Devoir non surveillé Polynômes et Algèbre linéaire

Devoir non surveillé Polynômes et Algèbre linéaire
Pelletier Sylvain, BCPST Lycée Hoche pour le 14 Mars 2011
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Exercice 1 Soit Pun polynôme à coefficients réels, non constant tel que :
(E) : P(X2) = P(X)P(X−1)
Le but de l’exercice est de déterminer l’ensemble des polynômes qui vérifient (E).
1. Soit m∈N∗, vérifier que (X2+X+ 1)mvérifie (E). 0.5
Soit P∈R[X] un polynôme qui vérifie (E).
2. Quel résultat du cours permet d’affirmer que Pa une racine sur C?0.5
3. Le but de cette question est de démontrer que 0 n’est pas racine de P. On raisonne par l’absurde
et on suppose que P(0) = 0.
Soit la suite (un)n∈Ndéfinie par :
u0= 0,et ∀n∈N, un+1 = (un+ 1)2.
(a) Démontrer que ∀n∈N, P (un) = 0, 0.5
(b) Démontrer que la suite unest strictement croissante, 0.5
(c) En déduire que le polynôme Pest nul, et conclure. 0.5
4. On veut démontrer que toutes les racines (complexes) de Psont de module 1. On raisonne de
nouveau par l’absurde en supposant ∃α∈C∗, racine de P, telle que |α| 6= 1.
(a) Démontrer que ∀n∈N, P α2n= 0. 0.5
(b) Justifier que tous les termes de la suite α2nn∈Nsont distincts. 1
(c) En déduire que Pest nul, et conclure. 0.5
5. Soient αune racine de P, et Ale point du plan complexe d’affixe α.
(a) Quelle information géométrique peut-on déduire de la question 4 ? 0.5
(b) Montrer que |α+ 1|= 1. En déduire une autre information géométrique sur A.0.5
(c) Démontrer que α=jou α=j2, où j=e2iπ
3.0.5
(d) Démontrer que jet j2sont racines de P. Que peut-on dire de leur ordre de multiplicité ? 1
(e) En déduire qu’il existe m∈N∗tel que P(X) = (X2+X+ 1)m.0.5
1

Correction :
1. Déjà, le polynôme Pm= (X2+X+ 1)mest non constant, car m > 0 puis :
Pm(X2) = hX4+X2+ 1im
=h(X2+ 1)2−X2im
=h(X2−X+ 1)(X2+X+ 1)im
=X2−X+ 1mX2+X+ 1m
=X2−X+ 1mPm(X).
or, Pm(X−1) = (X−1)2+ (X−1) + 1m=X2−X+ 1m. Ainsi, on a bien la relation (E).
2. Le polynôme Pétant non constant, il a une racine sur Cd’après le théorème de d’Alembert.
3. (a) On procède par récurrence sur n∈N, en notant Pn:P(un) = 0.
Par hypothèse, P(u0) = P(0) = 0, d’où l’initialisation. On considère ensuite nfixé, tel que
Pnest vraie. On a alors :
P(un+1) =P(un+ 1)2
=P(un+ 1) P(un)
|{z }
=0
= 0.
Ainsi, P(un+1) = 0, d’où l’hérédité. En conclusion, on a bien ∀n∈N,P(un) = 0.
(b) On considère n∈N, on a alors :
un+1 −un=(un+ 1)2−un
=u2
n+un+ 1.
Or le polynôme X2+X+ 1 est à discriminant négatif, il est donc strictement positif sur
R. On en déduit un+1 −un>0 et la suite (un) est donc strictement croissante.
(c) On a ∀n∈N,P(un) = 0, or la suite (un) étant strictement croissante, elle ne prends jamais
deux fois la même valeur. Le polynôme Pa donc une infinité de racine, il est donc nul, ce
qui est en contradiction avec Pnon constant.
4. Attention : il y a bien écrit αà la puissance 2n! ! !
(a) On procède encore par récurrence sur n∈N, en notant : Pn:P(α2n) = 0.
Pour l’initialisation, on a α20=α, et P(α) = 0, d’où l’initialisation.
Pour l’hérédité, on considère n∈Nfixé tel que Pnest vraie. On a alors :
Pα2(n+1) =Pα2n2
=Pα2n
|{z }
=0
Pα2n−1.
D’où l’hérédité.
On en déduit la propriété : ∀n∈N,α2nest racine de P.
2

