et Ker( f + IdR3 ). 3. Montrer que f est une réflexion par rapport à un plan que l’on précisera. Exercice D3.11. Soit E le plan ou l’espace euclidien orienté, et f : E → E une application conservant le produit scalaire, → → c’est-à-dire vérifiant quels que soient les vecteurs − u,− v : → − → → f − u ·f − v =− u ·→ v. Le but de cet exercice est de démontrer que f est une application linéaire. Ä− → → →ä 1. Exprimer f − u en fonction de − u . En déduire f 0 . → → → → u = λf − u . u − λf − u . En déduire f λ− 2. Soit λ un réel. Calculer f λ− → → → → 3. En raisonnant de même, montrer f − u +− v = f − u +f − v . 4. Conclure. Exercice D3.12. Soit E le plan ou l’espace vectoriel euclidien orienté. → → → → → → 1. Montrer que si − u,− v sont deux vecteurs unitaires de E, alors − u +− v et − u −− v sont orthogonaux. − → − → → → → → 2. Soit f ∈ L (E) une application non nulle conservant l’orthogonalité : u ⊥ v ⇒ f (− u ) ⊥ f (− v ) pour tous − u ,− v dans E. → − → → v . u = f → (a) Montrer que si − u,− v sont unitaires, alors f − → → → u . On alors dit que f est une similitude vectorielle u = a− (b) En déduire qu’il existe a > 0 tel que ∀− u ∈ E, f − de rapport a. Chapitre E Probabilités E1 Dénombrement Exercice E1.1. On dispose de trois séries de couleurs différentes (rouge, bleu et jaune) de cinq boules, les boules de chaque série étant numérotées de 1 à 5. On les range dans 15 cases numérotées de 1 à 15, à raison d’une boule par case. 1. Combien y a-t-il de rangements différents ? 2. Dans combien de ces rangements obtient-on : (a) dans l’ordre, 5 boules rouges, puis 5 bleues et enfin 5 jaunes ; (b) la première boule rouge à la case numéro 7 ; (c) la première boule rouge à la case numéro 7, de sorte que cette boule porte un numéro pair ? Exercice E1.2. On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 52 ; un tel ensemble de 5 cartes est appelé « une main. » 1. Combien y a-t-il de mains différentes ? 2. Dénombrer les mains de 5 cartes contenant : (a) un carré (quatre cartes portant le même numéro) ; (b) un full (trois cartes de même valeur, et deux autres de même valeur) ; (c) une double paire (sans carré ni full) ; (d) un brelan (trois cartes de même valeur, sans full ni carré) ; (e) une couleur (5 cartes de même couleur). Exercice E1.3. On effectue 5 tirages avec remise dans une urne contenant 9 boules numérotées de 1 à 9. 1. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. Dans combien de ces tirages obtient-on : (a) la boule numéro 1 au troisième tirage ; (b) la boule numéro 1 pour la première fois au troisième tirage. (c) au moins une fois la boule numéro 1 ; (d) exactement deux fois la boule numéro 1 ; (e) exactement trois fois la boule numéro 1 et une fois la boule numéro 3. Exercice E1.4. Une urne contient 10 boules jaunes, 5 boules bleues et 3 boules rouges. On suppose que deux boules de la même couleur sont distinguables. On en tire simultanément quatre. 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Quel est le nombre de tirages contenant au moins une boule rouge ? 3. Quel est le nombre de tirages contenant autant de boules bleues que de jaunes ? 4. Quel est le nombre de tirages contenant les trois couleurs ? Exercice E1.5. Soit n > 2 un entier et p ∈ J1, n − 1K. Une urne contient p boules blanches et n − p boules noires. On suppose que les boules d’une même couleur sont indiscernables entre elles. On tire successivement les n boules de l’urne, sans remise. 1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 2. Soit k ∈ Jp, nK. Déterminer le nombre de tirages ou la dernière boule blanche apparaît en k-ième position. 