feuilles de TD - PTSI Maths Jules Ferry

Exercices de mathématiques, PTSI
A Calculus 3
A0 Révisions de début d’année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A1 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A2 Nombres entiers, suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
A4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A5 Equations différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A6 Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A7 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A8 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A9 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B Analyse 19
B1 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
B2 Limites de fonctions et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B3 Dérivation des fonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B4 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
B5 Comparaisons locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
B6 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
B7 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
B8 Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C Algèbre 35
C1 Logique, ensembles, relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
C2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
C4 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
C5 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C6 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
C7 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
C8 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
C9 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
C10 Déterminant en dimension deux et trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
C11 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
D Géométrie 55
D1 Géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
D2 Géométrie de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
D3 Isométries vectorielles du plan et de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
E Probabilités 61
E1 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
E2 Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
E3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
E4 Familles de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
F Révisions 69
F1 Révisions de fin d’année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2 EXERCICES DE MATHÉMATIQUES, PTSI

Chapitre A
Calculus
A0 Révisions de début d’année
Exercice A0.1. Résoudre l’inéquation |x−1|+|x+2|<5.
Exercice A0.2. Résoudre les inéquations suivantes, d’inconnue xréelle :
i)√x−2>x−4ii)√5x+6<2+√x+1.
Exercice A0.3. Montrer que les droites du plan d’équation x−y=2 et x+y=−1 sont orthogonales.
Exercice A0.4. Dans cet exercice, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct.
1. Quelle est la nature de l’ensemble Udéfini par l’équation x+y+z=0 ? Caractériser Ugéométriquement.
2. Quelle est la nature de l’ensemble Vdéfini par les équations x+2y−z=1 et −x+y+z=2 ? Caractériser V
géométriquement.
3. Déterminer U ∩ V.
Exercice A0.5. Dans cet exercice, on considère le plan Pde l’espace passant par l’origine Odu repère choisi, et dirigé par
les vecteurs −→ u,−→ vde coordonées respectives (1, 1, −1)et (1, 2, 1).
1. Soit Ul’ensemble des points Mde l’espace tels que −−→ OM est orthogonal à P. Quelle est la nature géométrique de U?
2. Déterminer une équation de U.
Exercice A0.6. Soit Dla droite passant par l’origine et dirigée par (1, 1, 1). Donner une équation du plan orthogonal à D
et passant par le point de coordonnées (1, 0, −1).
Exercice A0.7.
1. Montrer que pour tout xpositif on a ln(1+x)6x. Dans quel cas y a-t-il égalité ?
2. Représenter sur un même dessin la courbe représentative de x7→ ln(1+x)ainsi que la droite d’équation y=x.
Exercice A0.8. On considère les fonctions définies sur Rpar f(x) = xcos(2x)et g(x) = sin(x2).
1. Étudier la parité de fet de g.
2. Calculer les dérivées de fet de g.
3. Étudier la parité de f′et de g′. Qu’observez-vous ?
Exercice A0.9. Soit fla fonction définie par f(x) = e−x
x.
1. Déterminer le domaine de définition de f, et calculer les limites de faux bornes de celui-ci.
2. Donner le tableau de variations de fet tracer sa courbe représentative.
Exercice A0.10. Soit fla fonction définie par f(x) = ln Ä√x+1−1ä, et Csa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
1. Déterminer les limites de faux bornes de son domaine de définition. Que peut-on en déduire ?