(b) Considérons unla suite (réelle) définie par ∀n∈N,un=|α2n|=|α|2n. Montrons que les
valeurs de la suite (un) sont tous distincts.
Pour cela, on considère (i, j)∈N, avec i6=j, et on montre que ui6=uj. Par l’absurde, si
ui=uj, on a alors : |α|2i=|α|2j, ce que l’on peut aussi écrire : |α|2i−2j= 1. Comme i6=j,
on a 2i6= 2j, et donc on en déduit que |α|= 1, ce qui n’est pas le cas.
Ainsi, les valeurs de la suite (un) sont tous distincts, on en déduit que les valeurs de α2n
sont des complexes tous distincts en module, et donc sont distincts.
(c) On a ∀n∈N,α2nest racine de P, et ces valeurs sont distinctes, on en déduit que Pa une
infinité de racines et donc que Pest nul, ce qui est une contradiction avec Pnon constant.
5. (a) D’après la question 4, Aest sur le cercle unité.
(b) Comme αest racine, on a
P(α+ 1)2=P(α)
|{z}
=0
P(α+ 1).
On en déduit que (α+ 1)2est aussi racine. Or toutes les racines sont sur le cercle unité,
donc |(α+ 1)2|= 1, c’est-à-dire |(α+ 1)|= 1. Ainsi, Aest sur le cercle de centre d’affixe
−1 et de rayon 1.
(c) NB : un dessin permet de remarquer que les relation |α|= 1 et |α+ 1|= 1 implique que
α=jou j2.
On peut le démontrer par le calcul en écrivant αsous la forme eiθ, avec θ∈]−π, π[ on a
alors :
α+ 1 =eiθ + 1
=eiθ
22 cos θ
2.
De la relation |α+ 1|= 1 on tire donc cos θ
2=1 2, et donc θ=2π 3ou θ=−2π 3. Ce qui
signifie que α=jou α=j2.
(d) NB : il faut revenir au théorème de d’Alembert, il s’agit de reprendre ce qui précède, on
attends un effort de synthèse.
On sait que Padmet une racine αsur C, et que cette racine est jou j2.
Or Pétant un polynôme réel si αest racine, αaussi, et ces deux racines ont le même ordre
de multiplicité.
Ainsi,
– si α=j, alors j2=jest aussi racine,
– si α=j2est racine, alors j=j2est encore racine.
On a donc jet j2sont racines de P.
De plus, Pétant un polynôme réel, l’ordre de multiplicité de jet de j2sont les mêmes.
(e) On a vu que jet j2sont racines de P, que ceux sont les seules et qu’elles ont le même
ordre de multiplicité. Notons mcet ordre de multiplicité. On a alors, d’après le théorème
de décomposition des polynômes de C[X] en produit de polynômes irréductibles :
P=an(X−j)m(X+j)m=an(X2+X+ 1)manterme dominant de P.
Il reste à vérifier que :
3

–mest non nul car Pest non constant,
– La relation P(X2) = P(X)P(X−1), s’écrit en regardant les termes de plus haut degrés :
P(X) =anXm+...
P(X−1) =anXm+...
P(X2) =anX2m+. . . .
Ainsi, a2
n=an, et comme an6= 0 , an= 1.
D’où le résultat :
∃m∈N∗, P = (X2+X+ 1)m.
Exercice 2 Agro 2005 9
L’objet du problème est l’étude de la suite (un)n>0définie par :
u0= 0, u1= 0, u2= 1,et ∀n∈N∗, un+2 =−un+1 + 5un−3un−1.
Pour cela, on considère la matrice M∈ M3(R) définie par :
M=
−1 5 −3
100
010
1. Deux méthodes pour calculer les valeurs propres de M.
On considère le polynôme Q(X) = X3+X2−5X+ 3.
(a) Soit λ∈R, montrer que M−λI3est de rang strictement inférieur à 3 si et seulement si 1
Q(λ) = 0
(b) Calculer M3+M2−5M+ 3I3.0.5
(c) Soient µ∈R, et Xun vecteur colonne non nul de R3tel que MX =µX. Montrer que 1
Q(µ) = 0.
(d) Déterminer les racines de Qsachant qu’il possède une racine double. 1
2. Triangulation de Met calcul de Mn
Dans cette partie, on note fl’application linéaire de R3dans lui-même, dont la matrice dans la
base canonique est M. Pour a, b ∈R, on pose :
J(a, b) = 
a1 0
0a0
0 0 b
.
Enfin, on considère la matrice Pdéfinie par :
P=
1 1 9
1 0 −3
1−1 1
.
(a) i. Donner une base de Ker(f+ 3Id). 1
ii. Calculer (M−I3)2. Donner une base du sous-espace vectoriel Ker (f−Id)2.1
4

(b) Montrer que Pest inversible et calculer son inverse P−1.0.5
(c) On pose T=P−1MP .
i. Calculer Tet l’exprimer à l’aide de J(a, b) pour des valeurs de aet bbien choisies. 0.5
ii. Montrer que, pour tout n∈N, on a : 0.5
[J(a, b)]n=
annan−10
0an0
0 0 bn
En déduire que, pour tout n∈N∗,
Tn=
1n0
0 1 0
00(−3)n
iii. Montrer que ∀n∈N∗,Mn=P T nP−1.0.5
En déduire que la première colonne de Mnest :
1
16 
7 + 4n+ 9(−3)n
3 + 4n−3(−3)n
−1 + 4n+ (−3)n
3. Étude de la suite (un)n>0à l’aide de matrices
Pour n>0, on considère le vecteur colonne Undéfini par :
Un=
un+2
un+1
un
(a) Montrer que pour tout n∈N∗, on a Un=M Un−1.0.5
(b) En déduire que, pour tout n∈N, on a Un=MnU0.0.5
(c) En utilisant 2(c)ii et 3b, déterminer une expression de unpour n∈N.0.5
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