62 Probabilités 3. En déduire la valeur de ã n Å X k−1 k= p p−1 . Exercice E1.6. Six adultes et deux enfants doivent se répartir dans deux voitures. On suppose que chaque voiture comporte cinq places : deux à l’avant et trois à l’arrière. Combien y a-t-il de dispositions possibles, en supposant que les enfants s’assoient obligatoirement à l’arrière ? Exercice E1.7. Une petite fille casse sa tirelire, et y trouve 20 pièces de 1 euro et 10 pièces de 2 euros. Elle souhaite acheter 20 euros de bonbons avec celles-ci. 1. De combien de manières différentes peut-elle les payer ? 2. Reprendre la question précédente en supposant que la petite fille souhaite se débarrasser de l’une des pièces de deux euros, particulièrement abimée. Exercice E1.8. On dispose de 32 joueurs de tennis. De combien de façons peut-on organiser le tableau des rencontres d’un tournoi ? Et si les deux têtes de séries ne peuvent se rencontrer qu’en finale ? Exercice E1.9. Le capitaine des pompiers de New-York réside à l’angle de la 7ème rue et de la 33ème avenue. La caserne se trouve à l’angle de la 15ème rue et de la 40èmeavenue. Il s’y rend tous les jours à pieds et sans perdre de temps (c’est-à-dire dans le sens des numéros croissants aussi bien pour les rues que pour les avenues). Sachant qu’il a commencé à travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu’il n’est jamais passé deux fois par le même chemin, quel est l’âge maximum du capitaine ? Exercice E1.10. Combien le mot épinards possède-t-il d’anagrammes ? Et le mot pizzas ? Et le mot bicarbonate ? Et le mot anagrammes ? Exercice E1.11. Soit E un ensemble fini de cardinal n. Déterminer le cardinal des ensembles suivants. i ) {( X, Y ) ∈ P ( E)2 ; X ∪ Y = E et X ∩ Y = ∅}. ii ) { X ∈ P ( E); X ∪ A = E}, où A ⊂ E. iii ) {( X, Y ) ∈ P ( E)2 ; X ∪ Y = E}. Exercice E1.12. Soit E un ensemble fini non vide. Montrer que E possède autant de parties ayant un nombre pair d’élements que de parties ayant un nombre impair d’éléments. Exercice E1.13. Dénombrer l’ensemble des surjections de J1, nK dans J1, nK, puis de J1, n + 1K dans J1, nK. Exercice E1.14. Soit E un ensemble fini et A, B, C trois parties de E. Montrer que : card ( A ∪ B ∪ C ) =card A + card B + card C − card ( A ∩ B) − card ( A ∩ C ) − card ( B ∩ C ) + card ( A ∩ B ∩ C ) . Exercice E1.15. Soit E un ensemble fini. Calculer X card A. A⊂E Exercice E1.16.Soient n, p des entiers tels que p 6 n. Établir la formule p Å ãÅ ã X n n−k k =0 k p−k = 2p Å ã n , p en évaluant de deux manières différentes le nombre de manières de choisir un groupe de p personnes parmi n, puis de choisir à l’intérieur de celui-ci un sous-groupe de cardinal quelconque. Exercice E1.17. 1. Soient p, q et r trois entiers tels que p + q + r > 1. Combien de mots de p + q + r lettres peut-on former en utilisant p fois la lettre A, q fois la lettre B et r fois la lettre C ? Vérifier le résultat en prenant p = q = r = 1. X n! i j k abc . 2. En déduire la formule ( a + b + c)n = i!j!k! 0 6 i, j, k 6 n i+j+k = n Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE E2 63 Probabilités sur un univers fini Exercice E2.1. Soit Ω = ÅJ0,ãnK. Montrer que pour un certain réel λ, on peut définir une probabilité P sur Ω tel que λ n ∀k ∈ J0, nK, P({k}) = k . Calculer ensuite P( I ), où I est l’ensemble des nombres impairs compris entre 1 et n. 3 k Exercice E2.2. L’affirmation suivante est-elle vraie : « on a deux fois plus de chances d’avoir au moins un 6 en lançant deux dés, que d’avoir un 6 en lançant un seul dé » ? Exercice E2.3. On suppose que chaque moteur d’avion a une probabilité p ∈]0, 1[ de tomber en panne au cours d’un vol, et l’on admet qu’un avion peut atterrir sans encombre si au moins la moitié de ses réacteurs fonctionnent. 1. Quelle est la probabilité pour un avion possédant deux réacteurs de ne pas pouvoir atterrir à la fin d’un vol ? 