planche 13 - Denis TROTABAS

MP1 - Lycée Joffre
2016-2017
Planche d’exercices no 13
Ex 1 – Montrer que tout Q-espace vectoriel E de dimension dénombrable (i.e.
possèdant une base dénombrable) est au plus dénombrable.
Ex 2 – On appelle nombre algébrique un nombre complexe √
z qui est racine d’un
polynôme non nul à coefficients rationnels : par exemple, i, 2 sont algébriques.
On note Q l’ensemble des nombres complexes algébriques.
√ √
1. Prouver que 1 + 2 est algébrique.
2. Prouver que Qn [X] (n ∈ N) et Q[X] sont dénombrables.
3. Exprimer en fonction des ensembles P −1 ({0}) (P ∈ Q[X], P ≠ 0). En déduire
que Q est dénombrable puis que C ∖ Q – dont les éléments sont appelés
nombres transcendants – est non vide.
Ex 3 – Discuter en fonction de α, β la sommabilité de la famille (pα + q β )−1 .
Ex 4 – Une urne contient n boules, dont b blanches et r rouges indiscernables.
On en tire successivement k.
1. Quelle est la probabilité qu’on ait tiré exactement p boules rouges ?
2. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge apparaisse pour la première fois
au k e tirage ?
3. Quelle est la probabilité que la k e boule tirée soit rouge (commencer par
k = 1) ?
Ex 5 – Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire au hasard une
poignée de (0 à n) jetons. On note N le nombre de jetons tirés, Xi la variable de
Bernoulli valant 1 si la boule i est tirée, et S la somme des jetons tirés. Loi de N ,
indépendance deux à deux des Xi et espérance et variance de S.
Ex 6 – Montrer que pour tout complexe z de module < 1 et pour tous a, b, c ∈ N∗
∞
∞
z nc
z nb
= ∑ (−1)n
.
on a ∑
na+c
1 − z na+b
n=0
n=0 1 + z
Ex 7 – Nicolas D. possède un réveil aléatoire : s’il sonne à l’heure prévue au jour
j − 1, il ne fonctionnera bien au jour j qu’avec probabilité a < 1 (a très petit) ; s’il
sonne en retard le jour j − 1, le réveil en est ravi (il a fait exprès et sait que le
pauvre Nicolas sera injustement puni par son prof de maths), et recommence le
jour j avec probabilité b (b très proche de 1). On suppose (a, b) ≠ (0, 1). Calculer
la probabilité p(j) que Nicolas D. soit à l’heure le jour j. En déduire la probabilité
qu’il échappe à l’apocalypse.
Ex 8 – Tirages aléatoires dans deux urnes.
Deux urnes A et B contiennent des boules colorées, de sorte que les proportions
respectives des boules blanches sont a et b.
On tire successivement, et repose aussitôt, une boule dans l’une des deux urnes
selon la règle fort amusante suivante : on choisit d’abord une urne au hasard et
tire au hasard une boule et la remet aussitôt. Si la boule tirée est blanche, on rit
un coup et on la remet : on tire la boule suivante dans cette même urne. Si elle
n’est pas blanche, on la remet quand même, mais, dépité, on tirera la suivante
dans l’autre urne.
On note An l’événement «le ne tirage se fait dans l’urne A» et BLn «la ne boule
tirée est blanche».
P(A1 ) et P(BL1 ).
Relation entre P(An+1 ) et P(An ) ?
Relation entre P(BLn ) et P(An ) ?
1. Calculer
2.
3.
Ex 9 – Obtention de deux piles consécutifs.
On joue au jeu de pile-face infini avec une pièce amenant pile avec probabilité p.
On note An l’événement «on a obtenu pour la 1è fois deux piles consécutifs après
le ne lancer» et an sa probabilité, Fn : «le ne lancer a donné face», Pn : «le ne
lancer a donné pile». Prouver que an+2 = (1 − p)an+1 + p(1 − p)an , puis calculer an
en fonction de n.
Ex 10 – On munit Ω = N∗n de la probabilité uniforme et on note M (d) pour
tout diviseur d de n l’ensemble des multiples de d dans Ω. On note p1 , . . . , pr les
diviseurs premiers de n.
1. Montrer que les M (pi ) sont indépendants.
2. En déduire que le nombre d’entiers de N∗n premiers à n vaut ϕ(n) =
r
1
n ∏ (1 − ).
pi
i=1
Ex 11 –
1. Montrer qu’une fonction croissante sur un segment [a, b] est discontinue sur un
ensemble au plus dénombrable. Indication : Prouver d’abord que si a < x1 < . . . < xp < b,
p
+
−
alors f (b) − f (a) ≥ ∑ (f (xk ) − f (xk )) et en déduire que l’ensemble des x ∈]a, b[ en lesquels f
k=1
fait un saut d’au moins 1/n est fini.
2. Réciproquement, soit D = {an ∶ n ∈ N} une partie dénombrable de R. Montrer
qu’il existe une fonction f ∶ R → R croissante dont l’ensemble des points de
discontinuité est D Indication : Considérer ∑ fn , avec fn = 2−n χ[an ,+∞[
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Planche d’exercices no 13
Ex 12 – Deux urnes contiennent initialement l’une deux boules rouges l’autre deux
boules blanches. On prend à chaque tirage une boule de chaque et on les échange.
On note Xn le nombre de boules rouges contenues dans l’urne initialement rouge.
Déterminer la loi de Xn .
Ex 13 – TD Nombre de changements.
Un joueur lance une pièce équilibrée indéfiniment. On note XN la variable
aléatoire réelle discrète égale au nombre de fois où, au cours des N premiers
lancers, deux résultats successifs ont été différents. (On peut appeler XN le
«nombre de changements» au cours des N premiers lancers ). Par exemple , si les
9 premiers lancers ont donné successivement : Pile, Pile, Face, Pile, Face, Face,
Face, Pile, Pile alors la variable X9 aura pris la valeur 4 (quatre changements,
aux 3è ; 4è ; 5è et 8è lancers).
1. Quel est l’ensemble des valeurs prises par XN ?
2. Donner les lois de X2 , X3 et leur espérance.
3. Prouver que
P(XN = 0) = 1/2N −1 et P(XN = 1) = (N − 1)
1
2N −1
.
4. Soit k ∈ [0, N − 1]
(a) Justifier que
(b) En déduire
P(XN +1 = k ∣ XN = k) = 1/2.
que P(XN +1 = XN ; XN = k)
=
P(XN +1 = XN ) = 1/2.
1
P(XN = k), puis que
2
(c) Prouver que XN +1 − XN suit une loi de Bernoulli. Exprimer E(XN +1 ) en
fonction de E(XN ), puis en fonction de N .
5. Prouver que XN +1 − XN et XN sont indépendantes.
6. En déduire que XN suit une loi binômiale de paramètres (N − 1, 1/2).
7. Une autre méthode pour déterminer la loi de XN : la série génératrice.
1
1
(a) Prouver la relation P(XN +1 = k) = P(XN = k) + P(XN = k − 1) pour
2
2
tous N ∈ N∗ et k ∈ [0, N ].
N −1
(b) On pose GN (X) = ∑
n=0
P(XN
= n)X n . Exprimer GN +1 (X) en fonction
de GN (X) et en déduire GN (X).
(c) Justifier que G′N (1) = E(XN ), puis calculer l’espérance et la variance de
XN en fonction de N .
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