planche 13 - Denis TROTABAS

MP1- Lycée Joffre Planche d’exercices no13 2016-2017
Ex 1 – Montrer que tout Q-espace vectoriel Ede dimension dénombrable (i.e.
possèdant une base dénombrable) est au plus dénombrable.
Ex 2 – On appelle nombre algébrique un nombre complexe zqui est racine d’un
polynôme non nul à coefficients rationnels : par exemple, i,√2sont algébriques.
On note Ql’ensemble des nombres complexes algébriques.
1. Prouver que 1+√2est algébrique.
2. Prouver que Qn[X](n∈N) et Q[X]sont dénombrables.
3. Exprimer en fonction des ensembles P−1({0}) (P∈Q[X], P ≠0). En déduire
que Qest dénombrable puis que C∖Q– dont les éléments sont appelés
nombres transcendants – est non vide.
Ex 3 – Discuter en fonction de α,βla sommabilité de la famille (pα+qβ)−1.
Ex 4 – Une urne contient nboules, dont bblanches et rrouges indiscernables.
On en tire successivement k.
1. Quelle est la probabilité qu’on ait tiré exactement pboules rouges ?
2. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge apparaisse pour la première fois
au ketirage ?
3. Quelle est la probabilité que la keboule tirée soit rouge (commencer par
k=1) ?
Ex 5 – Une urne contient njetons numérotés de 1àn. On tire au hasard une
poignée de (0àn) jetons. On note Nle nombre de jetons tirés, Xila variable de
Bernoulli valant 1 si la boule iest tirée, et Sla somme des jetons tirés. Loi de N,
indépendance deux à deux des Xiet espérance et variance de S.
Ex 6 – Montrer que pour tout complexe zde module <1et pour tous a, b, c ∈N∗
on a ∞
∑
n=0
znb
1+zna+c=∞
∑
n=0(−1)nznc
1−zna+b.
Ex 7 – Nicolas D. possède un réveil aléatoire : s’il sonne à l’heure prévue au jour
j−1, il ne fonctionnera bien au jour jqu’avec probabilité a<1(atrès petit) ; s’il
sonne en retard le jour j−1, le réveil en est ravi (il a fait exprès et sait que le
pauvre Nicolas sera injustement puni par son prof de maths), et recommence le
jour javec probabilité b(btrès proche de 1). On suppose (a, b)≠(0,1). Calculer
la probabilité p(j)que Nicolas D. soit à l’heure le jour j. En déduire la probabilité
qu’il échappe à l’apocalypse.
Ex 8 – Tirages aléatoires dans deux urnes.
Deux urnes A et B contiennent des boules colorées, de sorte que les proportions
respectives des boules blanches sont aet b.
On tire successivement, et repose aussitôt, une boule dans l’une des deux urnes
selon la règle fort amusante suivante : on choisit d’abord une urne au hasard et
tire au hasard une boule et la remet aussitôt. Si la boule tirée est blanche, on rit
un coup et on la remet : on tire la boule suivante dans cette même urne. Si elle
n’est pas blanche, on la remet quand même, mais, dépité, on tirera la suivante
dans l’autre urne.
On note Anl’événement «le netirage se fait dans l’urne A» et BLn«la neboule
tirée est blanche».
1. Calculer (A1)et (BL1).
2. Relation entre (An+1)et (An)?
3. Relation entre (BLn)et (An)?
Ex 9 – Obtention de deux piles consécutifs.
On joue au jeu de pile-face infini avec une pièce amenant pile avec probabilité p.
On note Anl’événement «on a obtenu pour la 1è fois deux piles consécutifs après
le nelancer» et ansa probabilité, Fn: «le nelancer a donné face», Pn: «le ne
lancer a donné pile». Prouver que an+2=(1−p)an+1+p(1−p)an, puis calculer an
en fonction de n.
Ex 10 – On munit Ω=N∗
nde la probabilité uniforme et on note M(d)pour
tout diviseur dde nl’ensemble des multiples de ddans Ω. On note p1,...,prles
diviseurs premiers de n.
1. Montrer que les M(pi)sont indépendants.
2. En déduire que le nombre d’entiers de N∗
npremiers à nvaut ϕ(n)=
n
r
∏
i=11−1
pi.
Ex 11 –
1. Montrer qu’une fonction croissante sur un segment [a, b]est discontinue sur un
ensemble au plus dénombrable. Indication : Prouver d’abord que si a<x1<...<xp<b,
alors f(b)−f(a)≥p
∑
k=1f(x+
k)−f(x− k) et en déduire que l’ensemble des x∈]a, b[en lesquels f
fait un saut d’au moins 1nest fini.
2. Réciproquement, soit D={an∶n∈N}une partie dénombrable de R. Montrer
qu’il existe une fonction f∶R→Rcroissante dont l’ensemble des points de
discontinuité est DIndication : Considérer ∑fn, avec fn=2−nχ[an,+∞[

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Ex 12 – Deux urnes contiennent initialement l’une deux boules rouges l’autre deux
boules blanches. On prend à chaque tirage une boule de chaque et on les échange.
On note Xnle nombre de boules rouges contenues dans l’urne initialement rouge.
Déterminer la loi de Xn.
Ex 13 – TD Nombre de changements.
Un joueur lance une pièce équilibrée indéfiniment. On note XNla variable
aléatoire réelle discrète égale au nombre de fois où, au cours des Npremiers
lancers, deux résultats successifs ont été différents. (On peut appeler XNle
«nombre de changements» au cours des Npremiers lancers ). Par exemple , si les
9premiers lancers ont donné successivement : Pile, Pile, Face, Pile, Face, Face,
Face, Pile, Pile alors la variable X9aura pris la valeur 4(quatre changements,
aux 3è ; 4è ; 5è et 8è lancers).
1. Quel est l’ensemble des valeurs prises par XN?
2. Donner les lois de X2, X3et leur espérance.
3. Prouver que (XN=0)=12N−1et (XN=1)=(N−1)1
2N−1.
4. Soit k∈[0, N −1]
(a) Justifier que (XN+1=kXN=k)=12.
(b) En déduire que (XN+1=XN;XN=k)=1
2(XN=k), puis que
(XN+1=XN)=12.
(c) Prouver que XN+1−XNsuit une loi de Bernoulli. Exprimer (XN+1)en
fonction de (XN), puis en fonction de N.
5. Prouver que XN+1−XNet XNsont indépendantes.
6. En déduire que XNsuit une loi binômiale de paramètres (N−1,12).
7. Une autre méthode pour déterminer la loi de XN: la série généra-
trice.
(a) Prouver la relation (XN+1=k)=1
2(XN=k)+1 2(XN=k−1)pour
tous N∈N∗et k∈[0, N].
(b) On pose GN(X)=N−1
∑
n=0(XN=n)Xn. Exprimer GN+1(X)en fonction
de GN(X)et en déduire GN(X).
(c) Justifier que G′
N(1)=(XN), puis calculer l’espérance et la variance de
XNen fonction de N.