2. Quelle est la probabilité pour un avion possédant quatre réacteurs de ne pas pouvoir atterrir à la fin d’un vol ? 3. Dans quel type d’avion préféreriez-vous monter ? Exercice E2.4. Une urne contient 2n jetons numérotés de 1 à 2n ; on en tire p 6 2n sans remise. 1. Si p = 2, quelle est la probabilité d’obtenir d’abord un jeton portant un numéro pair puis un jeton portant un numéro impair ? Quelle est la probabilité de tirer un jeton pair et un jeton impair, dans n’importe quel ordre ? 2. Quelle est la probabilité de tirer une suite de jetons dont les numéros forment une suite croissante ? 3. Quelle est la probabilité de tirer une suite de jetons portant des numéros consécutifs et croissants ? Exercice E2.5.[Problème posé à Blaise Pascal par le chevalier de Méré en 1654] Est-il plus probable d’obtenir au moins un six en lançant un dé quatre fois de suite, ou au moins un double six en lançant deux dés vingt-quatre fois de suite (on utilisera une calculatrice) ? Exercice E2.6. On considère une boite contenant 100 jetons, numérotés de 1 à 100. On y effectue n tirages avec remise. 1. Quelle est la probabilité de tirer un unique jeton portant un numéro pair ? 2. Soit k ∈ N. Quelle est la probabilité de tirer exactement 2k jetons avec un numéro pair ? 3. Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair de jetons possédant un numéro pair ? Exercice E2.7. On lance un dé, puis on effectue deux tirages d’une boule sans remise : — dans l’urne U contenant 9 boules blanches et 1 noire si le dé amène 1 ; — dans l’urne V contenant 3 boules blanches et 7 noires sinon ; 1. Les évènements « la première boule tirée est blanche » et « la deuxième boule tirée est noire » sont-ils indépendants ? 2. On obtient une boule blanche et une noire. Dans quel ordre est-il plus probable qu’on les ait tirés ? Exercice E2.8. On dispose de trois jetons : le jeton A qui a deux faces noires, le jeton B qui a une face noire et une face blanche, et le jeton C qui a deux faces blanches. On en choisit au hasard et on le lance ; quelle est la probabilité que sa face supérieure soit blanche ? Exercice E2.9. On considère une population qui compte 0, 2% de personnes infectées par un virus donné. Un test de dépistage présente les caractéristiques suivantes : — une personne infectée aura un résultat positif à ce test dans 99% des cas. — une personne saine aura un résultat négatif à ce test dans 99, 9% des cas. Calculer la probabilité qu’une personne qui a obtenu un résultat positif à ce test soit effectivement infectée. Exercice E2.10. On considère deux urnes, la première contenant une boule rouge et trois boules bleues, la seconde contenant une boule bleue et trois boules rouges. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule dans celle-ci. Sachant que l’on a obtenu une boule bleue, quelle est la probabilité que le tirage fut effectué dans la seconde urne ? Exercice E2.11. On admet que chaque enfant qui nait a la même probabilité d’être un garçon ou une fille. On considère un Monsieur X qui a deux enfants. 1. Quelle est la probabilité que Monsieur X ait une seule fille ? 2. Quelle est la probabilité que Monsieur X ait une seule fille sachant qu’il en a au moins une ? 3. On suppose que chacun des enfants de Monsieur X répond au téléphone avec la même probabilité, et que eux seuls répondent. Sachant que Madame Y a téléphoné hier, et qu’un garçon lui a répondu, quelle est la probabilité pour que Monsieur X ait un seul garçon ? 