4 Calculus
2. En quel(s) point(s) la courbe Crecoupe-t-elle l’axe des abscisses ?
3. Calculer la dérivée de f′, puis en déduire le tableau de variations de f.
4. En quel(s) point(s) la courbe Cadmet-elle une tangente parallèle à la droite d’équation y=x?
Exercice A0.11. Calculer les intégrales suivantes :
i)ˆ2
1
dx
x2ii)ˆ2
1x1/3dx iii)ˆπ
9
0sin(3x)dx
iv)ˆ1
0e2x+1dx v)ˆ2 1
x+1
xdx vi)ˆπ
4
0tan x dx
Exercice A0.12. Un élève présente deux concours, notés C1et C2. Ces deux concours sont indépendants, et on suppose
que la probabilité de réussir chacun d’eux est de 1
3. Quelle est la probabilité que l’élève réussisse au moins un des deux
concours ?
Exercice A0.13. En France, pour l’année 2010, 4% des accidents mortels sur la route ont concernés des cyclistes. En
particulier, 1,5% des victimes étaient des cyclistes âgées de 25 à 44 ans. Quelle est la probabilité qu’en 2010 une personne
décédée par accident de la route en France en 2010 soit âgée de 25 à 44 ans, sachant que cette personne se déplaçait à
bicyclette ?
Exercice A0.14. On effectue deux tirages sans remise dans une urne contenant 5 boules rouges et 15 boules vertes.
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ? Deux boules de couleur différentes?
A1 Trigonométrie
Exercice A1.1.
1. À quelle condition peut-on écrire cos θ=…1+cos 2θ
2?
2. À quelle condition peut-on écrire sin θ=…1−cos 2θ
2?
3. Calculer les valeurs exactes de cos π
8, sin π 8, puis cos π 16 et sin π 16 .
Exercice A1.2. Soient x,ydes réels. Montrer que l’on a
cos(x+y)cos(x−y) = cos2x−sin2y=cos2y−sin2x
Et si tan(x)et tan(y)sont bien définies, montrer
cos(x+y)cos(x−y) = 1−tan2(x)tan2(y)
(1+tan2x)(1+tan2y).
Exercice A1.3. Résoudre dans R, puis dans ]−π,π]les équations et inéquations suivantes :
i)cos 4x+sin 4x=0ii)cos 2x−2 cos x+3
2=0
iii)tan 2x=3 tan x iv)sin x+cos x=sin 2x−cos 2x
v)cos 2x+π
4+√3 sin 2x+π 4+160vi)cos x+cos 7x=cos 4x
vii)cos x−cos 2x=sin 3x viii)√2 cos3x+Ä1+√2äcos2x+cos x>0
Exercice A1.4. Soit θ∈R.
1. Exprimer sin 5θen fonction de sin θ.

Classe de PTSI2 du Lycée Jules Ferry - Philippe HESSE 5
2. En déduire la valeur exacte de sin π
5.
Exercice A1.5. Soit (x1,x2)∈[0, π]2.
1. Montrer que sin x1+sin x262 sin x1+x2
2.
2. Quelle condition doivent vérifier x1et x2pour qu’il y ait égalité ?
Exercice A1.6. Soit (a,b,c)∈R3. Montrer que :
sin a+sin b+sin c−sin (a+b+c)=4 sin Åa+b
2ãsin Åa+c 2ãsin Åb+c 2ã.
Exercice A1.7. Soit n∈Net θ∈Rtel que θ6≡ 0[2π]. Montrer que :
1−cos ((n+1)θ)−cos θ+cos nθ
2(1−cos θ)=cos Ånθ 2ãsin Än+1
2θä
sin Äθ
2ä.
Exercice A1.8. Calculer S=tan2π
12 +tan25π 12
A2 Nombres entiers, suites usuelles
Exercice A2.1. Montrer les assertions suivantes par récurrence :
1. ∀n∈N∗,
n
X
k=1
k2=n(n+1) (2n+1)
6.
2. ∀a∈]−1, +∞[,∀n∈N,(1+a)n>1+na.
3. ∀n∈N∗,
n
X
k=1
1
k62√n.
Exercice A2.2. Soit (Tn)n∈Nla suite de fonctions définies sur Rpar, pour tout x∈R:
T0(x) = 1, T1(x) = 2xet ∀n∈N,Tn+2(x) = 2xTn+1(x)−Tn(x).
1. Calculer T2(x)et T3(x)pour tout x∈R.
2. Montrer, en utilisant une récurrence double sur n:∀n∈N,∀x∈R, sin((n+1)x) = sin(x)Tn(cos(x)).
Exercice A2.3.
1. Montrer que ∀n∈N∗,
n
X
k=1
k3= n
X
k=1
k!2
.
2. Réciproquement, soit (un)une suite d’éléments de R∗
+telle que ∀n∈N∗,
n
X
k=1
u3
k= n
X
k=1
uk!2
. Montrer, en utilisant
une récurrence forte, que ∀n∈N∗,un=n.
Exercice A2.4. Exprimer unen fonction de ndans les cas suivants :
i)u0=2 et ∀n∈N,un+1=λun+3, où λ∈R.
ii)u1=−1, u2=1 et ∀n∈N∗,un+2=6un+1−9un.
iii)u1=5, et ∀n∈N∗,un+1=n
2un.
iv)u0=1, et ∀n∈N,un+1=en−2un.
v)u1=1, et ∀n∈N,un+1=−n
n+1un.
vi)u0=0, et ∀n∈N,un+1=2un+2n.