64 Probabilités 4. Reprendre ensuite cette question en supposant que les filles répondent deux fois plus souvent au téléphone que les garçons. Exercice E2.12. On considère une urne blanche, contenant une boule blanche et une boule noire, ainsi qu’une urne noire, contenant une boule blanche et deux boules noires. On commence par tirer (avec remise) une boule dans l’urne blanche, puis on tire successivement des boules en suivant le protocole suivant : si la n-ième boule tirée est blanche (resp. noire), alors la (n + 1)-ième boule est prélevée dans l’urne blanche (resp. noire), avec remise. Pour n ∈ N ∗ , on appelle Bn l’évènement « effectuer le n-ième tirage dans l’urne blanche », et Wn l’évènement « obtenir une boule blanche au n-ième tirage. » 1. Dessiner un arbre représentant la situation lors des deux premiers tirages. En déduire P(W2 ) et P( B2 ). 2. En utilisant la formule des probabilités totales, donner une relation entre P( Bn ) et P( Bn+1), puis exprimer P( Bn ) en fonction de n. 3. En déduire P(Wn ) en fonction de n. 4. Calculer la limite en +∞ de P(Wn ). Interpréter le résultat. Exercice E2.13. Une puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. On suppose qu’à l’instant 0 elle se trouve en A. À l’instant n, on suppose que : — Si la puce est sur A, elle peut passer à l’instant suivant sur B ou C de manière équiprobable. — Si la puce est sur B, elle peut passer à l’instant suivant sur A ou C de manière équiprobable. — Si la puce est sur C, elle y reste à l’instant suivant. Soit alors An (resp. Bn et Cn ) l’évènement « à l’instant n, la puce est sur la case A (resp. B, C). » On pose alors an = P( An ), bn = P( Bn ) et cn = P(Cn ). 1. Exprimer an+1 (resp. bn+1 puis cn+1 ) en fonction de an , bn et cn . 2. Donner une relation vérifiée par les termes de la suite (cn )n . 3. En déduire cn en fonction de n. 4. Calculer la probabilité que la puce finisse sur la case C. E3 Variables aléatoires Exercice E3.1. Soit n ∈ N ∗ et X une variable aléatoire à valeurs dans J0, nK. Montrer que l’on a E( X ) = n X P ( X > k ). k =1 Exercice E3.2. Soit une urne contenant 4 boules noires et 2 boules blanches. On tire 3 boules avec remise, et l’on appelle N le nombre de boules noires tirées. Donner la loi et l’espérance de N. Exercice E3.3. On considère une population de 109 bactéries que l’on soumet à des séances de radiation de sorte que, à chaque séance, chacune des bactéries a une probabilité égale à 21 d’être tuée. 1. Soit X1 la variable aléatoire donnant le nombre de bactéries restantes après une séance de radiation. Donner la loi de X1 . 2. Soit Xn la variable aléatoire donnant le nombre de bactéries restantes après n séances de radiation. Donner la loi de 9 . Xn , puis le plus petit entier n tel que P( Xn = 0) > 10 Exercice E3.4. On considère une urne contenant cinqs boules rouges, cinq boules jaunes et sept boules bleues. On tire quatre boules sans remise. Soit X (resp. Y) le nombre de boules rouges (resp. bleues) obtenues. Donner la loi de X et de Y. Exercice E3.5. On considère une urne contenant n > 3 boules numérotées de 1 à n. On en tire successivement 3 au hasard, sans remise. On considère trois variables aléatoires X, Y, Z telles que : X donne le plus grand numéro tiré, Y le second plus grand, et Z le plus petit. Déterminer les lois de X et de Z, puis celle de Y. Exercice E3.6. On lance quatre dés équilibrés, et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de numéros distincts obtenus. Calculer la loi, l’espérance et la variance de X. Exercice E3.7. On tire six cartes dans un jeu en contenant 32. Soit X le nombre d’as tirés. Calculer la loi, l’espérance et la variance de X dans chacun des cas suivants. 65 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 1. Le tirage s’effectue avec remise. 2. Le tirage s’effectue sans remise. Exercice E3.8. On considère une machine à sous qui fonctionne de la manière suivante : on introduit une pièce de 1 euros, et alors 3 roues se mettent à tourner, chacune portant les dix chiffres de 0 à 9. Si les trois chiffres obtenus sont différents, le joueur perd sa mise. S’il y a (exactement) deux chiffres égaux, le joueur touche 2 euros, et si les trois chiffres sont égaux il touche x euros. Pour quelles valeurs de x le tenancier est-il certain de gagner (en moyenne) de l’argent ? Exercice E3.9. Soit n ∈ N ∗ . On considère une urne U contenant une boule jaune et une boule verte, ainsi qu’une urne V initialement vide. On lance 2n fois une pièce de monnaie équilibrée. À chaque lancer, si la pièce donne pile on change la boule jaune d’urne, et si elle donne face c’est la boule verte que l’on déplace. On appelle X le nombre de boules dans l’urne U à la fin du processus. Donner la loi puis l’espérance de X. Exercice E3.10. Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On les tire un à un, successivement, avec remise. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la première fois un jeton déjà tiré. Donner la loi de X. Exercice E3.11. On considère un marathon auquel participent n personnes. Le résultat de la course est alors une liste ordonnée de n − p noms, où p est le nombre de coureurs qui ont abandonné durant l’épreuve. 1. Donner le nombre de résultat possibles (a) dans le cas où la valeur de p est fixée ; (b) dans le cas où p n’est pas fixé. 1 d’abandonner, et l’on appelle X la variable aléatoire qui n donne le nombre de personnes terminant la course. Donner la loi puis l’espérance de X. 2. On suppose que chaque participant a une probabilité Exercice E3.12. Une pièce de monnaie truquée donne Pile avec la probabilité p. On effectue n lancers successifs de celle-ci. 1. Soit X le nombre de Pile obtenus. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de X. 2. Soit Y le rang du premier Pile obtenu (on pose Y = n + 1 si l’on n’obtient aucun Pile). Déterminer la loi de Y et l’espérance de Y. Exercice E3.13. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On en extrait une boule, on relève son numéro k, puis on remet celle-ci dans l’urne ainsi qu’une boule supplémentaire portant le numéro k; on tire alors une seconde boule. On note X1 le numéro de la première boule tirée, et X2 le numéro de la seconde. 1. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de X1 puis de X2 . 2. Déterminer la loi et l’espérance de X2 , en supposant que lorsque la boule numéro k est obtenue au premier tirage, on 2n X 1 la remet dans l’urne et on rajoute k boules portant ce numéro. On exprimera les résultats en fonction de Sn = . k k = n +1 Exercice E3.14. On jette 2n + 1 fois une pièce équilibrée. 1. Quelle est la probabilité d’obtenir plus de piles que de faces ? 2. Soi k ∈ Jn + 1, 2n + 1K. Quelle est la probabilité d’obtenir le (n + 1)-ième pile au k-ième lancer ? Å Å ã X ã 2n +1 n X 1 k−1 1 n+k 3. En déduire la valeur de et n n 2k 2k k = n +1 k =0 Exercice E3.15. On considère une urne contenant p > 1 boules rouges et n − p > 0 boules bleues. On tire sans remise toutes les boules de l’urne, une par une. On appelle alors T la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir toutes les boules rouges. Donner la loi de T. Exercice E3.16. On considère un jeu contenant 2n cartes, dont deux as rouges. On étale ces cartes face cachée sur une table et on joue au jeu suivant : on retourne les cartes une par une, de sorte que le joueur débourse un euro à chaque carte retournée qui n’est pas un as rouge, et qu’il emporte x euros et arrête de jouer sinon. On note G le gain du joueur. 1. Soit X le rang d’apparition du premier as rouge. Donner la loi de X, puis en déduire l’espérance de G. 2. Donner l’espérance de G si l’on suppose en outre que le joueur ne peut tirer que n cartes. 3. Déterminer lequel des deux protocoles est le plus favorable au joueur. 66 Probabilités Exercice E3.17. (La loi hypergéométrique) 1. Soient trois entiers n, n1 , n2 tels que n 6 n1 + n2 , et une urne contenant n1 boules blanches et n2 boules noires. On tire sans remise n boules, et on appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de boules blanches tirées. Donner la loi de X. å Ç å n Ç åÇ X n1 n2 n1 + n2 2. En déduire la formule de Vandermonde : = . k n−k n k =0 Ce qui distingue la loi hypergéométrique de la loi binomiale, c’est que la seconde correspond au cas où les tirages sont effectués avec remise. Exercice E3.18. Deux joueurs lancent chacun de leur côté une pièce équilibrée, n fois de suite. Soit Jk la variable aléatoire qui donne le nombre de "Face" obtenus par le joueur numéro k. 1. Donner les lois de J1 et J2 . 2. Calculer P( J1 = J2 ) (on utilisera la formule de Vandermonde). E4 Familles de variables aléatoires Exercice E4.1. On choisit au hasard (et de manière indépendante) deux nombres (éventuellement égaux) parmi −2, −1, 0, 1, 2. 1. Calculer la probabilité d’avoir choisi le nombre 0. 2. Soit X le produit des deux nombres choisis. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de X. Exercice E4.2. À l’occasion d’un congrès, n personnes sont réparties au hasard dans 3 hôtels H1 , H2 , H3 . On appelle Xi le nombre de personnes qui se retrouvent dans l’hôtel Hi . 1. Donner la loi puis l’espérance des Xi . 2. Donner la loi puis l’espérance et la variance de X1 + X2 . Exercice E4.3. On lance une pièce équilibrée, et l’on appelle Fi (resp. Pi ) l’évènement « obtenir Face (resp. Pile) au i-ième tour. » On appelle alors X la variable aléatoire donnant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux Pile consécutifs (par exemple, la configuration P1 F2 F3 P4 P5 donne X = 5). 1. Que valent P( X = 2) et P( X = 3) ? 2. Montrer ∀k ∈ N, PF1 ( X = k) = P( X = k − 1). De même, que vaut PP1 ∩ F2 ( X = k) ? 3. Montrer que F1 , P1 ∩ F2 , P1 ∩ P2 est un système complet d’évènements. En déduire la loi de X. Exercice E4.4. On considère n urnes U1 , . . . , Un telles que Ui contient une boule blanche et i boules noires. On tire au hasard une boule dans chaque urne. Donner l’espérance de la variable aléatoire B donnant le nombre de boules blanches tirées (on introduira la variable aléatoire Xi qui est égale à 1 si l’on a tiré une boule blanche de l’urne Ui , et 0 sinon). Exercice E4.5.[La loi hypergéométrique] 1. Soient trois entiers n1 , n2 , n tels que n 6 min{n1 , n2 }, et une urne contenant n1 boules blanches et n2 boules noires. On tire sans remise n boules, et on appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de boules blanches tirées. Donner la loi de X. ã Å ã n Å ãÅ X n1 n2 n1 + n2 2. En déduire la formule de Vandermonde : = k n−k n k =0 Ce qui distingue la loi hypergéométrique de la loi binomiale, c’est que la seconde correspond au cas où les tirages sont effectués avec remise. Exercice E4.6. Deux joueurs lancent chacun de leur côté une pièce équilibrée, n fois de suite. Soit Jk la variable aléatoire qui donne le nombre de « face » obtenus par le joueur numéro k. 1. Donner les lois de J1 et J2 . 2. Calculer P( J1 = J2 ) (on utilisera la formule de Vandermonde). Exercice E4.7. Soient X, Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur J1, nK. Déterminer la loi de X + Y. Exercice E4.8. On considère une pièce de monnaie qui donne Pile avec la probabilité p ∈]0, 1[. On lance un dé, et si k désigne le chiffre obtenu, on lance k fois la pièce de monnaie. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un Pile ? 67 Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE Exercice E4.9. Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement et sans remise 2 jetons de ce sac. Soit X le numéro du premier et Y celui du second. 1. Est-ce que X et Y sont indépendantes ? 2. Déterminer les lois de X, Y et ( X, Y ). Exercice E4.10. On dispose de n boîtes numérotées de 1 à n, de sorte que la boîte numéro k contienne k boules numérotées de 1 à k. On choisit au hasard une boîte, puis une boule dans celle-ci. Soit X le numéro de la boîte, et Y celui de la boule. 1. Donner la loi de ( X, Y ). 2. Donner la loi de Y et son espérance. 3. Calculer P( X = Y ). Ç å n = 0 si k > n. k Soient a ∈ R, n ∈ N ∗ , et ( X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par Å ãÅ ã n n ∀(i, j) ∈ J0, nK2 , P( X = i, Y = j) = a2i−2j . i 2j Exercice E4.11. Dans cet exercice, on prend la convention suivante : 1. Déterminer a. 2. Déterminer les lois marginales de X et de Y. Sont-elles indépendantes ? Exercice E4.12. Soit n ∈ N ∗ et p ∈]0, 1[. On considère une variable aléatoire N suivant une loi uniforme sur J1, nK et des variables aléatoires X1 , . . . , Xn suivant une loi de Bernoulli de paramètre p telles que N, X1, . . . , Xn soient mutuellement N X Xi . indépendantes. On pose Y = i =1 1. Donner la loi conditionnelle de Y sachant N = k, pour k ∈ J1, nK. 2. En déduire l’espérance de Y. Exercice E4.13. On lance deux fois un dé équilibré. On note X (resp. Y) le résultat du premier lancer (resp. second). 1. Calculer P( X 6 k), pour k ∈ N. 2. Soit Z = max ( X, Y ). Calculer P( Z 6 k), pour k ∈ N. 3. Déterminer la loi de Z. 4. Donner la loi de ( Z, X ). Exercice E4.14. Une urne contient N > 1 boules numérotées de 1 à N. On en tire simultanément n 6 N. On appelle ensuite Y le plus grand numéro tiré, X le plus petit, et l’on pose Z = Y − X. 1. Déterminer la loi de Y. Å ã N Å ã X i N+1 = , et en déduire E(Y ). 2. Montrer n n+1 i=n 3. Déterminer la loi de ( X, Y ) puis la loi de Y conditionnellement à Z. Exercice E4.15. Soient X1 , X2 deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur J1, nK. Pour a ∈ J1, nK on définit une variable aléatoire Y en posant ® X2 (ω ) si X1 (ω ) 6 a Y (ω ) = X1 (ω ) si X1 (ω ) > a 1. Déterminer la loi et l’espérance de Y. La comparer à l’espérance de X1 . 2. Déterminer a pour que E(Y ) soit maximale. 3. On lance un dé. Si le chiffre obtenu est inférieur à 3 on relance le dé une seconde fois. On appelle Z le dernier chiffre obtenu. Quelle est sa valeur moyenne ? Exercice E4.16. 1. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ on a n X n X i =1 j =1 n2 i = (on remarquera i+j 2 i i+ j = i+ j− j i + j ). 2. On tire avec remise deux jetons dans une urne en contenant n numérotés de 1 à n. On note (r, s) le couple de numéros associés à ceux-ci et l’on tire ensuite, au hasard, une boule d’une urne contenant r boules vertes et s boules rouges. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ? Était-ce prévisible ? 68 Probabilités Chapitre F Révisions F1 Révisions de fin d’année Exercice F1.1. Soit E l’équation différentielle définie par x (1 + x 2 )y′ − ( x2 − 1)y + 2x = 0. x2 − 1 βx α = + pour tout x 6= 0. 2 x 1 + x2 x (1 + x ) 2. Est-ce que E possède des solutions sur R ? 1. Déterminer deux réels α, β tels que Exercice F1.2. Soit f : x 7→ sin x + a sh x + b tan x, avec ( a, b) ∈ R2 . 1. Déterminer a et b pour que f ( x ) = o ( x n ), avec n le plus grand possible. x →0 2. Déterminer alors un équivalent simple de f ( x ) en 0. Exercice F1.3. Pour n ∈ N ∗ on pose In = ˆ π/4 0 tann t dt. 1. Calculer I0 et I1 . 2. Donner une relation entre In et In+2 . 3. En déduire la limite de ( In ). 4. Calculer I2p en fonction de p, puis en déduire lim Sn où Sn = 1 − n,+ ∞ Exercice F1.4. Soit θ ∈ 0, π2 . 1 3 + 51 + · · · + (−1) p−1 1 . 2p − 1 Å ã n Å ã θ Y θ 1. Soit n ∈ Montrer sin θ = 2 sin n cos k . 2 2 k =1 Å ãã X Å θ et calculer sa somme en cas de convergence. 2. En déduire la nature de la série ln cos n 2 N∗ . n n>0 Exercice F1.5. Pour tout x 6= 0 on pose ϕ( x ) = ˆ 2x x sin t dt. t sin t 1. Montrer que t 7→ est prolongeable par continuité en 0. t 2. Montrer que ϕ est prolongeable par continuité en 0. On note encore ϕ ce prolongement. 3. Étudier les variations de ϕ sur [0, 2π ], et en déduire l’allure de sa courbe représentative sur [−2π, 2π ]. 4. Est-ce que ϕ est de classe C 1 sur R ? Exercice F1.6. On se place dans l’espace euclidien R3 muni de sa base canonique. Soient D1 , D2 les droites d’équations respectives ® ® x−y+2 = 0 2x − y + 1 = 0 et x−z = 0 2x − z − 1 = 0 1. Montrer que D1 et D2 sont sécantes en un point A que l’on précisera. 2. Déterminer toutes les droites ∆ de l’espace parallèles à xOy et rencontrant D1 , D2 et l’axe Oz. 70 Révisions Exercice F1.7. Soit ABC un triangle et D une droite coupant ( AB), ( AC ) et ( BC ). On pose ( BC ) ∩ D = { P}, ( AC ) ∩ D = − → −→ −→ − → −→ → − → −→ −→ − { Q}, et ( AB) ∩ D = { R}. Soient alors I, J, K les points tels que AI = AQ + AR, BJ = BP + BR et CK = CP + CQ. Montrer que I, J, K sont alignés. Ä −→ −→ä >On pourra se placer dans le repère A; AB, AC . Exercice F1.8. Soit a ∈ R. 1. Factoriser sur C le polynôme P = ( X + 1)n − e2ina . Å ã Å ã nY −1 nY −1 kπ kπ 2. En déduire sin a + , puis sin . n n k =0 k =1 Exercice F1.9. Soit u l’endomorphisme de K3 dont la matrice dans la base canonique est : Ñ é −1 −3 6 1 3 5 −6 A= 2 3 3 −4 1. Déterminer Ker(u − Id ) et Ker(u + 2Id ). 2. En déduire une base B telle que la matrice D de u dans la base B est diagonale. 3. Calculer D n , pour tout n ∈ N. En déduire An , pour tout n ∈ N. Exercice F1.10. Soit F = { P ∈ R2 [ X ]; P(1) = 0}. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R2 [ X ]. Donner la dimension et une base de F. 2. Déterminer un supplémentaire G de F dans R2 [ X ]. Est-ce que G est unique ? 3. Justifier que de la projection p sur F parallèlement à R0 [ X ] dans la base canonique B = (1, X, X 2 ) de Ñ la matrice é 0 −1 −1 0 R2 [ X ] est 0 1 . 0 0 1 Exercice F1.11. Soit n > 1 et E un espace vectoriel de dimension 2n. On se donne une famille u1 , . . . , un de vecteurs de E ainsi que f ∈ L ( E) vérifiant f ◦ f = 0, et tel que la famille f (u1 ), . . . , f (un ) soit libre. 1. Montrer rg( f ) > n, et établir que la famille u1 , . . . , un est libre. 2. Montrer Im( f ) = Ker( f ). 3. Montrer E = Ker( f ) ⊕ Vect{u1 , . . . , un }. Exercice F1.12. On lance 4 dés non pipés. Quelle est la probabilité 1. d’avoir 4 numéros différents ? 2. d’avoir au moins un multiple de 3 ? 3. d’avoir exactement 3 numéros distincts ? 4. d’avoir exactement un multiple de 3 et exactement un nombre pair ? Exercice F1.13. On dispose de N urnes contenant toutes n jetons numérotés de 1 à n. On tire au hasard un jeton dans chaque urne, et on note X le numéro du plus grand jeton ainsi obtenu. 1. Déterminer P( X 6 k) pour k ∈ N, puis en déduire la loi de X. n −1 Å ã N X j . 2. Montrer E( X ) = n − n j =0 3. Calculer lim E( X ). Interpréter le résultat. N,+ ∞ 4. Calculer lim n,+ ∞ E( X ) . En déduire un équivalent de E( X ) lorsque n tends vers l’infini. n Exercice F1.14. Soit n > 1 et deux réels p, p′ dans ]0, 1[. On appelle N la variable aléatoire donnant le nombre de graines plantées sur un mètre carré de jardin, et l’on suppose que N suit une loi binomiale de paramètres n, p. On appelle alors G le nombre de graines qui ont germé après une semaine, sachant que chacune d’entre elles a une probabilité p ′ de germer. 1. Déterminer P( G = j| N = i ) pour (i, j) ∈ J0, nK. 2. Déterminer la loi de ( G, N ). 3. En déduire la loi de G, puis P( N = i | G = j) pour (i, j) ∈ J0, nK2 .